HOÀNG XUÂN NHÀN 

523 

 

ĐỀ SỐ 50 

ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12

 

HƯỚNG ĐẾN KÌ THI 

THPT QUỐC GIA

 

Trắc nghiệm: 50 câu 

Thời gian: 90 phút

 

Nội dung: 

Giải tích: Tích phân 

Hình học: Phương pháp tọa độ trong không gian 

 

Câu 1. 

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số 

(

)

2025

( )

3

1

f x

x

=

+

? 

A. 

( ) (

)

2026

3

1

6 075

x

F x

+

=

. 

 

B. 

( ) (

)

2026

3

1

2026

x

F x

+

=

. 

C. 

( ) (

)

2026

3

1

3

x

F x

+

=

. 

 

D. 

( ) (

)

2026

3

1

6 078

x

F x

+

=

. 

Câu 2. 

Trong không gian với hệ tọa độ 

Oxyz

, đường thẳng 

2

:

1 2

5 3

x

t

d

y

t

z

t

= − +



 = +



 = −



, 

(

)

t 

có vectơ chỉ phương là 

A. 

(

)

1; 2;3

a = − −

. 

B. 

(

)

2; 4; 6

a =

. 

C. 

(

)

1; 2;3

a =

. 

D. 

(

)

2;1;5

a = −

. 

Câu 3. 

Cho các hàm số 

( )

y

f x

=

 liên tục trên 

 

;

a b , 

(

)

,

,

a b

a

b



 . Gọi  S  là diện tích hình phẳng được 

giới hạn bởi các đường 

( )

y

f x

=

, trục hoành 

Ox , 

x

a

=

, 

x

b

= . Phát biểu nào sau đây là đúng? 

A. 

( )

d

b

a

S

f x

x

=



. 

B. 

( )

d

b

a

S

f x

x

=



. 

C. 

( )

d

a

b

S

f x

x

=



. 

D. 

( )

d

b

a

f x

x



. 

Câu 4. 

Đường thẳng 

( )

1

2

:

2

1

1

x

y

z

−

+



=

=

−

 không đi qua điểm nào dưới đây? 

A. 

(

)

1; 2; 0

A −

. 

B. 

(

)

1; 3;1

− −

. 

C. 

(

)

3; 1; 1

− − . 

D. 

(

)

1; 2;0

−

. 

Câu 5. 

Tìm nguyên hàm của hàm số  ( )

sin 6

f x

x

x

= −

 

A. 

( )

2

cos 6

d

2

6

x

x

f x

x

C

=

−

+



. 

B. 

( )

2

sin 6

d

2

6

x

x

f x

x

C

=

−

+



. 

C. 

( )

2

cos 6

d

2

6

x

x

f x

x

C

=

+

+



. 

D. 

( )

2

sin 6

d

2

6

x

x

f x

x

C

=

+

+



. 

Câu 6. 

Trong không gian với hệ trục tọa độ 

Oxyz

 cho các điểm 

(

)

0;1; 2

A

, 

(

)

2; 2;1

B

−

, 

(

)

2; 0;1

C −

. Phương 

trình mặt phẳng đi qua  A  và vuông góc với  BC  là 
A. 

2

1

0

x

y

− − =

. 

B. 

2

3

0

y

z

− +

− =

. 

C. 

2

1

0

x

y

− + =

. 

D. 

2

5

0

y

z

+

− =

. 

Câu 7. 

Tìm nguyên hàm của hàm số 

( )

(

)

1

x

x

f x

e

e

−

=

+

. 

A. 

( )

d

1

x

f x

x

e

C

=

+ +



.  

B. 

( )

d

x

f x

x

e

x C

=

+ +



.  

C. 

( )

d

x

f x

x

e

x C

= − + +



. 

D. 

( )

d

x

f x

x

e

C

=

+



. 

Câu 8. 

Trong không gian 

Oxyz

, cho điểm 

(

)

3; 2; 1

M

− . Hình chiếu vuông góc của điểm  M  lên trục  Oz  là 

điểm: 
A. 

(

)

3

3; 0; 0

M

. 

B. 

(

)

4

0; 2; 0

M

. 

C. 

(

)

1

0; 0; 1

M

− . 

D. 

(

)

2

3; 2; 0

M

. 

HOÀNG XUÂN NHÀN 

524 

 

Câu 9. 

