Giải tích 12 Nâng cao Chương III. §1. Nguyên hàm (1)
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
GV NguyÔn V¨n §«ng – Trêng THPT Anh s¬n 2
Ho¹ t ®é ng 1:
T×
m hµm sè F(x) sao cho F’(x)=f(x) nÕu:
2
a/ f(x) =3x ví i x (-;+ )
1
-
b/ f(x) =cos2x ví i x( 2 ; 2 )
Tr ¶ l êi:
3
3
2
a/ F(x) =x v×( x )’ =3x ví i x ( - ; + )
1
b/ F(x) =tanx v×(tanx)’ =cos2x ví i x ( - 2 ; 2 ).
§ Þnh nghÜa:
Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn K
Hµm sè F(x) ®î c gäi lµ nguyªn hµm cña hµm
sè f(x) trªn K nÕu F’(x)=f(x) ví i mäi x K.
VÝdô 1:
2
a/ Hµm sè F(x) =x lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) =2x
2
trªn kho¶ng (- ;+ ) v×F’(x) =(x )’ =2x ví i x (-; + )
1
b/ Hµm sè F(x) =lnx lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) = trªn
x
1
kho¶ng (0 ;+ ) v×F’(x) =(lnx)’ = ví i x (0; + )
x
§ Þnh l Ý1:
NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K th×ví i
mçi h»ng sè C, hµm sè G(x) =F(x) +C còng lµ mét nguyªn
hµm cña hµm sè f(x) trªn K.
Chøng minh
NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K, khi ®ã
ta cã G’(x) =(F(x) +C)’ =F’(x) +C’ =f(x).
Do ®ã G(x) còng lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K.
§ Þnh l Ý2:
NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K th×mäi
nguyªn hµm cña f(x) trªn K ®
Òu cã d¹ng F(x) +C, ví i C lµ
mét h»ng sè.
Chøng minh:
Gi¶ sö G(x) còng lµ mét nguyªn hµm cña hµm
sè f(x) trªn K, tøc lµ G’(x)=f(x), x K. Khi ®
ã
(G(x) - F(x))’ =G’(x) - F’(x) =f(x) - f(x) =0, x
K.
VËy G(x) - F(x) lµ mét hµm sè kh«ng ®
æi trªn K.
Ta cã
G(x) - F(x) =C G(x) =F(x) +C.
Tõ hai ®
Þnh lý trªn ta thÊy :
NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn
K th×F(x)+C,CR lµ tËp hî p tÊt c¶ c¸c nguyªn
hµm cña f(x) trªn KÝhiÖu f(x)dx =F(x) +C
NhËn xÐt:
1/ NÕu hµm sè cã mét nguyªn hµm th× cã v« sè
nguyªn hµm
2/ C¸c nguyªn hµm sai kh¸c nhau mét h»ng
sè
2. TÝnh chÊt cña nguyªn hµm
TC 1:
TC2:
f’(x)dx =f(x) +C
kf(x)dx =k f(x)dx ( k ≠ 0)
TC 3: (f(x) g(x) )dx = f(x)dx
g(x)dx
3. Sù tån t¹i nguyªn hµm
§ Þnh l ý 3.
Mäi hµm sè liªn tôc trªn K ®
Òu cã nguyªn hµm trªn K.
Chó ý.
Tõ ®©y, yªu cÇu t×m nguyªn hµm
cña mét hµm sè ®îc hiÓu lµ t×m
nguyªn hµm trªn tõng kho¶ng x¸c
®Þnh cña nã.
Ho¹ t ®éng 5.
LËp b¶ng theo mÉu d í i ®©y råi dï ng b¶ng ®¹o hµm trang 77 vµ trong SGK § ¹i sè vµ Gi¶I tÝch
11 ®Ó®iÒn hµm sè thÝch hî p vµo cét bªn ph¶i.
f’(x)
0
-1
x
1
x
x
e
x
a lna (a >0, a≠ 1)
Cosx
-sinx
1
cos2x
-1
2
sin x
f(x) +C
f’(x)
0
x-1
1
x
ex
axlna (a >0, a≠ 1)
Cosx
-sinx
1
cos2x
-1
sin2x
f(x) +C
C
x +C
ln x +C
ex +C
ax +C
sinx +C
cosx +C
tanx +C
cotx +C
4. B¶ng nguyªn hµm cña mét sè hµm sè
thêng gÆp
0dx =C
dx =x +C
1 +1
x dx =
x +C (≠ -1)
+1
1
dx =ln x +C
x
x
a
ax dx = +C
lna
x
x
e dx =e +C
cosxdx =sinx +C
sinxdx = - cosx +C
1
dx =tanx +C
cos2x
1
dx =- cotx +C
sin2x
VÝdô 6. TÝnh :
a/
.
.
.
1
2
( 2x +
3
1
2
( 2x +
3
)dx
.
.
.
.
.
.
2
x
2
)dx =2 x dx +
.
