< xmlns="http://www.w3.org/1999/x" lang="" xml:lang=""> /Data/Lib24/public/files//de-45-hinh-hoc-den-pt-mat-phang-436839555957-1627453837

HOÀNG XUÂN NHÀN 

468 

 

  

ĐỀ SỐ 45 

ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12

 

HƯỚNG ĐẾN KÌ THI 

THPT QUỐC GIA

 

Trắc nghiệm: 50 câu 

Thời gian: 90 phút

 

Nội dung: 

Khối đa diện – Khối nón, trụ, cầu – Phương pháp tọa độ Không 

gian (đến PT đường thẳng) 

 

Câu 1.  Trong không gian 

, cho đường thẳng 

. Vectơ nào dưới đây là một vectơ 

chỉ phương của 

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 2.  Hình bát diện đều có số cạnh là 

A. 

6 . 

B. 

8 . 

C. 

12 . 

D. 

10 . 

Câu 3.  Trong không gian  Oxyz  với hệ tọa độ 

(

)

; ; ;

O i j k

 cho 

2

5

OA

i

k

= − +

. Tìm tọa độ điểm 

A. 

(

)

2;5

B. 

(

)

5; 2; 0

C. 

(

)

2; 0;5

D. 

(

)

2;5; 0

Câu 4.  Đường thẳng 

( )

1

2

:

2

1

1

x

y

z

+

=

=

 không đi qua điểm nào dưới đây? 

A. 

(

)

1; 2; 0

. 

B. 

(

)

1; 3;1

− −

C. 

(

)

3; 1; 1

− − . 

D. 

(

)

1; 2; 0

Câu 5.  Cho hình chóp tam giác 

.

S ABC  có đáy  ABC  là tam giác vuông tại  ,  AB

a

= , 

60

ACB =

 , cạnh bên 

SA   vuông  góc  với  mặt  đáy  và  SB   hợp  với  mặt  đáy  một  góc  45 .  Tính  thể  tích    của  khối  chóp 

.

S ABC 

A. 

3

3

18

a

=

B. 

3

2 3

a

=

C. 

3

3

9

a

=

D. 

3

3

6

a

=

Câu 6.  Trong không gian với hệ tọa độ 

(

)

; ; ;

O i j k

, cho hai vectơ 

(

)

2; 1; 4

=

 và 

3

b

i

k

= −

. Tính 

.

a b

. 

A. 

.

11

a b = −

B. 

.

13

a b = −

C. 

.

5

a b =

D. 

.

10

a b = −

Câu 7.  Cho hình chóp tứ giác 

.

S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh 

3

a

(

)

SA

ABCD

 và 

6

SA

a

=

. Thể tích của khối chóp 

.

S ABCD  là. 

A. 

3

6

3

a

B. 

3

6

a

C. 

3

3

a

D. 

3

6

2

a

Câu 8.  Trong không gian với hệ trục tọa độ  Oxyz  cho các điểm 

(

)

1; 2;3

M

(

)

3; 4; 7

N

. Tọa độ của véctơ 

MN

 

 
A.
 

(

)

4; 6;10 . 

B. 

(

)

2;3;5 . 

C. 

(

)

2; 2; 4 . 

D. 

(

)

2; 2; 4

− − − . 

Câu 9.  Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là  60 cm, diện tích đáy  900

cm

2

Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm thân nồi đó? (bỏ qua 
kích thước các mép gấp). 
A. Chiều dài 

60

cm, chiều rộng 

60 cm. 

B. Chiều dài 

900 cm, chiều rộng  60 cm. 

C. Chiều dài 

180 cm, chiều rộng  60 cm. 

D. Chiều dài 

30

cm, chiều rộng 

60 cm. 

Câu 10.  Trong không gian với hệ tọa độ 

Oxyz  cho mặt cầu 

( )

2

2

2

:

2

4

4

25

0

S

x

y

z

x

y

z

+

+

+

= . Tìm tâm 

 và bán kính   của mặt cầu 

( )

A. 

(

)

1; 2; 2

I

6

= . 

 

B. 

(

)

1; 2; 2

− ; 

5

= . 

