Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Đề thi và đáp án Học kỳ 1 - Môn toán lớp 9 năm học 2019 - 2020 (Lê Uyên Vi)

4525889afd6da3f2ffe6f610f31faab9
Gửi bởi: Đỗ Thị Kiều1 23 tháng 12 2020 lúc 13:19:36 | Được cập nhật: hôm kia lúc 6:41:18 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 1607 | Lượt Download: 53 | File size: 2.580289 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ THI HKI MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2019-2020 CÁC QUẬN – HUYỆN THÀNH PHỐ HÀ NỘI MỤC LỤC PHẦN I: ĐỀ BÀI ...........................................................................................................................................2 ĐỀ SỐ 1: QUẬN CẦU GIẤY .......................................................................................................................2 ĐỀ SỐ 2: QUẬN HAI BÀ TRƯNG..............................................................................................................3 ĐỀ SỐ 3: QUẬN BẮC TỪ LIÊM .................................................................................................................4 ĐỀ SỐ 4: QUẬN HOÀNG MAI ...................................................................................................................5 ĐỀ SỐ 5: QUẬN NAM TỪ LIÊM................................................................................................................6 ĐỀ SỐ 6: QUẬN LONG BIÊN .....................................................................................................................7 ĐỀ SỐ 7: QUÂN THANH XUÂN ................................................................................................................8 ĐỀ SỐ 8: QUẬN HOÀN KIẾM ...................................................................................................................9 ĐỀ SỐ 9: QUẬN HÀ ĐÔNG ......................................................................................................................10 ĐỀ SỐ 10: QUẬN BA ĐÌNH ......................................................................................................................11 ĐỀ SỐ 11: QUẬN ĐỐNG ĐA ....................................................................................................................12 ĐỀ SỐ 12: QUẬN ĐÔNG ANH .................................................................................................................13 ĐỀ SỐ 13: HUYỆN GIA LÂM ...................................................................................................................14 ĐỀ SỐ 14: HUYỆN THƯỜNG TÍN ...........................................................................................................15 PHẦN B: ĐÁP ÁN ......................................................................................................................................16 ĐÁP ÁN QUẬN CẦU GIẤY......................................................................................................................16 ĐÁP ÁN QUẬN HAI BÀ TRƯNG ............................................................................................................21 ĐÁP ÁN QUẬN BẮC TỪ LIÊM ...............................................................................................................26 ĐÁP ÁN: QUẬN HOÀNG MAI ................................................................................................................31 ĐÁP ÁN: QUẬN NAM TỪ LIÊM .............................................................................................................35 ĐÁP ÁN : QUẬN LONG BIÊN .................................................................................................................42 ĐÁP ÁN: QUẬN THANH XUÂN .............................................................................................................47 ĐÁP ÁN QUẬN HOÀN KIẾM ..................................................................................................................53 ĐÁP ÁN: QUẬN HÀ ĐÔNG......................................................................................................................57 ĐÁP ÁN: QUẬN BA ĐÌNH ......................................................................................................................62 ĐÁP ÁN: QUẬN ĐỐNG ĐA......................................................................................................................70 ĐÁP ÁN: QUẬN ĐÔNG ANH ...................................................................................................................75 ĐÁP ÁN: HUYỆN GIA LÂM ....................................................................................................................79 1 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê PHẦN I: ĐỀ BÀI ĐỀ SỐ 1: QUẬN CẦU GIẤY Bài I.  1 1  x (3 điểm): Cho biểu thức: A   với x  0 , x  4 .  : x 2 x2 x  x 2 a) Chứng minh A  b) Tìm x biết A  4 . x 2 2 . 3 c) Cho x là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Bài II. (2,5 điểm): Cho hàm số y   m  1 x  3  d  ( m là tham số, m  1) a) Tìm m để hàm số trên là hàm số đồng biến. b) Khi m  2 , hãy vẽ đồ thị hàm số đó trên mặt phẳng tọa độ Oxy và tính khoảng cách từ O đến đường thẳng  d  . 3 2 lượt là giao điểm của đường thẳng  d  và  d   với trục hoành Ox . Tìm m để diện tích c) Đường thẳng  d  cắt đường thẳng y   x  3  d   tại điểm M . Gọi N và P lần tam giác OMP bằng 2 lần diện tích tam giác OMN . Bài III.(4 điểm) 1) Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc 500 km/h. Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc 30 . Hỏi sau 6 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay lên cao được bao nhiêu ki-lô-mét theo phương thẳng đứng? 2) Cho nửa đường tròn  O; R  đường kính AB . Vẽ hai tiếp tuyến Ax , By với nửa đường tròn đó. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM  R . Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn  O  ( C là tiếp điểm). Tia MC cắt By tại D . a) Chứng minh MD  MA  BD và OMD vuông. b) Cho AM  2R . Tính BD và chu vi tứ giác ABDM . c) Tia AC cắt tia By tại K . Chứng minh OK  BM . Bài IV.(0,5 điểm): Giải phương trình: 2020 x  2019  2019 x  2019  2019 x  2020 . 2 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 2: QUẬN HAI BÀ TRƯNG Bài 1. (2,0 điểm) 1) Thực hiện phép tính: a) 20  3 125  5 45 b) 3 2 3 2  2 3  2 5 2 2) Một cột cờ vuông góc với mặt đất có bóng dài 12m, tia nắng của mặt trời tạo với mặt đất một góc là 350 (hình vẽ bên). Tính chiều cao của cột cờ? Bàì 2. (2,0 điểm) Cho các biểu thức: A x 1 1 x và B  (ĐK: x  0; x  4 ).   x4 2 x x 2 x 2 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  36 . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P  A.B có giá trị là số nguyên. Bài 3. (2,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất y   m  1 x  2 có đồ thị  d  ( m là tham số và m  1) a) Vẽ  d  khi m  0 b) Xác định m để đường thẳng  d  song song với đường thẳng y  2 x  1 c) Xác định m để  d  cắt hai trục Ox, Oy tại A và B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích). Bài 4. (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm , đường kính có bờ là chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến nửa đường tròn ( khác ) vẽ tiếp tuyến tại cắt là giao điểm của và là giao điểm và . a) Chứng minh 4 điểm b) Chứng minh c) Chứng minh tích d) Tìm vị trí của Bài 5. . Trên nửa mặt phẳng . Từ điểm tùy ý thuộc lần lượt tại . Gọi cùng thuộc một đường tròn. và tứ giác không đổi khi là hình chữ nhật. di động trên nửa đường tròn. trên nửa đường tròn sao cho diện tích tứ giác nhỏ nhất. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  x  2  2 x  1  2019  x . 3 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 3: QUẬN BẮC TỪ LIÊM Bài 1.(2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A  x  6 x 3  và B  2 x 2 với x  0 ; x  9 .  x 9 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  4 . 2) Rút gọn biểu thức M  A: B . 3) Tìm các giá trị của x để 3 x  5  2M . Bài 2. (2,0 điểm) 1) Thực hiện phép tính: 3 8  50    2 2 1 . 2) Giải các phương trình sau: a. x2  6 x  9  1 b. 2 12 x  3 3x  4 48x  17 Bài 3. (2,0 điểm) Cho hàm số y (m 1) Vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 1)x 6 (1) với m 1. 2. 2) Gọi đồ thị của hàm số (1) là đường thẳng (d ) , tìm m để đường thẳng (d ) cắt đường thẳng y 5x m 2 tại một điểm nằm trên trục tung. 3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d ) bằng 3 2 . Bài 4. (3,5 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn  O; R  . Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn tâm O ( A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO với AB . a) Chứng minh rằng: 4 điểm M , A, O, B cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng: MO  AB tại H . c) Nếu OM  2R hãy tính độ dài MA theo R và tính số đo các góc AMB , AOB ? d) Kẻ đường kính AD của đường tròn  O  , MD cắt đường tròn  O  tại điểm thức hai là C Chứng minh rằng: MHC  ADC . Bài 5. (0,5 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x  2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M với M  x2  y 2 . xy 4 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 4: QUẬN HOÀNG MAI Bài I. ( 2,5 điểm) Cho hai biểu thức : A    x 1 2 x 2 và B  x  x4 1 x 2  x 2 x với x  0; x  4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  16 2) Rút gọn biểu thức B 3) Đặt M  A . Tìm x để biểu thức M thỏa mãn M  8 x  8  0 . B Bài II. (2,5 điểm) Cho hàm số y  x  2 có đồ thị là đường thẳng  d  . a) Vẽ đường thẳng  d  trên mặt phẳng tọa độ Oxy . b) Xác định hệ số a; b của hàm số bậc nhất y  ax  b biết đồ thị hàm số này là đường thẳng đi qua điểm A 1;  5  và song song với đường thẳng  d  . c) Tìm giá trị của m để đường thẳng y   m  3 x  5 (với m là tham số và m  3 ) cắt đường thẳng  d  tại một điểm nằm bên phải trục tung. Bài III. (1,0 điểm) Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc bằng 42 . Cùng thời điểm đó bóng của một cột đèn trên mặt đất dài 7, 2 m . Tính chiều cao của cột đèn. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Bài IV. (3,5 điểm) Cho đường tròn  O; R  có đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường tròn  O  sao cho AM  MB . Tiếp tuyến tại A của đường tròn  O  cắt tia OM tại S. Đường cao AH của tam giác SAO (H thuộc SO ) cắt đường tròn  O  tại D. 1) Chứng minh: OH.OS=R 2 . 2) Chứng minh: SD là tiếp tuyến của đường tròn  O  . 3) Kẻ đường kính DE của đường tròn  O  . Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAD . Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD và tính độ dài đoạn thẳng AE theo R và r. 4) Cho AM  R , gọi K là giao điểm của BM và AD. Chứng minh: MD 2  KH .KD . 6 Bài V. (0,5 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y  1 . Chứng minh: x2  3 x 9   . 4x y 4 5 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 5: QUẬN NAM TỪ LIÊM Bài I. (2,0 điểm). 1. Tính: a) 5 5  5 1 5 1 b) 2. Giải các phương trình sau: a) x  1  9x  9  4x  4  12  5 3  2  1 5 b) x 2  5x  x  5  0 Bài II. (2,0 điểm). Cho hai biểu thức A  2 x x 1 7 x  3 x7   và B  với x  0, x  9 9 x x 3 x 3 3 x a) Tính A khi x  25 b) Chứng minh: B  3 x x 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  A.B Bài III. (2,0 điểm). Cho đường thẳng  d1  : y  2 x  2 a) Vẽ đường thẳng  d1  trên mặt phẳng tọa độ Oxy . b) Tìm tọa độ giao điểm của  d1  và  d 2  : y  x  3 c) Cho đường thẳng  d3  : y  mx  5 . Tìm giá trị của m để ba đường thẳng  d1  ;  d2  ;  d3  cắt nhau tại một điểm D a K BÀI IV. (3,5 điểm) 60° 1. Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b với vận tốc trung bình là 2km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh trong 20 phút. Biết đường đi con thuyền là DE, tạo b E với bờ sông một góc 60o. Tính chiều rộng khúc sông 2. Lấy điểm A trên  O; R  , vẽ tiếp tuyến Ax . Trên tia Ax lấy B , trên  O; R  lấy C sao cho BC  AB . a) Chứng minh rằng: CB là tiếp tuyến của  O  . b) Vẽ đường kính AD của  O  , kẻ đường CK vuông góc với AD . Chứng minh rằng CD // OB và BC.DC  CK.OB. c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của  O  , vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E, F . Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE . Chứng minh rằng MAC ∽ IFE Bài V. (0,5 điểm). Cho x, y, z  0 và xy  yz  zx  3xyz. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 y2 z2   z  z 2  x2  x  x2  y 2  y  y 2  z 2  6 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 6: QUẬN LONG BIÊN Bài 1 (1,5điểm). Thực hiện phép tính. a) 3 80  7 45  500 c) b)  32  2  19  8 3 14 5 28  2 3   7 1 2 7 3  x2   x x 4  Bài 2 (2,0 điểm). Cho biểu thức P   x   : x  1   x  1 x  1   a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với x  4  2 3 c) Tìm số nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên. Bài 3. (1,5 điểm). Cho hàm số y  0,5x có đồ thị là  d1  và hàm số y  x  2 có đồ thị là  d 2  a) Vẽ đồ thị  d1  và  d 2  trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy . b) Xác định hệ số a, b của đường thẳng  d  : y  ax  b biết rằng  d  song song với  d1  và  d  cắt  d 2  tại một điểm có tung độ bằng 3 . Bài 4. (4,0 điểm). 1) (1,0điểm) Cho tam giác ABC đường cao AH biết BC = 5cm, AH = 2cm, độ lớn góc ACB  300 . Tìm độ dài AB. 2) (3,0điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là 2 tiếp điểm.) a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AO  BC . b) Trên cung nhỏ BC của (O) lấy điểm M bất kì ( M  B, M  C, M  AO ). Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Chứng minh: Chu vi ADE bằng 2AB. c) Đường thẳng vuông góc với AO tại O cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: 4PD.QE = PQ2. Bài 5. (1,0 điểm). Cầu Đông Trù bắc qua sông Đuống, nằm trên quốc lộ 5 kéo dài, nối xã Đông Hội, huyện Đông Anh ở phía Bắc Hà Nội và phường Ngọc Thuỵ, quận Long Biên ở phía Nam Hà Nội. Nhịp giữa dài 120m được thiết kế bằng vòm thép nhồi bê tông có hình một cung tròn. Khoảng cách điểm cao nhất của mái vòm xuống mặt sàn của cầu là 47m. (được mô phỏng hình vẽ dưới). Hãy tính độ dài bán kính R của đường tròn chứa cung tròn là nhịp giữa của cầu Đông Trù? (Kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân). 7 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 7: QUÂN THANH XUÂN Bài 1: (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A  sin150  cos150  cot 750 0 cos15 2) Giải phương trình: 25x  5  45 20x  4  Bài 2: (2,0 điểm) Cho các biểu thức P  5x  1 27 5  16 4 2 x 2  và Q  2 x 2x  x 1 x  x 1  x 3 ; x 1  2 (Với x  1, x  2, x  3 ) 1) Tính giá trị của biểu thức P khi x= 16 2) Chứng minh rằng Q  2  x 3) Tìm x để P.Q  0 . Bài 3: (2 điểm) Cho hàm số bậc nhất y  (m  1) x  2m và y  (2m  1) x  3m 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song. 2) Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đồ thị nằm trên trục hoành. Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn  O; R  đường kính AB . Gọi C , D là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc COD luôn bằng 900 (C nằm giữa A và D). Tiếp tuyến tại C,D cắt đường thẳng AB lần lượt tại F,G. Gọi E là giao điểm của FC và GD. 1) Tính chu vi của tam giác ECD theo R. 2) Khi tứ giác FCDG là hình thang cân. Hãy tính tỉ số AB . FG 3) Chứng minh rằng FC  DG luôn là hằng số. 4) Tìm vị trí của C,D sao cho tích AD  BC đạt giá trị lớn nhất Bài 5: (0,5 điểm) Với hai số x, y dương thỏa mãn x  y  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T  1 1 1 1 1 4 .   1 2   2 2 2 x ( x  1) y ( y  1) ( x  1)( y  1) 8 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 8: QUẬN HOÀN KIẾM Bài 1. (2,0 điểm) 1. Tính giá trị của P  2 2 1  2 2 1 2. Giải phương trình x 1  2 với x là ẩn số thực x 1 Bài 2. (2,0 điểm) x 1 và B  x 1 1 1. Tính giá trị của A khi x  4 B 2. Rút gọn biểu thức P  A 3. Tìm x để biểu thức P  1 Cho các biểu thức A  1 x 2  với x  0; x  1 x 1 x 1 Bài 3. (2,5 điểm) Cho hàm số bậc nhất y   m  2 x  m  1 với m là tham số có đồ thị là đường thẳng  d  . 1. Tìm m để  d  đi qua điểm A 1;1 . Vẽ  d  với m vừa tìm được. 2. Với giá trị nào của m thì  d  và đường thẳng  d '  : y  1  3x song song với nhau ? 3. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d  bằng 1. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;4cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH= 1cm. Kẻ dây cung DC vuông góc với AB tại H 1. Chứng minh:  ABC vuông và tính độ dài AC 2. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh  CBD cân và EC EA  DH DB 3. Gọi I là trung điểm của EA, đoạn IB cắt (O) tại Q. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O) và từ đó suy ra ICQ  CBI 4. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. Chứng minh ba đường thẳng IB,HC, AF đồng quy Bài 5. (0,5 điểm) Cho x, y,z là các số thực thỏa mãn đẳng thức xy  yz  zx  5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  3x  3 y  2 z 6  x  5  6  y  5  z  5 2 2 2 . 9 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 9: QUẬN HÀ ĐÔNG Bài 1. (1,5 điểm). Tìm x ,biết 1)2 x  81x  x  20 2) 3 x  4  3 Bài 2. (2,5 điểm). Cho hai biểu thức A x 1 2 x 3 x 3 x6 x   và B  với x  0; x  9; x  16 x  3 4  x x  7 x  12 x 4 1) Tính giá trị biểu thức A khi x  25 . 2) Rút gọn B . 3) Đặt P  2  x  2 B : A . Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 3. (2,0 điểm) Cho hàm số y   m2  1 x  m  2 (m là tham số) có đồ thị là đường thẳng d. 1) Vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1. 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  3 3) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng  d1  : y  2x  3 Bài 4. (3,5 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn  O ; R  sao cho OM  2R . Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với  O ; R  ( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O) . Gọi H là giao điểm của AB và OM. a) C/m: 4 điểm A , O , B , M cùng thuộc một đường tròn. b) Tính tỉ số OH OM c) Gọi E là giao điểm của CM và đường tròn (O) . Chứng minh : HE  BE Bài 5. (0,5 điểm) Với x,y là các số thực dương thỏa mãn x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 x biểu thức Q  2x 2  y 2  x   2020 10 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 10: QUẬN BA ĐÌNH Bài 1. (2,0 điểm) C 2 12   3 a) Rút gọn biểu thức: A  2 32 b) Một chiếu thang dài 3,5m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu để nó tạo với phương nằm ngang của mặt đất một góc an toàn là 750 (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). Bài 2. (2,0 điểm) A x 5 x ; x  25 B 2 x x 9 x  , với x  0; x  9; x  25 x 9 x 3 A B a) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 0 b) Rút gọn biểu thức B c) Đặt P=B:A. So sánh P với 1 Bài 3.(2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  d  : y   m  1 x  m (với m là tham số). a) Vẽ đường thẳng  d  khi m  3 ; b) Tìm m để  d  đi qua điểm A  1;  3 ; c) Tìm m để  d  cùng với hai đường thẳng  d1  : y  x  2 và  d2  : y   x  1 đồng 3 quy. Bài 4.(3,5 điểm) Cho điểm C thuộc đường tròn tâm O đường kính AB , ( AC  BC ). Gọi H là trung điểm BC . Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tia OH tại D . a) Chứng minh rằng: DH .DO  DB2 ; b) Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O) ; c) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E . Gọi M là trung điểm của AE . Chứng minh bốn điểm D, B, M , C cùng thuộc một đường tròn. d) Gọi I là trung điểm của DH , BI cắt (O) tại F . Chứng minh ba điểm A, H , F thẳng hàng. Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình : 2  x2  8  5 x3  8 . 11 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 11: QUẬN ĐỐNG ĐA Bài I ( 2,0 điểm)  1   4,5  12,5  . 2  2    1) Tính giá trị của biểu thức T   2) Giải phương trình: x2  6x  9  1  5 Bài II. ( 2,0 điểm) Cho biểu thức A  x2 x 2 x và B  2x  x  4 x2 x  x 1 x 2 với x  0 1) Tính giá trị của A khi x = 9 2) Rút gọn biểu thức B 3) Cho P  A . Tính giá trị nguyên của x để P có giá trị âm. B Bài III. ( 2,0 điểm) Cho hai hàm số: y  x  2 d  và y  x  4  d'  1) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ. 2) (d) cắt (d’) tại điểm M. Tìm tọa độ điểm M. 3) (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B; (d’) cắt Ox tại C, cắt Oy tại D. Tính diện tích tam giác BCM Bài IV. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm M khác điểm A. Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến ME và MF tới đường tròn (O) ( E và F là các tiếp điểm). EF cắt OM và OA lần lượt tại H và K. 1) Chứng minh: H là trung điểm của EF. 2) Chứng minh rằng bốn điểm O,M,A,F cùng thuộc một đường tròn. 3) Chứng minh : OK.OA=R2. 4) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d để tam giác OHK có diện tích lớn nhất Bài V. (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x  y  1 và x  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  y 2  8x2  y . 4x 12 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 12: QUẬN ĐÔNG ANH Bài I: (1 điểm) Rút gọn biểu thức: a)   b) 5 2 5 1  5 5 2 12  2 75  27 . 3 Bài II: (2 điểm): Giải phương trình: a) x 1  2  3 b) 4x  8  1 25 x  50  3 x  2  1 5 Bài III: (2 điểm) Cho A  x 4 x 2 và B  (ĐK: x  0, x  4 )  x4 x 2 x 2 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36. b) Rút gọn biểu thức P = B:A. c) Tìm giá trị của x để P > 0 Bài IV: (1,5 điểm) Cho hàm số y = x + 5 có đồ thị (d1) và hàm số y = -2x - 1có đồ thị (d2) a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Xác định tọa độ giao điểm A của hai đồ thị hàm số trên bằng phương pháp đại số. c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và trục hoành. Bài V: (3 điểm) Cho đường tròn (O:R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn đó, qua A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O:R), B và C là các tiếp điểm. vẽ đường kính BOD của (O). a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng: DC // OA c) Đường trung trực của BD cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh rằng tứ giác OCEA là hình thang cân. Bài VI: (0,5 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z =1. Chứng minh: x  2 y  y  2z  z  2x  3 . 13 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 13: HUYỆN GIA LÂM Bài 1: (2,0 điểm) Câu 1) Rút gọn biểu thức: a) 7 3  363  48 b) 3 7  11  4 7 Câu 2) Giải phương trình và hệ phương trình: 4 x  12  3 3  x  7 9 x  27  20 4 x  y  5 b)  3x  y  9 a) Bài 2: (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức A  x 3 khi x  16 x 1  x2 1 x 1   b) Rút gọn biểu thức sau: B   (Với x  0, x  1 ) . x  2  x 1  x2 x c) Tìm các giá trị của x để biểu thức M = A.B < 0 . Bài 3: (2,0 điểm) Cho ba đường thẳng:  d1  : y  x  2  d2  : y  2 x  1  d3  : y   m2  1 x  m a) Vẽ  d1  ;  d2  trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy b) Xác định m để ba đường thẳng trên đồng quy. Bài 4: (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm  O; R  và điểm A nằm ngoài (O) . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) ( B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: OA là đường trung trực của BC . c) Lấy D là điểm đối xứng với B qua O . Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với  O  ( E không trùng với D ). Chứng minh: DE.BA  BD.BE. d) Tính số đo góc HEC Bài 5: (0,5 điểm) Cho : a  b  1 . Chứng minh: a 2  b2  1 . 2 14 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐỀ SỐ 14: HUYỆN THƯỜNG TÍN Bài 1 (2,5 điểm): Cho biểu thức P  x 1 2 x 25 x   4 x x 2 x 2 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi x  1 4 c) Tìm x để P  2 Bài 2 (1,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình: 2 x  3 y  4  x  2 y  5 a)  b) 5 x  5  9 x  45  4 x  20  18 Bài 3. (3 điểm) Cho hàm số y   m  1 x  26 . Hãy xác định m để: a) Hàm số trên đồng biến. b) Đồ thị của hàm số đi qua A 1; 2  c) Đồ thị của hàm số đã cho song song với đồ thị hàm số y   4023  m  x  11 Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm . Từ một điểm A cách O là 5cm vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là tiếp điểm) a) Chứng minh AO vuông góc với BC b) Kẻ đường kính BD . Chứng minh rằng DC song song với OA c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BD , đường thẳng này cắt tia DC tại E . Đường thẳng AE và OC cắt nhau ở I , đường thẳng OE và AC cắt nhau ở G . Chứng minh IG là trung trực của đoạn thẳng OA . Bài 5. (0,5 điểm)Với x  0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  4 x 2  3x  1  2017 4x 15 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê PHẦN B: ĐÁP ÁN ĐÁP ÁN QUẬN CẦU GIẤY 1  x  1 (3 điểm): Cho biểu thức: A   với x  0 , x  4 .  : x 2 x2 x  x 2 Bài I. 4 . x 2 a) Chứng minh A  b) Tìm x biết A  2 . 3 c) Cho x là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Lời giải 1  x  1 a) A    : x 2 x2 x  x 2  A   A A A A x 2  x 2  x 2 x 2 x 2  x 2   x 2    :  . x 2 4 x 2 4  x 2     : x 2  x : x 2  x2 x  x 2 x 2   x x2 x x  x  x x 2 x 2   x 4 . x 2 b) A  2  3 4 2  x 2 3  x 26 x 4  x  16 (TMĐK) Vậy x  16 . c) Ta có: x nguyên và x  0 , x  4 thì x  1, x  4 , x  . Ta có: x  1  x  1  x  2  3  0  4 4   x 2 3 4 4 4  P 3 x 2 3 16 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Dấu “  ” xảy ra  x  1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x  1 . 3 Bài II. (2,5 điểm): Cho hàm số y   m  1 x  3  d  ( m là tham số, m  1) a) Tìm m để hàm số trên là hàm số đồng biến. b) Khi m  2 , hãy vẽ đồ thị hàm số đó trên mặt phẳng tọa độ Oxy và tính khoảng cách từ O đến đường thẳng  d  . 3 c) Đường thẳng  d  cắt đường thẳng y   x  3  d   tại điểm M . Gọi N và P lần lượt là giao 2 điểm của đường thẳng  d  và  d   với trục hoành Ox . Tìm m để diện tích tam giác OMP bằng 2 lần diện tích tam giác OMN . Lời giải a) Hàm số đã cho đồng biến khi m  1  0  m  1 . b) Khi m  2 hàm số có dạng y  3x  3 . * Cho x  0 thì y  3 Cho y  0 thì x  1  Đường thẳng đi qua hai điểm  0; 3 và  1; 0  là đồ thị hàm số y  3x  3 . * Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy y A 3 H B -1 O x Gọi A  0; 3 và B  1; 0  nên OA  3 , OB  1. Kẻ OH vuông góc với d tại H . Xét tam giác OAB vuông tại O , đường cao OH Có 1 1 1 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)   2 2 OH OA OB 2 17 Nhóm Toán THCS  Toán học là đam mê 1 1 1 9  2  2  OH 2  2 OH 3 1 10  OH  3 10 . 10 c) Hai đường thẳng  d  và  d   cắt nhau khi và chỉ khi m  1  3 5 m 2 2 Hoành độ giao điểm M của  d  và  d   là nghiệm của phương trình  m  1 x  3  Mà y  3 x3 x  0 2 3 x3 y  3 2  d  cắt  d  tại điểm M  0; 3  3  ; 0 N là giao điểm của  d  với trục Ox nên N   m 1  P là giao điểm của  d   với trục Ox nên P  2; 0  Suy ra ON  3 ; OP  2 m 1 1 1 Ta có SOMP  2SOMN  OM .OP  2. .OM .ON  OP  2ON 2 2  2  2. 3  m  1  3  m  2;  4 (TMĐK) m 1 Vậy m2;  4 . Bài III. (4 điểm) 1) Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc 500 km/h. Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc 30 . Hỏi sau 6 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay lên cao được bao nhiêu ki-lô-mét theo phương thẳng đứng 2) Cho nửa đường tròn  O; R  đường kính AB . Vẽ hai tiếp tuyến Ax , By với nửa đường tròn đó. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM  R . Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn  O  ( C là tiếp điểm) Tia MC cắt By tại D . a) Chứng minh MD  MA  BD và OMD vuông. b) Cho AM  2R . Tính BD và chu vi tứ giác ABDM . c) Tia AC cắt tia By tại K . Chứng minh OK  BM . Lời giải 1) Đổi 6 phút  0,1 giờ. 18 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê B 30° A C Gọi AB là đoạn đường máy bay bay lên trong 6 phút thì BC chính là độ cao máy bay đạt được sau 6 phút. Sau 6 phút máy bay bay được quãng đường là AB  500.0,1  50 km. Độ cao của máy bay là BC  50.sin A  50.sin 30  25 km. 2) y x K M C D H A O B a) * Xét  O  : MA , MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M với tiếp điểm A và C  MA  MC . DC , DB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D với tiếp điểm B và C  DB  DC . Mà MD  MC  CD  MD  MA  DB . * Xét  O  : MA , MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M với tiếp điểm A và C  OM là tia phân giác của AOC . DC , DB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D với tiếp điểm B và C  OD là tia phân giác của COD . Mà AOC và COB là hai góc kề bù  OM  OD tại D .  MOD  90 nên OMD vuông tại O . b) AM  2R  MC  2R Xét tam giác MOD vuông tại O , đường cao OC , có: 19 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê MC.DC  OM 2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)  2 R.CD  R 2  CD   CD  DB  R 2 R 2 Do đó chu vi tứ giác ABDM là: AB  BD  DM  MA  AB  DB  DC  CM  AM  2R  R R   2R  2R  7 R 2 2 c) * Chứng minh: AMO đồng dạng với BAK ( MAO  ABK  90 ; AOM  BKA vì cùng phụ với KAB ) Suy ra Gọi AM AO AM BO  tan MBA  tan OKB  MBA  OKB    AB BK AB BK H là giao điểm của OK và BM Ta có MBA  OKB  HBO  OKB Mà OKB  KOB  90 ( OBK vuông tại B)  HBO  KOB  90 Hay HBO  HOB  90  OHB  90  OK  BM tại Bài IV. (0,5 điểm): Giải phương trình: H. 2020 x  2019  2019 x  2019  2019 x  2020 . Lời giải ĐK: x  2020 2019 2020 x  2019  2019 x  2019  2019 x  2020  2020 x  2019  2019 x  2020  2019  x  1  2020 x  2019  2019 x  2020  2019  x  1   x  1 1  2019    2020 x  2019  2019 x  2020   2020 x  2019  2019 x  2020   0  Suy ra x  1 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 20 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐÁP ÁN QUẬN HAI BÀ TRƯNG Bài 1. (2,0 điểm) 1) Thực hiện phép tính: a) 20  3 125  5 45 b) 3 2 3 2  2 3  2 5 2 2) Một cột cờ vuông góc với mặt đất có bóng dài 12m, tia nắng của mặt trời tạo với mặt đất một góc là 350 (hình vẽ bên). Tính chiều cao của cột cờ? Lời giải 1) 20  3 125  5 45  2 5 15 5  15 5  2 5 a) b) 3 3 2  3  2 3 2 32  2 3  2 5 2  2 2  3 5 2  3  2 5 2 3 33 2 2   3 3 3 2 2 3  2 2 5 2  3 B 2) * Chiều cao của cột cờ là AB Do ABC vuông tại A nên ta có: AB  AC.tan C =12.tan350 350 =8,402  m  Bàì 2. A 12m C (2,0 điểm) Cho các biểu thức: A x x 1 1 và B  (ĐK: x  0; x  4 ).   x4 2 x x 2 x 2 1) Tính giá trị của biểu thức 2) Rút gọn biểu thức A khi x  36 . B. 3) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P  A.B có giá trị là số nguyên. 21 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Lời giải 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  36 . Có: x  36 TM   x  6 x  6 vào biểu thức A có: Thay A 6 6 3   62 8 4 Vậy A  3 khi x  36 4 2) Rút gọn biểu thức B x 1   x4 2 x B x B B B B  x 2  x 2 B. 1 x 2   (ĐK x  0; x  4 ) 1  x 2 1 x 2 x x 2 x 2   x 2 x 2 x2 x x 2 x    x 2  x 2 x 2   x 2    x x 2 3) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P  A.B có giá trị là số nguyên. P  A.B  P  P x x . x 2 x 2 ( ĐK: x  0; x  4 ) x 4  1 x4 x4 P  Z  1 4 4 Z   Z  x  4 ¦  4   4; 2; 1;1; 2; 4  x  0; 2;3;5;6;8 x4 x4 Kết hợp điều kiện: x  0; x  4  x 0; 2; 3; 5; 6; 8 thì P  A.B có giá trị là số nguyên. Bài 3. (2,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất y   m  1 x  2 có đồ thị  d  ( m là tham số và m  1 ) a) Vẽ  d  khi m  0 22 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b) Xác định m để đường thẳng  d  song song với đường thẳng y  2 x  1 c) Xác định m để  d  cắt hai trục Ox, Oy tại A và B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích). Lời giải a) Khi m  0 ta có hàm số y  x  2 Hàm số xác định với mọi x  a  1  0 hàm số đồng biến trên Lập bảng: x 0 y 2 2 0 Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm  0; 2  và  2;0  Vẽ đồ thị: m  1  2 b) Đường thẳng  d  song song với đường thẳng y  2 x  1    m 1 2  1 c) Xét hàm số: y   m  1 x  2  d  . Gọi A và B là giao điểm của  d  với các trục hoành và trục tung. Giao với Ox : Cho y  0   m  1 x  2  0  x   2  A   2 ;0  m 1  m 1  Giao với Oy : Cho x  0  y  2  B  0;2  Ta có OA   2 2  ; OB  2 , tam giác OAB vuông tại O suy ra m 1 m 1 1 1 2 2 m  1  1 m  0 SOAB  .OA.OB  . .2   2  m 1  1    (Tm đk) 2 2 m 1 m 1  m  1  1  m  2 Vậy với m  0; m  2 thì  d  cắt hai trục Ox, Oy tại A và B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích). 