Đề thi vào lớp 10 CHUYÊN Toán trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2020
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2020
Môn thi: Toán
(Dùng riêng cho thí sinh thi vào chuyên Toán, chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1 (2,0 điểm).
Cho ba số thực
thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
Tính giá trị của biểu thức
Bài 2 (2,0 điểm).
Xét phương trình bậc hai
Trong đó
được thỏa mãn: phương trình (1) có nghiệm; số
lớn nhất của tổng
là các số nguyên dương. Biết rằng các điều kiện sau
chia hết cho 12; số
chia hết cho
Hãy tìm giá trị
.
Bài 3 (2,0 điểm).
Tìm số nguyên
nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức
đúng với mọi số thực
Bài 4 (3,0 điểm).
Cho tam giác nhọn
nội tiếp đường tròn
lần lượt cắt các cạnh
tại hai điểm
và đường tròn ngoại tiếp tam giác
a) Ba đường thẳng
b) Tứ giác
có
Một đường tròn đi qua hai đỉnh
khác các đỉnh của tam giác
cắt nhau tại giao điểm thứ hai là
với
khác
của tam giác
Giả sử đường tròn
Chứng minh rằng:
đồng quy tại điểm
nội tiếp.
c)
Bài 5 (1,0 điểm).
Cho hai số
có 2020 chữ số. Biết rằng số
trai và 15 chữ số ngoài cùng về bên phải, số
có đúng 1945 chữ số khác 0 bao gồm 1930 chữ số ngoài cũng về bên
có đúng 1945 chữ số khác 0 bao gồm 1930 chữ số ngoài cũng về bên trái
và 24 chữ số ngoài cũng về bên phải. Chứng minh rằng
là một số có không quá 1954 chữ số.
-----------------Hết-----------------
LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2020
THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
THUVIENTOAN.NET
Bài 1.
Từ giả thiết thứ nhất, ta suy ra
là ba số cùng dấu. Mà
nên cả ba số
đều là số dương. Bây giờ, đặt
thì ta có:
Mà:
.
Do đó, giả thiết thứ hai của bài toán có thể được viết lại thành
Từ đây, ta dễ dàng suy ra
.
Bài 2
Từ giả thiết, ta suy ra
Vì
là các số có một chữ số.
chia hết cho
nên
chia hết cho
Do phương trình (1) có nghiệm nên biệt thức của nó không âm, tức
Do
chia hết cho 12 nên
Do
chia hết cho 4 và
Với
nguyên dương nên
, ta có
thỏa mãn là
Với
, ta có
mãn là
So sánh các kết quả, ta thấy
Bài 3.
chia hết cho 4 và
và
chia hết cho
hoặc
(do (3)) và
.
.
chia hết cho 3 (do (4)). Kết hợp với (2), ta tìm được các cặp
.
(do (3)) và
và
chia hết cho 3 (do(4)). Kết hợp với (2), ta tìm được các cặp
.
lớn nhất là 18, đạt được khi
và
thỏa
Cho
, ta được
Mặt khác, với
Vậy
, tức
. Mà
là số nguyên nên
.
, ta có
.
chính là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 4.
a) Vì tam giác
và
không cân tại
nên
cắt nhau, và
phải cắt nhau. Gọi
là giao điểm của
. Ta có
Suy ra tứ giác
nội tiếp. Từ đây, với chú ý các tứ giác
nội tiếp, ta có
.
Mà hai góc
và
ở vị trí đối đỉnh nên ba điểm
b) Theo câu a), ta đã chứng minh tứ giác
c) Gọi
nên ta có
theo thứ tự của
. Mà
, dẫn đến
và
đồng quy tại
nên
.
. Ta có
. Mà hai góc này ở vị trí so le trong
. Tương tự, ta cũng có
nên
.
Mặt khác, theo tính chất đường nối tâm hai đường tròn thì vuông góc với dây cung chung, ta có
. Do đó
.
nội tiếp.
theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp các tam giác
Vẽ các tiếp tuyến
thẳng hàng. Vậy
(cùng vuông góc với
) và
(cùng vuông góc với
và
) nên tú giác
là
hình bình hành. Hệ quả là
giác
đi qua trung điểm
. Suy ra
, mà
Kẻ các tiếp tuyến
và
và
Mà
(tính chất đường trung trực), nên
nên
.
đến đường tròn
và
chứa đường trung bình tam
như hình vẽ. Áp dụng định lý Pythagoras cho các tam giác vuông
, ta có
nên
.
Dễ thấy các cặp tam giác
và
và
đồng dạng (g-g), ta suy ra
,
.
Từ (1) và (2), ta suy ra
(2)
.
Bài 5.
Từ giả thiết, ta suy ra
có 24 chữ số.
và
Đặt
chia hết cho
thì ta có
Ta sẽ chứng minh
Do
và
chữ số nên
Vì
với
khác 0. Thật vậy, giả sử
là hai số cùng có 1930 chữ số nên
. Suy ra
là hai số có 1930 chữ số,
, thức
chia hết cho
, khi đó ta có
khác 0 nên từ (1), ta suy ra
(1)
.
. Trong khi đó, vì
, mâu thuẫn. Vậy
là số có 15 chữ số và
là số có 24 chữ số và
là số có 15
.
. Mặt khác, ta lại có
, tức
có không quá 1954 chữ số.
b, tức
có không quá 1945 chữ số.
