ề 48-GT (ĐẾN ỨNG DỤNG TP)-HH (FULL 12).

ĐỀ SỐ 48 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: Giải tích: Đến Ứng dụng tích phân Hình học: Hết chương trình 12 Câu 1. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trị của M + m bằng A. −5 . x2 + x + 3 trên  −2;1 . Giá x−2 9 25 C. − . D. − . 4 4 \ 1 , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến B. − 6 . Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên thiên như hình vẽ: x ∞ y' 1 + 0 + 3 4 y 2 +∞ 1 ∞ 1 Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 3 . B. 1 . C. 0 . D. 2 . Câu 3. Trong không gian Oxyz , hình chiếu của điểm M ( −5; 2;7 ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm H ( a ; b ; c ) . Khi đó giá trị a + 10b + 5c bằng A. 0. B. 35. Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên C. 15. D. 50. và có bảng biến thiên như hình vẽ bên.Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; 2 ) . B. ( 4; +  ) . C. ( 2; 4 ) . Câu 5. 1  xdx D. ( − ; − 1) . bằng 1 1 +C . B. − 2 + C . C. ln x + C . D. ln x + C . 2 x x Câu 6. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P ) qua điểm M ( 2; − 1;3) và nhận véctơ pháp tuyến n (1;1; − 2) , có phương trình là A. 2 x − y + 3z + 5 = 0 . B. x − y − 2z + 5 = 0 . C. x + y − 2z − 5 = 0 . D. x + y − 2z + 5 = 0 . Câu 7. Cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 . Tính bán kính R của mặt cầu ( S ) . A. HOÀNG XUÂN NHÀN 502 A. R = 3 . B. R = 3 . C. R = 9 . D. R = 3 3 . Câu 8. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f ( x) . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −6 . B. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . C. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 . D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −6 . Câu 9. Khối bát diện đều cạnh a có thể tích bằng a3 2 2a 3 2 2a 3 A. . B. . C. a 3 . D. . 3 3 3 Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −2;1;0 ) , B ( 2; −1; 2 ) . Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là 2 A. x 2 + y 2 + ( z − 1) = 24 . B. x 2 + y 2 + ( z − 1) = 6 . C. x 2 + y 2 + ( z − 1) = 24 . D. x 2 + y 2 + ( z − 1) = 6 . 2 2 2 3 Câu 11. Tập xác định D của hàm số y = ( x 2 − x ) 2023 là A. D = ( − ; 0 )  (1; +  ) . B. D = . C. D = (−;0]  [1; +) . D. D = \{0;1} . Câu 12. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) có các véc tơ pháp tuyến là a = ( a1; b1; c1 ) , b = ( a2 ; b2 ; c2 ) . Góc  là góc giữa hai mặt phẳng đó thì cos là biểu thức nào sau đây A. a1a2 + b1b2 + c1c2 . B. a1a2 + b1b2 + c1c2 .  a; b    D. a b C. a1a2 + b1b2 + c1c2 a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32 a1a2 + b1b2 + c1c2 . . a b Câu 13. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 : x +1 y + 3 z − 2 = = . Khi đó phương trình mặt phắng ( P) là −2 1 3 A. x − 5 y + z − 22 = 0 . B. x − 5 y − z + 18 = 0 . C. x + 3 y − z + 12 = 0 . x −2 y +3 z −5 = = và 2 −1 −3 d2 : D. x + 5 y − z + 18 = 0 . 2 Câu 14. Cho  e3 x −1dx = m ( e p − e q ) với m , p , q  và là các phân số tối giản. Giá trị m + p + q bằng 1 22 . D. 8 . 