Oxyz

2

5

2

:

3

4

1

x

y

z

d

+

=

=

d

(

)

2

3; 4; 1

=

(

)

1

2; 5; 2

=

(

)

3

2;5; 2

=

(

)

3

3; 4;1

=

HOÀNG XUÂN NHÀN 

469 

 

C. 

(

)

2; 4; 4

− ; 

29

=

D. 

(

)

1; 2; 2

I

34

=

Câu 11.  Cho mặt phẳng 

( )

: 2

3

4

1 0

x

y

z

+ = . Khi đó, một véctơ pháp tuyến của 

( )

 là 

A. 

(

)

2;3;1

= −

B. 

(

)

2;3; 4

=

− . 

 

C. 

(

)

2; 3; 4

=

D. 

(

)

2;3; 4

= −

Câu 12.  Cho khối lăng trụ 

.

ABC A B C

   có thể tích bằng 

3

9 và 

 là điểm 

nằm trên cạnh 

CC  sao cho 

2

MC

MC

=

. Tính thể tích khối tứ diện 

AB CM

 theo 

A. 

3

2

 

B. 

3

4

 

C. 

3

3.  

 

D. 

3

Câu 13.  Trong không gian với hệ trục tọa độ  Oxyz , điểm thuộc trục  Ox  và cách đều hai điểm 

(

)

4; 2; 1

A

−  và 

(

)

2;1; 0

B

 là 

A. 

(

)

4; 0; 0

B. 

(

)

5; 0; 0

M

C. 

(

)

4; 0; 0

M

D. 

(

)

5; 0; 0

Câu 14.  Cho hình chóp 

.

S ABCD  có đáy  ABCD  là hình bình hành và 

2

2

AB

AC

a

=

=

3

BC

a

=

. Tam giác 

SAD  vuông cân tại  , hai mặt phẳng 

(

)

SAD  và 

(

)

ABCD  vuông góc nhau. Tính tỉ số 

3

V

a

 biết 

 là 

thể tích khối chóp 

.

S ABCD . 

A. 

1

4

B. 

3

2

C. 

2 . 

D. 

1

2

Câu 15.  Trong  không  gian 

Oxyz ,  đường  thẳng  đi  qua  điểm 

(

)

3; 1; 2

A

  và  vuông  góc  với  mặt  phẳng 

( )

:

3

5

0

P

x

y

z

+ −

− =

 có phương trình là 

A. 

1

1

3

:

3

1

2

x

y

z

d

+

=

=

B. 

3

1

2

:

1

1

3

x

y

z

d

+

+

=

=

C. 

3

1

2

:

1

1

3

x

y

z

d

+

=

=

D. 

1

1

3

:

3

1

2

x

y

z

d

+

+

=

=

Câu 16.  Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz  cho 

2

3

a

i

j

k

= +

(

)

2;3; 7

=

− . Tìm tọa độ của 

2

3

x

a

b

=

A. 

(

)

2; 1; 19

=

B. 

(

)

2; 3; 19

= −

C. 

(

)

2;

3; 19

= −

D. 

(

)

2; 1; 19

= −

Câu 17.  Cho hình nón đỉnh 

, đáy là hình tròn tâm  , bán kính, 

3cm

=

, góc ở đỉnh hình nón là 

120

=

. 

Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh 

 tạo thành tam giác đều  SAB , trong đó  ,   thuộc đường 

tròn đáy. Diện tích tam giác  SAB  bằng 
A. 

2

3 3 cm . 

B. 

2

6 3 cm . 

C. 

2

6 cm . 

D. 

2

3 cm . 

Câu 18.  Mặt cầu 

( )

S

 

có tâm 

(

)

1; 3; 2

I

 

và đi qua 

(

)

5; 1; 4

A

 

có phương trình: 

A. 

(

) (

) (

)

2

2

2

1

3

24

2

x

y

z

+

+

+

=

B. 

(

) (

) (

)

2

2

2

1

3

24

2

x

y

z

+

+

+

+

=

C. 

(

) (

) (

)

2

2

2

1

3

24

2

x

y

z

+

+

+

+

=

D. 

