Giá trị lượng giác của 1 góc Toán 10

BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC sin Cho (OA, OM )   . Giả sử M ( x; y) . cos   x  OH sin   y  OK sin  tan    AT cos  cos  cot    BS sin  tang 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác của cung  B K        k   2  O T cotang S M  H cosin A   k  Nhận xét:   ,  1  cos   1;  1  sin   1  tan xác định khi    2  cot xác định khi   k , k  Z  k , k  Z  sin(  k 2 )  sin   tan(  k )  tan  cos(  k 2 )  cos  cot(  k )  cot  2. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cos sin tan cot I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt  0 0 0    6 300 4 3 45 60 0  2 0 900 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 tan 0 3 3 1 3 Không xác định cot Không xác đinh 3 1 3 3 0 4. Công thức lượng giác cơ bản: sin 2  cos2  1 ; tan   1 cos  sin  ; cot   sin  cos  1  tan 2   1 2 cos  ; 1  cot 2   1 sin 2  ; tan .cot  1 5. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt Góc đối nhau Góc bù nhau cos( )  cos  sin(   )  sin  sin( )   sin  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot  Góc hơn kém  Góc phụ nhau   sin      cos  2    cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2  Góc hơn kém  2 sin(   )   sin    sin      cos  2  cos(   )   cos    cos       sin  2  tan(   )  tan    tan       cot  2  cot(   )  cot    cot       tan  2  6. Các dạng toán thường gặp DẠNG 1: Dấu của các giá trị lượng giác Phương pháp: Để xác định dấu của một giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định như sau: - Bước 1: Biểu diễn ngọn cung  lên đường tròn lượng giác. - Bước 2: Xác định xem ngọn cung thuộc phần tư nào của mặt phẳng toạ độ - Bước 3: Dùng định nghĩa giá trị lượng giác xác định dấu của các giá trị lượng giác cần xét dấu. Ví dụ: a) Xét dấu của sin 50 0.cos(3000 ) b) Cho 0 0    900 . Xét dấu của sin(  900 ) Hướng dẫn: a) Ta có:  0 0    500 nên điểm ngọn của cung 500 thuộc phần tư (I). Do đó sin 50 0  0  3000  600  3600 nên điểm ngọn của cung 3000 thuộc phần tư (I). Do đó 2 cos(300 0 )  0 Vậy: sin 500.cos(3000 )  0 b) Ta có: 0 0    90 0  0 0  900    900  90 0  900  900    900  1800 Suy ra điểm ngọn của cung   900 thuộc phần tư (II). Do đó sin(  900 )  0 Bài tâp: Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: b) B = sin 2150.tan a) A = sin 500.cos(3000 ) c) C = cot  2  3 .sin    5  3  d) D = cos 21 7 4  4 9 .sin .tan .cot 5 3 3 5 Bài 2. Cho 0 0    900 . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = sin(  900 ) b) B = cos(  450 ) c) C = cos(2700   ) d) D = cos(2  900 ) Bài 3. Cho 0     . Xét dấu của các biểu thức sau: 2 a) A = cos(   ) b) B = tan(   )   2  3  c) C = sin    d) D = cos       5   8  Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = sin A  sin B  sin C b) B = sin A.sin B.sin C A B C A B C c) C = cos .cos .cos d) D = tan  tan  tan 2 2 2 2 2 2 DẠNG 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Phương pháp: Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sin, tính cos, tan, cot  Từ sin2   cos2   1  cos    1  sin2  . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos   1  sin 2  . – Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos    1  sin 2  . sin  1  Tính tan   ; cot   . cos  tan  2. Cho biết cos, tính sin, tan, cot  Từ sin2   cos2   1  sin    1  cos2  . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin   1  cos2  . – Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin    1  cos2  . sin  1  Tính tan   ; cot   . cos  tan  3. Cho biết tan, tính sin, cos, cot 3  Tính cot    Từ 1 cos2  1 . tan   1  tan2   cos    1 1  tan2  . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos   1 2 . 1  tan  1 – Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos    . 2 1  tan   Tính sin   tan  .cos  . 4. Cho biết cot, tính sin, cos, tan 1  Tính tan   . cot  1 1  Từ .  1  cot 2   sin    2 sin  1  cot 2  – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin   1 . 1  cot 2  1 – Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin    . 1  cot 2  3 Ví dụ 1: Cho cos    và 1800    2700 . Tính sin  ,tan  ,cot  5 4 3    2 . Tính sin  ,cos  Ví dụ 2: Cho tan    và 5 2 Hướng dẫn Ví dụ 1: sin 2   1  cos2   16 25 Vì 1800    2700 nên sin   0  sin    4 5 sin  4  cos  3 cos  3  cot    sin  4  tan   Ví dụ 2: 1  tan 2   1 2 cos  1  cos2   2 1  tan  5 3 Vì    2 nên cos   0  cos   2 41 sin  4 tan    sin   tan  .cos    cos  41  25 41 II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức  Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.  Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết 4 Ví dụ: Cho tan   2 . Tính A  sin 2   2sin  .cos  cos2   3sin 2  Hướng dẫn: Cách 1: Chia tử và mẫu cho cos2  : A  tan2   2 tan  1  3 tan2  Thay tan   2 vào ta được A  0 Cách 2: Vì tan   2  sin   tan  .cos   2 cos  . Thay vào A ta được: A 4 cos2   2.2 cos  .cos  cos2   3.4 cos2  0 III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: A2  B 2  ( A  B )2  2 AB A4  B 4  ( A2  B 2 )2  2 A2 B 2 A3  B3  ( A  B)( A2  AB  B 2 ) A3  B3  ( A  B)( A2  AB  B 2 ) Ví dụ: Cho sin   cos   m . Tính theo m giá trị của b) B  sin 4   cos4  a) A  sin  .cos  Hướng dẫn: a) (sin   cos  )2  m2  1  2sin  cos   m2  A  sin  cos   m2  1 2  b) B  sin 4   cos4   sin2   cos2   2  2sin 2  cos2  2  m 2  1  1  m 4  2m 2  1  2.     2  2   Bài tập Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: a) cos a  4 , 2700  a  3600 5 5  ,  a  13 2 3 e) tan a  3,   a  2 c) sin a  g) cot150  2  3 b) cos   2    0 2 5 1 d) sin    , 1800    270 0 3 f) tan   2, ,  2   h) cot   3,     3 2 Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: a) A  cot a  tan a 3  khi sin a  , 0  a  cot a  tan a 5 2 ĐS: 25 7 b) B  8 tan2 a  3cot a  1 1 khi sin a  , 900  a  1800 tan a  cot a 3 ĐS: 8 3 5 c) C  d) e) g) h) Bài 3. sin 2 a  2sin a.cos a  2 cos2 a 2 2 khi cot a  3 ĐS:  2sin a  3sin a.cos a  4 cos a sin a  5cos a D khi tan a  2 sin3 a  2 cos3 a 8 cos3 a  2sin3 a  cos a E khi tan a  2 2 cos a  sin3 a cot a  3tan a 2 G khi cos a   2 cot a  tan a 3 sin a  cos a H khi tan a  5 cos a  sin a 5 Cho sin a  cos a  . Tính giá trị các biểu thức sau: 4 a) A  sin a.cos a ĐS: 23 47 55 6 ĐS:  3 2 19 13 3 ĐS:  2 ĐS: c) C  sin3 a  cos3 a b) B  sin a  cos a 9 7 41 7 b)  c)  4 128 32 Bài 4. Cho tan a  cot a  3 . Tính giá trị các biểu thức sau: ĐS: a) a) A  tan2 a  cot 2 a b) B  tan a  cot a c) C  tan 4 a  cot 4 a ĐS: a) 11 b)  13 c) 33 13 Bài 5. 