Cho hình phẳng 

( )

H  giới hạn bởi đồ thị hàm số 

1

y

x

=  và các đường thẳng 

0

y =

, 

1

x = , 

4

x = . Thể 

tích 

V  của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng 

( )

H  quay quanh trục  Ox . 

A. 

2 ln 2



. 

B. 

3

4



. 

C. 

3

4

1

− . 

D.  2ln 2. 

Câu 10. 

Biết 

( )

F x  là một nguyên hàm của của hàm số 

( )

sin

f x

x

=

 và đồ thị hàm số 

( )

y

F x

=

 đi qua điểm 

( )

0;1

M

. Tính 

.

2

F



 

 

 

 

A. 

2

2

F



  =

 

 

. 

B. 

1

2

F



  = −

 

 

. 

C. 

0

2

F



  =

 

 

. 

D. 

1

2

F



  =

 

 

. 

Câu 11. 

Trong  không  gian 

Oxyz

, cho  ba điểm 

(

)

2; 0; 0

M

, 

(

)

0;1; 0

N

  và 

(

)

0; 0; 2

P

.  Mặt  phẳng 

(

)

MNP   có 

phương trình là 

A. 

0

2

1

2

x

y

z

+

+ =

−

. 

B. 

1

2

1

2

x

y

z

+

+ = −

−

. 

C. 

1

2

1

2

x

y

z

+ + = . 

D. 

1

2

1

2

x

y

z

+

+ =

−

. 

Câu 12. 

Cho 

( )

4

2

d

10

f x

x =



 và 

( )

4

2

d

5

g x

x =



. Tính 

( )

( )

4

2

3

5

d

I

f x

g x

x

=

−











 

A. 

5

I = . 

B. 

15

I =

. 

C. 

5

I = − . 

D. 

10

I =

. 

Câu 13. 

Bạn  Minh  ngồi  trên  máy  bay  đi  du  lịch  thế  giới  và  vận  tốc  chuyển  động  của  máy  bay  là 

( )

2

3

5 (m/s)

v t

t

=

+

. Tính quãng đường máy bay đi được từ giây thứ  4  đến giây thứ 10 . 

A. 

246 m . 

B. 

252 m . 

C. 

1134 m . 

D. 

966 m . 

Câu 14. 

Mặt cầu 

( )

S

 

có tâm 

(

)

1; 3; 2

I

−

 

và đi qua 

(

)

5; 1; 4

A

−

 

có phương trình: 

A. 

(

) (

) (

)

2

2

2

1

3

24

2

x

y

z

+

+

−

+

−

=

. 

B. 

(

) (

) (

)

2

2

2

1

3

24

2

x

y

z

+

+

+

−

+

=

. 

C. 

(

) (

) (

)

2

2

2

1

3

24

2

x

y

z

+

+

+

−

+

=

. 

D. 

(

) (

) (

)

2

2

2

1

3

24

2

x

y

z

+

+

−

+

−

=

. 

Câu 15. 

Biết 

2

2

1

ln

d

ln 2

x

b

x

a

x

c

= +



 (với 

a

 là số thực, 

b , 

c

 là các số nguyên dương và 

b

c

 là phân số tối giản). 

Tính giá trị của 

2

3

a

b c

+

+ . 

A.  4 . 

B. 

6

− . 

C. 

6 . 

D. 

5 . 

Câu 16. 

Trong không gian với hệ tọa độ 

Oxyz

 cho mặt cầu 

( )

2

2

2

:

2

4

4

25

0

S

x

y

z

x

y

z

+

+ −

+

−

−

= . Tìm tâm 

I  và bán kính  R  của mặt cầu 

( )

S ? 

A. 

(

)

1; 2; 2

I

−

; 

6

R = . 

 

B. 

(

)

1; 2; 2

I −

− ; 

5

R = . 

C. 

(

)

2; 4; 4

I −

− ; 

29

R =

. 

D. 

(

)

1; 2; 2

I

−

; 

34

R =

. 

Câu 17. 

Gọi 

S  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

( )

1

:

1

x

H

y

x

−

=

+

 và các trục tọa độ. Khi đó giá 

trị của 

S  bằng 

A. 

ln 2 1

S =

−  (đvdt).   

B. 

2ln 2 1

S =

−  (đvdt). 

C. 

2ln 2 1

S =

+  (đvdt).   

D. 

ln 2 1

S =

+  (đvdt). 

Câu 18. 

