Đề thi và lời giải chi tiết Kỳ thi HSG lớp 9 Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc
Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 3 tháng 9 2020 lúc 10:41:04 | Được cập nhật: 9 tháng 4 lúc 5:07:11 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 506 | Lượt Download: 5 | File size: 0.48372 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Đề thi học kì 1 Hóa 9 trường THCS Nam Tiến
- Đề thi tuyển sinh vào 10 Toán trường THCS Nguyễn Biểu lần 4 năm 2021-2022
- Đề thi học kì 2 Toán 9 trường THCS Vân Khánh Đông năm 2021-2022
- Đề thi thử TS vào 10 Toán trường THCS Nguyễn Biểu lần VIII năm 2021-2022
- Đề thi thử TS vào 10 Toán trường THCS Nguyễn Biểu lần X năm 2021-2022
- Đề thi thử TS vào 10 năm 2020-2021
- Đề thi thử TS vào 10 trường THCS Nguyễn Biểu năm 2021-2022
- Đề thi thử TS vào 10 trường THCS Nguyễn Biểu năm 2021-2022
- Đề cương ôn tập học kì 2 Toán 9 năm 2021-2022
- Đề ôn thi học kì 2 Toán 9 trường THCS Phan Bội Châu
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018
a 2018
a 2018 a 1
.
Câu 1: Rút gọn biểu thức P
a 1 2 a
a 2 a 1
z
z
Câu 2: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x y
và y z. Chứng minh đẳng thức
y
x
x
y
x y z
2
, x y z
2
2
x z
.
y z
Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd abc ab a 4321.
( m 1 )x y 2
Câu 4: Cho hệ phương trình
( m là tham số và x, y là ẩn số)
x 2y 2
Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y )
trong đó x, y là các số nguyên.
Câu 5: Giải phương trình 1 x 4 x 3.
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 12cm, AC 16cm. Gọi I là giao điểm
các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC .
Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI.
Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 500 , O là giao điểm của hai đường chéo.
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối
của tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia
DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN.
a) Chứng minh rằng: MB.DN BH.AD
b) Tính số đo góc MON
Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường
tròn ( O ). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không
trùng với điểm B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ
đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường
thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn
(O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.
1 1 1
2 . Chứng
a b c
1
1
1
2
.
2
2
2
2
2
2
3
5a 2ab 2b
5b 2bc 2c
5c 2ca 2a
Câu 9: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện
minh rằng:
Câu 10: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều
kiện:
1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng
1
.
3
Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng
đồng quy.
LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018
a 2018
a 2018 a 1
.
Câu 1: Rút gọn biểu thức P
a 1 2 a
a 2 a 1
a 0
a 1
Điều kiện:
a 2018
a 1
a 2018
2
( a 1)( a 1) 2 a
( a 1)
Khi đó: P
( a 2018 )( a 1) ( a 2018 )( a 1) a 1
.
( a 1)2 ( a 1)
2 a
2.2017 a
a 1 2017
.
2
a 1
( a 1) ( a 1) 2 a
Câu 2: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x y
và y z. Chứng minh đẳng thức
y
x
x y z
z
x z
2
y
2
x z x y z y
Ta có:
y y z
x y z x
x 2 y z x z x z
2 x y z y z y z
x
2
, x y z
x z
.
y z
z
z 2
z 2
2
2
x z
2
2
2
y
2
2
x
2
y
z
x 2 y 2 z
x 2 y 2
x z
.
y z
Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd abc ab a 4321.
Ta có: abcd abc ab a 4321 1111a 111b 11c d 4321
Vì a,b,c,d
1
và 1 a 9,0 b,c,d 9 nên 3214 1111a 4321
a 3 . Thay vào (1) ta được: 111b 11c d 988
2
Lập luận tương tự ta có: 880 111b 988 b 8 . Thay vào (2) ta được: 11c d 100
Mà 91 11c 100 c 9 và d 1 .
( m 1 )x y 2
Câu 4: Cho hệ phương trình
( m là tham số và x, y là ẩn số)
x 2y 2
Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) trong đó x, y là các
số nguyên.
Từ phương trình thứ hai ta có: x 2 2 y thế vào phương trình thứ nhất được:
( m 1)( 2 2y ) y 2
( 2m 3 )y 2m 4 (3)
Hệ có nghiệm x, y là các số nguyên ( 3 ) có nghiệm y là số nguyên.
Với m
y
2m 3 0 ( 3 ) có nghiệm y
2m 4
1
1
2m 3
2m 3
2m 3 1
m 2
. Vậy có 2 giá trị m thoả mãn là 1; 2.