23 Nhóm Toán THCS Bài 4. Toán học là đam mê (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm , đường kính chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến . Từ điểm ) vẽ tiếp tuyến tại cắt lần lượt tại . Gọi điểm và . a) Chứng minh 4 điểm . Trên nửa mặt phẳng có bờ là tùy ý thuộc nửa đường tròn ( khác là giao điểm của và là giao cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh là hình chữ nhật. và tứ giác không đổi khi c) Chứng minh tích di động trên nửa đường tròn. trên nửa đường tròn sao cho diện tích tứ giác d) Tìm vị trí của nhỏ nhất. Lời giải y x D M C E 1 2 3 A a) Vì 4 O B là tiếp tuyến của đường tròn và ⇒ ̂ F ̂ ⇒ 4 điểm b) Xét đường tròn tiếp tuyến tại cùng thuộc đường tròn đường kính cắt tiếp tuyến tại ở và và . nên ta có ⇒ ⇒ Mà ⇒ ̂ là trung trực ̂ Xét đường tròn ⇒ ̂ là trung trực của ̂; ̂ Mà ̂ ̂ chữ nhật ̂ tiếp tuyến tại cắt tiếp tuyến tại và ở và nên ta có ̂ ̂ ⇒ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⇒ tứ giác là hình 24 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê c) Xét tam giác vuông là đường cao. có ⇒ không đổi. d) Gọi là trung điểm Tứ giác là hình thang cân có là đường trung bình ⇒ ⇒ Diện tích tứ giác Bài 5. nhỏ nhất khi trùng khi vuông góc . (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  x  2  2 x  1  2019  x . Lời giải Điều kiện x  2 . Ta có 2 A  2 x  2  4 x  1  4038  2 x    x  2  2 x  2  1   x  1  4 x  1  4  4042     2 x  2 1   2 x  1  2  4042 .  2 A  4042  A  2021.  x  2  1  0  x  3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x  1  2  0  Vậy maxA  2021 khi x  3 . 25 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐÁP ÁN QUẬN BẮC TỪ LIÊM Bài 1 1) Thay x  4 (TMĐK) vào biểu thức A 6  4 4 3  A ta được: 6 3 2  Vậy với x  4 thì A  3 . 2) M  A: B   x  2 x 2  :   x  3  x 3  x 9 6   x  x  3  x  3  x x 3 : 6   x  3 2 x 2 6 x 3  .  x 3  x 3 6  x 3 . x 3) 3 x  5  2M  3 x  5  2.  x 3 x   3 x  5 . x  2.  x 3   3x  5 x  2 x  6  0  3x  3 x  6  0  x  x 20  x  2 x  x 20  x     x 2  x 2   x  2 0  x 1  0  x 1 0 (Vì x  2  0  x TMĐK)  x 1(TM ) Vậy x 1 là giá trị cần tìm. 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bài 2 a. Ta có: x2  6 x  9  1   x  3 2 x  3  1 x  4 . Vậy: ............ 1 x 3 1    x  3  1  x  2 b) Điều kiện: x  0 . Ta có: 2 12 x  3 3x  4 48x  17  4 3x  3 3x  16 3x  17  17 3x  17  3x  1  3x  1  x  1  tm  3 Bài 3: 1) Vẽ đồ thị hàm số (1) khi Khi m 2 , ta có: y (2 3x Đồ thị hàm số y 1)x 2. 6 0 x y m 6 3x 6 3x 6 2 0 6 là đường thẳng đi qua điểm (0;6) và điểm ( 2; 0) . 27 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 2) Gọi đồ thị của hàm số (1) là đường thẳng (d ) , tìm m để đường thẳng (d ) cắt đường thẳng y 5x m 2 tại một điểm nằm trên trục tung. Đường thẳng (d ) cắt đường thẳng y m 1 0 m m m 1 2 5 6 m m Vậy m tung. 5x m 2 tại một điểm nằm trên trục tung 1 m 4 8 8 8 thì đường thẳng (d ) cắt đường thẳng y 5x m 2 tại một điểm nằm trên trục 3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d ) bằng 3 2 . Đồ thị hàm số y (m 1)x 6 với m 1 là đường thẳng cắt trục Ox tại điểm A 6 m 1 ;0 và cắt trục Oy tại điểm B 0;6 6 Suy ra: OA Kẻ OH m 6 1 m 1 và OB 6 6 AB tại H thì OH chính là khoảng cách từ O đến đường thẳng (d ) . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 1 OH 2 1 OA2 1 OB 2 1 1 36 (3 2)2 (m 1 36 1)2 1)2 1 36 (m 1)2 36 1 2 36 (m 1)2 36 1 (m 1)2 1 2 m2 2m 1 1 m2 2m 2 1 18 (m 1 18 36 2 2 28 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê m2 2m 2 m2 2m 0 2) 0 m(m 2 0 m 0 hoặc m m 0 (thỏa điều kiện) hoặc m Vậy m 0; m 2 0 2 (thỏa điều kiện) 2 thì khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d ) bằng 3 2 . Bài 4: A M O H I C D a) Gọi B I là trung điểm OM Ta có MAO  90  IO  IA  IM Ta có MBO  90  IO  IB  IM Vậy M , A, O, B cùng thuộc đường tròn tâm  I , IA b) OA  OB  R  O thuộc đường trung trực của AB MA  MB  M thuộc đường trung trực của AB Vậy MO  AB tại H . c) Xét tam giác MAO vuông tại A . OM 2  OA2  AM 2  AM  R 3 OA 1 sin AMO    AMO  30  AMB  60 OM 2 sin AOM  AM 3   AOM  60  AOB  120 OM 2 d) Chứng minh tương tự ta có ACD  90 Xét tam giác MAD vuông tại A , đường cao AC . Ta có MA2  MC.MD Xét tam giác MAO vuông tại A , đường cao AH . Ta có MA2  MH .MO MC MO  Vậy MC.MD  MH .MO  MH MD Xét hai tam giác MHC và MDO 29 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê OMD chung MC MO  MH MD Vậy MHC ∽ MDO c  g c   MHC  ADC Bài 5: Cách 1: x  2 y  x 2 y x2  y 2 x y  1 x y  3 x 1 x y 3 5 5     .    .  2 . .  .2   M  xy y x 4 y x 4 y 4 y x 4 2 2 5 Giá trị lớn nhất của M   x  2 y . 2 y 1 Cách 2: x  2 y   x 2 M 5 x 2  y 2 x 2  4 xy  4 y 2  4 xy  3 y 2  x  2 y  y 1 M    4  3.  0  4  3.  M  2 xy xy xy x 2 2 5  x  2y . 2 Cách 3: x  2 y  x  2 y  0 Giá trị lớn nhất của M  M 5 x 2  y 2 2 x 2  5 xy  2 y 2  5 xy  2 x  y  x  2 y  5 5     M  2 xy 2 xy 2 xy 2 2 Giá trị lớn nhất của M  Cách 4: x  2 y  M 5  x  2y . 2 y 1  x 2 5 x2  y 2 x2  4 y 2  3 y 2 x2  4 y 2 y 2 x 2 .4 y 2 1    3.   3.  M  2 xy xy xy x xy 2 Giá trị lớn nhất của M  5  x  2y . 2 30 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐÁP ÁN: QUẬN HOÀNG MAI BÀI Ý Nội dung Điểm 2,5 đ I 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  16 x  16 (tmđk) 0, 25 đ Thay được x  16 vào biểu thức A 0,25đ 25 2 0, 25 đ Tính được A  0,25đ Kết luận 2) 1đ Rút gọn biểu thức B B B B B 3) 1đ 0, 25 đ x 1 x   x4 x 2 x 2 x    x 2  x  x 2  1 x 2  x 2 x 2  x 2 x 2  x 2 hay B    0, 25 đ 0, 25 đ  0, 25 đ 1 2 x Tìm x để biểu thức M  A : B thỏa mãn M  8 x  8  0  x  1 M  8 x  8  0   x  3  0 Lập luận :  x  3  0 với mọi x thỏa mãn đkxđ Biến đổi được M  2 0,5 đ 0, 25 đ 2 2 0, 25 đ Tìm được : x  9 (tmđk) Kết luận: 2,5đ II a) Vẽ đường thẳng  d  trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Lập luận đường thẳng  d  đi qua  0;  2  và  2;0  . Vẽ đồ thị 1đ 0,5đ 31 Nhóm Toán THCS b) Toán học là đam mê Xác định hệ số a; b của hàm số bậc nhất y  ax  b biết đồ thị hàm số này là đường thẳng đi qua điểm A 1;  5 và song song với đường thẳng  d  . * Lập luận, tìm được a  1 và b  2 . c) 0,75đ 0,25đ * Thay x  1; y  5 vào công thức y  ax  b . * Tính được b  6 (thỏa mãn). Vậy a  1; b  6 . 0,25đ Tìm giá trị của m để đường thẳng y   m  3 x  5 (với m là tham số và 0,75đ 0,25đ m  3 ) cắt đường thẳng  d  tại một điểm nằm bên phải trục tung. Đường thẳng  d  và đường thẳng y   m  3 x  5 cắt nhau  m  4 . 0,25đ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là x  2   m  3 x  5 . Tìm được x  0,25đ 7 . 