(

) (

) (

)

2

2

2

1

3

24

2

x

y

z

+

+

+

=

Câu 19.  Cho hình chóp 

.

S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh bằng  ,  SA  vuông góc với đáy. Biết  SC  

tạo với mặt phẳng 

(

)

ABCD  một góc 

o

45 . Tính Thể tích  của khối cầu ngoại tiếp hình chóp  .

S ABCD  

A. 

3

4 π

3

V

a

=

B. 

3

1 π

3

V

a

=

C. 

3

2 π

3

V

a

=

D. 

3

π

V

a

=

HOÀNG XUÂN NHÀN 

470 

 

Câu 20.  Trong không gian  Oxyz , mặt cầu 

2

2

2

2

4

2

3 0

x

y

z

x

y

z

+

+ +

− =  có bán kính bằng 

A. 

3 3 . 

B. 

9

C. 

3

D. 

3 . 

Câu 21.  Trong không gian với hệ tọa độ 

Oxyz , đường thẳng 

2

:

1 2

5 3

x

t

d

y

t

z

t

= − +

 = +

 = −

(

)

có vectơ chỉ phương là 

A. 

(

)

1; 2;3

= − −

B. 

(

)

2; 4; 6

=

C. 

(

)

1; 2;3

=

D. 

(

)

2;1;5

= −

Câu 22.  Trong  không  gian  với  hệ  toạ  độ 

Oxyz ,  cho  hình  hộp 

.

ABCD A B C D

     có 

(

)

0; 0; 0

A

(

)

3; 0; 0

B

(

)

0; 3; 0

D

(

)

0; 3;

3

D

. Toạ độ trọng tâm tam giác 

A B C

 

 là 

A. 

(

)

1; 1;

2

B. 

(

)

2; 1;

2

C. 

(

)

1; 2;

1

− . 

D. 

(

)

2; 1;

1

Câu 23.  Cho tứ diện đều 

ABCD  cạnh  3. Khoảng cách giữa hai cạnh 

,

AB CD  là 

A. 

3

3

2

a

B. 

3

2

a

C. 

D. 

3

2

2

a

Câu 24.  Trong không gian  Oxyz , khoảng cách từ điểm 

(

)

1; 2;3

A

 đến 

( )

:

3

4

9

0

P

x

y

z

+

+ =  là 

A. 

26

13

B. 

8 . 

C. 

17

26

D. 

4 26

13

Câu 25.  Khối lăng trụ 

.

ABC A B C

   có thể tích bằng  6 . Mặt phẳng 

(

)

A BC

  chia khối lăng trụ thành một khối 

chóp tam giác và một khối chóp tứ giác có thể tích lần lượt là: 
A. 

2  và  4 . 

B. 

3  và  3 . 

C. 

4  và  2 . 

D. 

1

 và 

5 . 

Câu 26.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  đường  thẳng 

1

2

1

:

1

1

2

x

y

z

d

=

=

(

)

2;1; 4

A

.  Gọi 

(

)

; ;

H a b c  là điểm thuộc   sao cho  AH  có độ dài nhỏ nhất. Tính 

3

3

3

T

a

b

c

=

+ + . 

A. 

8

= . 

B. 

62

=

C. 

13

=

D. 

5

=

Câu 27.  Khối cầu bán kính 

2

R

a

=

 có thể tích là: 

A. 

3

32

3

a

B. 

3

a

C. 

3

8

3

a

D. 

2

16 a

Câu 28.  Trong  không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ  Oxyz ,  điểm  nào  sau  đây  không  thuộc  mặt  phẳng 

( )

:

1 0

P

x

y

z

+ + − = . 

A. 

(

)

0; 0;1

K

B. 

(

)

0;1; 0

J

C. 

(

)

1; 0; 0

I

D. 

(

)

0; 0; 0

O

Câu 29.  Trong không gian với hệ trục tọa độ  Oxy , có tất cả bao nhiêu số tự nhiên của tham số 

 để phương 

trình 

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

3

3

7

0

x

y

z

m

y

m

z

m

+

+

+

+

+

+ =  là phương trình của một mặt cầu. 