Cho 

3

0

d

ln 2

ln 3

3

4 2

1

x

a

x

b

c

x

= +

+

+

+



 với 

a

,  b , 

c

 là các số nguyên. Giá trị của  a b c

+ +  bằng 

A. 

1

. 

B.  2 . 

C. 

7 . 

D. 

9 . 

Câu 19. 

Họ nguyên hàm của hàm số 

( )

cos 2

f x

x

x

=

 là 

HOÀNG XUÂN NHÀN 

525 

 

A. 

sin 2

cos 2

2

4

x

x

x

C

−

+ .   

B. 

cos 2

sin 2

2

x

x

x

C

−

+ . 

C. 

cos 2

sin 2

2

x

x

x

C

+

+ .   

D. 

sin 2

cos 2

2

4

x

x

x

C

+

+ . 

Câu 20. 

Trong không gian với hệ trục tọa độ 

Oxyz

, điểm thuộc trục 

Oy

 và cách đều hai điểm 

(

)

3; 4;1

A

 và 

(

)

1; 2;1

B

 là 

A. 

(

)

0; 4; 0 .

M

 

B. 

(

)

5; 0; 0

M

.  

C. 

(

)

0;5; 0

M

. 

D. 

(

)

0; 5; 0 .

M

−

 

Câu 21. 

Với cách đổi biến 

1 3ln

u

x

=

+

 thì tích phân 

1

ln

d

1 3ln

e

x

x

x

x

+



 trở thành 

A. 

(

)

2

2

1

2

1 d

3

u

u

−



. 

B. 

(

)

2

2

1

2

1 d

9

u

u

−



. 

C. 

(

)

2

2

1

2

1 d

u

u

−



. 

D. 

2

2

1

2

1

d

9

u

u

u

−



. 

Câu 22. 

Tìm họ nguyên hàm của hàm số 

( )

1

2 2

1

f x

x

=

+

. 

A. 

( )

1

d

2

1

2

f x x

x

C

=

+ +



. 

B. 

( )

d

2

1

f x x

x

C

=

+ +



. 

C. 

( )

d

2 2

1

f x x

x

C

=

+ +



. 

D. 

( )

(

)

1

d

2

1

2

1

f x x

C

x

x

=

+

+

+



. 

Câu 23. 

Trong không gian  Oxyz , khoảng cách từ điểm 

(

)

1; 2;3

A

−

 đến 

( )

:

3

4

9

0

P

x

y

z

+

−

+ =  là 

A. 

26

13

. 

B. 

8

. 

C. 

17

26

. 

D. 

4 26

13

. 

Câu 24. 

Tìm nguyên hàm 

( )

F x  của hàm số 

( )

6

sin 3

f x

x

x

=

+

, biết 

( )

2

0

3

F

= . 

A. 

( )

2

cos 3

2

3

3

3

x

F x

x

=

−

+ . 

B. 

( )

2

cos 3

3

1

3

x

F x

x

=

−

− . 

C. 

( )

2

cos 3

3

1

3

x

F x

x

=

+

+ . 

D. 

( )

2

cos 3

3

1

3

x

F x

x

=

−

+ . 

Câu 25. 

Khi đổi biến 

3 tan

x

t

=

, tích phân 

1

2

0

d

3

x

I

x

=

+



 trở thành tích phân nào? 

A. 

3

0

3d

I

t



=



. 

B. 

6

0

3

d

3

I

t



=



 

C. 

6

0

3 d

I

t t



=



. 

D. 

6

0

1

d

I

t

t



=



. 

Câu 26. 

Tìm họ của nguyên hàm 

( )

tan 2

f x

x

=

. 

A. 

(

)

2

tan 2  d

2 1 tan 2

x x

x

C

=

+

+



. 

B.  tan 2  d

ln cos 2

x x

x

C

= −

+



. 

C. 

(

)

2

1

tan 2  d

1 tan 2

2

x x

x

C

=

+

+



. 

D. 

1

tan 2  d

ln cos 2

2

x x

x

C

= −

+



. 

Câu 27. 

Cho 

(

)

2

2

1

1

d

2

f x

x x

+

=



. Khi đó 

( )

5

2

d

I

f x x

=



 bằng: 

A.  2 . 

B. 

1

. 

C.  1

− . 

D.  4 . 

HOÀNG XUÂN NHÀN 

526 

 

Câu 28. 

