Giới hạn của hàm số Toán 11, trường THPT Quốc Oai - Hà Nội.

Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT I. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm 1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm Định nghĩa 1: Cho  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  hoặc trên f  x   L  với mọi dãy số  xn   a; b  \  x0 . xlim x mà xn   a; b  \ x0  , xn  x0 ta có 0 lim f  xn   L. Nhận xét: - Giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của dãy số. - Hàm số không nhất thiết phải xác định tại x0 . Định nghĩa 2 (Giới hạn một bên): Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  x0 ; b  . lim f  x   L  với mọi dãy số  xn  mà x  x0 x0  xn  b, xn  x0 ta có lim f  xn   L. Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; x0  . lim f  x   L  với mọi dãy số  xn  mà x  x0 a  xn  x0 , xn  x0 ta có lim f  xn   L. Định lí 1 lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L. x  x0 x  x0 x  x0 2. Giới hạn vô cực tại một điểm Định nghĩa 3 Cho  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  hoặc trên f  x      a; b  \  x0 . xlim x với mọi dãy số  xn  mà xn   a; b  \ x0  , xn  x0 ta có 0 f  xn   . Lưu ý: Các định nghĩa lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 được phát biểu hoàn toàn tương tự. 3. Lưu ý: a) f  x  không nhất thiết phải xác định tại điểm x0 . x  x0 x  x0 Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN b) Ta chỉ xét giới hạn của f  x  tại điểm x0 nếu có một khoảng  a; b  (dù nhỏ) chứa x0 mà f  x  xác định trên  a; b  hoặc trên  a; b  \  x0 . Chẳng hạn, hàm số f  x   x có tập xác định là D  0;    . Do đó ta không xét giới hạn của hàm số tại điểm x0  0 , do không có một khoảng  a; b  nào chứa điểm 0 mà f  x  xác định trên đó cả. Tương tự vậy ta cũng không xét giới hạn của f  x  tại mọi điểm x0  0. c) Ta chỉ xét giới hạn bên phải của f  x  tại điểm x0 nếu có một khoảng  x0 ; b  (khoảng nằm bên phải x0 ) mà f  x  xác định trên đó. Tương tự, ta chỉ xét giới hạn bên trái của f  x  tại điểm x0 nếu có một khoảng  a; x0  (khoảng nằm bên trái x0 ) mà f  x  xác định trên đó. Chẳng hạn, với hàm số f  x   x  1 , tại điểm x0  1 , ta chỉ xét giới hạn bên phải. Với hàm số g  x   1  x , tại điểm x0  1 , ta chỉ xét giới hạn bên trái. d) lim f ( x )    lim f ( x )  lim f ( x )   x  xo xx xx o o lim f ( x )    lim f ( x )  lim f ( x )   x  xo xx o xx o II. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực 1. Giới hạn hữu hạn tại vô cực Định nghĩa 4 Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng  a;   . lim f ( x )  L  với mọi dãy số x  x , x n n  a và xn   ta đều có lim f ( x )  L . LƯU Ý: Định nghĩa lim f ( x )  L được phát biểu hoàn toàn tương tự. x  2. Giới hạn vô cực tại vô cực Định nghĩa 5 Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng  a;   . lim f ( x )    với mọi dãy số x  x , x n n  a và xn   ta đều có lim f ( x )   . LƯU Ý: Các định nghĩa: lim f ( x )  , lim f ( x )  , lim f ( x )   được phát biểu hoàn toàn x  tương tự. III. Một số giới hạn đặc biệt a) lim x  xo . x  xo x  x  Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN b) lim c  c; lim c  c ( c là hằng số ) x  xo c) lim x  x  c  0 ( c là hằng số, k nguyên dương ). xk d) lim x k   với k nguyên dương; lim x k   nếu k là số nguyên lẻ; x  x  lim x k   nếu k là số nguyên chẵn. x  Nhận xét: lim f ( x )    lim   f ( x )   . x  x  IV. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 2 Giả sử lim f ( x )  L và lim g( x )  M . Khi đó x  xo x  xo a) lim  f ( x )  g( x )  L  M . x  xo b) lim  f ( x )g( x )  LM ; lim cf ( x )  cL với c là một là một hằng số. x  xo x  xo f ( x) L  ( M  0) . g( x ) M c) lim x  xo STUDY TIP: Giới hạn hữu hạn, giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số tại một điểm bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng tại điểm đó (trong trường hợp thương, giới hạn của mẫu phải khác không). Định lí 3 Giả sử lim f ( x )  L . Khi đó x  xo a) lim f ( x )  L . x  xo b) lim 3 f ( x )  3 L . x  xo c) Nếu f ( x )  0 với mọi J \  xo  , trong đó J là khoảng nào đó chứa xo , thì L  0 và lim x  xo f ( x)  L .   LƯU Ý: Định lí 2, định lí 3 vẫn đúng khi thay x  xo bởi x  x o , x  x o . V. Quy tắc về giới hạn vô cực Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN Các định lí và quy tắc dưới đây được áp dụng cho mọi trường hợp: x  xo , x  x o , x  x  o , x   và x   . Tuyên nhiên, để cho gọn, ta chỉ phát biểu cho trường hợp x  xo . Quy tắc 1 ( Quy tắc tìm giới hạn của tích ). L  lim f ( x ) lim g( x ) x  xo lim  f ( x )g( x ) x  xo L0 L0 x  xo         STUDY TIP: Giới hạn của tích hai hàm số - Tích của một hàm số có giới hạn hữu hạn khác 0 với một hàm số có giới hạn vô cực là một hàm số có giới hạn vô cực. - Dấu của giới hạn theo quy tắc dấu của phép nhân hai số. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm giới hạn của thương) L  lim f ( x ) x  xo lim g( x ) x  xo Dấu của g( x ) lim x  xo f ( x) g( x ) L  Tùy ý 0 L0 0 +  -  +  -  L0 0 ( Dấu của g  x  xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x  xo ). STUDY TIP: Giới hạn của thương hai hàm số. Tử thức có giới hạn hữu hạn khác 0: - Mẫu thức càng tang ( dần đến vô cực) thì phân thức càng nhỏ (dần đến 0). - Mẫu thức càng nhỏ (dần đến 0) thì phân thức có giá trị tuyệt đối càng lớn (dần đến vô cực). - Dấu của giới hạn theo quy tắc dấu của phép chia hai số. VI. Các dạng vô định: 0  , ,0. ;    . 0  B. Các dạng toán về giới hạn hàm số Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lí và quy tắc Phương pháp: - Xác định đúng dạng bài toán: giới hạn tại một điểm hay giới hạn tại vô cực? giới hạn xác Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN định hay vô định? - Với giới hạn hàm số tại một điểm ta cần lưu ý: Cho f ( x) là hàm số sơ cấp xác định trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 . Khi đó, lim f ( x )  f ( xo ) . x  xo - Với giới hạn hàm số tại vô cực ta “xử lí” tương tự như giới hạn dãy số. - Với giới hạn xác định, ta áp dụng trực tiếp định nghĩa giới hạn hàm số, các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc về giới hạn vô cực. Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x)  x2  1 , lim f ( x) bằng ? x 3 2 x Giải : Hàm số đã cho xác định trên  0;  . Cách 1(sử dụng định nghĩa): Giải sử ( xn ) là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn  0, xn  3 và xn  3 khi n   . Ta có lim f ( xn )  lim lim f ( x)  x 3 xn2  1 32  1 5 3   ( áp dụng quy tắc về giới hạn hữu hạn của dãy số). Do đó 3 2 xn 2 3 5 3 . 3 Cách 2( sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn): Theo định lí 1 ta có: x 2  lim1 lim x.lim x  lim1 3.3  1 5 3  x 2  1 lim x 2  1 lim x 3 x 3 x 3 x 3 lim f  x   lim    x 3 x 3   . x 3 x 3 2 x 3 lim 2.lim x lim 2. lim x 2 3 lim 2 x x 3 x 3 x 2 x 3 x 3   Lưu ý Khi giải toán trắc nghiệm có thể sử dụng MTCT để tính giá trị của f  x  bằng cách: Nhập hàm f  x  , sau đó bấm phím CALC, máy hỏi X ? nhập 3 = . Máy hiển thị kết quả như hình: Ví dụ 2. lim  2 x3  5 x  bằng: x  A. 2 . C.  . B. 3 . Lời giải Đáp án C. D.  . Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN 5   Ta có 2 x3  5 x  x 3  2  2  . x   5  5    3 Vì lim x   và lim  2  2   2  0 nên lim x3  2  2    . x  x  x  x  x    3 Lưu ý Khi giải toán trắc nghiệm có thể sử dụng MTCT để tính giá trị của f  x   2 x  5x tại một điểm có giá trị âm rất nhỏ (do ta đang xét giới hạn của hàm số khi x   ), chẳng hạn tại 1020 . Máy hiển thị kết quả như hình: Đó là một giá trị dương rất lớn. Vậy chọn đáp án C , tức lim  2 x3  5 x    . x  5   Vậy theo Quy tắc 1, lim  2 x3  5 x   lim x3  2  2    . Do đó chọn C. x  x  x   Nhận xét 1: 5   3 - Để hiểu tại sao lim x   và lim  2  2   2 xin xem lại phần các giới hạn đặc biệt. x  x  x   - Bài toán thuộc dạng tính giới hạn hàm số khi x dần tới vô cực, nhưng là khi x   . Do đó không thể áp dụng ngay các kết quả đã biết về giới hạn dãy số, vì giới hạn dãy số được xét khi n   . Ta chỉ có thể áp dụng các kĩ thuật đã biết đối với giới hạn dãy số. Nhận xét 2: Có thể dễ dàng chứng minh được kết quả như sau : k k 1 Cho hàm số f  x   ak x  ak 1 x  ...  a1 x  a0 (ak  0) là một đa thức bậc k . x x   k Tùy ý k chẵn x   k lẻ ak Giới hạn của f  x  ak  0  ak  0  ak  0  ak  0  ak  0  ak  0  a a  a  Thật vậy, ta có f  x   x k  ak  k 1  ...  k11  0k  . x x x   Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin a a a  Vì lim  ak  k 1  ...  k11  0k x  x x x  Chương 4. GIỚI HẠN  x k   với k tùy ý,   ak và xlim   lim x k   nếu k chẵn, lim x k   nếu k lẻ nên ta dễ dàng suy ra bảng kết quả trên. x  x  Ví dụ 3. lim  3x 4  2 x 2  1 bằng: x  A.  . B.  . C. 3. D. 2. Lời giải Đáp án A 2 1   ta có 3x 4  2 x 2  1  x 4  3  2  4  . x x   2 1   4 Vì lim x   và lim  3  2  4   3  0 nên lim  3x 4  2 x 2  1   . x  x  x  x x   Lưu ý: Khi làm trắc nghiệm dựa vào kết quả nhận xét trong ví dụ 2 ta có thể biết ngay kết quả lim  3x 4  2 x 2  1   ( x  , k chẵn và ak  0 ) x  2 Ví dụ 4. Cho hàm số f  x   x  2 x  5 . Khẳng định nào dưới đây đúng ? f  x    . A. xlim  f  x    . B. xlim  f  x  1. C. xlim  f  x  không tồn tại. D. xlim  Lời giải Đáp án B. 2 Hàm số f  x   x  2 x  5 xác định trên Ta có . 2 5  2 5  x 2  2 x  5  x 2 1   2   x 1   2 . x x  x x  2 5 x   và lim 1   2  1  0 nên lim x 2  2 x  5   . Vì xlim  x  x  x x Lưu ý Khi giải toán trắc nghiệm có thể sử dụng MTCT để tính giá trị của f  x  tại một giá trị âm 20 rất nhỏ của x , chẳng hạn tại x  10 ta được kết quả như hình: Kết quả này là một số dương rất lớn. Do đó ta chọn đáp án B. (Dễ thâý kết quả hiển thị trên máy tính như trên chỉ là kết quả gần đúng do khả năng tính toán hạn chế của MTCT. Tuy nhiên kết quả đó cũng giúp ta lựa chọn được đáp án chính xác). Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN STUDY TIP Ta có lim x   . x  Khi x   thì x  0 . Với x  0 ta có x2   x . Cần đặc biệt lưu ý các điều trên khi tính giới hạn tại  của hàm chứa căn thức. 2 2 Ví dụ 5. Giới hạn của hàm số f  x   x  x  4 x  1 khi x   bằng: B.  . A.  . C. 1 . D. 3. Lời giải Đáp án A. Ta có 1  1  1  x 2  x  4 x 2  1  x 2 1    x 2  4  2   x 1   x x  x  x  4 1 x2  1 1   x  1   4  2  x x    1 1  Mà lim x   và lim  1   4  2   1  2  1  0 . x  x  x x   Vậy lim x     1 1  x 2  x  4 x 2  1  lim  x  1   4  2     . x  x x      Lưu ý Khi giải toán trắc nghiệm có thể sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  10 10 quả như hình. Vậy chọn đáp án A. 2017 bằng: x  3 x 3  5 x 5 Ví dụ 6. lim A. 2017 . 3 C.  . B.  . Lời giải Đáp án D. Vì lim  3x3  5 x5    nên theo quy tắc 2, lim x  Lưu ý: x  2017 0. 3x3  5 x5 D. 0. ta được kết Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN 1. Khi làm bài trắc nghiệm sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  1010 ta được kết quả như hình. Đó là một kết quả rất gần 0. Do đó chọn đáp án D. 2. Khi hàm số không xác định tại x0 thì ta áp dụng các quy tắc về giới hạn vô cực. Đó là các quy tắc áp dụng cho các dạng L. ; - Dạng L L ; ( L khác 0) với cách xác định dấu của giới hạn.  0 L : giới hạn là 0.  - Dạng L. và L : Giới hạn là vô cực. 0 Ví dụ 7. Giới hạn bên phải của hàm số f  x   A.  . 3x  7 khi x  2 là x2 B.  . C. 3. D. 7 . 2 Lời giải Đáp án B. Hàm số f  x   3x  7 xác định trên  ;   \ 2 . x2 Ta có lim  x  2   0, x  2  0 với mọi x  2 và lim  3x  7   3.2  7  1  0 . Do đó theo quy tắc x 2 2 thì lim x2 x2 3x  7   . x2 Lưu ý có thể dự đoán kết quả bằng cách sử dụng MTCT tính giá trị của f  x   3x  7 tại x  2 ta x2 thấy máy báo lỗi Math Error (do f  x  không xác định tại x  2 ). Quay lại tính giá trị của f  x  tại x  2  10 10 (tức 2, 0000000001 ) là một giá trị của x lớn hơn 2 và rất gần 2. Kết quả là một số âm rất nhỏ. Do đó chọn đáp án B. Ví dụ 8. Giới hạn lim x 4 A. 0. 1 x  x  4 2 bằng: B. 3 . C.  . D.  . Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN Lời giải Đáp án C. Ta có lim 1  x   3  0, lim  x  4   0 và 2 x 4 lim x 4 1 x  x  4 2 x 4  x  4 2  0 với mọi x  4 nên theo quy tắc 2,   . Vậy chọn đáp án C. Lưu ý có thể dự đoán kết quả bằng cách sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  4  108 hoặc tại x  4  108 ra được các kết quả như hình Vậy chọn đáp án C. 5 x  2 khi x  1 Ví dụ 9. Cho hàm số f  x    2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng ?  x  3 khi x  1 f  x  7 . A. lim x 1 f  x   2 . B. lim x 1 C. lim f  x   7 . D. lim f  x   7 . x 1 x 1 Lời giải Đáp án D. Ta có lim f  x   lim  5 x  2   5.1  2  7 x 1 x 1 lim f  x   lim  x 2  3  12  3  2 . x 1 x 1 f  x  không tồn tại. Vì lim f  x   lim f  x  nên lim x 1 x 1 x 1 Các đáp án A, B, C đều sai. Vậy chọn đáp án D. Lưu ý lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L . x  x0 x  x0 x  x0  x 2  5 khi x  3  Ví dụ 10. Cho hàm số f  x    x 2  5 khi x  3   x2 1  2 . Trong biểu thức (2) ở trên, cần thay số 5 bằng số nào để hàm số f  x  có giới hạn khi x  3 ? A. 19. B. 1. C. 1 . D. Không có số nào thỏa mãn. Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN Lời giải Đáp án C. Hàm số đã cho các định trên \ 2 . 2 2 Ta có lim f  x   lim x  5  3  5  2 . x 3 x 3 x2  m Đặt f  x   khi x  3 ( m là tham số, m  0 ). x2 Ta có lim f  x   lim  x 3 x 3 x 2  m 32  m 9  m   . x2 3 2 5 Để hàm số f  x  có giới hạn khi x  3 thì lim f  x   lim f  x   x 3 x 3 9m  2  m  1 . 5 Ví dụ 11. Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình dưới đây: Quan sát đồ thị và cho biết trong các giới hạn sau, giới hạn nào là  ? f  x . A. xlim  C. lim  f  x  . f  x . B. xlim  D. lim f  x  . x  3 x 3 Lời giải Đáp án C.  Khi x  3 , đồ thị hàm số là một đường cong đi lên từ phải qua trái. Do đó lim  f  x    . x  3 f  x   lim f  x   0 ; lim f  x    . Tương tự như vậy ta có xlim  x  x 3 Do đó chọn đáp án C. DẠNG 2 TÌM GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 0 0 STUDY TIP Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN  Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp các định lí về giới hạn hữu hạn hay các quy tắc về giới hạn vô cực đã biết thì ta gọi đó là các dạng vô định.  Kí hiệu các dạng vô định gồm: 0  , , 0. và    . Để tính giới hạn dạng vô định ta phải biến đổi 0  biểu thức của hàm số về dạng áp dụng được các định lí và quy tắc đã biết. Làm như vậy gọi là “khử dạng vô định”. 1. Bài toán: Tính lim x  x0 f  x khi lim f  x   lim g  x   0 , trong đó f  x  và g  x  là các đa thức hoặc căn x  x0 x  x0 g  x thức. Phương pháp giải (tự luận)  Phân tích tử và mậu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể, vì lim f  x   lim g  x   0 nên x  x0 x  x0 f  x  và g  x  cùng có nghiệm x  x0 . Do đó ta phân tích được f  x    x  x0  A  x  và g  x    x  x0  B  x  . Khi đó ta có: lim x  x0 là đi tính lim x  x0 f  x  x  x0  A  x   lim A  x   lim và công việc còn lại g  x  x x0  x  x0  B  x  x x0 B  x  A x . B  x  Nếu f  x  và g  x  có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước. STUDY TIP Phân tích đa thức thành nhân tử:  Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.  