Do đó, với chú ý
, ta suy ra
là một số có không quá 1954 chữ số (đpcm).
là một số nguyên dương có không quá 1954 chữ số, từ đó
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2020
Môn thi: Toán
(Dùng riêng cho thí sinh thi vào chuyên Toán, chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1 (2,0 điểm).
Cho ba số thực
thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
Tính giá trị của biểu thức
Bài 2 (2,0 điểm).
Xét phương trình bậc hai
Trong đó
được thỏa mãn: phương trình (1) có nghiệm; số
lớn nhất của tổng
là các số nguyên dương. Biết rằng các điều kiện sau
chia hết cho 12; số
chia hết cho
Hãy tìm giá trị
.
Bài 3 (2,0 điểm).
Tìm số nguyên
nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức
đúng với mọi số thực
Bài 4 (3,0 điểm).
Cho tam giác nhọn
nội tiếp đường tròn
lần lượt cắt các cạnh
tại hai điểm
và đường tròn ngoại tiếp tam giác
a) Ba đường thẳng
b) Tứ giác
có
Một đường tròn đi qua hai đỉnh
khác các đỉnh của tam giác
cắt nhau tại giao điểm thứ hai là
với
khác
của tam giác
Giả sử đường tròn
Chứng minh rằng:
đồng quy tại điểm
nội tiếp.
c)
Bài 5 (1,0 điểm).
Cho hai số
có 2020 chữ số. Biết rằng số
trai và 15 chữ số ngoài cùng về bên phải, số
có đúng 1945 chữ số khác 0 bao gồm 1930 chữ số ngoài cũng về bên
có đúng 1945 chữ số khác 0 bao gồm 1930 chữ số ngoài cũng về bên trái
và 24 chữ số ngoài cũng về bên phải. Chứng minh rằng
là một số có không quá 1954 chữ số.
-----------------Hết-----------------
LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2020
THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
THUVIENTOAN.NET
Bài 1.
Từ giả thiết thứ nhất, ta suy ra
là ba số cùng dấu. Mà
nên cả ba số
đều là số dương. Bây giờ, đặt
thì ta có:
Mà:
.
Do đó, giả thiết thứ hai của bài toán có thể được viết lại thành
Từ đây, ta dễ dàng suy ra
.
Bài 2
Từ giả thiết, ta suy ra
Vì
là các số có một chữ số.
chia hết cho
nên
chia hết cho
Do phương trình (1) có nghiệm nên biệt thức của nó không âm, tức
Do
chia hết cho 12 nên
Do
chia hết cho 4 và
Với
nguyên dương nên
, ta có
thỏa mãn là
Với
, ta có
mãn là
So sánh các kết quả, ta thấy
Bài 3.
chia hết cho 4 và
và
chia hết cho
hoặc
(do (3)) và
.
.
chia hết cho 3 (do (4)). Kết hợp với (2), ta tìm được các cặp
.
(do (3)) và
và
chia hết cho 3 (do(4)). Kết hợp với (2), ta tìm được các cặp
.
lớn nhất là 18, đạt được khi
và
thỏa
Cho
, ta được
Mặt khác, với
Vậy
, tức
. Mà
là số nguyên nên
.
, ta có
.
chính là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 4.
a) Vì tam giác
và
không cân tại
nên
cắt nhau, và
phải cắt nhau. Gọi
là giao điểm của
. Ta có
Suy ra tứ giác
nội tiếp. Từ đây, với chú ý các tứ giác
nội tiếp, ta có
.
Mà hai góc
và
ở vị trí đối đỉnh nên ba điểm
b) Theo câu a), ta đã chứng minh tứ giác
c) Gọi
nên ta có
theo thứ tự của
. Mà
, dẫn đến
và
đồng quy tại
nên
.
. Ta có
. Mà hai góc này ở vị trí so le trong
. Tương tự, ta cũng có
nên
.
Mặt khác, theo tính chất đường nối tâm hai đường tròn thì vuông góc với dây cung chung, ta có
. Do đó
.
nội tiếp.
theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp các tam giác
Vẽ các tiếp tuyến
thẳng hàng. Vậy
(cùng vuông góc với
) và
(cùng vuông góc với
và
) nên tú giác
là
hình bình hành. Hệ quả là
giác
đi qua trung điểm
. Suy ra
, mà
Kẻ các tiếp tuyến
và
và
Mà
(tính chất đường trung trực), nên
nên
.
đến đường tròn
và
chứa đường trung bình tam
như hình vẽ. Áp dụng định lý Pythagoras cho các tam giác vuông
, ta có
nên
.
Dễ thấy các cặp tam giác
và
và
đồng dạng (g-g), ta suy ra
,
.
Từ (1) và (2), ta suy ra
(2)
.
Bài 5.
Từ giả thiết, ta suy ra
có 24 chữ số.
và
Đặt
chia hết cho
thì ta có
Ta sẽ chứng minh
Do
và
chữ số nên
Vì
với
khác 0. Thật vậy, giả sử
là hai số cùng có 1930 chữ số nên
. Suy ra
là hai số có 1930 chữ số,
, thức
chia hết cho
, khi đó ta có
khác 0 nên từ (1), ta suy ra
(1)
.
. Trong khi đó, vì
, mâu thuẫn. Vậy
là số có 15 chữ số và
là số có 24 chữ số và
là số có 15
.
. Mặt khác, ta lại có
, tức
có không quá 1954 chữ số.
b, tức
có không quá 1945 chữ số.
Do đó, với chú ý
, ta suy ra
là một số có không quá 1954 chữ số (đpcm).
là một số nguyên dương có không quá 1954 chữ số, từ đó