-2
x3 dx
2
x
1
3
x +3 x3
2
=3
+C
2 3
3
=3 x +3 x +C
x-1
b/ (3cosx - 3 )dx
1 x
(3cosx - 3 )dx =3 cosxdx - 3 3 dx
x-1
x
1 3
=3sinx - 3 ln3 +C
x-1
3
=3sinx - ln3 +C
Ho¹ t ®é ng 1:
T×
m hµm sè F(x) sao cho F’(x)=f(x) nÕu:
2
a/ f(x) =3x ví i x (-;+ )
1
-
b/ f(x) =cos2x ví i x( 2 ; 2 )
Tr ¶ l êi:
3
3
2
a/ F(x) =x v×( x )’ =3x ví i x ( - ; + )
1
b/ F(x) =tanx v×(tanx)’ =cos2x ví i x ( - 2 ; 2 ).
§ Þnh nghÜa:
Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn K
Hµm sè F(x) ®î c gäi lµ nguyªn hµm cña hµm
sè f(x) trªn K nÕu F’(x)=f(x) ví i mäi x K.
VÝdô 1:
2
a/ Hµm sè F(x) =x lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) =2x
2
trªn kho¶ng (- ;+ ) v×F’(x) =(x )’ =2x ví i x (-; + )
1
b/ Hµm sè F(x) =lnx lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) = trªn
x
1
kho¶ng (0 ;+ ) v×F’(x) =(lnx)’ = ví i x (0; + )
x
§ Þnh l Ý1:
NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K th×ví i
mçi h»ng sè C, hµm sè G(x) =F(x) +C còng lµ mét nguyªn
hµm cña hµm sè f(x) trªn K.
Chøng minh
NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K, khi ®ã
ta cã G’(x) =(F(x) +C)’ =F’(x) +C’ =f(x).
Do ®ã G(x) còng lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K.
§ Þnh l Ý2:
NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K th×mäi
nguyªn hµm cña f(x) trªn K ®
Òu cã d¹ng F(x) +C, ví i C lµ
mét h»ng sè.
Chøng minh:
Gi¶ sö G(x) còng lµ mét nguyªn hµm cña hµm
sè f(x) trªn K, tøc lµ G’(x)=f(x), x K. Khi ®
ã
(G(x) - F(x))’ =G’(x) - F’(x) =f(x) - f(x) =0, x
K.
VËy G(x) - F(x) lµ mét hµm sè kh«ng ®
æi trªn K.
Ta cã
G(x) - F(x) =C G(x) =F(x) +C.
Tõ hai ®
Þnh lý trªn ta thÊy :
NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn
K th×F(x)+C,CR lµ tËp hî p tÊt c¶ c¸c nguyªn
hµm cña f(x) trªn KÝhiÖu f(x)dx =F(x) +C
NhËn xÐt:
1/ NÕu hµm sè cã mét nguyªn hµm th× cã v« sè
nguyªn hµm
2/ C¸c nguyªn hµm sai kh¸c nhau mét h»ng
sè
2. TÝnh chÊt cña nguyªn hµm
TC 1:
TC2:
f’(x)dx =f(x) +C
kf(x)dx =k f(x)dx ( k ≠ 0)
TC 3: (f(x) g(x) )dx = f(x)dx
g(x)dx
3. Sù tån t¹i nguyªn hµm
§ Þnh l ý 3.
Mäi hµm sè liªn tôc trªn K ®
Òu cã nguyªn hµm trªn K.
Chó ý.
Tõ ®©y, yªu cÇu t×m nguyªn hµm
cña mét hµm sè ®îc hiÓu lµ t×m
nguyªn hµm trªn tõng kho¶ng x¸c
®Þnh cña nã.
Ho¹ t ®éng 5.
LËp b¶ng theo mÉu d í i ®©y råi dï ng b¶ng ®¹o hµm trang 77 vµ trong SGK § ¹i sè vµ Gi¶I tÝch
11 ®Ó®iÒn hµm sè thÝch hî p vµo cét bªn ph¶i.
f’(x)
0
-1
x
1
x
x
e
x
a lna (a >0, a≠ 1)
Cosx
-sinx
1
cos2x
-1
2
sin x
f(x) +C
f’(x)
0
x-1
1
x
ex
axlna (a >0, a≠ 1)
Cosx
-sinx
1
cos2x
-1
sin2x
f(x) +C
C
x +C
ln x +C
ex +C
ax +C
sinx +C
cosx +C
tanx +C
cotx +C
4. B¶ng nguyªn hµm cña mét sè hµm sè
thêng gÆp
0dx =C
dx =x +C
1 +1
x dx =
x +C (≠ -1)
+1
1
dx =ln x +C
x
x
a
ax dx = +C
lna
x
x
e dx =e +C
cosxdx =sinx +C
sinxdx = - cosx +C
1
dx =tanx +C
cos2x
1
dx =- cotx +C
sin2x
VÝdô 6. TÝnh :
a/
.
.
.
1
2
( 2x +
3
1
2
( 2x +
3
)dx
.
.
.
.
.
.
2
x
2
)dx =2 x dx +
.
-2
x3 dx
2
x
1
3
x +3 x3
2
=3
+C
2 3
3
=3 x +3 x +C
x-1
b/ (3cosx - 3 )dx
1 x
(3cosx - 3 )dx =3 cosxdx - 3 3 dx
x-1
x
1 3
=3sinx - 3 ln3 +C
x-1
3
=3sinx - ln3 +C