3 Câu 15. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 2; − 3) , B ( 2; − 3;1) . A. 10 . B. 6 . C. x = 1+ t  A.  y = 2 − 5t .  z = −3 − 2t  x = 2 + t  B.  y = −3 + 5t .  z = 1 + 4t  x = 3 − t  C.  y = −8 + 5t .  z = 5 − 4t  x = 1+ t  D.  y = 2 − 5t .  z = 3 + 4t  Câu 16. Tập xác định của hàm số y = 2 − ln ( ex ) là. HOÀNG XUÂN NHÀN 503 A. (1; + ) . C. ( 0; e  . B. ( 0;1) . D. (1; 2 ) . Câu 17. Cho hình phẳng ( D ) giới hạn bởi các đường y = sin x , y = 0 , x = 0 , x =  . Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình ( D ) quay xung quanh Ox bằng A. 2 . 1000 B.  . 1000 C.  . 2 D. 2 2 .  x = 1 + 2t  Câu 18. Trong không gian Oxyz , vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ( d1 ) :  y = −4 − 3t  z = 3 + 2t  và x − 5 y +1 z − 2 = = là 3 2 −3 A. Cắt nhau. B. Song song. C. Chéo nhau. D. Trùng nhau. log3 5log5 a − log 6 b = 2 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định Câu 19. Với hai số thực dương a, b tùy ý và 1 + log 3 2 đúng? A. a = b log6 2 . B. a = 36b . C. 2a + 3b = 0 . D. a = b log6 3 . x −1 y + 1 z = = . Gọi d là đường thẳng đi qua M , cắt và Câu 20. Cho điểm M (2;1;0) và đường thẳng  : 2 1 −1 vuông góc với  . Khi đó, véc tơ chỉ phương của d là A. u = (0;3;1) B. u = (2; − 1; 2) C. u = (−3;0; 2) D. u = (1; − 4; − 2) ( d2 ) : ae 2 + b ( a, b  ) . Tính a + b . 4 1 A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Câu 22. Khối nón có chiều cao bằng bán kính đáy và có thể tích bằng 9 , chiều cao của khối nón đó bằng: A. 3 . B. 3 3 . C. 3 9 . D. 3 . Câu 23. Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC có AB = a , AA = a 3 . Góc giữa đường thẳng AC  và mặt phẳng ( ABC ) bằng: e Câu 21. Biết tích phân I =  x ln xdx = A. 30 . B. 60 . 1 Câu 24. Nếu C. 90 . 1 D. 45 . 1   f ( x ) − f ( x )dx = 5 và   f ( x ) + 1 dx = 36 thì  f ( x ) dx bằng: 2 2 0 0 A. 10. B. 31. Câu 25. Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( P ) :2 x + 2 y − z + 7 = 0 (S ) có phương trình là: 25 . 9 2 2 2 C. ( x + 2 ) + ( y − 5 ) + ( z − 1) = 4 . A. ( x + 2 ) + ( y − 5) + ( z − 1) = 2 0 C. 5. D. 30. có tâm I ( −2;5;1) và tiếp xúc với mặt phẳng 2 2 B. ( x − 2 ) + ( y + 5) + ( z + 1) = 16 . 2 2 2 D. ( x + 2 ) + ( y − 5 ) + ( z − 1) = 16 . 2 2 2 Câu 26. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d qua M ( −3;5; 6 ) và vuông góc với mặt phẳng ( P ) : 2x − 3y + 4z − 2 = 0 A. x −3 y +5 z +6 = = . 2 −3 4 thì đường thẳng d có phương trình là: B. x +3 y −5 z −6 = = . 2 3 4 HOÀNG XUÂN NHÀN 504 x +3 y −5 z −6 x +3 y −5 z −6 . D. . = = = = 2 −3 −4 2 −3 4 e ln x dx = a + b c . Tính T = a + b + c ? Câu 27. Tích phân  x 1 A. T = 6 + e . B. T = −2 + e . C. T = 8 + e . D. T = 2 + e . Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u = (1; 4;1) và v = ( −1;1; −3) . Góc tạo bởi hai vectơ u và v là: C. A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 120 . Câu 29. Cho điểm M (1; 2;5 ) . Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng ( P ) là A. x + y + z − 8 = 0 . B. x + 2 y + 5z − 30 = 0 . x y z x y z C. + + = 0 . D. + + = 1 . 