Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 17 tháng 3 2020 lúc 12:43:03


Mục lục
* * * * *

A. Phương pháp giải

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể làm theo các cách sau:

+ Gọi u→ và v→ là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng; chứng minh: u→v→ = 0

⇒ (u→ ; v→) = 90°

+ Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

+ Nếu a // a’; b // b’ và a ⊥ b thì a' ⊥ b'

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Hướng dẫn giải

Gọi P là trung điểm của AB

⇒ PN; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD.

Suy ra 

Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vuông tại P

Do đó 

Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Tứ giác không phải hình thang

Hướng dẫn giải

Ta có 

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB và QP // CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD)

⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Hướng dẫn giải

Vì M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A

 ⇒ MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên 

Suy ra AB ⊥ (CHC'). Do đó AB ⊥ CC'

Ta có 

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. A'C' ⊥ BD

B. BB' ⊥ BD

C. A'B ⊥ DC'

D. BC' ⊥ A'D

Hướng dẫn giải

Chọn B

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi

A đúng vì:

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB→.AC→ = AC→.AD→ = AD→.AB→ thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: AB→.AC→ = AC→.AD→ ⇔ AC→.(AB→ - AD→) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD ⊥ BC và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB ⊥ CD

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng

B. Sai từ bước 1

C. Sai từ bước 1

D. Sai bước 3

Hướng dẫn giải

Chọn A.


Được cập nhật: 25 tháng 3 lúc 5:12:10 | Lượt xem: 465