Một ô tô đang chạy với tốc độ 

( )

10 m s

 thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm 

dần đều với 

( )

( )

5

10

v t

t

m s

= − +

, trong đó 

t

 là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp 

phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét. 
A. 

8 m

.                            B. 

10 m

.                        C. 

5 m

. 

D. 

20 m

. 

Câu 29. 

Cho điểm 

(

)

2; 0; 0

A

, 

(

)

0; 2; 0

B

, 

(

)

0; 0; 2

C

, 

(

)

2; 2; 2

D

. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 

ABCD  có bán kính 

là 

A. 

3

2

. 

B. 

3

. 

C. 

2

3

. 

D. 

3  

Câu 30. 

Xét 

(

)

5

3

4

4

3 d

I

x

x

x

=

−



. Bằng cách đặt: 

4

4

3

u

x

=

−

 , khẳng định nào sau đây đúng? 

A. 

5

1

d

16

I

u u

=



. 

B. 

5

1

d

12

I

u u

=



. 

C. 

5

d

I

u u

=



. 

D. 

5

1

d

4

I

u u

=



. 

Câu 31. 

Tính tích phân 

π
3

3

0

sin

d

cos

x

I

x

x

=



. 

A. 

5

2

I =

. 

B. 

3

2

I =

. 

C. 

π

9

3

20

I =

+

. 

D. 

9

4

I =

. 

Câu 32. 

Tích phân 

(

)

2

1

2

0

1

d

ln

1

x

I

x

a

b c

x

−

=

=

+

+



, trong đó  a ,  b ,  c  là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức 

a b c

+ + ? 

A. 

3 . 

B. 

0 . 

C. 1. 

D. 

2

. 

Câu 33. 

Nguyên hàm của

( )

1 ln

.ln

x

f x

x

x

+

=

 là  

A. 

1 ln

d

ln ln

.ln

x

x

x

C

x

x

+

=

+



. 

B. 

2

1 ln

d

ln

.ln

.ln

x

x

x

x

C

x

x

+

=

+



. 

C. 

1 ln

d

ln

ln

.ln

x

x

x

x

C

x

x

+

=

+

+



. 

D. 

1 ln

d

ln .ln

.ln

x

x

x

x

C

x

x

+

=

+



. 

Câu 34. 

Cho  tam  giác 

ABC  với 

(

)

2; 3; 2

A

−

, 

(

)

1; 2; 2

B

−

, 

(

)

1; 3;3

C

−

. Gọi  A ,  B ,  C lần lượt là hình chiếu 

vuông góc của  A ,  B ,  C  lên mặt phẳng 

( )

: 2

2

3

0.

x

y

z



− +

− =  Khi đó, diện tích tam giác  A B C

    

bằng 

A. 

1

. 

B. 

3

2

. 

C. 

1

2

. 

D. 

3

2

. 

Câu 35. 

Cho tích phân 

2

3

sin

d

ln 5

ln 2

cos

2

x

x

a

b

x





=

+

+



 với 

,

.

a b 

 Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. 

2

0.

a b

+ =  

B. 

2

0.

a

b

−

=  

C. 

2

0.

a b

− =  

D. 

2

0.

a

b

+

=  

Câu 36. 

Tính tích phân 

π

2

0

cos 2 d

I

x

x x

=



 bằng cách đặt 

2

d

cos 2 d

u

x

v

x x

 =



=



. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. 

π

2

π
0

0

1

sin 2

sin 2 d

2

I

x

x

x

x x

=

−



. 

B. 

π

2

π
0

0

1

sin 2

2

sin 2 d

2

I

x

x

x

x x

=

−



. 

C. 

π

2

π
0

0

1

sin 2

2

sin 2 d

2

I

x

x

x

x x

=

+



. 

D. 

π

2

π
0

0

1

sin 2

sin 2 d

2

I

x

x

x

x x

=

+



. 

HOÀNG XUÂN NHÀN 

527 

 

Câu 37. 

Cho hàm số 

( )

f x  liên tục trên 

 và thỏa mãn 

( )

1

5

d

9

f x

x

−

=



. Tính tích phân 

(

)

2

0

1 3

9 d

f

x

x

−

+











. 

A. 

27 . 

B.  21. 

C. 

15 . 

D. 

75 . 

Câu 38. 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

y

x

=

 và tiếp tuyến với đồ thị tại 

( )

4, 2

M

 và trục 

hoành là  

A. 

