Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song)

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 17 tháng 3 2020 lúc 13:05:16

Mục lục

* * * * *

A. Phương pháp giải

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

* Phương pháp 1

Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ'. Khi đó d(Δ, Δ') = d(Δ', (α))

* Phương pháp 2

Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa SD và BC.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: BC // AD (Tính chất hình chữ nhật) mà AD ⊂ (SAD)

⇒ BC // mp(SAD)

d(BC, SD) = d(BC, (SAD)) = d(B, SAD)

Vậy d(SD; BC) = AB = a√3

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn C.

+ Ta có: BB’ // CC’ mà CC’ ⊂ (ACC’A’) nên: BB’ // (ACC’A’)

⇒ d( BB’; AC) = d( BB’; (ACC’A’) = d(B; (ACC’A’)

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ BO ⊥ (ACC’A’) ( tính chất hình lập phương )

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a và AD = 2a; SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD?

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm AD suy ra : AH = HD = a

+ Tứ giác HDCB có HD // BC và HD = BC = a

⇒ HDCB là hình bình hành.

⇒ CD // HB nên CD // mp(SHB)

+ Do H là trung điểm của AB và CD // (SHB) nên: d(CD; SB) = d(CD ;(SBH))= d(D; (SBH)) = d(A ;(SBH))

+ Tứ diện A. BHS có :

AB = AH = AS và AB ; AH ; SA đôi một vuông góc nên:

Vậy d(SB ; CD) = d( A, (SHB)) = (a√3)/3

Chọn đáp án C

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A. a B. a√2 C. a√3 D. 2a

Hướng dẫn giải

Ta có: CD // AB nên CD // (SAB)

⇒ d(CD; AB) = d(CD; (SAB)) = d(D; SAB)) = AD = a

(vì AD ⊥ AB và AD ⊥ SA nên AD ⊥ (SAB))

Chọn phương án A

Ví dụ 5: Cho tứ diện OABC trong đó OA; OB; OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi J là trung điểm OB. Kẻ OH vuông góc AJ tại H

+ Tam giác AOJ vuông tại O , có OH là đường cao

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của BC và BO nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC và IJ // OC

Mà IJ ⊂ (AIJ) nên OC // (AIJ) .

+ Ta có 3 đường thẳng OA; OB; OC đôi một vuông góc nên OC ⊥ (OAB)

⇒ IJ ⊥ (OAB) và IJ ⊥ OH (1)

Lại có: AJ ⊥ OH (2)

Từ ( 1) và (2) suy ra: OH ⊥ (AIJ)

+ Khi đó; d(AI; OC) = d(OC; (AIJ)) = d(O; (AIJ)) = OH = a/√5

Chọn đáp án B

Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AD = a. Tính khoảng cách giữa AD và SB

Hướng dẫn giải

Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD và B.

+ Tam giác SAD là tam giác đều nên SE ⊥ AD (1)

+ Lại có; hai mp(ABCD) và (SAD) cắt nhau theo giao tuyến AD và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau (2) .

Từ (1) và (2) suy ra: SE ⊥ (ABCD) .

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên SF. Ta chứng minh EH ⊥ (SBC).

Thật vậy, ta có: EH ⊥ SF ( cách dựng) và EH ⊥ BC (do BC ⊥ (SEF)

⇒ EH ⊥ (SBC) .

+ Do AD // BC; SB ⊂ (SBC) và EH ⊥ (SBC)

⇒ d(AD: SB) = d(AD; (SBC) = d(E; (SBC)) = EH

+ Xét tam giác vuông SEF có:

trong đó: SE = a√3; EF = AB = a

⇒ EH = (a√21)/7

Chọn đáp án B

Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng

Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

+ Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BI ⊥ (AA'C'C).

+ Ta có: BD = BC√2 = a√2 nên IB = BD/2 = (a√2)/2

+ khi đó:

d(BB’; AC)= d(BB’;( AA’C’C) = IB = (a√2)/2

Chọn đáp án C

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa SM và BC bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm của cạnh đáy AC.

+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC

⇒ BC // ( SMN) mà SM ⊂ (SMN) nên :

d(SM; BC) = d(BC; (SMN)) = d(B; (SMN)) = d(A; (SMN))

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.

+ Ta chứng minh: MN ⊥ (SAM):

Chọn đáp án A

Ví dụ 9: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A₁B₁C₁ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b Tính khoảng cách giữa AB và CC₁

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của AB

+ Ta có: CC₁ // AA₁ mà AA₁ ⊂ ( ABB₁A₁)

⇒ CC₁ // ( ABB₁A₁)

⇒ d(CC₁; AB) = d(CC₁; (ABB₁A₁)) = d(C; ( ABB₁A₁))

+ Ta chứng minh CM ⊥ (ABB₁A₁ ):

- Do tam giác ABC đều nên CM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao: CM ⊥ AB. (1)

- CM ⊥ AA₁( tính chất lăng trụ tam giác đều) (2)

Mà AB và AA₁ (ABB₁A₁), kết hợp với (1) và (2) suy ra:

CM ⊥ (ABB₁A₁)

Đáp án B

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√17/2. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a

Hướng dẫn giải

+ Ta có: H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD

⇒ HK // BD ⇒ HK // (SBD)

⇒ d(SD; HK) = d(HK; (SBD)) = d(H, (SBD))

Kẻ HI ⊥ BD và HJ ⊥ SI

Chọn đáp án C

Ví dụ 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SI vuông góc với (SCD) và I là trung điểm AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AB là:

Hướng dẫn giải

Kẻ MN // AB ⇒ AB // (SMN)

⇒ d(SO; AB) = d(AB; (SMN)) = d(I, (SMN))

Ta có: AB ⊥ SI ⇒ MN ⊥ SI, AB ⊥ OI ⇒ MN ⊥ OI

⇒ MN ⊥ (SOI) ⇒ (SMN) ⊥ (SOI).

Kẻ IH ⊥ SO ⇒ IH ⊥ (SMN)

⇒ IH = d(I, (SMN))

+ Gọi J là trung điểm của CD

Chọn C

Ví dụ 12: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 5a, BC = 4a Cạnh SA vuông góc với đáy và góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt đáy (ABC) bằng 60° Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC là: