Hai đường thẳng vuông góc Toán 11, trường THPT Quốc Oai - Hà Nội.
Gửi bởi: Nguyễn Trần Thành Đạt 8 tháng 2 2021 lúc 7:34:39 | Được cập nhật: 3 giờ trước (19:22:07) Kiểu file: PDF | Lượt xem: 391 | Lượt Download: 2 | File size: 0.995712 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Đề cương ôn tập học kì 1 Toán 11 trường THPT Nguyễn Đình Chiểu năm 2021-2022
- Đề cương ôn tập trắc nghiệm Toán 11 năm 2019-2020
- Hình học 11: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Toán hình 11: Phép tịnh tiến
- Toán 11: Qui tắc đếm
- Toán hình 11: Phép quay
- Toán hình 11: Phép đồng dạng
- Tài liệu ôn tập HKII năm học 2020-2021 môn Toán 11, trường THPT Xuân Đỉnh - Hà Nội
- Đề cương ôn tập HK2 Toán 11 năm 2020 – 2021 trường THPT Kim Liên – Hà Nội
- Nội dung ôn tập HK2 Toán 11 năm 2020 – 2021 trường THPT Trần Phú – Hà Nội
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. LÝ THUYẾT
1. Tích vô hướng của hai véctơ trong không gian
a) Góc giữa hai véctơ
Trong không gian, cho u và v là hai véctơ khác véctơ- không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và
C là hai điểm sao cho AB u, AC v . Khi đó ta gọi góc BAC 00 BAC 1800 là góc giữa hai véctơ
u và v trong không gian, kí hiệu là u, v .
b) Tích vô hướng của hai véctơ, những chú ý đặc biệt
Trong không gian cho hai véctơ u và v đều khác véctơ- không. Tích vô hướng của hai véctơ u
và v là một số, kí hiệu là u.v , được xác định bởi công thức:
u.v u . v .cos u, v
Trường hợp u 0 hoặc v 0 ta quy ước u.v 0 .
2. Góc giữa hai đường thẳng
a) Véctơ chỉ phương của đường thẳng
Véctơ a khác véctơ- không được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của véctơ
a song song hoặc trùng với đường thẳng d .
b) Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi
qua một điểm và lần lượt song song với a và b .
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
- Nhận xét
a) Nếu a là véctơ chỉ phương của đường thẳng d thì véc tơ ka với k 0 cũng là véctơ chỉ phương của
d
b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một
véc tơ chỉ phương a của nó.
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai véctơ
chỉ phương cùng phương.
d) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng
đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
e) Nếu u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và v là véc tơ chỉ phương của đường thẳng b và
u, v
thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng nếu 00 900 và bằng 1800 nếu
900 1800 .
Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0o .
3. Hai đường thẳng vuông góc.
a) Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 .
Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a b .
b) Nhận xét
a) Nếu u và v lần lượt là các véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a b u.v 0 .
b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông
góc với đường thẳng kia.
c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
II. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1. Xác định góc giữa hai vectơ và tích vô hướng giữa hai vectơ.
Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA OB OC 1. Gọi M là
trung điểm của cạnh BC .
a) Tính góc giữa hai vectơ AC và CB.
b) Tính OM.AC
c) Tính góc giữa hai vectơ OM và AC.
Lời giải
a) Tính góc giữa hai vectơ AC và CB.
Lấy điểm A ' sao cho AC CA ', ABC đều nên BCA 600
AC , CB
CA ', CB
BCA '
BCA '
1200.
1200.
b) Tính OM.AC
OM
1
BC
2
OM.AC
2
, COM
2
OM. OC OA
450 , OA
OBC
OM.OC OM.OA
OA
OM
OM.OA
OM.OC.cos450
0
0.
2
2
.1.
2
2
0
c) Ta có
cos OM , AC
OM. AC
OM. AC
1
2
2
. 2
2
1
2
OM , AC
60 0.
Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D ' có AB a, AD 2a, AA ' a 3 .
a) Góc giữa hai vectơ BD và A ' C .
b) Góc giữa hai vectơ BC ' và D ' C .
Lời giải
1
2
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
a) Ta có
BD2 AB 2 AD2 5a 2 BD a 5
A ' C 2 AA '2 AC 2 3a 2 5a 2 8a 2 AC 2 2a
Ta có
BD AD AB, A ' C AC AA ' AA ' AB AD
BD. A 'C AD AB . AA ' AB AD
AD. AA ' AD. AB AD. AD AB. AA ' AB. AB AB.AD
0 0 3a 2 0 a 2 0 2a 2
cos BD, A ' C
BD. A ' C
BD , A ' C
2a 2
1
BD, A ' C 7134 ' .
a 5.2 2a
10
b) Ta có
BC ' AD ', D ' C A ' B ;
BC ' 7a, D ' C 2a
Ta có:
BC '.D ' C AA ' AD . AB AA '
D ' C A ' B AB AA '
BC ' AA ' AD
AA '. AB AA '. AA ' AD. AB AD. AA ' 0 3a 2 3a 2
cos BC ', D 'C
BC '.D ' C
BC . D ' C
3a 2 3
BC ', D ' C 13835' .
4a 2
4
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AD DC a, AB 2a , SA
vuông góc với AB và AD , SA
2 3
a .
3
a) Xác định góc giữa hai vectơ CD và BS
b) Tính DS .CB .
Lời giải
a) Gọi M là trung điểm của AB .
Vì CD
1
BA BM nên CD, BS BM , BS SBM .
2
Tam giác SAB vuông tại A : tan SBM
SA 2 3
3
a : 2a
SBM 30 .
AB
3
3
Vậy góc giữa hai vectơ CD, BS 30 .
2
2 3
7a 2
b) Tam giác SAM vuông tại A : SM SA AM
.
a a 2
3
3
2
2
2
Tam giác ADM vuông tại A : DM 2 AD 2 AM 2 a 2 a 2 2a 2 .
2
2 3
7
a a 2 a 2 .
Tam giác SAD vuông tại A : SD SA AD
3
3
2
2
2
Áp dụng định lí cos trong tam giác SDM : cos SDM
SD 2 DM 2 SM 2
42
2SD.DM
14
Do đó, DS .CB DS .DM DS .DM .cos SDM 2a.
7
42
a.
a2 .
3 14
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
Dạng 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên bằng nhau và bằng
2a . Gọi F là trung điểm SC. Tính góc giữa hai đường thẳng:
a) AB và SD
b) BF và SA.
Lời giải
a) AB và SD .
Vì AB CD
S
AB, SD CD, SD SDC
Xét tam giác SCD với
SC SD 2a, CD a .
F
A
D
Theo định lý côsin ta có:
SD 2 CD 2 SC 2 1
cos SDC
2SD.CD
4
O
B
SDC 750
C
b) BF và SA
F là trung điểm của SC nên suy ra OF SA .Do đó: BF , SA BF , OF BFO
Hai tam giác tam giác SDC và SBC bằng nhau nên FB FD FBD cân tại F
FO BD .
Xét tam giác vuông BOF ta có:
BO
tan BFO
OF
a 2
2 2 BFO 350
a
2
Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của CD , tính cosin của góc
giữa hai đường thẳng BM và AC .
Lời giải
+ Gọi N là trung điểm của AD .
+ Ta có MN //AC suy ra góc giữa hai đường
thẳng BM và AC bằng góc giữa hai đường
thẳng MN và MB và bằng góc BMN .
+ Ta có BMN cân tại B vì BM BN
a 3
.
2
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
+ Ta có MN
a
.
2
+ Gọi H là trung điểm của MN suy ra MH
+ Trong BMH có cos BMH
a
.
4
MH
3
.
BM
6
Ví dụ 6. Cho hình chóp S . ABC có SA SB SC AB AC a , BC a 2 . Tính góc giữa hai đường
thẳng AB và SC .
Lời giải
Tam giác ABC có AB a, AC a, BC a 2 ABC vuông tại A AB. AC 0 .
SC. AB
cos SC , AB
SC . AB
SA AC .AB SA.AB AC.AB SA.AB.cos120
SC. AB
SC. AB
SC. AB
1
a.a.
2 1
a.a
2
Suy ra SC , AB 120 . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và SC là 60 .