Khi đã biết f  x  có nghiệm x  x0 , ta sử dụng lược đồ Hooc-ne hoặc chia f  x  cho x  x0 được thương A  x  . Khi đó f  x    x  x0  A  x  .  Áp dụng kết quả: nếu phương trình ax 2  bx  c  0 có hai nghiệm x1 , x2 thì ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2  . Tổng quát: nếu phương trình ak x k  ak 1 x k 1  ...  a1 x1  a0  0 có các nghiệm thực x1 , x2 ,..., xm thì ak x k  ak 1 x k 1  ...  a1 x1  a0  ak  x  x1  ...  x  xm  A  x  , trong đó A  x  là đa thức bậc k  m . Tuy nhiên, trong thực tế, ta dùng kết quả này khi có đủ k nghiệm thực, tức m  k . Trường hợp ngược lại nên dùng lược đồ Hooc-ne. (với phương trình bậc hai, bậc ba có thể dùng MTCT để tìm nghiệm) Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN x2  4 Ví dụ 12. Tính lim 2 . x 2 x  3x  2 A. 1. C. 2 . B. 4. D. 4 . Phân tích: Vì lim  x 2  4   lim  x 2  3x  2   0 nên đây là giới hạn vô định dạng x 2 x 2 0 . Ta thấy 0 x 2  4 và x 2  3x  2 đều triệt tiêu tại x  2 nên x  2 là nghiệm của x 2  4 và x 2  3x  2 . Từ đó ta có cách giải như sau. Lời giải  x  2  x  2  lim x  2  2  2  4 x2  4  lim Ta có lim 2 . x 2 x  3 x  2 x 2  x  2  x  1 x 2 x  1 2 1 Lưu ý có thể dự đoán kết quả bằng cách sử dụng MTCT tính giá trị hàm số f  x   x2  4 tại x 2  3x  2 x  2 ta thấy máy báo lỗi Math Error (do hàm số không xác định tại x  2 ). Quay lại tính giá trị hàm số tại 2, 0000000001 ta được kết quả như sau: Lại quay lại tính giá trị hàm số tại 1,9999999999 ta được kết quả như sau: Vậy chọn đáp án B. Ví dụ 13. Tính giới hạn lim x 1 xm  xn  m, n  * , ta được kết quả: x 1 B. m  n . A.  . C. m . D. 1 . Lời giải Ta có lim x 1  xm 1 xn 1  xm  xn  lim   . x 1 x 1  x 1 x 1   x  1  x xm 1 Lại có lim  lim x 1 x  1 x 1 Tương tự: lim x 1 Vậy lim x 1 m 1  x m2  ...  x  1 x 1  lim  x m1  x m2  ...  x  1  m . x 1 xn 1 n. x 1  xm 1 xn 1  xm  xn xm 1 xn 1  lim    lim  lim  mn.  x 1 x 1  x  1 x  1  x 1 x  1 x 1 x  1 Lưu ý có thể sử dụng MTCT để dự đoán kết quả như sau: Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN cho m và n các giá trị cụ thể, chẳng hạn m  3 và m  7 . Sử dụng MTCT tính lim x 1 x3  x 7 ta x 1 x3  x 7 được kết quả lim  4 . Vậy đáp án đúng là B. x 1 x  1 STUDY TIP  x m  1   x  1  x m 1  x m  2  ...  x  1  lim xm 1 m x 1  lim xn 1 n x 1 x 1 x 1 Ví dụ 14. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. lim x3 2 0. x  3x  2 B. lim x3 2   . x  3x  2 C. lim x3 2   . x  3x  2 D. lim x3 2 không tồn tại. x  3x  2 3 x 1 x 1 3 x 1 Phân tích: Vì lim x 1   3 x  3  2  0 và lim  x3  3x  2   0 nên đây là dạng vô định ta chưa thể phân tích ngay x  3  2 là hợp của x 1 3 x 1 x  3  2 thành nhân tử mà phải nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên x3 2 . Lời giải Ta có   x3 2  3 x  3x  2    x  3  2 x  3  2   x  3x  2  x3 2 3 x 1  x  3  2  x  1  x  2  Mà lim x 1  Do đó lim x 1 Suy ra lim x 1 2    1 x  3  2  x  1 x  2     1 x  3  2  x  1 x  2    ; lim 1 x  3  2  x  1 x  2  x 1   . 1 x  3  2  x  1 x  2    . không tồn tại. x3 2 không tồn tại. Vậy chọn đáp án D. x  3x  2 3 Lưu ý Có thể dự đoán kết quả bằng cách sử dụng MTCT như sau: Tính giá trị biểu thức 0 . Tuy nhiên 0 x3 2 tại x  1 ta thấy máy báo lỗi Math Error. x  3x  2 3 Quay lại tính giá trị biểu thức tại x  1, 000001 và tại x  0,999999 ta được kết quả: Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN Hai kết quả trên là một số dương rất lớn, một số âm rất nhỏ. Do đó có thể kết luận lim x 1 x3 2 x  3x  2 3 không tồn tại. Nhận xét: - Nếu chỉ tính giá trị biểu thức tại một điểm thì rất dễ chọn đáp án sai. 0 L về dạng xác định . 0 0 - Ở đây ta đã chuyển dạng vô định - Dùng MTCT tìm nghiệm của phương trình x3  3x  2  0 ta được x1  1, x2  2 . Như vậy phải có một nghiệm là nghiệm kép do là phương trình bậc ba. Trong trường hợp này, theo Tip trên đã 3 nêu, ta nên dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức x  3x  2 thành nhân tử. Ví dụ 15. Giới hạn lim 2 x  1  3 3x  2 bằng: x 1 A. 1 . B. 0 . x 1 Phân tích: lim x 1  C.  .  D. 2 x  1  3 3x  2  0 và lim  x  1  0 nên đây là dạng vô định x 1 1 . 2 0 . Ta chưa thể 0 phân tích f  x   2 x  1  3 3 x  2 thành nhân tử. Mà f  x  lại là hiệu của hai căn thức không cùng bậc. Ta để ý thấy f  x   2 x  1 và   3 3x  2 đều đạt giá trị bằng 1 tại x  1 nên ta biến đổi như sau:  2 x  1  1  1  3 3x  2 rồi tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp. Lời giải Chọn B Ta có    2 x  1  3 3x  2 2 x  1  1 1  3 3x  2   x 1 x 1 x 1 2x  2  2 x  1  1  x  1  1  3  3x 3 3 x  2  3  3 x  22    x 1 2 3  . 