Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Hai đường thẳng vuông góc Toán 11, trường THPT Quốc Oai - Hà Nội.

ababb67d8b06028a8107ee902c13eaa6
Gửi bởi: Nguyễn Trần Thành Đạt 8 tháng 2 2021 lúc 7:34:39 | Được cập nhật: 3 giờ trước (19:22:07) Kiểu file: PDF | Lượt xem: 391 | Lượt Download: 2 | File size: 0.995712 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I. LÝ THUYẾT 1. Tích vô hướng của hai véctơ trong không gian a) Góc giữa hai véctơ Trong không gian, cho u và v là hai véctơ khác véctơ- không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và   C là hai điểm sao cho AB  u, AC  v . Khi đó ta gọi góc BAC 00  BAC  1800 là góc giữa hai véctơ u và v trong không gian, kí hiệu là  u, v  . b) Tích vô hướng của hai véctơ, những chú ý đặc biệt Trong không gian cho hai véctơ u và v đều khác véctơ- không. Tích vô hướng của hai véctơ u và v là một số, kí hiệu là u.v , được xác định bởi công thức: u.v  u . v .cos  u, v  Trường hợp u  0 hoặc v  0 ta quy ước u.v  0 . 2. Góc giữa hai đường thẳng a) Véctơ chỉ phương của đường thẳng Véctơ a khác véctơ- không được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của véctơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d . b) Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin - Nhận xét a) Nếu a là véctơ chỉ phương của đường thẳng d thì véc tơ ka với k  0 cũng là véctơ chỉ phương của d b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một véc tơ chỉ phương a của nó. c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai véctơ chỉ phương cùng phương. d) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. e) Nếu u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và v là véc tơ chỉ phương của đường thẳng b và  u, v    thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu 00    900 và bằng 1800   nếu 900    1800 . Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0o . 3. Hai đường thẳng vuông góc. a) Định nghĩa Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 . Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a  b . b) Nhận xét a) Nếu u và v lần lượt là các véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a  b  u.v  0 . b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin II. MỘT SỐ VÍ DỤ Dạng 1. Xác định góc giữa hai vectơ và tích vô hướng giữa hai vectơ. Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA OB OC 1. Gọi M là trung điểm của cạnh BC . a) Tính góc giữa hai vectơ AC và CB. b) Tính OM.AC c) Tính góc giữa hai vectơ OM và AC. Lời giải a) Tính góc giữa hai vectơ AC và CB. Lấy điểm A ' sao cho AC CA ', ABC đều nên BCA 600 AC , CB CA ', CB BCA ' BCA ' 1200. 1200. b) Tính OM.AC OM 1 BC 2 OM.AC 2 , COM 2 OM. OC OA 450 , OA OBC OM.OC OM.OA OA OM OM.OA OM.OC.cos450 0 0. 2 2 .1. 2 2 0 c) Ta có cos OM , AC OM. AC OM. AC 1 2 2 . 2 2 1 2 OM , AC 60 0. Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D ' có AB  a, AD  2a, AA '  a 3 . a) Góc giữa hai vectơ BD và A ' C . b) Góc giữa hai vectơ BC ' và D ' C . Lời giải 1 2 Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin a) Ta có BD2  AB 2  AD2  5a 2  BD  a 5 A ' C 2  AA '2  AC 2  3a 2  5a 2  8a 2  AC  2 2a Ta có BD  AD  AB, A ' C  AC  AA '   AA '  AB  AD    BD. A 'C  AD  AB .  AA '  AB  AD    AD. AA '  AD. AB  AD. AD  AB. AA '  AB. AB  AB.AD  0  0  3a 2  0  a 2  0  2a 2   cos BD, A ' C  BD. A ' C  BD , A ' C   2a 2 1   BD, A ' C  7134 ' . a 5.2 2a 10 b) Ta có BC '  AD ', D ' C  A ' B ; BC '  7a, D ' C  2a Ta có:    BC '.D ' C  AA '  AD . AB  AA ' D ' C  A ' B  AB  AA ' BC '  AA '  AD     AA '. AB  AA '. AA '  AD. AB  AD. AA '  0  3a 2  3a 2   cos BC ', D 'C  BC '.D ' C BC . D ' C  3a 2 3   BC ', D ' C  13835' . 