Đề thi tuyển sinh toán lớp 10 THPT Chuyên Toán Nghệ An

 Sưu tầm và tổng hợp BỘ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHYÊN TỈNH NGHỆ AN Thanh Hóa, ngày 17 tháng 3 năm 2020 1 PHẦN 1: ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức Đề số 1 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (6,0 điểm). a) Giải phương trình x3  x2  12 x x  1  20  0 . ( x  1)( xy  1)  6 . b) Giải hệ phương trình  2 2  x ( y  y  1)  7 Câu 2 (3,0 điểm) a) Cho đa thức P( x)  ax 2  bx  c  a   * thỏa mãn P  9   P  6   2019. Chứng minh P 10   P  7  là một số lẻ. b) Tìm các cặp số nguyên dương  x; y  sao cho x 2 y  x  y chia hết cho xy 2  y  1 . Câu 3 (2,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  a  b  c  2. Tìm giá 1 1 1   . trị lớn nhất của biểu thức P  a 2  b2 b2  c 2 c2  a2 Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  . Gọi E là điểm nằm chính giữa của cung nhỏ BC . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho EM  EC , đường thẳng BM cắt đường tròn  O  tại N ( N khác B ). Các đường thẳng EA và EN cắt cạnh BC lần lượt tại D và F . a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED . b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN . c) Gọi I là trung điểm của AN , tia IM cắt đường tròn  O  tại K . Chứng minh đường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK . Câu 5 (2,0 điểm). Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019. 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2018-2019 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 2 Câu 1. a) Giải phương trình : x  2  4  x  2 x2  5x 1  xy  3 y  4 x 2  b) Giải hệ phương trình:  2 2   y  2 y  7  7 x  8x Câu 2. a) Tìm các số nguyên x; y; z sao cho x2  y 2  z 2  6  xy  3x  4 z b) Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m  n  1 là một ước nguyên tố của 2  m2  n2   1. CMR m.n là số chính phương Câu 3. Cho a, b, c thực dương thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng: 1 a 4  a3  ab  2  1 b4  b3  bc  2  1 c 4  c3  ac  2  3 Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Qua H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK tại I. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại N (N khác B) a) Chứng minh AN.BI  DH .BK b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại M. Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M và cắt OD tại Q (Q khác D). Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn (O) Câu 5 Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cung 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 25000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000. Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn 1 màu). Chứng minh rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là a, b, c mà a chia hết cho b, b chia hết cho c và abc  17 ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2017-2018 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 3 Câu 1 (7.0 điểm). a) Giải phương trình 3x  7 x  4  14 x  4  20     6x  4y  2  x  1 2  b) Giải hệ phương trình  2 6y  4x  2  y  1   Câu 2 (2.0 điểm). Tìm số tự nhiên n thỏa mãn S  n   n2  2017n  10 với S  n  là tổng các chữ số của n. Câu 3 (2.0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn c  a . Chứng minh rằng: 2 2 2  a   b   c  3      4   2 a  b b  c c a Câu 4 (7.0 điểm). Cho hai đường tròn  O  và  O '  cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A. Qua M kẻ các tiếp tuyến MC và MD với đường tròn  O '  (C, D là tiếp điểm và D nằm trong đường tròn tâm O). a) Chứng minh rằng AD.BC  AC.DB . b) Các đường thẳng AC, AD cắt đường tròn  O  lần lượt tại E và F (E, F khác A ). Chứng minh đường thẳng CD đi qua trung điểm của EF. c) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm có định khi M thay đổi. Câu 5 (2.0 điểm). Trong đường tròn  O  có bán kính 21 đơn vị, cho 399 điểm bất kì A1, A2 ,..., A399 . Chứng minh rằng tồn tại vô số hình tròn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong đường tròn O và không chứa điểm nào trong 399 điểm A , A ,..., A 1 2 399 . ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2016-2017 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 4 Câu 1 (7.0 điểm). a) Giải phương trình 3x 5 b) Giải hệ phương trình x 3x 2 1 2xy 4x 3y 4x 2 y2 12x 6 4x 4. 