2 x  1  1 1  3 3x  2  3  3x  22    2 3   0. lim  Tac có: x 1  2 x  1  1 2  3 3 1  3x  2   3x  2    Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN 2 x  1  3 3x  2 0. x 1 Do đó lim x 1 Lưu ý Có thể dự đoán kết quả bằng cách sử dụng MTCT như sau: 2 x  1  3 3x  2 tại x  1 ta thấy máy báo lỗi Math Error. Quay lại tính giá x 1 Tính giá trị biểu thức trị biểu thức tại x  0,99999999 và tại x  1, 00000001 ta được kết quả: Do đó chọn đáp án B tức là lim x 1 2 x  1  3 3x  2 0. x 1 STUDY TIP Cho f  x   A x  3 B  x (chứa hai căn khác bậc) trong đó A  x0   B  x0   m thì ta biến đổi x  x0 A x  m  m  3 B  x như sau: f  x   x  x0 3 Ví dụ 16. Tính giới hạn lim . 6x  5  4x  3 x 1  x  1 2 . C.  . B. 2 . A. 0 . D.  . Lời giải Chọn B Đặt t  x  1 thì x  t  1, lim t  0 và x 1 3 6x  5  4x  3  x  1  2 3 6t  1   2t  1  2t  1  4t  1 6t  1  4t  1    t2 t2 t2 3 6t  1   8t 3  12t 2  6t  1 2 2 t 2  3  6t  1   2t  1 . 3 6t  1   2t  1    8t  12  3  6t  1 3 Vậy lim x 1 Mà lim t 0 3 2   2t  1 . 3 6t  1   2t  1 6x  5  4x  3  x  1 2 2   4t   6t  1  4t  1   4t  1  t 2 2t  1  4t  1  4 . 2t  1  4t  1   8t  12 4 .  lim   2 2 t 0  3 3 2t  1  4t  1    6t  1   2t  1 . 6t  1   2t  1  8t  12 2 2   2t  1 . 3 6t  1   2t  1 2  12 4 4  4 ; lim   2. t  0 3 2t  1  4t  1 2 Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin 3 Vậy lim 6x  5  4 x  3  x  1 x 1 2 Chương 4. GIỚI HẠN  4  2  2 . 3 Lưu ý 1 Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức 6x  5  4 x  3  x  1 2 tại x  0,9999999 và tại x  1,0000001 ta đều được kết quả: Do đó chọn đáp án B. + Nếu ta tính giá trị biểu thức tại x  0,999999999 hoặc tại x  1,000000001 thì ta được kết quả: Do vượt quá giới hạn tính toán của máy. Do đó nếu không thử lại với các giá trị lớn hơn thì có thể ta sẽ chọn đáp án A. Đây là đáp án Sai Lưu ý 2 ở bài này có nhiều vấn đề cần phân tích thêm. Nếu làm như ví dụ 15 thì ta sẽ biến đổi 3 6x  5  4 x  3  x  1   2   6 1 4x  3  4   x  1 3  6 x  5  2 3  6x  5 1 1  4x  3  rồi nhân liên hợp để thu được 2 2  x  1  x  1 3 6 x  5  2  3 6 x  5 1  3 6x  5  4 x  3  x  1 2   3 6x  5 1 1 4 x  3  - Ta thấy giới hạn mới thu được vẫn còn là dạng vô định 0 nên vẫn tiếp tục phải khử dạng vô định. 0 Mà việc khử này sẽ rất phức tạp do biểu thức mới thu được khá cồng kềnh. Để giải quyết khó khăn đó ta thấy trong lời giải trình bày ở trên, ta tiến hành đổi biến để cho mẫu gọn lại và không thêm bớt 1 trên tử thức mà thêm bớt nhị thức 2t  1 . Vậy cơ sở nào để tìm ra nhị thức đó? Ta mong muốn sau khi thêm bớt tử thức với một lượng A  t  nào đó rồi tách ra thành hai phân thức 2 2 để nhân liên hợp thì trên tử thức xuất hiện nhân tử t để giản ước với t dưới mẫu 3 6t  1  4t  1 3 6t  1  A  t  A  t   4t  1   . t2 t2 t2 2 2 2 2 Vậy ta phải có A  t    4t  1  kt  A  t   kt  4t  1  k  4 2 và A  t    2t  1  A t   2t  1 . 2 - Ở nhiều bài toán giới hạn, ta thấy việc sử dụng MTCT là nhanh hơn giải thông thường. Tuy nhiên các bạn nên nắm vững phương pháp giải thông thường (theo hình thức tự luận), vì nhiều bài tập Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN không chỉ đơn thuần là tính giới hạn mà người ra đề có thể hỏi bằng nhiều hình thức khác nhau, đặc biệt có nhiều cách ra đề hạn chế việc sử dụng MTCT để tìm ra đáp án. STUDY TIP Trong nhiều bài toán, không nên chỉ tính giá trị hàm số tại một điểm mà nên tính lại một số điểm từ lớn đến nhỏ và từ cả hai phía trái, phải của x0 . x2   a  2 x  a  1 Ví dụ 17. Giới hạn của hàm số f  x   khi x  1 bằng x3  1 A.  a . 3 B. a . 3 C. a  2 . 3 D. 2a . 3 Lời giải Chọn A lim x 1 x2   a  2 x  a  1  x  1 x  a  1  lim x  a  1   a  lim 3 x 1 x  1 x 2  x  1 x 1    x1 x 2  x  1 3 Lưu ý (Đặc biệt hóa để sử dụng MTCT) Cho a một giá trị bất kì, chẳng hạn a  1 , thì f  x  x 2  3x  2 x 2  3x  2 1 a lim   . . Dùng MTCT ta tìm được 3 3 x 1 x 1 3 3 x 1 Vậy chọn đáp án A. 2 Giải thích: phương trình x   a  2 x  a  1  0 có tổng các hệ số bằng 0 nên ta có một nghiệm 2 bằng 1 , nghiệm còn lại bằng a  1 . Do đó ta phân tích được x   a  2  x  a  1   x  1 x  a  1 . STUDY TIP  Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nghiệm bằng 1 .  Nếu đa thức có tổng các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của lũy thừa bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm bằng 1 . Ví dụ 18. Giả sử lim x 0 A. 6 . 1  ax  1  L . Hệ số a bằng bao nhiêu để L  3 ? 