3 . Tính A  sin 4 x  3cos4 x . 4 1 b) Cho 3sin 4 x  cos4 x  . Tính B  sin 4 x  3 cos4 x . 2 7 c) Cho 4 sin 4 x  3cos4 x  . Tính C  3sin 4 x  4 cos4 x . 4 a) Cho 3sin 4 x  cos4 x  ĐS: A  7 4 ĐS: B = 1 ĐS: C  7 57 C 4 28 Bài 6. 1 a) Cho sin x  cos x  . Tính sin x, cos x , tan x , cot x . 5 b) Cho tan x  cot x  4 . Tính sin x, cos x , tan x , cot x . ĐS: a) 4 3 4 3 ; ; ; 5 5 3 4 1 b) ; 2 2 3 2 3 ; 2  3; 2  3 2 hoặc 2  3; 2  3; 2 3 1 ; 2 2 2 3 DẠNG 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Phương pháp: - Đưa góc về dạng   k 2 trong đó      - Nếu  thuộc góc phần tư thứ (II) thì ta dùng cung bù - Nếu  thuộc góc phần tư thứ (III) thì ta dùng cung khác  - Nếu  thuộc góc phần tư thứ (IV) thì ta dùng cung đối Ví dụ: Tính các giá trị sau a) M  tan 240 0  cot1500 b) N  cos1200  tan 3000.sin(7800 ) Hướng dẫn: 6 a) Ta có: tan 240 0  tan(180 0  600 )  tan 600  3 cot1500  cot(1800  300 )   cot 300   3 Vậy: M  3  3  0 b) Ta có: cos1200  cos(1800  600 )   cos 60 0   1 2 tan 3000  tan(3600  600 )  tan(600 )   3 sin(7800 )   sin(2.360 0  600 )   sin 60 0   3 2  1 3 1 3 Vậy: N    ( 3).       1   2 2 2  2  Bài tập Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: a) 120 0 ; 1350 ; 1500 ; 210 0 ; 2250 ; 2400 ; 3000 ; 3150 ; 3300 ; 3900 ; 4200 ; 4950 ; 25500 7 13 5 10 5 11 16 13 29 31 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 4 4 3 3 3 3 6 6 4 Rút gọn các biểu thức sau:   A  cos   x   cos(2  x )  cos(3  x ) 2   7   3  B  2 cos x  3 cos(  x )  5sin   x   cot   x  2   2     3    C  2 sin   x   sin(5  x )  sin   x   cos   x  2   2  2   3   3  D  cos(5  x )  sin   x   tan   x   cot(3  x )  2   2  Rút gọn các biểu thức sau: b) 9 ; 11 ; Bài 2. a) b) c) d) Bài 3. a) A  b) B  sin(3280 ).sin 9580 cot 5720 sin(2340 )  cos 2160 0 sin144  cos126 0 cos(5080 ).cos(1022 0 )  ĐS: A = –1 tan(212 0 ) .tan 360 ĐS: B  1 c) C  cos 20 0  cos 400  cos 600  ...  cos160 0  cos1800 ĐS: C  1 d) D  cos2 100  cos2 200  cos2 30 0  ...  cos2 1800 ĐS: D  9 0 0 0 0 e) E  sin 20  sin 40  sin 60  ...  sin 340  sin 360 0 0 0 0 ĐS: E  0 0 f) 2sin(790  x )  cos(1260  x )  tan(630  x ).tan(1260  x ) ĐS: F  1  cos x DẠNG 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác PHƯƠNG PHÁP: - Thông thường ta biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản bằng cách sử dụng các phép biến đổi đại số và các công thức lượng giác. - Ta có thể dùng biến đổi tương đương. - Cần chú ý các hằng đẳng thức : a2  b2  (a  b)2  2ab ; a3  b3  (a  b)3  3ab  a  b  Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: A B C     A  B  C   và 2 2 2 2 7 sin  cos   1 2   cos   1 sin  sin  sin x 1  b) Chứng minh rằng: cot x  1  cos x sin x Ví dụ1 : a) Chứng minh rằng : Hướng dẫn a) VT  sin 2   (cos   1) 2 sin  (cos   1) sin 2   cos 2   2 cos   1 sin  (cos   1) 2(cos   1)  sin  (cos   1) 2   VP sin   b) VT   cos x sin x cos x  cos2 x  sin 2 x   sin x 1  cos x sin x 1  cos x cos x  1 1   VP sin x 1  cos x sin x Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức: A  (1  sin 2  ) cot 2   1  cot 2  Hướng dẫn A = (1  sin 2  ) cot 2   1  cot 2  = cot 2   cot 2  . sin 2   1  cot 2   cos 2  =  sin 2   1 2 sin    cos 2   1  sin 2  Ví dụ 3 : Chứng minh rằng biểu thức sau độc lập với biến x cos3 x  sin 3 x  3  B  sin   x  .sin   x . cos x  sin x  2  Hướng dẫn 2 2 cos3 x  sin 3 x  cos x  sin x  .  