8

3

.   

B. 

3

8

. 

C. 

1

3

. 

D. 

2

3

. 

Câu 39. 

Trong không gian với hệ tọa độ 

Oxyz

, cho bốn điểm 

(

)

2; 0; 0

A

,

(

)

0; 4; 0

B

, 

(

)

0; 0; 2

C

−  và 

(

)

2;1;3

D

. 

Tìm độ dài đường cao của tứ diện  ABCD  vẽ từ đỉnh  D ?  

A. 

1

3

. 

B. 

5

9

. 

C.  2 . 

D. 

5

3

. 

Câu 40. 

Tìm 

6

2

d

3

1

x

x

x

+

−



. 

A. 

( )

4

2

ln 3

1

3

F x

x

x

C

=

+

− + . 

B. 

( )

2

4 ln 3

1

F x

x

x

C

=

+

− + . 

C. 

( )

4

ln 3

1

3

F x

x

C

=

− + . 

D. 

( )

(

)

2

4 ln 3

1

F x

x

x

C

=

+

− + . 

Câu 41. 

Cho biết 

7

3

3

2

0

d

1

=

+



x

m

x

n

x

 với 

m

n

 là một phân số tối giản. Tính 

7

m

n

−

. 

A. 

0 . 

B. 

1

. 

C. 

2

. 

D. 

91. 

Câu 42. 

Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ 

  cho  đường  thẳng 

1

1

2

:

2

1

3

x

y

z

d

+

−

−

=

=

  và  mặt  phẳng 

. Viết phương trình đường thẳng 



 đi qua điểm 

, biết 

( )

// P



 và 



 

cắt 

. 

A. 

.   

B. 

. 

C. 

.   

D. 

. 

Câu 43. 

Biết 

(

)

4

2

0

ln

9 d

ln 5

ln 3

x

x

x

a

b

c

+

=

+

+



,  trong  đó 

a

, 

b , 

c

  là  các  số  nguyên.  Giá  trị  của  biểu  thức 

T

a b c

= + +  là  

A. 

10

T =

. 

B. 

9

T = . 

C. 

8

T = . 

D. 

11

T =

. 

Câu 44. 

Trong không gian với hệ trục tọa độ 

Oxyz

, cho ba điểm 

(

)

; 0; 0

A a

, 

(

)

0; ; 0

B

b

, 

(

)

0; 0;

C

c

, trong đó 

0

a  , 

0

b  , 

0

c  . Mặt phẳng 

(

)

ABC  đi qua điểm 

(

)

1; 2;3

I

 sao cho thể tích khối tứ diện 

OABC  đạt 

giá trị nhỏ nhất. Khi đó các số 

a

, 

b , 

c

 thỏa mãn đẳng thức nào sau đây? 

A. 

12

a b c

+ + = . 

B. 

2

6

a

b

c

+ = −

. 

C. 

18

a b c

+ + = . 

D. 

0

a b c

+ − = . 

Câu 45. 

Cho hàm số 

( )

f x  liên tục trên 

 và thỏa mãn 

(

)

( )

16

2

2

1

4

cot .

sin

d

d

2022 2023

f

x

x f

x

x

x

x





=

=





. Tính 

tích phân 

( )

1

1

8

4

d

f

x

x

x



.  

Oxyz

( )

:

1

0

P

x

y

z

− − − =

(

)

1;1;

2

A

−

d

1

1

2

1

1

1

x

y

z

−

−

+

=

=

−

−

1

1

2

2

1

3

x

y

z

−

−

+

=

=

1

1

2

8

3

5

x

y

z

−

−

+

=

=

1

1

2

2

1

1

x

y

z

−

−

+

=

=

HOÀNG XUÂN NHÀN 

528 

 

A. 

1011 2023

I =

. 

B. 

4044 2023

I =

. 

C. 

2022 2023

I =

. 

D. 

5055 2023

I =

. 

Câu 46. 

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz  cho điểm 

(

)

3; 2; 1

A

−

 và đường thẳng  :

1

x

t

d

y

t

z

t

=



 =



 = +



. Viết phương 

trình mặt phẳng 

( )

P

 chứa 

d  sao cho khoảng cách từ  A  đến 

( )

P

 là lớn nhất. 

A.  2

3

3

0

x

y

z

+ − + = . 

B. 

2

1 0

x

y

z

+

− − = . 

C.  3

2

1 0

x

y

z

+

− + = . 