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và BAC BAD 600 , CAD 600 . Gọi I ; J lần lượt là
trung điểm của AB và CD
a) Xác định góc giữa hai đường thẳng AB; AC .
b) Xác định góc giữa hai đường thẳng AB; IJ
Lời giải
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
a) Góc giữa hai đường thẳng AB; AC bằng BAC 600
b) Xét tam giác ICD có J là trung điểm của đoạn CD
1
. Ta có IJ IC ID
2
Vì tam giác ABC có AB AC; BAC 600
Nên tam giác ABC đều suy ra CI AB
Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI AB
Xét: IJ . AB
1
1
1
IC ID . AB IC. AB ID. AB 0
2
2
2
Do đó góc giữa hai đường thẳng AB; IJ bằng 900
Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có cạnh bên bằng 2a , đáy là tam giác đều cạnh a và
A ' AC A ' AB 120 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Tính góc giữa hai đường thẳng
AG và AB ' .
Lời giải
Ta có: AB ' AB AA ' và AG
Khi đó: AB '. AG
2
1
1
AM AB AC (với M là trung điểm BC ).
3
3
3
2
1
1
1
1
AB AB. AC AA '. AB AA '. AC
3
3
3
3
1
1
2
2
a 2 a 2 .cos 60 a 2 .cos120 a 2 .cos120
3
3
3
3
1
a2 .
6
Mà ta có: AG
2
a 3
và AB ' AB 2 BB '2 2 AB.BB 'cos ABB ' a 3 .
AM
3
3
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
a2
AB '. AG
1
6
Vậy cos( AG, AB ')
( AG, AB ') 80 .
AB '. AG a 3
6
.a 3
3
Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Ví dụ 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng
a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD .
a) Chứng minh SA SC
b) Chứng minh MN SC .
Lời giải
S
N
A
M
D
B
O
C
2
2
2
2
2
SA SC a a 2a
SAC vuông tại S SA SC .
a) Xét SAC , ta có: 2
2
2
2
AC
AD
DC
2
a
b) Vì M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD
Nên MN // SA
Mà SA SC
Do đó MN SC .
Ví dụ 10. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Chứng minh rằng:
a) AB DD '
b) AC ' BD
Lời giải
a) Ta có
AB AA '
AB DD '
AA '/ / DD '
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
b) Ta có cos AC '; BD
AC '.BD
, trong đó
AC '. BD
AC '.BD AB AD AA ' AD AB
2
2
AB. AD AB AD AD.AB AA '. AD AA '. AD
2
AB AD
2
0
Suy ra cos AC' ; BD 0 . Vậy AC ' BD .
Ví dụ 11. Cho tứ diện đều ABCD . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Chứng minh rằng
AO vuông góc với CD .
Lời giải
Trong mặt phẳng BCD , qua O dựng đường thẳng song song với CD, cắt BC, BD lần lượt tại
E và F . EF // CD
(*)
Gọi M là trung điểm của CD.
Xét BCM , có: OE // MC
BE EO BO
BC CM BM
(1)
Xét BMD , có: OF // MD
BF OF
BO
BD MD BM
(2)
Kết hợp (1), (2) và BC BD, MC MD gt
BE BF
OF OE
BE BF
Xét ABE và ABF , ta có: ABE ABF 600
AB chung
ABE ABF c.g.c AE AF AEF cân tại A AO EF (**)
Từ (*) và (**) suy ra AO CD .
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với
đường thẳng còn lại.
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song
song với đường thẳng còn lại.
Câu 2.
Cho hai đường thẳng a và a ' lần lượt có véc tơ chỉ phương là u và u ' . Nếu là góc giữa hai
đường thẳng a và a ' thì:
D. cos cos u, u '
C. cos cos u, u ' .
Câu 3.
B. Nếu b // c thì a, b a, c
Cho hai véc tơ a và b biết a, b 60 và a b . Đặt u a b thì góc a, u bằng:
A. 60
B. 30 .
2
2
C. 120 .
D. 45
Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a , M là trung điểm BC . Tích vô hướng AM . AD
bằng
A. a
Câu 6.
.
u . u'
D. Nếu a b thì a, c c, b .
C. Nếu a // c thì a, c 0 .
Câu 5.
u. u '
Cho ba đường thẳng a, b, c . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu a // b thì a, c c, b .
Câu 4.
B. u, u ' .
A. u , u ' .
2
B. 2a
2
a2
C.
2
a2 3
D.
2
Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm BC . Khi đó cos AM , AD bằng
1
1
3
3
B.
.
C. .
D.
3
6
2
3
Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết
A.
Câu 7.
OA a, OB a 2, OC a 3 . Tích vô hướng AB. AC bằng:
a2
A.
