Đề thi vào 10 môn Toán - Hệ chuyên - THPT Chuyên Thái Nguyên năm 2015 - 2016 - có lời giải

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHÁI NGUYÊNĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTCHUYÊN THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2015 2016Môn thi: TOÁN (Chuyên)Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề(Đề thi gồm: 01 trang)Câu (1,5đ)Cho phương trình2( 1) 0,x m- là tham số Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm tráidấu1 ,x sao cho 21 217x x+ Câu (1,5đ)Giải hệ phương trình sau 4975x yx yì+ =í+ =î Câu (1,0đ)Hay tìm các chữ số biết rằng ,a ad cd abcd là các số chính phương .Câu (1,0đ)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình sau :4 31.x xy+ Câu (1,0đ)Chứng minh rằng luôn tồn tại một số dạng 20162016…2016 (gồm các số 2016 viết kế tiếp nhau) mà số đó chia hết cho 2017 .Câu (1,5đ)Cho hình chữ nhật ABCD Gọi theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB CD Biết đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 3+ và tồn tại một điểm thuộc đoạn thẳng MN sao cho góc·45oDAI= và góc·30 .oIDA= Tính diện tích hình chữ nhật ABCD .Câu (2,5đ)Cho hai đường tròn (O1 và (O2 tiếp xúc ngoài nhau tại điểm Vẽ tiếp tuyến chung AD (A (O1 ), (O2 )) rồi vẽ đường kính AB của đường tròn (O1 Qua tiếp tuyến BM với đường tròn (O2 ). Chứng minh rằng :a. BM BK.BD.b. AB BM.---------------------------Hết----------------------------Doc24.vnĐÁP ÁNĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN THÁI NGUYÊNBài :Phương trình :2( 1) 0x m- có hai nghiệm trái dấu khi ac (*) 0,5đÁp dụng định lý Vi et ta có :1 21;x m+ 0,25đĐể 21 217 17x x+ 0,25đ2 2( 1) 17 16 4m mÛ 0,25đKết hợp điều kiện (*) ta tìm được 0,25đBài :Đặt xy khi đó ta có :4 297 97x y+ 22 22(( 97 (5 97(( 97 (5 9762 100 528 0, 25d44x xy ax xy aaa aaÛ =Û ==éÛ Ûê=ë Với ta có hệ phương trình6 25 3xy xx y= =ì ìÛí í+ =î hoặc32xy=ìí=î 0,5đ+ Với 44 ta có hệ phương trình :445xyx y=ìí+ =î vô nghiệm 0,25đVậy nghiệm của hệ phương trình là (2;3) (3;2) .Câu :Do là chính phương nên ∈{1; 4; 9}Ta có 29 81,10 100= nên không có số dạng9 là chính phương suy ra hoặc 0,25đ+ Doab chính phương nên ad 16 hoặc ad 49 suy ra hoặc 9+ Do cd chính phương nêncd =16 hoặc cd =36 hoặc cd =49 => hoặc hoặc 0,25đ+ Nếu và hoặc khi đó1 16abcd b= hoặc1 36abcd b= Do 21 4)bc x= hoặc21 6)bc x=nên ta có 226 676;= 234 1156; 44 1936; 46 2126.= Chỉ có 1936 là thỏa mãn yêu cầu bài toán .+ Nếu và khi đó ()24 49 3abcd x= hay()27abcd x= Ta có :2 263 3969; 67 4489; 73 5329= không có số nào thỏa mãn yêu cầu đề bài 0,25đVậy với thỏa mãn yêu cầu bài toán 0,25đCâu :Ta có :4 31 0x xy xy+ Doc24.vn3 33 31( 1)( 01xx yx y=éÛ Ûê+ =ë Với thay vào phương trình đã cho ta được :3 31 1y y+ đúng với mọi nguyên .Vậy (x;y) (1;t) Z+ Với3 31x y+ (1) Khi đó :Do và 31 (2)x y+ => Mặt khác do và x(x+1) nên ta có: Khi thì thỏa mãn .Khi -1 thì thỏa mãn 0,25đVậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình đã cho là(0;1) (-1; 0), (1; t) Câu :Ta xét 2018 số dạng 20162016...2016na= gồm số 2016 viết kế tiếp nhau )1 2018n£ 0,25đTheo nguyên lý Dirichlet tồn tại số ,k ta mà có hiệu ()2017,k ta a-M 2018, *t N£ 0,25đDo: 410tk ta a-- Mà 4(10 2017) 2017tk ta-= =>M 0,25đVậy chứng tỏ tồn tại số có dạng 20162016…2016 chỉa hết cho 2017 0,25đCâu :Đặt AB AD .Do đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 3+ nên ta có :2 28 3AC BD y= => (*) 0,25đDo :·DAI =45 nên tam giác MAI vuông cân tại .Suy ra 2xMI MA= 0,25đTa lại có tam giác NDI vuông tại và·60oNDI= nên trong tam giác IND có ND =2 =>32xNI= 0,25đTừ đó suy ra 32 2x xy MN MI IN x+= 0,25đThay 32y x+= vào (*) ta được :Doc24.vn22 21 38 32 4x xæ ö+ ++ +ç ÷ç ÷è 24 3x yÛ => => 0,25đVậy :()2 3ABCDS xy= 0,25đBài :0,25đa) Hình vẽ BM có thể nằm giữa BA và BD )+ Dễ dàng chứng minh được điểm thẳng hàng 0,25đXét hai tam giác ΔBMK và ΔBDM có :··BDM KMB= (vì cùng bằng nửa số đo cung KM của (O2 0,25 đ·MBD chung 0,25đSuy ra ΔBMK đồng dạng với ΔBDM 0,25đ2. (1)BK BMBM BK BDBM BDÞ => 0,5đb) Có :·90oAKB= Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O1 )Có ·90oDAB= Do AD là tiếp tuyến của đường tròn (O1 0,25đ··ABK KAD= (Vì ng bằng nửa số đo cung AK của (O1 0,25đSuy ra ΔAKB đồng dạng với ΔDAB2.AB BKAB BD BKBD ABÞ (2) 0,25đTừ (1) và (2) suy ra 2AB BM AB BM => 0,25đDoc24.vn