D.  2

3

3

0

x

y

z

− − + = . 

Câu 47. 

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình 
vuông  cạnh  bằng 

10   cm  bằng  cách  khoét  đi  bốn  phần  bằng 

nhau  có  hình  dạng  parabol  như  hình  bên.  Biết 

5

AB = cm, 

4

OH =  cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. 

A. 

2

160

cm

3

. 

 

B. 

2

140

cm

3

. 

 

C. 

2

14

cm

3

. 

 

D. 

2

50 cm

. 

Câu 48. 

Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ  Oxyz   cho  ba  mặt  phẳng: 

( )

:

2

1

0

P

x

y

z

−

+ − =

, 

( )

:

2

8

0

Q

x

y

z

−

+ + =

, 

( )

:

2

4

0

R

x

y

z

−

+ − =

. Một đường thẳng 

d  thay đổi cắt ba mặt phẳng 

( )

P

, 

( )

Q

, 

( )

R

 lần lượt tại  A ,  B ,  C . Tìm giá trị nhỏ nhất của 

2

144

T

AB

AC

=

+

. 

A. 

3

72 3 . 

B. 

96 . 

C. 

108 . 

D. 

3

72 4

. 

Câu 49. 

Cho hai mặt cầu 

( )

1

S , 

( )

2

S

 có cùng bán kính 

R

 thỏa mãn tính chất: tâm của 

( )

1

S  thuộc 

( )

2

S

 và ngược 

lại. Tính thể tích phần chung 

V

 của hai khối cầu tạo bởi 

1

( )

S và 

2

(

)

S . 

A. 

3

11

12

R

V



=

. 

B. 

3

11

24

R

V



=

. 

C. 

3

5

12

R

V



=

. 

D. 

3

13

24

R

V



=

. 

Câu 50. 

Cho hàm số 

( )

f x  thỏa mãn 

( )

0

f

x



 , 

 

1; 2

x

 

 và 

( )

3

2

4

1

7

d

375

f

x

x

x











=



. Biết 

( )

1

1

f

= , 

( )

22

2

15

f

=

, tính 

( )

2

1

d

I

f x

x

=



. 

A. 

71

60

P =

. 

B. 

6

5

P =

. 

C. 

73

60

P =

. 

D. 

37

30

P =

. 

 
 

________________HẾT________________ 

 

 

 

 

 

HOÀNG XUÂN NHÀN 

529 

 

ÑAÙP AÙN 

ÑEÀ SOÁ 50

 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

D 

A 

D 

A 

C 

C 

B 

C 

B 

A 

11 

12 

13 

14 

15 

16 

17 

18 

19 

20 

C 

A 

D 

D 

A 

D 

B 

A 

D 

C 

21 

22 

23 

24 

25 

26 

27 

28 

29 

30 

B 

A 

D 

D 

B 

D 

D 

B 

B 

A 

31 

32 

33 

34 

35 

36 

37 

38 

39 

40 

B 

D 

D 

C 

A 

A 

B 

A 

D 

A 

41 

42 

43 

44 

45 

46 

47 

48 

49 

50 

B 

C 

C 

C 

D 

A 

B 

C 

C 

A 

 

Lôøi giaûi caâu hoûi 

vaän duïng cao

 ñeà soá 50 

Câu 44. 

Trong không gian với hệ trục tọa độ 

Oxyz

, cho ba điểm 

(

)

; 0; 0

A a

, 

(

)

0; ; 0

B

b

, 

(

)

0; 0;

C

c

, trong đó 

0

a  , 

0

b  , 

0

c  . Mặt phẳng 

(

)

ABC  đi qua điểm 

(

)

1; 2;3

I

 sao cho thể tích khối tứ diện 

OABC  đạt 

giá trị nhỏ nhất. Khi đó các số 

a

, 

b , 

c

 thỏa mãn đẳng thức nào sau đây? 

 

A. 

12

a b c

+ + = . 

B. 

2

6

a

b

c

+ = −

. 

C

.

 

18

a b c

+ + = . 

D. 

0

a b c

+ − = . 

Hướng dẫn giải: 

Ta có: 

1

1

.

.

6

6

OABC

V

OA OB OC

abc

=

=

 do 

0

a  , 

0

b  , 

0

c  . 

Phương trình mặt phẳng 

(

)

:

1

x

y

z

ABC

a

b

c

+ + = . Do 

(

)

1

2

3

1

I

ABC

a

b

c





+ + =

. 