2
Câu 8.
a2
B.
.
2
a 2
C.
.
2
D. a 2
Cho hình chóp S . ABC có SAB tam giác đều cạnh a , CAB vuông cân tại C , SBC 60 .
Tích vô hướng AC.SB bằng
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
B.
C.
D.
a
a .
a
a
4
2
4
2
Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Góc giữa hai đường thẳng AC và A ' D bằng:
A. 60
B. 90
C. 30
D. 45
A.
Câu 9.
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
Câu 10. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD :
A. 60 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 45 .
Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng
a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN , SC bằng
A. 45 .
B. 30
C. 90
D. 60
Câu 12. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và BAC BAD 600 , CAD 900 . Gọi I và
J
lần
lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ
A. 120 .
B. 90 .
C. 60 .
D. 45 .
Câu 13. Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai
đường thẳng AB và CD bằng:
A. 45o .
B. 60o .
C. 90o .
D. 30o .
Câu 14. Cho tứ diện ABCD có DA DB DC AC AB a , ABC 45 . Tính góc giữa hai
đường thẳng AB và DC .
A. 30 .
B. 120 .
C. 90 .
D. 60 .
Câu 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi, SA vuông góc với AB và AD . Tính số đo của
góc giữa hai đường thẳng SC và BD
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .
Câu 16. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với AB và AD , E là
trung điểm của SC . Biết SA AD a, AB a 3 . Gọi
và BC . Giá trị của cos bằng
là góc giữa hai đường thẳng AE
3
2
5
5
.
B
.
C
.
D.
.
4
5
5
3
Câu 17. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Số đo của góc giữa hai đường thẳng BF và EG bằng:
A.
A. 90 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 120 .
Câu 18. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt thuộc hai
cạnh AA ' và DD ' sao cho AN NA ', DD ' 4 DM . Tính cos với MN , B ' D ' .
2 34
34
17
C.
.
D.
.
17
17
34
Câu 19. Cho hình lăng trụ tam giác BCD. AEF có AB BC CD DB CA AD a , M là trung
điểm của cạnh BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM .
A.
3
.
4
A. cos AB, DM
B.
3
.
4
B. cos AB, DM
3
6
6
3
.
D. cos AB, DM
.
6
6
Câu 20. Cho tứ diện ABCD có AB CD a . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC , AD và
C. cos AB, DM
IJ
a 3
. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:
2
A. 30 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có SB CD 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CB và SD ,
MN a 3 .Khi đó góc giữa hai đường thẳng SB và CD bằng?
Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin
A. (SB, CD) 300
B. (SB, CD) 450
C. ( SB, CD) 1200
D. (SB, CD) 600
Câu 22. Cho hình lập phương ABCD. ABC D , góc giữa hai đường thẳng AB và BC là
A. 90 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 45 .
Câu 23. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng:
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .
Câu 24. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB và SAC là các tam giác
vuông tại A . Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD . Khẳng định nào sau đây là đúng
A. SO BC .
B. SB BC .
C. AC SD .
D. BD SO .
Câu 25. Trong hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau
mệnh đề nào Sai?
B. A ' C ' BD
A. BB ' BD
C. A ' B DC '
D. BC ' A ' D
Câu 26. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm của
BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AM B ' C '
C. AA ' B ' C '
B. AA ' AB
D. AM AA '
Câu 27. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. EF BC .
B. EF DC .
C. EF AC .
D. EF BD .
Câu 28. (VDC) Cho hình hộp ABCD. ABC D có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc
BAD, DAA , AAB đều bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA, CD . Gọi là
góc tạo bởi hai đường thẳng MN và BC , giá trị của cos bằng:
A.
2
.
5
B.
1
.
5
Câu 29. (VDC) Cho tứ diện ABCD có AB
C.
3
.
5
D.
3 5
.
10
CD. Mặt phẳng P song song với AB và CD . Đồng
thời mặt phẳng P lần lượt cắt các cạnh BC, BD, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là
hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình chữ nhật.
C. Hình bình hành.
D. Tứ giác không phải hình thang.
Câu 30. (VDC) Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a , SAD
vuông tại A . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC . Biết SM SA a . Khi
đó cô sin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN bằng?
A. cos( SM , DN)
1
5
B. cos( SM , DN)
5
5
C. cos( SM , DN)
1
2
D. cos( SM , DN)
5
5