4a 2 4   Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AD  DC  a, AB  2a , SA vuông góc với AB và AD , SA  2 3 a . 3 a) Xác định góc giữa hai vectơ CD và BS b) Tính DS .CB . Lời giải a) Gọi M là trung điểm của AB . Vì CD      1 BA  BM nên CD, BS  BM , BS  SBM . 2 Tam giác SAB vuông tại A : tan SBM   SA 2 3 3  a : 2a   SBM  30 . AB 3 3  Vậy góc giữa hai vectơ CD, BS  30 . 2 2 3  7a 2 b) Tam giác SAM vuông tại A : SM  SA  AM   . a   a 2  3 3   2 2 2 Tam giác ADM vuông tại A : DM 2  AD 2  AM 2  a 2  a 2  2a 2 . 2 2 3  7 a   a 2  a 2 . Tam giác SAD vuông tại A : SD  SA  AD   3  3  2 2 2 Áp dụng định lí cos trong tam giác SDM : cos SDM  SD 2  DM 2  SM 2 42  2SD.DM 14 Do đó, DS .CB  DS .DM  DS .DM .cos SDM  2a. 7 42 a.  a2 . 3 14 Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Dạng 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a . Gọi F là trung điểm SC. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) AB và SD b) BF và SA. Lời giải a) AB và SD . Vì AB CD S  AB, SD    CD, SD   SDC Xét tam giác SCD với SC  SD  2a, CD  a . F A D Theo định lý côsin ta có: SD 2  CD 2  SC 2 1 cos SDC   2SD.CD 4 O B  SDC  750 C b) BF và SA F là trung điểm của SC nên suy ra OF SA .Do đó:  BF , SA    BF , OF   BFO Hai tam giác tam giác SDC và SBC bằng nhau nên FB  FD  FBD cân tại F  FO  BD . Xét tam giác vuông BOF ta có: BO tan BFO   OF a 2 2  2  BFO  350 a 2 Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của CD , tính cosin của góc giữa hai đường thẳng BM và AC . Lời giải + Gọi N là trung điểm của AD . + Ta có MN //AC suy ra góc giữa hai đường thẳng BM và AC bằng góc giữa hai đường thẳng MN và MB và bằng góc BMN . + Ta có BMN cân tại B vì BM  BN  a 3 . 2 Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin + Ta có MN  a . 2 + Gọi H là trung điểm của MN suy ra MH  + Trong BMH có cos BMH  a . 4 MH 3 .  BM 6 Ví dụ 6. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a , BC  a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . Lời giải Tam giác ABC có AB  a, AC  a, BC  a 2  ABC vuông tại A  AB. AC  0 .   SC. AB cos SC , AB  SC . AB   SA  AC  .AB  SA.AB  AC.AB  SA.AB.cos120 SC. AB SC. AB SC. AB  1 a.a.     2  1  a.a 2   Suy ra SC , AB  120 . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và SC là 60 . Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC  BAD  600 , CAD  600 . Gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AB và CD a) Xác định góc giữa hai đường thẳng AB; AC . b) Xác định góc giữa hai đường thẳng AB; IJ Lời giải Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin a) Góc giữa hai đường thẳng AB; AC bằng BAC  600 b) Xét tam giác ICD có J là trung điểm của đoạn CD 1 . Ta có IJ  IC  ID 2   Vì tam giác ABC có AB  AC; BAC  600 Nên tam giác ABC đều suy ra CI  AB Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI  AB Xét: IJ . AB    1 1 1 IC  ID . AB  IC. AB  ID. AB  0 2 2 2 Do đó góc giữa hai đường thẳng AB; IJ bằng 900 Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có cạnh bên bằng 2a , đáy là tam giác đều cạnh a và A ' AC  A ' AB  120 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Tính góc giữa hai đường thẳng AG và AB ' . Lời giải Ta có: AB '  AB  AA ' và AG  Khi đó: AB '. AG  2 1 1 AM  AB  AC (với M là trung điểm BC ). 