Theo 

AM

GM

−

, ta có: 

3

3

3

3

3

1

2

3

6

3 6

1

3

3 6

162

abc

abc

a

b

c

abc

abc

= + + 

=









.  

Suy ra: 

1

27

6

OABC

V

abc

=



 nên 

(

)

Max

27

OABC

V

=

. 

Dấu bằng xảy ra

1

2

3

3,

6,

9

1

2

3

1

a

b

c

a

b

c

a

b

c

 = =





 =

=

=



 + + =



. 

C

⎯⎯⎯

→

Choïn

 

Câu 45. 

Cho hàm số 

( )

f x  liên tục trên 

 và thỏa mãn 

(

)

( )

16

2

2

1

4

cot .

sin

d

d

2022 2023

f

x

x f

x

x

x

x





=

=





. Tính 

tích phân 

( )

1

1

8

4

d

f

x

x

x



.  

 

A.

 

1011 2023

I =

. 

B.

 

4044 2023

I =

. 

C.

 

2022 2023

I =

. 

D

.

 

5055 2023

I =

. 

Hướng dẫn giải: 

HOÀNG XUÂN NHÀN 

530 

 

Xét 

(

)

2

2

1

4

cot .

sin

d

2022 2023

I

x f

x

x





=

=



.  

Đặt 

2

sin

t

x

=

 

d

2sin .cos d

t

x

x x

 =

2

2sin

.cot d

x

x x

=

d

2 .cot d

cot d

2

t

t

x x

x x

t

=



=

.  

Đổi cận: 

1

4

2

1

2

x

t

x

t





 =  =





 =  =



. Khi đó: 

(

)

2

2

1

4

cot .

sin

d

I

x f

x

x





=



( )

1

1

2

1

.

d

2

f t

t

t

=



 

( )

1

1

2

1

d

2

f t

t

t

=



 

( )

1

1

2

1

d

2022 2023

2

f x

t

x

=

=



. Suy ra 

( )

1

1

2

d

4044 2023

f x

t

x

=



. 

Xét 

( )

16

2

1

d

2022 2023

f

x

I

x

x

=

=



. Đặt 

2

t

x

t

x

=

 =

2 d

d

t t

x



=

. Đổi cận: 

1

1

16

4

x

t

x

t

=  =



 =  =



.  

Khi đó: 

( )

( )

16

4

2

2

1

1

d

2 d

f

x

f t

I

x

t t

x

t

=

=





( )

( )

4

4

1

1

2

d

2

d

2022 2023

f t

f x

t

x

t

x

=

=

=





.  

Suy ra 

( )

4

1

d

1011 2023

f x

x

x

=



. 

Tính 

( )

1

1

8

4

d

f

x

I

x

x

=



. Đặt 

1

4

d

d

4

4

t

t

x

x

x

t

=

 = 

=

. Đổi cận: 

1

1

8

2

1

4

x

t

x

t

 =  =





 =  =



. 

Khi đó: 

( )

( )

( )

( )

( )

4

4

4

1

4

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

. d

d

d

d

d

4

4

f t

f t

f x

f x

f x

I

t

t

x

x

x

t

t

x

x

x

=

=

=

=

+











 

4044 2023 1011 2023

5055 2023

=

+

=

. 

D

⎯⎯⎯

→

Choïn

 

Câu 46. 

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz  cho điểm 

(

)

3; 2; 1

A

−

 và đường thẳng 

:

1

x

t

d

y

t

z

t

=



 =



 = +



. Viết phương 

trình mặt phẳng 

( )

P

 chứa 

d  sao cho khoảng cách từ  A  đến 

( )

P

 là lớn nhất. 

 

A

.

 

2

3

3

0

x

y

z

+ − + = . 

B. 

2

1 0

x

y

z

+

− − = . 

C. 

3

2

1 0

x

y

z

+

− + = . 

D. 

2

3

3

0

x

y

z

− − + = . 

Hướng dẫn giải: 

d  qua 

(

)

0

0; 0;1

M

 có vectơ chỉ phương 

(

)

1;1;1

u =

. 

Gọi 

H

,  K  lần lượt là hình chiếu của  A  lên 

( )

P

 và 

d  (khi đó AK cố định). Ta có: 

( )

(

)

,

d A P

AH

AK

=



. 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  H K

 .