A. 

2 . 

B. 

3 . 

C. 

4 . 

D. 

5 . 

Câu 30.  Trong không gian với hệ trục tọa độ 

Oxyz  cho 

(

)

1; – 2;1

M

(

)

0; 1; 3

N

. Phương trình đường thẳng qua 

hai điểm  ,   là 

A. 

1

2

1

1

3

2

x

y

z

+

+

=

=

.   

B. 

1

3

2

1

2

1

x

y

z

+

=

=

C. 

1

3

1

3

2

x

y

z

=

=

 

D. 

1

3

1

2

1

x

y

z

=

=

Câu 31.  Trong không gian với hệ tọa độ 

Oxyz , mặt phẳng chứa hai điểm 

(

)

1; 0; 1

A

(

)

1; 2; 2

 và song song 

với trục 

Ox  có phương trình là 

A. 

2

2

0

y

z

+ = . 

B. 

2

3

0

x

z

+

− = . 

C. 

2

1 0

y

z

− + = . 

D. 

0

x

y

z

+ − = . 

HOÀNG XUÂN NHÀN 

471 

 

Câu 32.  Trong không gian tọa độ  Oxyz , cho mặt cầu 

( )

 có đường kính  AB , với 

(

)

6; 2; 5

A

(

)

4; 0; 7

B

Viết phương trình mặt phẳng 

( )

 tiếp xúc với mặt cầu 

( )

 tại  

A. 

( )

: 5

– 6

62 0

+

+

=

P

x

y

z

.  

B. 

( )

: 5

– 6

62 0

+

=

P

x

y

z

.  

C. 

( )

: 5

– 6

62 0

=

P

x

y

z

D. 

( )

: 5

6

62

0

+ +

+

=

P

x

y

z

Câu 33.  Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng 

 và có chiều cao bằng 

3

R

. Diện tích xung quanh và diện 

tích toàn phần của hình trụ lần lượt có giá trị là 

A. 

(

)

2

2

3 1

+

R

 và 

2

2 3

B. 

2

2 3

 và 

(

)

2

2

3 1

+

R

C. 

2

2 3

 và 

2

2

 

D. 

2

2 3

 và 

2

2

2 3

+

R

Câu 34.  Trong không gian với hệ trục tọa độ  Oxyz  cho các điểm 

(

)

0;1; 2

A

(

)

2; 2;1

B

(

)

2; 0;1

. Phương 

trình mặt phẳng đi qua 

 và vuông góc với  BC  là 

A.  2

1 0

x

y

− − = . 

B. 

2

3

0

y

z

− +

− = . 

C.  2

1 0

x

y

− + = . 

D. 

2

5

0

y

z

+

− = . 

Câu 35.  Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  ba  điểm 

(

)

2; 0; 0

M

(

)

0;1; 0

N

  và 

(

)

0; 0; 2

P

.  Mặt  phẳng 

(

)

MNP   có 

phương trình là 

A. 

0

2

1

2

x

y

z

+

+ =

B. 

1

2

1

2

x

y

z

+

+ = −

C. 

1

2

1

2

x

y

z

+ + = . 

D. 

1

2

1

2

x

y

z

+

+ =

Câu 36.  Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho mặt phẳng 

( )

:

2

2

2

0

P

x

y

z

+

− =  và điểm 

(

)

1; 2; 1

− . 

Viết phương trình mặt cầu 

( )

 có tâm   và cắt mặt phẳng 

( )

 theo giao tuyến là đường tròn có bán 

kính bằng 

5 . 

A. 

( ) (

) (

) (

)

2

2

2

:

1

2

1

25.

S

x

y

z

+

+

+ +

=

 

B. 

( ) (

) (

) (

)

2

2

2

:

1

2

1

16.

S

x

y

z

+

+

+ +

=

 

C. 

( ) (

) (

) (

)

2

2

2

:

1

2

1

34.

S

x

y

z

+

+

+ −

=

 

D. 

( ) (

) (

) (

)

2

2

2

:

1

2

1

34.