3 3 3 2 1 1 1 1 AB  AB. AC  AA '. AB  AA '. AC 3 3 3 3 1 1 2 2  a 2  a 2 .cos 60  a 2 .cos120  a 2 .cos120 3 3 3 3 1   a2 . 6 Mà ta có: AG  2 a 3 và AB '  AB 2  BB '2  2 AB.BB 'cos ABB '  a 3 . AM  3 3 Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin a2 AB '. AG 1 6 Vậy cos( AG, AB ')     ( AG, AB ')  80 . AB '. AG a 3 6 .a 3 3 Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Ví dụ 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . a) Chứng minh SA  SC b) Chứng minh MN  SC . Lời giải S N A M D B O C 2 2 2 2 2   SA  SC  a  a  2a  SAC vuông tại S  SA  SC . a) Xét SAC , ta có:  2 2 2 2 AC  AD  DC  2 a   b) Vì M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD Nên MN // SA Mà SA  SC Do đó MN  SC . Ví dụ 10. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Chứng minh rằng: a) AB  DD ' b) AC '  BD Lời giải a) Ta có AB  AA '    AB  DD ' AA '/ / DD ' Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin   b) Ta có cos AC '; BD  AC '.BD , trong đó AC '. BD   AC '.BD  AB  AD  AA ' AD  AB 2  2  AB. AD  AB  AD  AD.AB  AA '. AD  AA '. AD 2   AB  AD 2 0   Suy ra cos AC' ; BD  0 . Vậy AC '  BD . Ví dụ 11. Cho tứ diện đều ABCD . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Chứng minh rằng AO vuông góc với CD . Lời giải Trong mặt phẳng  BCD  , qua O dựng đường thẳng song song với CD, cắt BC, BD lần lượt tại E và F .  EF // CD (*) Gọi M là trung điểm của CD. Xét BCM , có: OE // MC  BE EO BO   BC CM BM (1) Xét BMD , có: OF // MD  BF OF BO   BD MD BM (2) Kết hợp (1), (2) và BC  BD, MC  MD  gt   BE  BF  OF  OE  BE  BF  Xét ABE và ABF , ta có:  ABE  ABF   600    AB chung ABE  ABF  c.g.c   AE  AF  AEF cân tại A  AO  EF (**) Từ (*) và (**) suy ra AO  CD . Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại. Câu 2. Cho hai đường thẳng a và a ' lần lượt có véc tơ chỉ phương là u và u ' . Nếu  là góc giữa hai đường thẳng a và a ' thì:        D. cos   cos u, u '  C. cos   cos u, u ' . Câu 3.   B. Nếu b // c thì a, b  a, c   Cho hai véc tơ a và b biết a, b  60 và a  b . Đặt u  a  b thì góc a, u bằng: A. 60 B. 30 . 2 2 C. 120 . D. 45 Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a , M là trung điểm BC . Tích vô hướng AM . AD bằng A. a Câu 6. . u . u'     D. Nếu a  b thì  a, c    c, b  .     C. Nếu a // c thì  a, c   0 . Câu 5. u. u ' Cho ba đường thẳng a, b, c . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu a // b thì a, c  c, b . Câu 4.  B.     u, u ' . A.   u , u ' . 2 B. 2a 2 a2 C. 2   a2 3 D. 2 Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm BC . Khi đó cos AM , AD bằng 1 1 3 3 B. . C. . D. 3 6 2 3 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết A. Câu 7. OA  a, OB  a 2, OC  a 3 . Tích vô hướng AB. AC bằng: a2 A. 2 Câu 8. a2 B. . 2 a 2 C. . 2 D. a 2 Cho hình chóp S . ABC có SAB tam giác đều cạnh a , CAB vuông cân tại C , SBC  60 . Tích vô hướng AC.SB bằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B. C. D. a a . a a 4 2 4 2 Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Góc giữa hai đường thẳng AC và A ' D bằng: A. 60 B. 90 C. 30 D. 45 A. Câu 9. Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin Câu 10. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD : A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45 . Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc  MN , SC  bằng A. 45 . B. 30 C. 90 D. 60 Câu 12. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC  BAD  600 , CAD  900 . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ A. 120 . B. 90 . C. 60 . D. 45 . Câu 13. Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: A. 45o . B. 60o . C. 90o . D. 30o . Câu 14. Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  AC  AB  a , ABC  45 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DC . A. 30 . B. 120 . C. 90 . D. 60 . Câu 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi, SA vuông góc với AB và AD . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SC và BD A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Câu 16. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với AB và AD , E là trung điểm của SC . Biết SA  AD  a, AB  a 3 . Gọi  và BC . Giá trị của cos  bằng là góc giữa hai đường thẳng AE 3 2 5 5 . B . C . D. . 4 5 5 3 Câu 17. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Số đo của góc giữa hai đường thẳng BF và EG bằng: A. A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 120 . Câu 18. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt thuộc hai cạnh AA ' và DD ' sao cho AN  NA ', DD '  4 DM . Tính cos với    MN , B ' D ' . 2 34 34 17 C. . D. . 17 17 34 Câu 19. Cho hình lăng trụ tam giác BCD. AEF có AB  BC  CD  DB  CA  AD  a , M là trung điểm của cạnh BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM . A. 3 . 4 A. cos  AB, DM   B. 3 . 4 B. cos  AB, DM   3 6 6  3 . D. cos  AB, DM   . 6 6 Câu 20. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC , AD và C. cos  AB, DM   IJ  a 3 . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: 2 A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có SB  CD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CB và SD , MN  a 3 .Khi đó góc giữa hai đường thẳng SB và CD bằng? Trường THPT Quốc Oai-Tổ Toán Tin A. (SB, CD)  300 B. (SB, CD)  450 C. ( SB, CD)  1200 D. (SB, CD)  600 Câu 22. Cho hình lập phương ABCD. ABC D , góc giữa hai đường thẳng AB và BC là A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45 . Câu 23. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng: A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Câu 24. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB và SAC là các tam giác vuông tại A . Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD . Khẳng định nào sau đây là đúng A. SO  BC . B. SB  BC . C. AC  SD . D. BD  SO . Câu 25. Trong hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào Sai? B. A ' C '  BD A. BB '  BD C. A ' B  DC ' D. BC '  A ' D Câu 26. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AM  B ' C ' C. AA '  B ' C ' B. AA '  AB D. AM  AA ' Câu 27. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Khẳng định nào sau đây đúng? A. EF  BC . B. EF  DC . C. EF  AC . D. EF  BD . Câu 28. (VDC) Cho hình hộp ABCD. ABC D có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD, DAA , AAB đều bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA, CD . Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và BC , giá trị của cos  bằng: A. 2 . 5 B. 1 . 5 Câu 29. (VDC) Cho tứ diện ABCD có AB C. 3 . 5 D. 3 5 . 10 CD. Mặt phẳng P song song với AB và CD . Đồng thời mặt phẳng P lần lượt cắt các cạnh BC, BD, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Tứ giác không phải hình thang. Câu 30. (VDC) Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a , SAD vuông tại A . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC . Biết SM  SA  a . Khi đó cô sin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN bằng? A. cos( SM , DN)  1 5 B. cos( SM , DN)   5 5 C. cos( SM , DN)  1 2 D. cos( SM , DN)  5 5