cos x  cos x.sin x  sin x    1  cos x.sin x cos x  sin x cos x  sin x sin   x   sin x   3      sin   x   sin     x    sin   x    cos x 2  2    2  B  1  cos x.sin x  sin x.   cos x   1 Vậy biểu thức B độc lập với biến x Ví dụ 4 : Cho A, B, C là ba góc của tam giác. Chứng minh rằng: a) sin B  sin( A  C ) 8 AB C  cos 2 2 c) cos C   cos( A  B  2C ) b) sin Hướng dẫn a) Ta có : A  B  C    sin B  sin( A  C ) (vì A + C và B bù nhau) AB C  AB C AB C    sin  cos (vì và là hai góc phụ nhau) 2 2 2 2 2 2 2 c) Ta có : A  B  C    A  B  2C    C  cos( A  B  2C )   cos C (cung hơn kém  ) b) Ta có : BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin 4 x  cos4 x  1  2 cos2 x b) sin 4 x  cos4 x  1  2 cos2 x.sin2 x c) sin6 x  cos6 x  1  3sin 2 x.cos2 x d) sin8 x  cos8 x  1  4 sin 2 x.cos2 x  2sin 4 x.cos4 x e) cot 2 x  cos2 x  cos2 x.cot 2 x f) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin 2 x g) 1  sin x  cos x  tan x  (1  cos x )(1  tan x ) h) sin2 x.tan x  cos2 x.cot x  2sin x.cos x  tan x  cot x i) k) sin x  cos x  1 2 cos x  1  cos x sin x  cos x  1 1  sin2 x 2 1  sin x  1  tan2 x Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) tan a.tan b  tan a  tan b cot a  cot b sin2 a cos2 a   sin a.cos a 1  cot a 1  tan a 1  cos a  (1  cos a)2  e) 1    2 cot a sin a  sin 2 a  c) 1  sin a cos a 1  cot 2 a   sin a  cos a cos a  sin a 1  cot 2 a sin2 a sin a  cos a d)   sin a  cos a sin a  cos a tan2 a  1 b) f) tan2 a 1  tan2 a . 1  cot 2 a cot 2 a  1  tan 4 a tan2 a  cot 2 a 2  1  sin a 1  sin a  tan2 a  tan2 b sin2 a  sin2 b  g)     4 tan2 a h) 1  sin a   1  sin a tan2 a.tan2 b sin2 a.sin2 b sin 2 a  tan2 a tan3 a 1 cot 3 a i) k)  tan6 a    tan3 a  cot 3 a 2 2 2 2 sin a .cos a cos a  cot a sin a cos a sin8 x cos8 x 1 sin 4 x cos4 a 1   .   , vôùi a, b  0. Chứng minh: 3 3 a b ab a b (a  b)3 Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: Bài 3. Cho a) (1  sin2 x ) cot 2 x  1  cot 2 x c) cos2 x  cos2 x.cot 2 x 2 2 2 sin x  sin x.tan x b) (tan x  cot x )2  (tan x  cot x )2 d) ( x.sin a  y.cos a)2  ( x.cos a  y.sin a)2 9 e) g) sin2 x  tan2 x f) cos2 a  cot 2 x sin2 x  cos2 x  cos4 x cos2 x  sin2 x  sin 4 x 1  cos x 1  cos x  ; x  (0,  ) sin 2 x (1  cot x )  cos2 x(1  tan x ) h) 1  cos x 1  cos x   3     1  sin x 1  sin x  ; x   ;  k) cos x  tan2 x  sin 2 x ; x  ;  2 2  1  sin x 1  sin x  2 2 Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: i) a) 3(sin 4 x  cos4 x )  2(sin6 x  cos6 x ) 8 8 6 ĐS: 1 6 4 b) 3(sin x  cos x )  4(cos x  2 sin x )  6sin x 4 4 2 2 ĐS: 1 c) (sin x  cos x  1)(tan x  cot x  2) ĐS: –2 d) cos2 x.cot 2 x  3 cos2 x  cot 2 x  2sin 2 x ĐS: 2 4 e) 4 sin x  3cos x  1 6 6 sin x  cos x  3 cos x  1 tan 2 x  cos2 x cot 2 x  sin 2 x f)  sin2 x cos2 x sin6 x  cos6 x  1 g) sin 4 x  cos4 x  1 Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) sin B  sin( A  C ) c) sin AB C  cos 2 2 e) cos( A  B  C )   cos 2C g) sin ĐS: 4 A  B  3C  cos C 2 2 3 ĐS: 2 ĐS: b) cos( A  B)   cos C d) cos( B  C )   cos( A  2C ) 3 A  B  C   sin 2 A 2 A  B  2C 3C h) tan  cot 2 2 f) cos 10 3 2