2x C. 12 . B. 6 . D. 12 . Lời giải Chọn D Ta có lim x 0 Vậy L  1  ax  1  lim x 0 2x 2x  ax  1  ax  1  lim x 0 2  a  1  ax  1  a a . Do đó L  3   3  a  12 . Đáp án đúng là D. 4 4 a 4 Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Lưu ý sử dụng MTCT tìm lim x 0 a  12 thì lim x 0 Chương 4. GIỚI HẠN 1  ax  1 lần lượt với a bằng 6 , 6 , 12 , 12 . Ta thấy với 2x 1  ax  1 bằng 3 . Vậy chọn đáp án D. 2x Dạng 3 : Dạng vô định   x3  3x  1 x  5  2x Ví dụ 19 Tính lim Lời giải x3  3x  1 Cách 1: Ta có lim  lim x  x  5  2x 1 x . Mà lim ( x 2  3  1 )   ; lim ( 5  2)  2  0 x  x  x 5 x 2 x x2  3  x3  3x  1  lim nên theo qui tắc 2, lim x  x  5  2x x  3x  1  lim x  5  2x 3 Cách 2 : Ta có lim x  x2  3  5 2 x 1 x   3 1  x 2 x3 . Mà lim (1  3  1 )  1; lim ( 5  2 )  0 và x  x  x 3 5 2 x 2 x3 x2  2 3 x x 1 3 1 1 2  3 5 2 x3  3x  1 x x    2  0  x  0 nên theo qui tắc 2, lim  lim 3 x  x  5 2 x x 5  2x  x3 x 2 Ví dụ 20. Biết lim x x  2x 1 a  trong đó a, b là các số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất 2 3x  x  2 b 3 của tích ab bằng : A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 Lời giải Đáp án C Ta có : lim x x  Vậy 2x 1 2 x3  x 2 6  lim  3 2 3 2 3x  x  2 x 3x  x  2 3 a 6  . Suy ra được tích của ab là 18. b 3 Chú ý : Nếu sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  1010 thì ta thu được kết quả như hình bên dưới. Do đó, nếu không có kiến thức về giới hạn hàm số, rất khó tìm ra được đáp án đúng nếu chỉ dùng MTCT. Ngược lại nếu có kiến thức vững vàng, bạn sẽ nhanh chóng tìm ra đáp án, thậm chí là trong chớp mắt ! Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Dạng 4 Giới hạn có dạng Chương 4. GIỚI HẠN 0. Bài toán : Tính giới hạn lim [u ( x)v( x)] khi lim [u ( x)]  0 và lim [v( x)]   x  x0 x  x0 x  x0 Phương pháp : Ta có thể biến đổi lim [u(x)v( x)]  lim x  x0 lim [u(x)v( x)]  lim x  x0 x  x0 x  x0 0 u ( x) để đưa về dạng hoặc 1 0 v( x)  u ( x) để đưa về dạng . 1  v( x) Tuy nhiên, trong nhiều bài tập, ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong/ ra ngoài dấu căn, quy đồng mẫu thức …. là đưa được về dạng quen thuộc. Ví dụ 21. Giới hạn lim x 0 1 1 (  1) bằng : x x 1 A. 0 B. -1 Phân tích : Ta có lim x 0 C. 1 D.  1 1  ; lim (  1)  0 nên chưa có thể áp dụng các định lí, qui tắc để tính x 0 x  1 x giới hạn. Lời giải Đáp án B 1 1 1  ( x  1) x 1  1)  lim  lim  lim  1 Ta có lim ( x 0 x x  1 x 0 x( x  1) x0 x( x  1) x0 x  1 Lưu ý Có thể sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 0, 00000001 ta được kết quả như hình bên dưới. Từ đó chọn đáp án B, tức lim x 0 Ví dụ 22. Giới hạn lim ( x  2) x 2 x bằng : x 4 2 A.  B.  Phân tích : Vì lim ( x  2)  0; lim x 2 tính giới hạn. 1 1 (  1)  1 x x 1 x 2 C. 0 D. 1 x   nên chưa có thể áp dụng các định lý và qui tắc để x 4 2 Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN Lời giải Đáp án C Với mọi x  2 ta có : ( x  2) Do đó lim ( x  2) x 2 x ( x  2)2 x ( x  2) x   2 2 x 4 x 4 x2 x ( x  2) x  lim  0 . Vậy chọn đáp án C x  4 x 2 x2 2 Lưu ý : Có thể Sử dụng MTCT để dự đoán đáp án Ví dụ 23. Giới hạn lim ( x  1) x   A. 2 2 2x 1 bằng: 5 x3  x  2  B. 10 5  C. 5 5 Phân tích: Ví dụ tương tự đã được nghiên cứu trong phần dạng vô định D.  2   2x 1 ( x  1)  ; lim  0 nên giới hạn này cũng có thể coi như dạng 0. Tuy nhiên vì xlim  x  5 x 3  x  2 Lời giải Đáp án B 2 Với x  1 ta có x  1  0 nên x  1   ( x  1) . Do đó lim ( x  1) x  2x 1 ( x  1) 2 (2 x  1) 10   lim  3 3 x  5x  x  2 5x  x  2 5 Vậy chọn đáp án B 10 Lưu ý Có thể sử dụng MTCT để dự đoán kết quả bằng cách: Tính giá trị hàm số tại x  10 ta được kết quả như hình bên dưới. So sánh các đáp số A, B, C, D ta chọn đáp án đúng là B. STUDY TIP 3 2 2 2 Ta chỉ quan tâm đến lũy thừa bậc cao nhất là x . Hệ số của x trong ( x  1) là 1 do  x  1 2  x 2  2 x  1 . Hệ số của x trong 2x + 1 là 2 nên hệ số của x3 trên tử là 12.2 . Ở đây không 3 nhất thiết phải khai triển tích thành đa thức để tìm hệ số của x . Dạng 5 : Dạng    Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN [u ( x)  v( x)] khi lim u ( x)   và limv( x)   Hoặc tính lim [u ( x)  v( x)] Bài toán : Tính xlim  x0 x  x0 x  x0 x  x0 u ( x)   và limv( x)   khi xlim  x0 x  x0 Phương pháp : Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc qui đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức). Ví dụ 24. Giới hạn xlim  A.   x 2  x  x 2  1 bằng 1 2 B. 1 4 C.  D.  Lời giải Đáp án A x 2  x  ; lim x 2  1   nên bài này thuộc dạng    . Tương tự Phân tích: Ta thấy xlim  x  như giới hạn dãy số, ta nhân chia với biểu thưc liên hợp. Lời giải cụ thể như sau: Ta có: xlim    x 1 x 2  x  x 2  1  lim x  x2  x  x2  1 1  lim x  1 1 x 1 1  1 2 x x  1 2 Lưu ý: Có thể sử dụng MTCT để dự đoán kết quả Ví dụ 25. Giới hạn xlim    9 x 2  x  1  3x bằng 2 A. 3  B. 2 3 1 C. 6  D. 1 6 Lời giải Đáp án D 9 x 2  x  1  ; lim (3x)   nên bài này thuộc dạng vô Phân tích: Ta có xlim  x  định    (mặc dù biểu thức của hàm số lấy giới hạn có hạng tổng). Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp. Lời giải cụ thể như sau: Ta có: lim   lim  9 x 2  x  1  3x  lim x  1 1 x 1 1  9  2 3 x x  x 1 9 x 2  x  1  3x  lim x 1 1 1  x 9   2  3x x x 1 1  . Vậy chọn đáp án 3  3 6 D. Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN Lưu ý: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  1010 ta được kết quả như hình bên dưới, sử dụng kĩ thuật tìm dạng phân số của một số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được 0,1 6   1 . 