0 4y 9 0 . Câu 2 (3.0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x ; y sao cho x 2 2 xy 2 . Câu 3 (2.0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a2 P a b2 b 2 b c 2 c 4a Câu 4 (6.0 điểm). Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn O . Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của O (E, F là các tiếp điểm). Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho DE DF , D không trùng với E và tiếp tuyến tại D của O cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C. a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OB, OC. Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn. b) Kẻ tia phân giác DK của góc EDF và tia phân giác OI của góc BOC K EF;I BC . Chứng minh rằng OI song song với DK. c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5 (2.0 điểm). Mỗi điểm trong mặt phẳng được gắn với một trong hai màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh cùng màu và có độ dài cạnh bằng hoặc 3. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 3 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức Đề số 5 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2015-2016 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (7,0 điểm). a) Giải phương trình x 2  5x  4  2 x  5  2 x  4  x 2  4x  5.  1  1  x    y    2 b) Giải hệ phương trình  y  x . 2x 2 y  xy 2  4xy  2x  y  Câu 2 (2,0 điểm). Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a  b ab . 2 2 a 2  b2 Tính giá trị của biểu thức A   2ab Câu 3 (2,0 điểm). 3(a  b  c) 2 . Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh (a  1)(b  1)(c  1)  4 2 2 2 Câu 4 (7,0 điểm). Cho đường tròn (O;R) có BC là dây cố định (BC  2R) ; E là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB < AC (A khác B). Trên đoạn AC lấy điểm D khác C sao cho ED = EC. Tia BD cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là F. a) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF. b) Gọi H là trực tâm của tam giác DEC; DH cắt BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5 (2,0 điểm). Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc A. Tìm tất cả các phần tử của A. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2014-2015 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 6 Câu 1 (7,0 điểm). a) Giải phương trình x  1  2 x x  3  2 x  x 2  4 x  3. y2 1  x2    2 2 ( x  1) 2 b) Giải hệ phương trình  ( y  1) 3xy  x  y  1.  Câu 2 (3,0 điểm). a) Tìm các số nguyên x và y thoả mãn phương trình 9 x  2  y  y . 2 b) Tìm các chữ số a, b sao cho ab   a  b  . 2 3 Câu 3 (2,0 điểm). Cho các số a, b, c không âm. Chứng minh rằng a 2  b2  c 2  3 3  abc   2  ab  bc  ca . 2 Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AE và CF cắt nhau tại H. Gọi P là điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B, C); M, N lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng: a) OB vuông góc với EF và BH EF . 2 BO AC b) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP. Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có BAC  60 , BC  2 3 cm. Bên trong tam giác này cho 13 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm. o ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 7 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2013-2014 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 7 Câu 1 (7,0 điểm). a) Giải phương trình:  2x  3  2   x  6  x 1  5 . 3  x y  2 y  3 b) Giải hệ phương trình:  3  y (3x  2)  1 Câu 2 (2,0 điểm). Cho hai số nguyên x, y . Chứng minh rằng: ( x  y)( x  2 y)( x  3 y)( x  4 y)  y 4  2 không phải là số chính phương. Câu 3 (2,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a  0, b  0, c  1 và a  b  c  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  (6  a 2  b2  c2 )(2  abc) . Câu 4 (7,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A khác B. Kẻ các tiếp tuyến AD, AE của (O) ( D, E là các tiếp điểm). Kẻ DH vuông góc với EC tại H. Gọi K là trung điểm của DH, Gọi I là giao điểm của AC và DE. CK cắt (O) tại Q khác C, AQ cắt (O) tại M khác Q. Chứng minh rằng: a) AB.CI = AC.BI b) QD vuông góc với QI. c) DM song song với OC. Câu 5 (2,0 điểm). Trên mặt phẳng cho bảy điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng). Gọi h là đội dài lớn nhất của các đoạn thẳng nối hai trong bảy điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có các đỉnh là ba trong bảy điểm đã cho thỏa mãn diện tích của nó nhỏ hơn h 2 (4  3 3) 24 ----------Hết---------- Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức Đề số 8 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2012-2013 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (7,0 điểm). a) Giải phương trình: ( x  1  1)(5  x)  2 x.  x 2  2 xy  x  2 y  3  0 b) Giải hệ phương trình:  2 2  y  x  2 xy  2 x  2  0. Câu 2 (3,0 điểm). Tìm các số tự nhiên x và y thoả mãn 2  1  y . x 2 Câu 3 (2,0 điểm). Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1 1 1    1. Chứng minh rằng: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z . Câu 4 (6,0 điểm). Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và DAB  600. Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với AD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đường thẳng DF cắt đường tròn tại điểm thứ hai N. a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng. b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC. Câu 5 (2,0 điểm). Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2011-2012 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 9 Câu 1 (7,0 điểm). 3x  15  3x  8x  5 . a) Giải phương trình:  xy  x  y  3  b) Giải hệ phương trình:  1 1 2   2 2  x  2x y  2 y 3   Câu 2 (3,0 điểm). Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn: 5 x  2 xy  y  4 x  40  0 . 2 2 Câu 3 (6,0 điểm). Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm chung). M là điểm di động trên d. Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt và cát tuyến MCD của (O) (A, B là tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O). Vẽ dây DN của (O) song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB. Chứng minh rằng: a) IC BC = và IA = IB. IA BD b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d. Câu 4 (2,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:  a b  b c  c a  ab 2 2 2 2  bc 2  ca 2   abc  3  a3  abc  b3  abc  c3  abc  . Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 5 (2,0 điểm). Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính 1 chứa đa giác đó. 4 ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức Đề số 10 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2010-2011 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1. (7,0 điểm) a) Giải phương trình: x 2  8x  3  2 x 8  x   x3  y 3  4 x  2 y b) Giải hệ phương trình:  2 2  x  1  3 1  y  Câu 2. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n để n4  n3  n2 là số chính phương. Câu 3. (4,0 điểm). Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong. Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N (M, N khác A và D) sao cho ABN  CBM . Đường thẳng BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm thứ hai là F. Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng. Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M khác B, C). Đường tròn (O’; R’) tiếp xúc trong với đường tròn (O; R) tại điểm M (với R’ < R). Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O’; R’) tại điểm thứ hai là D, E, F. Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O’; R’) trong đó I, J, K là các tiếp điểm. Chứng minh DE song song với AB và AI = BJ + CK. Câu 5 (4,0 điểm) a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a b  b c  c a  abc . b) Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh rằng trong 2010 điểm đã cho, có thể dựng được một đường tròn đi qua 3 điểm, chứa 1000 điểm và không chứa 1007 điểm còn lại. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2009-2010 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 11 Bài 1: (3.5 điểm) a. Giải phương trình 3 x2  3 7 x 3 8  2  3x  y 3  b. Giải hệ phương trình   x3  2  6  y Bài 2: (1.0 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên x2  ax  a  2  0 . Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK. Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành. Bài 5: (2.0 điểm) a. Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC. b. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a 2  b2  c 2  ab  bc  ca a 2b  b2c  c 2a ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức Đề số 12 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2008-2009 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Bài 1: ( 2 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số xy , biết rằng xxyy = xx2 + yy2 . Bài 2: ( 2 điểm) Giải phương trình : 10 x3+1 = 3(x2 + 2 ) Bài 3: ( 2 điểm) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c ( a = 0) . Biết rằng phương trình f(x) = x vô nghiệm . Chứng minh rằng phương trình : a *f(x) ]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm . Bài 4: ( 1 điểm) Cho x , y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + xz = xyz . Chứng minh rằng :  1 y z x 1 1  2  2  3 2  2  2  2 x y z y z  x Bài 5 : ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi O là trung điểm của BC . Đường tròn (O;R) tiếp xúc với AB ở E , tiếp xúc với AC ở F . Điểm H chạy trên cung nhỏ EF ( H khác E, F) . Tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC lần lượt tại M, N . a) Chứng minh : ∆MOB đồng dạng ∆ONC. b) Xác định vị trí điểm H sao cho diện tích ∆AMN lớn nhất . Bài 6 : ( 1 điểm ) Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài bằng 4 , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng . Người ta vẽ các đường tròn bán kính bằng 2 và tâm là các điểm đã cho . Hỏi có hay không ba điểm trong cá điểm đã cho sao cho chúng đều thuộc phần chung cuả ba hình tròn có tâm cũng là ba điểm đó ? Vì sao ? ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 13 PHẦN 2: ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NGHỆ AN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức Đề số 13 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2018-2019 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 Cho phương trình x2   2m  3 x  3m  1  0 ( m là tham số) a) Tìm tất cả các số thực m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện x12  x22  x1 x2  7 b) Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên Câu 2 a) Giải phương trình x  x  3  2 x2  4 x  3 1 1  x  x  y  y  3  b) Giải hệ phương trình   x2  1  y 2  1  5  x2 y2  Câu 3: Cho số tự nhiên n  2 và số nguyên tố p thỏa mãn p  1 chia hết cho n đồng thời n3  1 chia hết cho p . Chứng minh rằng n  p là một số chính phương Câu 4 Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn:  a  b   a  b  2 . Chứng minh rằng: 2  a3  b3  1  1   9   b  13   a  13     Câu 5. Cho 2 đường tròn (O; R) và  O '; r  cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B  R  r ' sao cho O và O’ ở 2 phía của AB, Gọi K là điểm sao cho OAO ' K là hình bình hành a) CMR: ABK là tam giác vuông b) Đường tròn tâm K bán kính KA cắt (O; R) và (O '; r ) theo thứ tự tại M và N (khác A). Chứng minh rằng ABM  ABN c) Trên đường tròn  O; R  lấy C thuộc cung AM không chứa B (C khác A, M). Đường thẳng CA vuông góc với  O ', r  tại D. CMR: KC  KD Câu 6: Cho 17 số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp 0;1; 2;3; 4 . Chứng minh rằng ta có thể chọn được 5 số trong 17 số đã cho sao cho tổng của 5 số này chia hết cho 5. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2015-2016 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 14 Câu 1 (2,0 điểm). Giải các phương trình a) 1 3 8   ; x  1 2x  1 x  2 b) 2x  1  3  x  3x  5. 2 2  x  x  y  y Câu 2 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình  2 (x, y  ). 2 x  y  5   Câu 3 (1,5 điểm). Cho hai số thực a, b thỏa mãn a  b  3, ab  1. Tính giá trị của biểu  thức P   a  b a 2  b2 a a b b  . Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AB  AC . Phân giác góc BAC cắt BC tại D. Đường tròn tâm I đường kính AD cắt AB, AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng AD  EF . b) Gọi K là giao điểm thứ hai của AD và (O). Chứng minh rằng ABD ~ AKC . c) Kẻ EH  AC tại H. Chứng minh rằng HE.AD  EAEF . . d) Hãy so sánh diện tích của tam giác ABC với diện tích của tứ giác AEKF. Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a b c   . 2 2 1b 1c 1  a2 ----------Hết---------- Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 15 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2015-2016 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 15 Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phương trình sau a) b) 1 2 3   ; x 2  2x  1 x 2  x  1 2x 3x  1  x  3  x  1. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên 3x 2  y 2  2xy  7.  Câu 3 (1,5 điểm). Tìm các số nguyên tố p, q thỏa mãn p  q  2 p  q . 2     Câu 4 (3,5 điểm). Cho hai đường tròn O , O ' cắt nhau tại A và B. Từ điểm C thuộc tia đối     của tia AB kẻ hai tiếp tuyến đến O tại D và E, E nằm trong O ' . Các đường thẳng AD,   AE cắt O ' tại điểm thứ hai tương ứng là M, N. Gọi I là giao điểm của DE và MN. a) Chứng minh rằng tứ giác BEIN nội tiếp và BIN ~ BDA. 2 2  DA  CA  CD  b) Chứng minh rằng     . CB  CB   DB  c) Chứng minh rằng I là trung điểm của MN. Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a 2  b2  c2  ab  bc  ca 1  2 2 a  b2  c2 ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2014-2015 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 16 Câu 1 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức x xy y  x y A  xy  . , với x, y  0 và x  y.  x y  ( x  y )2   Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình x2  2(4m  1) x  16m2  11  0 (1), với m là tham số. a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm. b) Tìm m để phương trình (1) có các nghiệm là x1 , x2 thỏa mãn (2 x1  1)(2 x2  1)  9. 2   x  x  xy  2 Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình  2  3x  x  3xy  y  4 Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2  4 y  8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  10 . x y Câu 5 (4,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB, D là điểm thuộc cung nhỏ BC (D khác B và C). Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E sao cho AE  BD. a) Chứng minh rằng ACE  BCD. b) Gọi F là giao điểm của OC và BD. Chứng minh rằng DC là phân giác của ADF . c) Tiếp tuyến của (O) ở A cắt BC tại I. Chứng minh rằng IE//BD. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 17 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức Đề số 17 (không lời giải) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2013-2014 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên a và b sao cho 1 1  1 . a  1966 b  2013 Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình x2  2mx  m(m  1)  0(1) . a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm bé là x1 , nghiệm lớn là x2 thỏa mãn điều kiện x1  2 x2  0 . Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử x và y là các số dương có tổng bằng 1. Đặt S  xy  1 . xy a) Tìm giá trị nhỏ nhất của S b) Biểu thức S có giá trị lớn nhất hay không ? Vì sao? Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 10. Gọi M, N, P tương ứng là chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A. a) Chứng minh rằng, điểm N nằm giữa hai điểm M và P. b) Tính diện tích các tam giác APB, ABN và ABM. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 18 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2013-2014 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 18 (không lời giải) Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử n là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng 2013n 2  3 là số 8 nguyên dương. Câu 2 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức A  3 2  5  3 2  5. Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình 2 2   x  y  6 xy  17  2  6 y  xy  x  5 y  1  0 Câu 4 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c và A  B  C . Chứng minh rằng 9ab  (a  b  c)2 . Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A, biết rằng H nằm trên đoạn thẳng BC và không trùng với B hoặc C. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH tại D phân biệt với A. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại E phân biệt với A. a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng bốn điểm I, J, D, E cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng HA là tia phân giác của EHD . c) Xác định mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 19 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2012-2013 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 19 Câu 1.(1,5 điểm) Rút gọn biểu thức A a a b b a a b b  a b  a  b a b        a  a b b a a b b a  b a  b   a  b trong đó a, b là các số thực dương phân biệt. Câu 2. (1 điểm). Chứng minh rằng với mọi tham số m bất kì thì phương trình 4 x2  2(m  1) x  m  3  0 luôn có hai nghiệm phân biệt. 3x  4 y  10 xy  0 . Câu 3. (1,5 điểm). Giải hệ phương trình  5 x  2 y  8 xy  0 Câu 4.