2m 3 1
m 1
Câu 5: Giải phương trình 1 x 4 x 3.
1 x 0
4 x 1 *
4 x 0
Điều kiện xác định
Với điều kiện (*), phương trình đã cho tương đương với:
5 2 1 x. 4 x 9
1 x 4 x 2 1 x 4 x 4 x2 3x 0
x 0
x x 3 0
. Đối chiếu với điều kiện (*) ta được x 0; x 3.
x 3
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 12cm, AC 16cm. Gọi I là giao điểm các đường phân
giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng đường thẳng BI
vuông góc với đường thẳng MI.
Ta có BC
AB2 AC 2 20cm . Gọi E là giao điểm của BI với AC.
AE EC AE EC 1
BC
Theo tính chất đường phân giác ta có:
EC
10cm
AB BC AB BC 2
2
Ta có ICE ICM( c g c ) do: EC MC 10 ; ICE ICM ; IC chung.
Suy ra: IEC IMC IEA IMB
Mặt khác IBM IBA hai tam giác IBM , ABE đồng dạng
BIM BAE 900 BI MI
Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 500 , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân
đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M
không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song
với đường thẳng AN.
a) Chứng minh rằng: MB.DN BH.AD
b) Tính số đo góc MON
a) Ta có MBH ADN ,MHB AND
MB BH
MB.DN BH .AD ( 1)
AD DN
BH OB
b) Ta có: OHB ∽ AOD
DO.OB BH .AD 2
DO AD
MB OB
Từ (1) và (2) ta có: MB.DN DO.OB
DO DN
MBH ∽ ADN
Ta lại có: MBO 1800 CBD 1800 CDB ODN
nên MBO ∽ ODN OMB NOD.
Từ đó suy ra: MON 1800 MOB NOD 1800 MOB OMB
1800 OBC 1150
Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ). Gọi A là
một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C), M là trung điểm
của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng
(d) cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì
điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Gọi D là trung điểm của đoạn BC, vì tam giác BOC, AOC là các tam giác cân tại O nên
OD BC,OM AC .
Ta có: ODC OMC 90 Bốn điểm O, D, C, M cùng nằm trên đường tròn ( I ) có tâm I
0
cố định, đường kính OC cố định.
Gọi E là điểm đối xứng với D qua tâm I, khi đó E cố định và DE là đường kính của đường tròn
( I ).
Nếu H E,H B :
- Với M E BHE 90
0
- Với M E , do DM
BH DMH 900 . Khi đó DME DMH 900 H ,M ,E
thẳng hàng. Suy ra BHE 90
0
Vậy ta luôn có: BHE 90 hoặc H E hoặc H B do đó H thuộc đường tròn đường kính
BE cố định.
0
1 1 1
2 . Chứng minh rằng:
a b c
1
1
1
2
.
5a 2 2ab 2b 2
5b 2 2bc 2c 2
5c 2 2ca 2a 2 3
Câu 9: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện
Với x, y,z 0 ta có : x y z 3 3 xyz ,
x yz
1 1 1
1
33
x y z
xyz
1 1 1
1
1 1 1 1
x y z 9
Đẳng thức xảy ra khi
x yz 9 x y z
x y z
Ta có: 5a 2 2ab 2b2 ( 2a b )2 ( a b )2 ( 2a b )2
1
1
1 1 1 1
. Đẳng thức xảy ra khi a b
2a b 9 a a b
5a 2ab 2b
1
1
1 1 1 1
Tương tự:
Đẳng thức xảy ra khi b c
2
2
2b c 9 b b c
5b 2bc 2c
1
1
11 1 1
Đẳng thức xảy ra khi c a
5c 2 2ca 2a 2 2c a 9 c c a
Do đó:
1
1
1
13 3 3
2
2
2
2
2
2
9a b c
5a 2ab 2b
5b 2bc 2c
5c 2ca 2a
2
2
1 1 1 1 2
3 a b c 3
Đẳng thức xảy rakhi a b c
3
. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
2
Câu 10: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng
1
.
3
Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.
Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa
mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC
lần lượt tại S, E, K sao cho SCDSK 3S ABKS
Từ SCDSK 3S ABKS ta suy ra được: DS CK 3 AS BK
a AS a BK 3 AS BK AS BK
EM
1
a
2
1
a suy ra E cố định và d đi qua E.
4
Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho FN GP HQ
a
.
4
Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải đi qua một
trong bốn điểm cố định E, F, G, H.
Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có ít nhất
2018
4 1 505 đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa là 505
đường thẳng đó đồng quy.