6 Vậy chọn đáp án D. Ví dụ 26. Giới hạn lim x  A.   4 x 2  3x  3 8 x3  2 x 2  1 bằng: 13 24 B. 7 12 C.  13 24 D.  7 12 Lời giải Chọn B 3 2 3 2 Nhận xét: Vì lim 4 x  3x  ; lim 8 x  2 x  1   nên đấy cũng là dạng vô định   . x  x  Tuy nhiên vì là hiệu của hai căn thức không cùng bậc nên ta chưa thể nhân chia với biểu thức liên hợp luôn được. Ta thấy x  0 thì Với x  0 :  4 x 2  3x  3 8 x3  2 x 2  1  3x 4 x 2  3x  2 x Do đó lim x  4 x2  3 8x3  2 x nên ta thêm bớt 2x rồi nhân chia liên hợp.  2  4  23 8     4 x 2  3x  2 x  2 x  3 8 x3  2 x 2  1  1 x2 2 1 3 2 1  3  8   3  x x x x   4 x 2  3x  3 8 x3  2 x 2  1 2    1   2 2 3 3 2 7   x  lim      . 2  x  2  2 4  4  4 12  4  3  2 4  23 8  2  1  3 8  2  1      x x x3 x x3     Do đó chọn B. 10 Lưu ý Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  10 ta được kết quả như hình bên dưới. Sử dụng kĩ thuật tìm dạng phân số của một số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được 0,58  3  Vậy chọn đáp án B. 7 . 12 Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN Ví dụ 27. Trong các giới hạn sau giới hạn nào là hữu hạn:  4x  4x  3  2x . C. lim  x  1  x  2 x  .  2 x  x  1  3x  . D. lim  x  x  3x  2  . 2 A. lim 2 B. lim x  x  2 2 x  x  Lời giải Đáp án là D. Thật vậy:  4x  4x  3  2x   . 2 x  x  1  ; lim  3x     lim  2 x  x  1  3x   . lim 4 x 2  4 x  3  ; lim  2 x     lim x  x  2 lim x  2 x  2 x  x      1 1 lim x  1  x  2 x 2  lim x 1  2   2    x  x  x x     1 1 do lim x  ; lim 1  2   2   1  2  0. x  x  x x     lim x  x 2  3x  2  lim x  x  2 3 x  lim  . x 2  3x  2  x x 1  3  2  1 2 x x2 3 3x  2 Lưu ý: Có thể sử dụng MTCT để tìm lần lượt các giới hạn. Ví dụ 28. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để giới hạn a b   lim  2  2  là hữu hạn x 2  x  6 x  8 x  5x  6  A. a  4b  0. B. a  3b  0. C. a  2b  0. Lời giải Chọn C Ta có  a b a b  2   x  6 x  8 x  5 x  6  x  2  x  4   x  2  x  3 2 a  x  3  b  x  4  g  x  .  x  2 x  3 x  4   x  2  x  3 x  4  Ta có lim  x  2   0; lim  x  3  1; lim  x  4   2; lim g  x   2b  a. x 2 x 2 x 2 x 2 D. a  b  0. Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN Do đó nếu lim g  x   0  2b  a  0 thì giới hạn cần tìm là vô cực theo quy tắc 2. x2 Từ đó chọn được đáp án đúng là C. (Thật vậy, nếu lim g  x   2b  a  0 thì x 2 a b bx  2b b  2   x  6 x  8 x  5 x  6  x  2  x  3 x  4   x  3 x  4  2 a b b b   Và do đó lim  2  2  lim  .  x 2  x  6 x  8 x  5 x  6  x2  x  3 x  4  2 Lưu ý: Có thể sử dụng MTCT bằng cách Với mỗi đáp án, lấy các giá trị cụ thể của a và b , thay vào hàm số rồi tính giới hạn. Từ đó chọn được đáp án là C. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1. BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁCH SỦ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ, QUY TẮC. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để B  7 với B  lim  x3  3x  m 2  2m  . Câu 1: x 1 A. m  1 hoặc m  3 B. m  1 hoặc m  3 C. 1  m  3  x2  1 khi x  1  . Khi đó lim f  x  bằng: Cho hàm số f  x    1  x x 1   2 x  2 khi x  1 Câu 2: A. 0 D.  C.  B. 2 Trong các hầm số sau, hàm số nào có giới hạn tại điểm x  1? Câu 3: A. f  x   1 x 1 Câu 4: Chọn khẳng định đúng. A. lim cos 1 0 x x 0 B. g  x   1 x 1 C. h  x   B. lim cos 1  1 x C. lim cos x 0 x 0 1 1 x 1 1 x không tồn tại. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng  ? Câu 5: A. lim  5 x3  x 2  x  1 . B. lim  2 x 4  3x  1 . x  x  C. lim  4 x 2  7 x3  2  . D. lim  3x  x5  2  . x  x  x  Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng  ? Câu 6: A. lim D. 1  m  3.   4 x2  4 x  3  2 x . B. lim x    4 x2  4 x  3  2 x . D. t  x   D. 1 x 1 lim cos x 0 1 x Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin C. lim x    Câu 7: A. lim  x  3 Câu 8: A. lim x  4 x2  4 x  3  x .   D. lim x  4 x 2  4 x  3 . x  Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng  ? 6  x2 . 9  3x B. lim  x  1 1  2x . 5  5x C. lim x 2 5  3x3  x  2 . 4 D. lim x 1 2 x3  4  x  1 2 Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là vô cực? 3 5x  x  2  4 x 2 . x2  x  2  3  x . x4  x C. lim  x  1 Câu 9: Chương 4. GIỚI HẠN  x  2 B. lim x 0 x D. xlim  3 8 . 5 . 4 x  x3  2 3 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số f  x   mx  9 x  3x  1 có giới hạn hữu hạn khi x  . A. m  3 B. m  3 DẠNG 2. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG Câu 10: Giới hạn lim C. m  0 D. m  0 C. Bằng 0 D. không tồn tại 0 . 