4m Lập luận x  0 Tìm được m  4; m  3 và trả lời. III F D IV 1 Chứng minh OH .OS  R Học sinh vẽ tam giác vuông DEF 0,25đ Giả sử DF là chiều cao cột đèn điện, DE là bóng của cột đèn trên mặt đất. Góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là góc E Lập luận DF  DE.tan E 0,25đ Tính được E 0,25đ DF  7, 2.tan 420 DF  6, 48(m) và kết luận 0,25đ 0,25đ 3,5đ 1đ 2 Vẽ đúng hình đến câu a 0,25đ Chứng minh SAO  900  SAO vuông tại A. 0,25đ 32 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê S Chứng minh OH .OS  OA2 0,25đ Suy ra OH .OS  R2 0,25đ D M H A 2 B O Chứng minh: SD là tiếp tuyến của đường tròn (O) S Chứng minh OH là phân giác AOD 0,25đ Chứng minh SAO  SDO 0,25đ D M H A B O Chứng minh SD là tiếp tuyến của đường tròn (O) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp SAD và tính độ dài đoạn thẳng AE theo R và r E 3 Chứng minh SO là phân giác của SAD Chứng minh OAM cân tại O  OMA  OAM Chứng minh  SAM  MAH (cùng phụ với hai góc bằng nhau)  AM là phân giác của SAD Lập luận, suy ra M là tâm đường tròn nội tiếp SAD Suy ra được MH  r và OH  R  r AE Chứng minh OH  2 Tính được AE  2( R  r ) 4 1đ Chứng minh MD 2  KH .KD 2 D M H A 1đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ - Chứng minh tứ giác AMDO là hình thoi. - Chứng minh K là trọng tâm MOD . 2 1 - Chứng minh được KD  HD , KH  HD 3 3 2  KH .HD  HD 2 9 S 0,5đ 0,25đ K O B E 33 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Tính được HD  MD.sin 600  R 2 R2 HD 2  9 6 Kết luận Áp dụng BDT Cô si ta chứng minh được 1 1 1 1 1 1 1 x2   x2     2 x2 .   4x 4 4x 4 4 4x 4 Suy ra được 1 1 3 x2   1  4x 4 4 3 9  3x 2    (1) 4x 4 1 1 Ta có 4 y   2. 4 y.  2.2  4 y y 1 x  y  1  4x  4 y  4  4x   0 y x  4 x 2   0 (2) y Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. = V 3 2 0,25đ 34 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐÁP ÁN: QUẬN NAM TỪ LIÊM Bài I (2 điểm): 1. Tính: 5 5  5 1 5 1 a) b)  5 3  2  1 5 Giải 5 5  5 1 5 1 a)  5.    5 1  5 1    5 1  5 5 55 5 5 5 1  5 2 b)   5 3  5 5  3 5  5 5  3 5 3  2  5.   5 1  5 1  5 1 1 5 6 5 5 2. Giải các phương trình sau: a) x  1  9x  9  4x  4  12 (ĐK : x  1)  x  1  3 x  1  2 x  1  12  6 x  1  12  x 1  2  x 1  4  x  5  TM  35 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  5 b) x 2  5x  x  5  0 (ĐK: x  5 )  x.  x  5  x  5  0  x  5.   x 1  0  x 5  0   x  1  0  x  5  TM    x  1 KTM  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  5 Bài II ( 2 điểm). Cho hai biểu thức A  2 x x 1 7 x  3 x7   và B  với x  0, x  9 9 x x 3 x 3 3 x a) Tính A khi x  25 b) Chứng minh: B  3 x x 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  A.B Hướng dẫn giải a) x  25 (TMĐK)  x  5 Thay x = 25 và x  5 vào A ta có: A  Vậy x  25 thì A  32 15 b) Chứng minh: B  Giải: B   2 x  32 15 3 x x 3 2 x x 1 7 x  3 2 x x 1      9 x x 3 x 3 x 3 x 3   x  1 x  3  7  x  3 x  3 x 3  x 3   7 x 3 x 3  x 3  2x  6 x  x  4 x  3  7 x  3  x 3  x 3  36 Nhóm Toán THCS   3x  9 x x 3  c) P  A.B  x 3 Toán học là đam mê 3 x     x 3 x 3   x 3 3 x (đpcm). x 3 x7 3 x x7 16 16 .   x 3  x  3 6 3 x x 3 x 3 x 3 x 3 Với x  0, x  9 thì x 3 0 16 0 x 3 Áp dụng bất đằng thức Cô-si cho 2 số 16 2 x 3 x 3   x 3 Suy ra   x 3 . 16 ta có: x 3 x  3 và 16 8 x 3 16 6  2 x 3 Nên P  2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 Dấu “=” xáy ra khi x 3   16 x 3  x  3  4  x  1TM  2 x  3  16    x  3  4( L)  Câu III.(2 điểm): Cho đường thẳng  d1  : y  2 x  2 a) Vẽ đường thẳng  d1  trên mặt phẳng tọa độ Oxy . b) Tìm tọa độ giao điểm của  d1  và  d 2  : y  x  3 c) Cho đường thẳng  d3  : y  mx  5 . Tìm giá trị của m để ba đường thẳng  d1  ;  d2  ;  d3  cắt nhau tại một điểm Lời giải a) Ta có:  d1  y  2 x  2  Với x  0 thì y  2   d1  đi qua điểm A  0; 2  . + Với y  0 thì x  1   d1  đi qua điểm B  1;0  Vậy đường thẳng  d1  đi qua hai điểm A; B 37 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 2 x  2  x  3  x  5  y  8 Vậy tọa độ giao điểm của  d1  ;  d2  là C  5; 8 c) Ta có  d1    d2   C nên để ba đường thẳng cùng đi qua một điểm thì C   d3   8  m.  5  5  m  Vậy với m  13 5 13 thì  d1  ;  d2  ;  d3  cùng đi qua một điểm. 5 Bài IV (3,5 điểm): 1. Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b với vận tốc trung bình là 2km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh trong 20 phút. Biết đường đi con thuyền là DE, tạo với bờ sông một góc 60o. Tính chiều rộng khúc sông Lời giải a D K 60° b Đổi 20 phút  E 1  h 3 1 2 Quãng đường DE dài là: 2.   km  3 3 Qua E kẻ EK  a  DKE  90 . Xét KDE vuông tại K có: 2 2 3 EK  DE.sin EDK  .sin 60  .  0,577(km) 3 3 2 Vậy chiều rộng khúc sông là 0,577(km) . 2. Lấy điểm A trên  O; R  , vẽ tiếp tuyến Ax . Trên tia Ax lấy điểm B , trên  O; R  lấy điểm C sao cho BC  AB . a) Chứng minh rằng: CB là tiếp tuyến của  O  . b) Vẽ đường kính AD của  O  , kẻ đường CK vuông góc với AD . 38 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Chứng minh rằng CD // OB và BC.DC  CK.OB. c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của  O  , vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E , F . Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE . Chứng minh rằng MAC ~ IFE Lời giải B I F M C E A O K D a) Xét AOB và COB , có: AB  BC (gt) OB chung OA  OC   R  AOB  COB (c  c  c) Suy ra BAO  BCO  90 Nên BC là tiếp tuyến của  O  b) Ta có ACD nội tiếp  O  , AD là đường kính  ACD  90 hay CD  AC Lại có OB  AC (O và B cách đều A và C) Suy ra CD // OB (Từ vuông góc đến song song). 39 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Ta có: KCD  CAO (cùng phụ góc KDC ). Mà CAO  ACO (OA = OC = R). Nên KCD  ACO (Tính chất bắt cầu). Suy ra BOC  CDK (cùng phụ với ACO, KCD ) (Cách khác: Ta có BOC  OCD (SLT), mà OCD  ODC (do OC = CD = R) nên BOC  CDK (Tính chất bắt cầu) ). Xét BCO và CKD , có BOC  CDK (cmt) BCO  CKD   90   BCO ~ CKD  g  g   BC BO   BC.DC  CK .OB. CK CD c) Ta có EI là tia phân giác của góc BEF (gt) và EO là tia phân giác của góc AEM (định lý) Suy ra EI  EO . Mà AM  EO nên EI // AM. Chứng minh tương tự ta được OF  IF và IF // MC. Từ đó: IEF  EMA (slt) và IFE  FMC (slt). Lại có: IEF  IFE  180  EIF EMA  FMC  180  AMC Suy ra EIF  AMC 1 Ta có: IFE  IBF     1 1 EBF  EFB  180  BEF 2 2  Lại có: BEF  MEA  180 MOA  MEA  180  MOA  BEF Suy ra IFE  IBF      1 1 1 180  MOA  MAO  AMO  .2.MAO  MAO 2 2 2 40 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê  IFE  MAO  IBF Lại có IBC  KCD (vì BCO ~ CKD (cmt ) ) nên  IFE  MAO  KCD  MAO  KAC  MAC  2  Từ 1 và  2  Suy ra MAC ~ IFE (g.g). Bài V (0,5 điểm) : Cho x, y, z  0 và xy  yz  zx  3xyz. Tính giá trị nhỏ nhất của: A  x2 y2 z2   z  z 2  x2  x  x2  y 2  y  y 2  z 2  Lời giải: Từ xy  yz  zx  3xyz  Đặt 1 1 1    3. x y z 1 1 1  a,  b,  c ta được a  b  c  3 và a, b, c  0 x y z Lúc đó x2 c3 y2 a3 z2 b3 ; ;    2 2 2 2 2 2 z  z 2  x2  a  c x  x2  y 2  a  b y  y2  z 2  b  c Khi đó A  a3 b3 c3   a 2  b2 b2  c 2 a 2  c 2 Xét : a3 ab2  a  a 2  b2 a 2  b2 Ta có ab2 b 2   b  a  b   0 đúng với mọi a, b  0 , Dấu bằng  a  b. 2 2 a b 2 Suy ra a3 ab2 b  a   a  (1) 2 2 2 2 a b a b 2 Tương tự với a, b, c  0 ta được: Từ (1), (2), (3) ta có: A  b3 c b (2) ; 2 2 b c 2 c3 a c (3) . 