S

x

y

z

+

+

+ +

=

 

Câu 37.  Một hình nón tròn xoay có độ dài đường cao là 

 và bán kính đường tròn đáy là 

r

. Thể tích khối nón 

tròn xoay được giới hạn bởi hình nón đó là 

A. 

2

1

3

V

r h

=

.  

B. 

2

V

r h

=

C. 

1

3

V

rh

=

D. 

2

3

V

rh

=

Câu 38.  Trong không gian  Oxyz , cho điểm 

(

)

3; 2; 1

M

− . Hình chiếu vuông góc của điểm   lên trục  Oz  là 

điểm: 
A. 

(

)

3

3; 0; 0

M

B. 

(

)

4

0; 2; 0

M

C. 

(

)

1

0; 0; 1

M

− . 

D. 

(

)

2

3; 2; 0

M

Câu 39.  Trong không gian với hệ trục  Oxyz , cho 

(

)

1; 0; 3

A

− , 

(

)

3; 2;1

B

. Mặt phẳng trung trực đoạn 

AB  có 

phương trình là 
A. 

2

1 0

x

y

z

+ +

− = . 

B.  2

1 0

x

y

z

+ − + = . 

C. 

2

1 0

x

y

z

+ +

+ = . 

D.  2

1 0

x

y

z

+ − − = . 

Câu 40.  Cho hình chóp 

.

S ABCD  có đáy là hình vuông cạnh bằng  . Cạnh bên  SA  vuông góc với mặt đáy và 

2

SA

a

=

. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp 

.

S ABCD  theo  

A. 

3

8

2

3

a

B. 

3

a

C. 

3

4

3

a

 . 

D. 

3

a

Câu 41.  Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 

 cạnh bên bằng  . Tính thể tích của khối cầu đi qua các 

đỉnh của lăng trụ. 

A. 

(

)

3

2

2

1

4

3

.

18 3

a

b

+

    

B. 

(

)

3

2

2

4

3

.

18 3

a

b

+

   

C. 

(

)

3

2

2

4

.

18 3

a

b

+

 

 

D. 

(

)

3

2

2

4

3

.

18 2

a

b

+

 

HOÀNG XUÂN NHÀN 

472 

 

Câu 42.  Cho  hình  trụ  có  thiết  diện  qua  trục  là  hình  vuông 

ABCD   cạnh  bằng 

( )

2 3 cm  với  AB  là đường kính của đường tròn đáy tâm  . Gọi   là 

điểm thuộc cung 

AB

  của đường tròn đáy sao cho 

60

ABM =

. Thể  tích 

của khối tứ diện 

ACDM  là:  

A. 

( )

3

3 cm .

=

 

B. 

( )

3

4 cm .

=

 

 

C. 

( )

3

6 cm .

=

 

D. 

( )

3

7 cm .

=

 

Câu 43.  Cho mặt phẳng 

( )

 đi qua các điểm 

(

)

2; 0; 0

(

)

0; 3; 0

B

(

)

0; 0; 3

C

. Mặt phẳng 

( )

 vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?  

A. 

1 0

x

y

z

+ + + = . 

B. 

2

3

0

x

y

z

− − = . 

 

C.  2

2

1 0

x

y

z

+

− − = . 

D.  3

2

2

6

0

x

y

z

+

+ = . 

Câu 44.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ 

  cho  đường  thẳng 

1

1

2

:

2

1

3

x

y

z

d

+

=

=

  và  mặt  phẳng 

. Viết phương trình đường thẳng 

  đi qua điểm 

, biết 

( )

// P

 và 

  

cắt 

A. 

.   

B. 

C. 

.   

D. 

Câu 45.  Trong 

không 

gian 

với 

hệ 

tọa 

độ 

Oxyz  

cho  điểm 

(

)

2;1; 2

A

 

và 

mặt 

cầu 

( )

2

2

2

:

2

2

7

0

S

x

y

z

y

z

+

+

− = . Mặt phẳng 

( )

 đi qua   và cắt 

( )

 theo thiết diện là đường tròn 

( )

 có diện tích nhỏ nhất. Bán kính đường tròn 

( )

 là 

A. 

1

B. 

5 . 

C. 

3 . 

D. 

2 . 

Câu 46.  Ban đầu ta có một tam giác đều cạnh bằng 

3  (hình 

1

). Tiếp đó ta chia mỗi cạnh của tam giác thành 

3  

đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một 
tam giác đều về phía bên ngoài, ta được hình 

2

. Khi quay hình 

2

 xung quanh trục 

 ta được một khối 

tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó. 

 

A. 

5

3

3

B. 

9

3

8

C. 

5

3

6

D. 

5

3

2

Câu 47.  Trong không gian với hệ trục tọa độ  Oxyz , cho điểm 

(

)

1;1;1

M

. Mặt phẳng 

( )

 đi qua   và cắt chiều 

dương của các trục Ox Oy Oz  lần lượt tại các điểm  ,   thỏa mãn 

2

OA

OB

=

. Tính giá trị nhỏ 

nhất của thể tích khối tứ diện  OABC 

Oxyz

( )

:

1

0

P

x

y

z

− − − =

(

)

1;1;

2

A

d

1

1

2

1

1

1

x

y

z

+

=

=

1

1

2

2

1

3

x

y

z

+

=

=

1

1

2

8

3

5

x

y

z

+

=

=

1

1

2

2

1

1

x

y

z

+

=

=

HOÀNG XUÂN NHÀN 

473 

 

A. 

64

27

B. 

10

3

C. 

9

2

D. 

81

16

Câu 48.  Cho hình chóp 

.

S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh bằng  2 , 

2

SA =  và  SA  vuông góc với mặt 

phẳng đáy 

(

)

ABCD . Gọi  ,   là hai điểm thay đổi trên 

hai cạnh 

AB ,  AD  sao cho mặt phẳng 

(

)

SMC  vuông góc 

với  mặt  phẳng 

(

)

SNC .  Biết  rằng  khi  thể  tích  khối  chóp 

.

S AMCN   đạt  giá  trị  nhỏ  nhất  thì  biểu  thức 

2022

2021

P

AM

AN

a b

a

=

=

−   với 

,

a b 

.  Tính 

( )

2

2

log

a b

A. 

3

3 log 2

+

 

B. 

2

2 log 3

+

 

C. 

2

3 log 3

+

 

D. 

2

Câu 49.  Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng 

a

, thể tích 

V

 của khối chóp 

có thể tích nhỏ nhất. 

A. 

3

8

3

=

a

V

.  

B. 

3

10

3

=

a

V

C. 

3

2

=

V

D. 

3

32

3

=

a

V

Câu 50.  Trong không gian tọa độ  Oxyz  cho 

(

)

1; 2; 0

A

(

)

5; 4; 4

B

11 22

16

;

;

3

3

3

C

. Gọi 

( )

1

( )

2

S

( )

3

S

 là 

3  mặt cầu tâm lần lượt là  ,  ,   và có cùng bán kính là 

13

5

. Xác định số tiếp diện chung của ba 

mặt cầu trên. 
A. 

6 . 

B. 

7 . 

C. 

8 . 

D. 

9 . 

 

________________HẾT________________ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HOÀNG XUÂN NHÀN 

474 

 

ÑAÙP AÙN 

ÑEÀ SOÁ 45

 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

16 

17 

18 

19 

20 

21 

22 

23 

24 

25 

26 

27 

28 

29 

30 

31 

32 

33 

34 

35 

36 

37 

38 

39 

40 

41 

42 

43 

44 

45 

46 

47 

48 

49 

50 

 

Lôøi giaûi caâu hoûi 

vaän duïng cao

 ñeà soá 45 

Câu 45.  Trong 

không 

gian 

với 

hệ 

tọa 

độ 

Oxyz  

cho  điểm 

(

)

2;1; 2

A

 

và 

mặt 

cầu 

( )

2

2

2

:

2

2

7

0

S

x

y

z

y

z

+

+

− = . Mặt phẳng 

( )

 đi qua   và cắt 

( )

 theo thiết diện là đường tròn 

( )

 có diện tích nhỏ nhất. Bán kính đường tròn 

( )

 là 

 

A. 