0 3x  6 x 2 x2 B. Bằng 3 A. Bằng 3 Câu 11: Cho a là một số thực khác 0. Kết quả đúng của lim x a 3 A. 3a B. 2a 3 Câu 12: Cho C  lim x 1 x4  a4 bằng: xa C. a3 D. 4a 3 x 2  mx  m  1 , m là tham số thực. Tìm m để C  2. x2 1 A. m  2 B. m  2 C. m  1 D. m  1 x 2  ax  b  6 thì a  b bằng: Câu 13: Cho a và b là các số thực khác 0. Nếu lim x 2 x2 B. 4 A. 2 3 Câu 14: Biết lim x 2 C. 6 D. 8 m 8 x  11  x  7 m  trong đó là phân số tối giản, m và n là các số 2 n x  3x  2 n nguyên dương. Tổng 2m  n bằng: A. 68 B. 69 Câu 15: Biết lim x 3 C. 70 D. 71 6 x  9  3 27 x  54 m m  , trong đó là phân số tối giản, m và n là các số 2 n  x  3  x  3x  18 n nguyên dương. Khi đó 3m  n bằng: Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin A. 55 Chương 4. GIỚI HẠN B. 56 Câu 16: Giới hạn lim x 1 3x  2  3 5 x  4  x  1 D. 58 C. 0 D. 1 bằng: 2 B.  A.  C. 57 Câu 17: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? A. lim x 1 x 1 . x3  1 B. lim  x  2   x2  x  6 . C. xlim 3 x 2  3x D. x2 1 . x 2  3x  2 x lim 2  x  6 2 . x3  2 x 2 x 2 Câu 18: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào không tồn tại? x3  8 . A. lim 2 x 2 x  11x  18 3x 2  x 4 . 2x C. lim x 0  x  3 B. lim x 0 3  27 x D. lim  x  2  . x x2 x  3x  2 2 . Câu 19: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào không hữu hạn? A. lim x 2 2 x 2  x  10 . x3  8 C. lim x 2 x2 x2  5  3 . B. lim x2  4 x  3 . x2  6 x  9 D. lim 1 x  2 . x2  9 x 3 x 3 DẠNG 3: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG  .  Câu 20: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1 ? x2 1 . A. lim x  x  1 x3  x 2  3 . B. lim x  5 x 2  x 3 2x  3 . x  x 2  5 x C. lim 2x2  x 1 . D. lim x  3 x  x 2 Câu 21: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? 2 x 2  x  1 . A. lim x  3 x 3x 2  x  5 . B. lim x  1 2x 1  3x3  x 2 . C. lim x  5  x  2 x 2 3x 2  x 4  1 . D. lim x  2  x  x 2 Tính giới hạn xlim  Câu 22: A. 1 . 2 B. 2 . 3 x 2  2 x  3x 4x2  1  x  2 C.  2 . 3 . D.  1 . 2 Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN Cho a , b , c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , c để Câu 23: ax  b 9 x 2  2 5 . x  cx  1 lim A. a  3b  5. c B. a  3b  5 . c C. B. lim x5  x  11 . 2 x2  x  1 x  3 D. lim x  x6  2 . 3x3  1 B. lim 3 x  x x . x  x  x  2 C. lim x3  2 x 2  1 . 1  2x Tìm giới hạn nhỏ nhất trong các giới hạn hữu hạn sau. Câu 25: A. lim D. lim 2 x  2 x  x2 . 8x2  x  3 2 x 3 A. lim x2  x  2x . 3 4 x B. lim 1  2 x  C. lim x2  x  4x2  1 . 2x  3 D. lim x  . x2  x  5 Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là nhỏ nhất? Câu 26: x  a  3b  5 . c x2  5x  2 . x  1 2 x 2 x4  x 1 . x  x 2  x  2 A. lim x  D. Trong các giới hạn sau , giới hạn nào là  ? Câu 24: C. lim a  3b  5. c x  x  x . x 1 3 3x 4  4 x5  2 . 9 x5  5 x 4  4 DẠNG 4: Giới hạn vô định dạng 0. 1 1 1 Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn lim .    xa x a   x  a 2  Câu 27: A. bằng  1 . a2 Câu 28: B. là  . A. lim  x  1 C. lim  x  2  x 1 . x3  x x  Câu 29: A. lim  x  1 x  D. không tồn tại. Trong các giới hạn sau , giới hạn nào là hữu hạn ? x3 . 2 x4  x2  1 x  C. là  . B. lim  x  1 x  3x . x 1 2 2 D. lim  x  1 x  x . 2x  x 1 4 Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là nhỏ nhất? 2x 1 . x x2 3 B. lim 1  2 x  x  3x  11 . x3  1 Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin 3 C. lim  x  1 x 1 Câu 30: A. Chương 4. GIỚI HẠN x . x 1 D. lim  2  3x  2 x  x 1 . 5x  2 x  1 3  x2 x3  3 Tính giới hạn lim x 2   . x  x x   1 . 2 C.  . B. 0. D.  DẠNG 5: Dạng vô định    Câu 31: A. 1   n  Cho n là một số nguyên dương. Tính giới hạn lim  . n x 1 1  x 1 x   n . 2 Câu 32: B. n 1 . 2 C. n 1 . 2 D. n2 2 3  1  3 khi x  1  . Với giá trị nào của m thì hàm số f  x  Cho hàm số f  x    x  1 x  1  khi x  1 mx  2 có giới hạn tại điểm x  1 A. 2. Câu 33: B. -1. C. 1. D. 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực k sao cho giới hạn lim( x 1 1 k  2 ) là hữu x 1 x 1 hạn. A. k  2 . Câu 34: B. k  2 . C. k  2 . Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1 ? 2 A. lim ( x  2 x  x) . 2 B. lim ( x  2 x  x) . C. lim( x 2  2 x  x) . 2 D. lim ( x  2 x  x) . x  x  x  x  Câu 35: ( x 2  3x  5+ax) = + nếu. Giới hạn xlim  A. a  1 . B. a  1 . Câu 36: D. k  2 . C. a  1 . D. a  1 . 2 Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết lim (ax  x  bx  2)  3 , thì tổng a  b x  bằng A. 2 . Câu 37: B. 6 . C. 7 . D. 5 . 2 Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết lim (ax+b- x  6 x  2)  5 số lớn hơn x  trong hai số a và b là số nào trong các số dưới đây? A. 4 . Câu 38: B. 3 . C. 2 . D. 1 . Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là vô cực? Trường THPT Quốc oai-Tổ Toán Tin Chương 4. GIỚI HẠN 2 2 A. lim ( 2 x  x  2 x  3) . 2 B. lim ( 4 x  x  1  2 x) . 2 C. lim ( 9 x  3x  1  5 x) . 2 2 D. lim ( 3x  1  3x  5 x ) . x  x  Câu 39: x  x  3 2 3 2 Biết lim ( 9 x  2 x  27 x  4 x  5)   x  m m trong đó là phân số tối giản, m và n n n là các số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của m và n . A. 135 . Câu 40: B. 136 . C. 138 . D. 140 . 3 Cho a và b là các số nguyên dương. Biết lim ( 9 x 2 + ax  27 x3  bx 2  5)  x  7 , 27 hỏi a và b thỏa mãn hệ thức nào dưới đây? A. a  2b  33 . B. a  2b  34 . C. a  2b  35 . D. a  2b  36 .