2 2 a c 2 a3 b3 c3 a bc 3     2 2 2 2 2 2 a b b c a c 2 2 Dấu bằng  a  b  c  1  x  y  z  1. Vậy A min = 3 khi x  y  z  1. 2 41 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐÁP ÁN : QUẬN LONG BIÊN Bài 1 (1,5điểm). Thực hiện phép tính. a) 3 80  7 45  500  b) 32  2  19  8 3 c) 14 5 28  2 3   7 1 2 7 3 Lời giải a) 3 80  7 45  500  12 5  21 5  10 5  5 b)   32  32  2  19  8 3 4  3 c) 14 5 28  2 3   7 1 2 7 3 2  2  2 3 4 3  6  5 1 2 1 2   2 7 3  7 3  2 55 2  2  74 2 x2   x x 4  :  Bài 2 (2 điểm). Cho biểu thức P   x     x  1   x  1 x  1   Lời giải x2   x x 4  P x     :  x  1   x  1 x  1   a) Rút gọn P:     x  x  x  2  x x 1  x  4    : x  1 x 1 x 1      x 2 x x  x 4 :  x 1 x 1 x 1  x 2  . x 1   x  1 x  2  b) Tính giá trị của P với x  4  2 3 . Với x  4  2 3  Thay P   3 1 2  x  1  x  2  x 2 : x 1  x4  x 1  x 1 x 1 x 2 ĐKXĐ x  0; x  1; x  4 ( thỏa mãn ĐKXĐ)  x  3  1 . x  3  1 vào P, ta có : 3 1 1 32   3 1  2 3 1 Vậy P   32  2   3 3 1 3 2 3  2 53 3  2 2 53 3 tại x  4  2 3 . 2 42 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê .c) Tìm số nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên. P x 1 3  1   x 2 x 2 3   3 x 2 x 2  x  2  Ư(3)   1;3  x  1  x  1 ( không thỏa mãn điều kiện ) Vậy không có gía trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. Bài 3. (1,5 điểm) Cho hàm số y  0,5x có đồ thị là  d1  và hàm số y  x  2 có đồ thị là  d 2  a) Vẽ đồ thị  d1  và  d 2  trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy . b) Xác định hệ số a, b của đường thẳng  d  : y  ax  b biết rằng  d  song song với  d1  và  d  cắt  d 2  tại một điểm có tung độ bằng 3 . Lời giải a) Các điểm thuộc đồ thị hàm số y  0,5x : O  0; 0  và A  2;  1 Các điểm thuộc đồ thị hàm số y  x  2 : B  0; 2  và C  2;0  43 44/ 83 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a  0,5 b) Ta có:  d  song song với  d1    . Khi đó  d  : y  0,5 x  b b  0 Gọi M  x0 ; y0  là toạ độ giao điểm của  d  cắt  d 2  Ta có:  d  cắt  d 2  tại một điểm có tung độ bằng 3  y0  3 M  x0 ; y0    d2   y0  x0  2  x0  y0  2  x0  3  2  x0  5   d  cắt  d 2  tại điểm có toạ độ M  5; 3  M  5; 3 thuộc  d   3  0,5.  5  b  b  5,5 Bài 4 (4,0 điểm). 1) (1,0điểm) Cho tam giác ABC đường cao AH biết BC = 5cm, AH = 2cm, độ lớn góc ACB  300 . Tìm độ dài AB. 2) (3,0điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là 2 tiếp điểm.) a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AO  BC . b) Trên cung nhỏ BC của (O) lấy điểm M bất kì ( M  B, M  C, M   AO ). Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Chứng minh: Chu vi ADE bằng 2AB. c) Đường thẳng vuông góc với AO tại O cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: 4PD.QE = PQ2. Giải 1) Tính được HC = 2 3 cm; BH = 5 – 2 3 cm AB = 41  20 3  2,52 cm 2) 44 45/ 83 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê a) Gọi N là trung điểm của AO. suy được: NB  NA  NO  NC Vậy A, B, O, C cùng thuộc đường tròn tâm N, đường kính AO  Lập luận được AO là trung trực của đoạn BC. Suy được: AO vuông góc BC. b)Chu vi ADE = AD + DE + AE Mà: DM = DB (tiếp tuyến MD và DB cắt nhau tại D) ME =CE (tiếp tuyến ME và CE cắt nhau tại E) Suy được Chu vi ADE = AD + DB + AE + EC = AB + AC = 2 AB. c)Theo tính chất của hai tiếp tuyến của đường tròn, ta có: DOM  1 1 BOM , MOE  MOC 2 2 Cộng vế theo vế, ta được: DOE  Mà 1 BOC 2 1 BOC  AOC  OQE ( Vì AOC và OQE cùng phụ với QAO ) 2 Nên DOE  OQE Xét tam giác ODE và tam giác QOE, ta có: DOE  QOE (cmt) OED  OEQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  ODE ∽ QOE (g,g) Cm tương tự  ODE ∽ PDO  QOE ∽ PDO (tc bắc cầu) 45 46/ 83 Nhóm Toán THCS  Toán học là đam mê QO QE PQ PQ PQ2   PD.QE  PO.QO  .  PD PO 2 2 4  4PD.QE  PQ2 Bài 5. (1,0 điểm) Cầu Đông Trù bắc qua sông Đuống, nằm trên quốc lộ 5 kéo dài, nối xã Đông Hội, huyện Đông Anh ở phía Bắc Hà Nội và phường Ngọc Thuỵ, quận Long Biên ở phía Nam Hà Nội. Nhịp giữa dài 120m được thiết kế bằng vòm thép nhồi bê tông có hình một cung tròn. Khoảng cách điểm cao nhất của mái vòm xuống mặt sàn của cầu là 47m. (được mô phỏng hình vẽ dưới). Hãy tính độ dài bán kính R của đường tròn chứa cung tròn là nhịp giữa của cầu Đông Trù? (Kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân). Lời giải Xét đường tròn  O; R  có OH vuông góc với dây cung AB tại H  H là trung điểm của AB  HA  HB  AB 120   60  m  2 2 Ta có MH là khoảng cách từ M đến AB nên MH  AB . Mà OH  AB  H , O, M thẳng hàng  HO  MO  MH  HO  R  47  m  Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông OHB, ta có OB2  OH 2  HB2  R 2   R  47   602 2 R 5809  62, 00  m  94 46 47/ 83 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê ĐÁP ÁN: QUẬN THANH XUÂN Bài 1: (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A  2) Giải phương trình: sin150  cos150  cot 750 cos150 25x  5  45 20x  4  5x  1 27 5  16 4 Lời giải Bài 1: (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A sin150  cos150  cot 750 cos150  tan150  1  cot 750  tan150  1  tan150  1 2) Giải phương trình: 25x  5  45 20x  4  5x  1 27 5  16 4 ĐKXĐ: 5x  1 27 5  4 4 1 27 5 1 27 5 1     7 5   . 5x  1  x     7 5   5x  1  4 4 4 4 5    5. 5x  1  6 5. 5x  1   27 5  27 5  5x  1   5x  1    28 5  1  28 5  1  2 2  1  27 5   x     1 ( tm ĐK) 5  28 5  1     Bài 2: (2,0 điểm) Cho các biểu thức P  2 x 2  và Q  2 x 2x  x 1 x  x 1  x 3 ; x 1  2 (Với x  1, x  2, x  3 ) 1) Tính giá trị của biểu thức P khi x= 16 2) Chứng minh rằng Q  2  x 3) Tìm x để P.Q  0 . 47 48/ 83 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Lời giải 1) Tính giá trị của biểu thức P khi x= 16 Với x  16 ( thỏa mãn ĐKXĐ)  x  4 . x  4 vào P, ta có : P  Thay x  16 , 2 4 2 4 2 4 2 1     4 2  4 4 2  16 4 2  16 4 4 2   2) Chứng minh rằng Q  2  x 1 Q   x  x 1   x 3 x 1  2 x  x 1 x  x 1   x  x 1   x  3     x 1  2 x 1  2    x 1  2  x  x  1  x  3 x  1  2  x  x 1 x 1 2  x  x 1  x 1  2  x  2  Q  2  x  3) Tìm x để P.Q  0 .  2 x 2 M  P.Q     2x  x   2 x  2 x  x  2 x P.Q  0   x 2  .    x 2  2 x  0 mà x x 2  2 x x x  0 2  x  0  x  2  0  x  2. Kết hợp ĐKXĐ : x  1, x  2, x  3  1  x  2 thì P.Q  0 . Bài 3: (2 điểm) Cho hàm số bậc nhất y  (m  1) x  2m và y  (2m  1) x  3m 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song. 2) Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đồ thị nằm trên trục hoành. Lời giải Điều kiện m  1; m  1 2 48