Đề thi vào 10 môn Toán - Sở GD-ĐT Hà Nội - năm 2013 - 2014 - có lời giải

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHÀ NỘIĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNăm học 2013 2014MÔN: TOÁNThời gian làm bài: 120 phútBài (2,0 điểm)Với 0, cho hai biểu thức 2xAx+= và 1x xBx x- += ++1) Tính giá trị của biểu thức khi 64.2) Rút gọn biểu thức B.3) Tìm để 32AB>Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:Quãng đường từ đến dài 90 km. Một người đi xe máy từ đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ đến lúc trở về đếnA là giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ đến B.Bài III (2,0 điểm)1) Giải hệ phương trình 3( 1) 2( 44( 1) 9x yx y+ =ìí+ =î2) Cho parabol (P) :212y x= và đường thẳng (d): 2112y mx m= +a) Với 1, xác định tọa độ các giao điểm A, của (d) và (P)b) Tìm các giá trị của để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 sao cho|x1 x2 =2Bài IV (3,5 điểm)Cho đường tròn (O) và điểm nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua cắt đường tròn (O) tại hai điểm và (AB AC, không đi qua tâm O).1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.2) Chứng minh AN AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB cm, AN cm.3) Gọi là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại và cắt nhau K. Chứng minh thuộc một đường thẳng cố định khi thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bàiBài (0,5 điểm)Với a, b, là các số dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca 6abc,chứng minh2 21 13a c+ ³Doc24.vnBÀI GIẢIBài I(2,0 điểm)1) Với 64 ta có 64 58 464A+ += =2)( 1)( (2 1) 21( 1x xBx x- += =+ +3) Với ta có:3 3:2 212 4( x>0)A xBx xx Do+ +> <=> <=> >+<=> <=> <=> 0)x xx xx xx+ <=> <=> ++ +<=> =<=> =Bài III: (2,0 điểm)1) Hệ phương trình tương đương với:3 14 1011 11 16 10 1x yx yx xx y+ =ì ì<=> <=>í í+ =î î= =ì ì<=> <=>í í- -î î2)a) Với ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:2 21 32 hay x=3(Do x-b+c=0)2 2x x= <=> <=> -Ta có 9( 1) (3)2 2y y- Vậy tọa độ giao điểm và là 1( 1; )2- và 9(3; )2b)Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:2 21 11 0(*)2 2x mx mx m= <=> =Để (d) cắt (P) tại điểm phân biệt x1 x2 thì phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt. Khi đó:Doc24.vn2 21 22 21 221 22 2' >-1 ta co:| 2x 4( 44 4( 2) 48 412m mKhix xx xx xm mmmD <=> -- =<=> =<=> =<=> =<=> --<=> =Cách giải khác: Khi -1 ta có:1 2' '| ' 2' '2 22 112b bx ma ammm+ D- <=> +<=> =<=> =-<=> =Bài IV (3,5 điểm)1) Xét tứ giác AMON có hai góc đốiANO=90 oAMO=90 nên là tứ giác nội tiếp2) Hai tam giác ABM và AMC đồng dạng nên ta có AB.AC=AM 2=AN 2=6 2=362 26 69( )49 5( )AC cmABBC AC AB cm=> ==> =3)12MTN MON AON= (cùng chắn cung MN trong đường tròn (O)), và AIN=AON))Doc24.vn(do điểm N, I, cùng nằm trên đường tròn đường kính AO và cùng chắn cung 90 o)Vậy AIN=MTI=TIC nên MT//AC do có góc so le bằng nhau.4) Xét AKO có AI vuông góc với KO. Hạ OQ vuông góc với AK. Gọi là giao điểmcủa OQ và AI thì là trực tâm của AKO nên KMH vuông góc với AO. Vì MHNvuông góc với AO nên đường thẳng KMHN vuông góc với AO, nên KM vuông góc với AO. Vậy nằm trên đường thẳng cố định MN khi BC di chuyển.Cách giai khác: Ta có KB KC KI.KO. Nên nằm trên trục đẳng phương của đường tròn tâm Ovà đường tròn đường kính AO. Vậy nằm trên đường thẳng MN là trục đẳng phươngcủa đường tròn trên.Bài IV: (0,5 điểm)Từ giả thiết đã cho ta có 16ab bc ca c+ =Theo bất đẳng thức Cauchy ra ta có:2 22 21 1( )2 21 1( 1) 1) 1)2 2a ab bc caa c+ ³+ ³Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:2 22 23 9( 62 21 13( )a cDPCMa c+ <=> =<=> ³Doc24.vn