1

B. 

5 . 

C. 

3 . 

D

.

 

2 . 

Hướng dẫn giải: 

Mặt cầu 

( )

 có tâm 

(

)

0;1;1

I

 và bán kính 

3

= . 

Ta có 

(

) (

) (

)

2

2

2

2 0

1 1

2 1

IA =

+ −

+ −

5

3

R

=

 =  nên   nằm 

trong mặt cầu 

( )

Đặt   là khoảng cách từ   đến mặt phẳng 

( )

r

 là bán kính 

đường tròn 

( )

C

. Khi đó: 

2

2

2

r

R

h

=

− . 

Diện tích đường tròn thiết diện là nhỏ nhất khi 

r

 nhỏ nhất, suy ra 

h lớn nhất, mà 

5

h

IA

=

. Do vậy 

max

5

h

=

 ; khi đó 

( )

IA

P

Suy ra 

2

2

min

3

5

2

r

=

= . 

Choïn

D

⎯⎯⎯

 

Câu 46.  Ban đầu ta có một tam giác đều cạnh bằng 

3  (hình 

1

). Tiếp đó ta chia mỗi cạnh của tam giác thành 

3  

đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một 
tam giác đều về phía bên ngoài, ta được hình 

2

. Khi quay hình 

2

 xung quanh trục 

 ta được một khối 

tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó. 

HOÀNG XUÂN NHÀN 

475 

 

 

 

A

.

 

5

3

3

B. 

9

3

8

C. 

5

3

6

D. 

5

3

2

Hướng dẫn giải: 

Ta có thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng 2 lần 
thể tích nửa trên khi cho hình 

SIABK  quay quanh 

trục 

SK . Tam giác  SIH  quay quanh trục  SK  tạo 

thành khối nón có 

1

1

2

r

IH

=

= , 

1

3

2

h

SH

=

=

Thể tích khối nón này bằng 

2

1

1

1

1

1

1

3

3

. .

3

3

4 2

24

V

r h

=

=

=

 . 

Hình thang vuông 

HABK  quay quanh trục  HK  

tạo thành hình nón cụt có 

3

2

R

AH

=

= , 

2

1

r

BK

IH

=

=

= , 

3

2

h

HK

SH

=

=

=

Thể tích khối nón cụt này bằng 

(

)

2

2

2

3 9

3

19

3

.

.

.

1

3

3

2

4

2

24

h

V

R

r

R r

=

+ +

=

+ +

=

Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho: 

(

)

1

2

5 3

2

3

V

V

V

=

+

=

Choïn

A

⎯⎯⎯

 

Câu 47.  Trong không gian với hệ trục tọa độ  Oxyz , cho điểm 

(

)

1;1;1

M

. Mặt phẳng 

( )

 đi qua   và cắt chiều 

dương của các trục Ox Oy Oz  lần lượt tại các điểm  ,   thỏa mãn 

2

OA

OB

=

. Tính giá trị nhỏ 

nhất của thể tích khối tứ diện 

OABC 

 

A. 

64

27

B. 

10

3

C. 

9

2

D

.

 

81

16

Hướng dẫn giải: 

Giả sử 

(

)

; 0; 0

A a

(

)

0; ; 0

B

b

(

)

0; 0;

C

 với  , ,

0

a b c  . Suy ra 

,

,

OA

a OB

b OC

c

=

=

= . 

Khi đó mặt phẳng 

( )

 có dạng 

1

x

y

z

a

b

c

+ + = . Vì 

( )

 đi qua 

(

)

1;1;1

M

 nên 

1

1

1

1

a

b

c

+ + =   (1). 

Mặt khác 

2

OA

OB

=

 nên 

2

a

b

=

  (2).  

Thay  (2) vào (1): 

1

1

1

1

2b

b

c

+ + = 

3

1

1

2b

c

+ = . 

Thể tích khối tứ diện 

OABC  là: 

2

1

1

1

.

.

6

6

3

OABC

V

OA OB OC

abc

b c

=

=

=