Đề thi vào 10 môn Toán - Sở GD&ĐT Hà Nội - năm 2015 - 2016 - có lời giải

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHÀ NỘIĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNăm học: 2015 2016MÔN TOÁNThời gian làm bài: 120 phútBài (2,0 điểm)Cho hai biểu thức 32xPx+=- và 242x xQxx- -= +-+ với x>0, 41) Tính giá trị của biểu thức khi 9.2) Rút gọn biểu thức Q.3) Tìm giá trị của để biểu thức PQ đạt giá trị nhỏ nhất.Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng giờ.Bài III (2,0 điểm)1) Giải hệ phương trình 2( 4( xx xì+ =ïí+ -ïî2) Cho phương trình 2-(m+5)x+3m+6=0 (x là ẩn số).a. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.b. Tìm để phương trình có hai nghiệm x1 x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dàicạnh huyền bằng 5.Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm có đường kính AB. Lấy điểm trên đoạn thẳng AO (C khác A, khác O). Đường thẳng đi qua và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.2) Chứng minh CA.CB=CH.CD.3) Chứng minh ba điểm A, N, thẳng hàng và tiếp tuyến tại của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH.4) Khi di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.Bài (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, thỏa mãn 2+b 2=4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:2abMa b=+ +------HẾT------Doc24.vnĐÁP ÁNBài (2,0 điểm)1) Với ta có 3123 2P+= =-2) Với 242x xQxx- -= +-+( 1)( 2) 24x xx- -=-3 2)4 4( 2)( 2) 2x xx xx x- += =- -+ -3 33) 3P xxQx x+= ³(Do bất đẳng thức Cosi).Dấu bằng xảy ra khi 33x xx= <=> =Vậy giá trị nhỏ nhất của PQ là 3Bài II (2,0 điểm)Gọi t1 là thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng nước.Gọi t2 là thời gian tàu tuần tra chạy xuôi dòng nước.Gọi là vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên.Ta có:1 21 21 21 21 222 22 22260 482 260 48 60 482 4(1)1(2)60 48 60 484 4(1); (2)1 160 484 16 48 016( )2( 22(km/ h)V Vt tt tt tt tt tt tt tt Lt TM- ==> <=> -- =ì ì- -ï ï<=> <=>í íï ï- +î î<=> <=> =+= -é<=>ê= => =ëBài III (2,0 điểm)Doc24.vn1) Với điều kiện ³- 1, ta có hệ đã cho tương đương:7( 76( 12( 5( 511 31 23 6x yx xx xx xx yx xx yxì+ =ì+ =ï ï<=>í í+ -ï+ -ïîî+ =ì+ =ì ìï<=> <=> <=>í í+ -+ =ïî îî2)a) 2( 5) 4(3 6) 1) 0m mD "Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi m.b) Ta có 21 253 6x mx m+ +ìí= +îĐể x1 >0;x2 >0 điều kiện là m>-5 và m> -2<=>m>-2(Điều kiện để S>0;P>0)Yêu cầu bài toán tương đương :2 21 21 221 2225 255( 5) 2(3 6) 25( )3 64 12 0, 22 hay m=-6,m>-2<=>m=2x xx mm Dox mm mm+ <=> =+ +ì<=> =í= +î<=> -<=> =Bài IV (3,5 điểm)1) Tứ giác ACMD có ACD=AMD 90 Nên tứ giác ACMD nội tiếp2) Xét tam giác vuông ACH và DCB đồng dạng(Do có CDB =MAB (góc có cạnh thẳng góc))Nên ta có: .CA CDCA CB CH CDCH CB= => =3) Do là trực tâm của ABDVì có chiều cao DC và AM giao nhau tại nên AD BNHơn nữa ANB 90 vì chắn nửa đường tròn đường kính AB.Nên A, N, thẳng hàng.Gọi tiếp tuyến tại cắt CD tại ta chứng minh JND=NDJ .Doc24.vnTa có JND=NBA cùng chắn cung AN .Ta có NDJ =NBA góc có cạnh thẳng góc JND=NDJ.V ậy trong tam giác vuông DNH là trung điểm của HD.4) Gọi là giao điểm của MN với AB. CK cắt đường tròn tâm tại điểm Q.Khi đó JM, JN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.Gọi là giao điểm của MN và JO. Ta có KFOQ là tứ giác nội tiếp.=>FI là phân giác KFQ .Ta có: KFQ KOQ KFI FOI= => ==>tứ giác KFOI nội tiếp90oIKO=> ==>IK là tiếp tuyến đường tròn tâm OVậy MN đi qua điểm cố định (với IK là tiếp tuyến của đường tròn tâm O)Bài (0,5 điểm)2 2( 2)( 2)2 2( 2) 2( 2) 2( 2)22ab bMa ba b+ -= =+ ++ -=Ta có: 2( 2( 2( )a b+ <=> +Vậy 22( 22.4 22 12 2a bM+ --£ -Khi a=b=2 thì M=2 -1. Vậy giá trị lớn nhất của là -1-----------------------------HẾT------------------------------Doc24.vn