5 2 1 5 2 1 Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; − 3; 2 ) , B ( 3; 5; − 2 ) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng x + ay + bz + c = 0 . Khi đó a + b + c bằng A. −2 . B. −4 . C. −3 . D. 2 . Câu 31. Biết hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên  0; 2 , f ( 0 ) = 5, f ( 2 ) = 11 . Tích phân 2 I =  f ( x ) . f  ( x ) dx bằng 0 A. 5 − 11 . C. 11 − 5 . B. 3. D. 6. Câu 32. Tập nghiệm S của phương trình 4 = 2 là:  1  1  A. S =  −1;  . B. S = − ;1 .  2  2  1 − 5 1 + 5  C. S =  D. S = 0;1 . ; . 2   2 Câu 33. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình f ( 2 − x ) = m có đúng ba nghiệm phân x2 x+1 biệt là A. (1;3 ) . B. ( −1;3) . C. ( −1;1) . D. ( −3;1) . Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2 y + 2 z − 10 = 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) với (Q) 7 song song với (P) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng là 3 A. x + 2 y + 2 z − 3 = 0; x + 2 y + 2 z −17 = 0 . B. x + 2 y + 2 z + 3 = 0; x + 2 y + 2 z + 17 = 0 . C. x + 2 y + 2 z + 3 = 0; x + 2 y + 2 z −17 = 0 . D. x + 2 y + 2 z − 3 = 0; x + 2 y + 2 z + 17 = 0 . Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x + 1)  log 1 ( 2 x − 1) chứa bao nhiêu số nguyên ? 2 2 A. 1 . B. 0 . C. vô số. 3 Câu 36. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x + 11x − 6 và y = 6 x2 là D. 2 . HOÀNG XUÂN NHÀN 505 1 1 . D. . 4 2 Câu 37. Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng A. 5. B. 5 . C. 10. D. 10 . A 1; 2; − 1 ; Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm ( ) B ( 2;1;0 ) mặt phẳng A. 52 . B. 14 . ( P ) : 2 x + y − 3z + 1 = 0 phẳng ( Q ) là C. . Gọi ( Q ) là mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với ( P ) . Phương trình mặt A. 2 x + 5 y + 3z − 9 = 0 . B. 2 x + y − 3z − 7 = 0 . e Câu 39. Cho I =  1 C. 2 x + y − z − 5 = 0 . D. x − 2 y − z − 6 = 0 . ln x c dx = a ln 3 + b ln 2 + , với a, b, c  . Khẳng định nào sau đâu đúng. 3 x ( ln x + 2 ) 2 A. a + b2 + c2 = 1 . B. a2 + b2 + c2 = 11 . C. a2 + b2 + c2 = 9 . Câu 40. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d với a  0 có đồ thị như hình D. a2 + b2 + c2 = 3 . 2 vẽ sau. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f ( 4 − x ) + 1 là A. ( 5; 4 ) . B. ( 3; 2 ) . C. ( −3; 4 ) . D. ( 5;8 ) . Câu 41. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH = 4m , chiều rộng AB = 4m , AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 1200000 đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m2. Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 (đồng). B. 7368000 (đồng). C. 4077000 (đồng). D. 11370000 (đồng) 2x − 4 Câu 42. Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) và điểm A ( −5; 5 ) . Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ x +1 thị ( C ) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho tứ giác OAMN là hình bình hành ( O là gốc tọa độ). m = 0 B.  . C. m = 2 . m = 2 Câu 43. Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 A. m = 0 . , S2 lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính S = S1 + S 2 ( cm 2 ). A. S = 4 ( 2400 +  ) . B. S = 2400 ( 4 +  ) . C. S = 2400 ( 4 + 3 ) . D. S = 4 ( 2400 + 3 ) . D. m = −2 . D' C' O' A' B' D C O A B HOÀNG XUÂN NHÀN 506 Câu 44. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên 1 và  f ( x) d x = 4 , 0 3 f ( x ) d x = 6 . Tính I =  1  f ( 2x +1 ) d x . −1 0 A. I = 3 . B. I = 5 . C. I = 6 . D. I = 4 . 4 x 5 Câu 45. Cho hàm số y = − 3x 2 + , có đồ thị là ( C ) và điểm M  ( C ) có hoành độ xM = a . Có bao nhiêu 2 2 giá trị nguyên của a để tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt khác M . A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0; 0;3) , D ( 2; −2;0 ) . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm O , A , B , C , D ? A. 7 . B. 5 . C. 6 . D. 10 . 1 9 Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f ( 0 ) = 0 . Biết  f 2 ( x ) dx = 2 0 1 và  f  ( x ) cos 0 A. 1  x 2 . dx = 3 . Tích phân 4 4 B. .  1  f ( x ) dx bằng 0 C. 6 . D. 2 .   Câu 48. Cho hình chóp S.ABC có AB = a , AC = a 3 , SB  2a và ABC = BAS = BCS = 90 . Sin của góc 11 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 11 2a 3 3 a3 3 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 9 9 6 3  x 2 x +1 1  Câu 49. Biết phương trình log 5 = 2 log 3  −  có một nghiệm dạng x = a + b 2 trong đó a, b x  2 2 x là các số nguyên. Tính 2a + b . A. 3 . B. 8 . C. 4 . D. 5 . Câu 50. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau: giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( SAC ) bằng Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 đúng hai nghiệm. A. 0 . B. 1 . f ( x) + 4 f ( x) + log 2  f 2 ( x ) − 4 f ( x ) + 5 = m có C. 3 . D. 2 . ________________HẾT________________ HOÀNG XUÂN NHÀN 507 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 48 1 B 11 A 21 C 31 B 41 A 2 A 12 D 22 A 32 B 42 C 3 C 13 D 23 B 33 B 43 B 4 A 14 C 24 A 34 A 44 B 5 C 15 C 25 D 35 A 45 D 6 D 16 C 26 D 36 D 46 B 7 B 17 D 27 D 37 D 47 C 8 D 18 C 28 C 38 A 48 C 9 A 19 B 29 B 39 D 49 B 10 D 20 D 30 B 40 A 50 D Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 48 Câu 44. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên 1 và  f ( x) d x = 4 , 0 A. I = 3 . B. I = 5 . 3  1  f ( 2x +1 ) d x . f ( x ) d x = 6 . Tính I = −1 0 C. I = 6 . Hướng dẫn giải: D. I = 4 . Ghi nhớ: Đối với tích phân hàm hợp, ta lưu ý tính chất sau: Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) , khi đó: n  f ( x) = F ( x) n m = F ( n) − F ( m) , m d đồng thời:  f ( ax + b ) dx = c d 1 F ( ax + b ) . a c ơ Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) , ta có: 1  f ( x ) d x = F (1) − F ( 0) = 4 và 0 3  f ( x ) d x = F ( 3) − F ( 0 ) = 6 . 0 1 Xét I =  f ( 2 x + 1 ) d x . Cho 2 x + 1 = 0  x = − 2 . Bảng xét dấu của nhị thức 1 y = 2x + 1 là: −1 1 Ta có: I =  f ( 2 x + 1 ) d x = −1 − 1 2 1  f ( −2 x − 1) dx +  −1 − 1 2 − 1 1 2 1 1 f ( 2 x + 1) dx = − F ( −2 x − 1) + F ( 2 x + 1) 1 2 2 −1 − 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 508 1 1 1 1 Choïn →B = −  F ( 0 ) − F (1)  +  F ( 3) − F ( 0 )  = − ( −4 ) + .6 = 5 . ⎯⎯⎯ 2 2 2 2 x4 5 Câu 45. Cho hàm số y = − 3x 2 + , có đồ thị là ( C ) và điểm M  ( C ) có hoành độ xM = a . Có bao nhiêu 2 2 giá trị nguyên của a để tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt khác M . A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . Hướng dẫn giải: Ta có: f  ( x ) = 2 x 3 − 6 x  f  ( a ) = 2a 3 − 6a . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M là: a4 5 − 3a 2 + . 2 2 4 4 x 5 a 5 Phương trình hoành độ giao điểm của  và ( C ) là: − 3x 2 + = ( 2a3 − 6a ) ( x − a ) + − 3a 2 + 2 2 2 2 4 2 3 4 2 4 2 3 4 2  x − 6 x − 2 ( 2a − 6a ) ( x − a ) − a + 6a = 0  x − 6 x − 4 ( a − 3a ) x + 3a − 6a  : y = ( 2a 3 − 6a ) ( x − a ) + ( a − x ) 2 = 0 .   x 2 + 2ax + 3a 2 − 6 = 0 (*) a 2 − 3a 2 + 6  0  Yêu cầu bài toán  (*) có hai nghiệm phân biệt khác a   2  a  − 3; 3 \ 1 .  6 a  6 ( ) Choïn →D Vì a nguyên nên a = 0 . Vậy ta tìm được một giá trị a thỏa mãn. ⎯⎯⎯ Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0; 0;3) , D ( 2; −2;0 ) . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm O , A , B , C , D ? A. 7 . B. 5 . C. 6 . D. 10 . Hướng dẫn giải: Ta thấy A , B , C lần lượt thuộc các trục tọa độ Ox , Oy , Oz . Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là x y z + + = 1 (*) . Thay tọa độ điểm D vào (*): 1 2 3 2 −2 0 + + = 1 (đúng)  D  ( ABC ) . 1 2 3 Ta cũng có AB = ( −1;2;0 ) và AD = (1; −2;0 ) nên AB = − AD , suy ra A là trung điểm đoạn BD. Vì vậy, có năm mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong số năm điểm O , A , B , C , D là: ( OAB ) , ( OBC ) , ( OAC ) , ( ABC ) Choïn →B và ( OCD ) . ⎯⎯⎯ Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f ( 0 ) = 0 . Biết 1 9  f ( x ) dx = 2 2 0 1 và  f  ( x ) cos 0 A. 1  . x 2 dx = 3 . Tích phân 4 4 B. .  1  f ( x ) dx bằng 0 C. 6  . D. 2  . Hướng dẫn giải: HOÀNG XUÂN NHÀN 509 1 Xét tích phân:  0 x 3 . Đặt f  ( x ) cos dx = 2 4 x  x   u = cos du = − sin .dx 2 2 2  .  dv = f  ( x ) dx v = f ( x )   3 x  x  x x 3 Khi đó: = cos . f ( x ) +  sin . f ( x ) .dx =  sin . f ( x ) .dx   sin .f ( x ) dx = . 4 2 2 2 20 2 2 2 0 0 0 1 1 1  x x  2 2 2 x 0  f ( x ) + msin 2  dx = 0  0 f ( x ) dx + 2m 0 sin 2 . f ( x ) dx + m 0 sin 2 dx = 0 2 1 Xét tích phân: 1 1 1 1 =9/2  9 3 1 + 2m. + m2 . = 0  m = −3 . Do vậy 2 2 2 1 Vậy 1  f ( x ) dx =  3sin 0 0 x 2 dx = − 6  cos x 2 1    f ( x ) − 3sin 0 1 = 0 =3/2 6   x =1/2 x . d x = 0  f x = 3sin ( ) 2  2 2 Choïn →C . ⎯⎯⎯ Câu 48. Cho hình chóp S.ABC có AB = a , AC = a 3 , SB  2a và ABC = BAS = BCS = 90 . Sin của góc 11 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 11 a3 3 a3 6 a3 6 B. . C. . D. . 9 6 3 Hướng dẫn giải: giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( SAC ) bằng A. 2a 3 3 . 9  BA ⊥ SA Dựng SD ⊥ ( ABC ) tại D . Ta có:   BA ⊥ SD  BC ⊥ SD  BC ⊥ CD .  BA ⊥ AD ; tương tự:   BC ⊥ SC Ta lại có ABC = 90 . Vì vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật (có ba góc vuông) với AD = BC = AC 2 − AB 2 = a 2 , CD = AB = a . Chọn hệ trục Dxyz như hình vẽ với D ( 0;0;0 ) , các điểm A Ta có: u = SB = ( ( ) ( 2;0;0 , B ) 2;1;0 , C ( 0;1;0 ) , S ( 0;0; m ) (m là ẩn số dương cần tìm). ( ) ) ( ) 2;1; −m là vectơ chỉ phương của SB; AC = − 2;1;0 , AS = − 2;0; m . ( ) Mặt phẳng ( SAC ) có vectơ pháp tuyến n =  AC , AS  = m; 2m; 2 . u.n 11  = Ta có: sin ( SB, ( SAC ) ) = 11 u.n ▪ ( ) m = 3   2.  m2 + 3. 3m2 + 2 m =  3 2m + 2m − 2m Với m = 3 thì S 0;0; 3  SB = 2 + 1 + 3 = 6  2 (thỏa mãn). Ta có: SD = a 3, SABC = a2 2 1 a 2 2 a3 6 Choïn →C  VS . ABC = .a 3. = . ⎯⎯⎯ 2 3 2 6 HOÀNG XUÂN NHÀN 510  2 2 2 thì S  0;0;   SB = 2 + 1 +  2 (không thỏa mãn). 3 3 3   x 2 x +1 1  Câu 49. Biết phương trình log 5 = 2 log 3  −  có một nghiệm dạng x = a + b 2 trong đó a, b x  2 2 x là các số nguyên. Tính 2a + b . A. 3 . B. 8 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải: ▪ Với m = Ta có: log5 (  x 2 x +1 1  2 x +1  x −1  = 2log 3  − = 2log 3    log 5  (điều kiện x  1 ) x 2 x 2 x 2 x     )  log5 2 x + 1 + 2log3 2 x = log5 x + 2log3 ( x − 1) (*). Xét hàm số f ( t ) = log 5 t + 2 log 3 ( t − 1) , với t  1 ; f  ( t ) = 1 2 +  0 với mọi t  1 , suy ra t.ln 5 ( t − 1) ln 3 f ( t ) đồng biến trên khoảng (1; +  ) . ( ) Từ (*) ta có : f 2 x + 1 = f ( x )  2 x + 1 = x  ( x) 2 − 2 x − 1 = 0  x = 1 + 2 (do x  1 ). Choïn →B Suy ra x = 3 + 2 2  a = 3, b = 2  2a + b = 8 . ⎯⎯⎯ Câu 50. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 đúng hai nghiệm. A. 0 . B. 1 . f ( x) + 4 f ( x) + log 2  f 2 ( x ) − 4 f ( x ) + 5 = m có D. 2 . C. 3 . Hướng dẫn giải: t+ Đặt t = f ( x )  t  1; 4 . Khi đó phương trình đã cho trở thành: m = 2 4 t + log 2 t 2 − 4t + 5 . g (t ) t + 2 t + 4  2 (t − 2) 4  t + 4t 2   Ta có: g  ( t ) = 1 − 2  .2 .ln 2 + 2 = ( t − 2 )  2 .2 t .ln 2 + 2  t   t (t − 4t + 5) ln 2 (t − 4t + 5) ln 2  t = 2  4 2 g  ( t ) = 0   1 . t + 2 2t + t ln 2 + = 0 (*) (Ta thấy (*) vô nghiệm t  1; 4 ). ) 2 ( 2 t ( t − 2 ) + 1 .ln 2    HOÀNG XUÂN NHÀN 511 Bảng biến thiên của hàm g ( t ) : ▪ Với m = 16 tức là g (t ) = 16  t = 2 . Ta thấy: f ( x ) = 2 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thỏa mãn). ▪ Với m  (16;33 ) tức là g (t ) = m t = t1  (1; 2 ) .  t = t2  ( 2; 4 ) Ta thấy phương trình f ( x ) = t1  (1; 2 ) cho ra hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ; phương trình f ( x ) = t2  ( 2; 4 ) có thêm ít nhất hai nghiệm phân biệt (nhiều nhất là bốn nghiệm phân biệt) khác x1 , x2 . Vì vậy khi m  (16;33 ) thì phương ▪ trình đã cho có ít nhất 4 nghiệm phân biệt. Ta thấy trường hợp này không thỏa mãn. Với m  33;32 + log 2 5 , vì m nguyên  m  33;34 . t = 1 Xét m = 33 , tức là g ( t ) = 33   . Khi t = 1 thì f ( x ) = 1 có một nghiệm kép x = 2 ; t = t  3; 4 ( ) 3  khi t = t3 thì f ( x ) = t3 có đúng hai nghiệm phân biệt và khác 2 . Vì vậy m = 33 không thoả mãn. Xét m = 34 , tức là g ( t ) = 34  t = t4  ( 3; 4 ) , khi đó f ( x ) = t4 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  m = 34 thoả mãn. Choïn →D Vậy m  16;34 là giá trị cần tìm. ⎯⎯⎯ HOÀNG XUÂN NHÀN 512