(2,0 điểm) 1. Tìm hai số nguyên dương p, q sao cho p 2  q 2  7. 2. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương lớn hơn 1 thì n4  4n không phải là số nguyên tố. Câu 5. (4 điểm). Cho đường tròn (O, R) có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi sao cho CD không vuông góc cũng không trùng với AB . Gọi d là tiếp tuyến tại A của (O; R) . Các đường thẳng BC và BD cắt d tương ứng tại E và F . 1.Chứng minh rằng CDEF là tứ giác nội tiếp. 2. Gọi M là trung điểm của EF , chứng minh rằng BM  CD . 3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF . Chứng minh rằng MK  R . 4. Gọi H là trực tâm của tam giác DEF , chứng minh rằng H luôn chạy trên một đường tròn cố định. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2012-2013 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 20 Câu 1.(1,5 điểm). Giả sử a, b, c là các số nguyên sao cho a 2  b 2  c 2 chia hết cho 4. Chứng minh rằng a, b, c đồng thời chia hết cho 2. Câu 2. (1,5 điểm). Giải phương trình x 4  | 2 x 2  3 | 2  0. Câu 3. (1,0 điểm). Tìm các số nguyên dương p, q, r sao cho ( p 2  1)(q 2  4)(r 2  9)  48 pqr. Câu 4.(1,0 điểm) 20( x  y )  9 xy  Giải hệ phương trình 30( y  z )  11yz 12( z  x)  5 zx  Câu 5. (1,5 điểm). Chứng minh rằng 1 2 1  1 3 2  ...  1 2012 2011  1 2013 2012  2. Câu 6 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) sao cho CA > CB. Các tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại D. Vẽ hình bình hành BODE. a) Chứng minh rằng ba điểm B, C, E thẳng hàng. b) Gọi F  AE  OD và H  OE  CD. Chứng minh rằng HF//AC. c) Chứng minh rằng ba đường thẳng OC, DE, HF đồng qui. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2011-2012 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 21 Câu 1. Cho biểu thức P  ( x  1) y  x x y  ( y  1) x  y x y , trong đó x, y là các số thực dương phân biệt. Tính giá trị của biểu thức khi x  5  21, y  5  21. Câu 2. Cho các hàm số y  ax 2  2a 2  1 (P ) và y  2ax  2a 2 (d ). 1. Tìm các giá trị của a sao cho (P ) đi qua điểm A(2;15). 2. Với các giá trị nào của a thì (d ) tiếp xúc với (P).  x  y  xy  55 . Câu 3. Giải hệ phương trình  2 2 x  y  85  Câu 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn hệ thức a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất  3  3  3  của biểu thức P  1  1  1  .  a  b  c  Câu 5. Cho đường tròn tâm O, bán kính R  15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA  25cm. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O). 1.Tính độ dài đoạn BC. 2. Điểm M thuộc cung nhỏ BC (M  B, M  C ), tiếp tuyến với đường tròn tại M cắt AB, AC lần lượt tại E và F . BC cắt OE, OF lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng tỷ số PQ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC (M  B, M  C ). EF ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 22 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức Đề số 22 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2011-2012 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1. Cho phương trình x 2  4x  m 2  3m  0 (1). 1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. 2. Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm các giá trị của m sao cho x1  x22  4 x2 . Câu 2. Tìm các số nguyên không âm a, b sao cho a 2  b 2  5a  3b  4 là số nguyên tố. Câu 3. Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn hệ thức x  y  z  8. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x 3 y  y 3 z  z 3 x. Câu 4. Cho nửa đường tròn O; R  đường kính AB. M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn đó. Gọi H thuộc AB sao cho MH  AB. Tia phân giác của góc HMB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMH tại điểm thứ hai I và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH tại điểm thứ hai J . 1. Gọi E, F là trung điểm của MA, MB. Chứng minh rằng E, I , F thẳng hàng. 2. Gọi K là trung điểm của IJ . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF theo R. Câu 5. Bên trong hình lục giác đều có cạnh bằng 2 cho 81 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình vuông có cạnh bằng 1 (kể cả biên) chứa ít nhất 6 điểm trong số các điểm đã cho. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 23 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2010-2011 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 23 Câu I. 1. Tính giá trị của biểu thức P  83 3 1  . 72 3 2 3 2. Tìm các giá trị nguyên của x để 3x  1 là số nguyên. x 1 Câu II. x  3  2 x  2 3x  1. 1. Giải phương trình 2. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x  2(m  1) x  2m  5  0. Tìm giá 2 trị nhỏ nhất của biểu thức A  x1  x2 . 2 2 Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R  2 và có các góc B, C nhọn. Biết BAC  60 , đường cao AH của tam giác ABC bằng 3. 0 1. Tính diện tích tam giác ABC. 2. Gọi P là một điểm di động trên cung nhỏ BC; M, N lần lượt là các điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC. Xác định vị trí của P sao cho độ dài MN lớn nhất. Tính độ dài lớn nhất đó. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 24 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức Đề số 24 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2010-2011 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Câu I. 1. Giải phương trình 12 x 3x   1. x2  4x  2 x2  2x  2 2. Tìm số nguyên dương n sao cho n  n  1 là số nguyên tố. 13 5 Câu II. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 4 x 2  y 2  2 xy  2 x  y  1 Câu III. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ 3 3 3 nhất của biểu thức x3 y3 z3 P   . 3 y  1 3z  1 3x  1 Câu IV. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Đường tròn ( I ) tiếp xúc với AB tại C và tiếp xúc trong với (O) tại D. Giả sử BD cắt ( I ) tại E (E khác D) và tiếp tuyến của ( I ) tại E cắt (O) tại F. 1. Chứng minh rằng EF  AB. 2. Chứng minh rằng FC là phân giác của góc AFE. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức Đề số 25 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2009-2010 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (2 điểm). Cho phương trình x 2  (2m  3) x  m(m  3)  0 , với m là tham số. 1. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. 2. Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm u, v thỏa mãn hệ thức u 2  v 2  17 . Câu 2 (4 điểm).  x 2  y 2  2( x  y )  23 1. Giải hệ phương trình   x  y  xy  11 2. Cho các số thực x, y thoả mãn x  8 y  0 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P x . y( x  8 y) Câu 3 (4 điểm). Cho hai đường tròn (O1 , R1 ) và (O2 , R2 ) cắt nhau tại hai điểm I, P . Cho biết R1  R2 và O1 ,O2 khác phía đối với đường thẳng IP . Kẻ hai đường kính IE, IF tương ứng của (O1 , R1 ) và (O2 , R2 ) . 1. Chứng minh E, P, F thẳng hàng. 2. Gọi K là trung điểm EF . Chứng minh O1 PKO2 là tứ giác nội tiếp. 3. Tia IK cắt (O2 , R2 ) tại điểm thứ hai là B , đường thẳng vuông góc với IK tại I cắt (O1 , R1 ) tại điểm thứ hai là A . Chứng minh IA  BF . ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 26 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2009-2010 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 26 Câu 1. 1. Giải phương trình: 3x  4  x  3  x  2 . 2. Cho biết ( x1 , y1 ) và ( x2 , y 2 ) là các nghiệm của hệ phương trình x  y  m  2 2 5 x  4 y  20 Tìm m để biểu thức ( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó. Câu 2. 1. Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn ( x 2  y 2 )( x  y  8)  8( xy  1) 2. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng a b3  b c3  c a3  3 . 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng (điểm B nằm giữa A và C ). Gọi (O1 ), (O2 ), (O3 ) tương ứng là các nửa đường tròn đường kính AB, BC , CA và chúng cùng nằm về một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC . Đường thẳng qua B vuông góc với AC cắt (O3 ) tại điểm D . 1. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của (O1 ), (O2 ) ( khác BD ) song song với tiếp tuyến của (O3 ) tại điểm D . 2. Tính diện tích phần hình phẳng nằm ngoài (O1 ), (O2 ) và nằm trong (O3 ) theo a  BD . ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 27 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2008-2009 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 27 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức A( x y với x  2y x y )( 1 x  1 y ), 5  21 5  21 , y . 4 4 Câu 2: Giải phương trình ( x 2  x  1)( x 2  x  2)  12. Câu 3: Tìm m để phương trình x 2  2mx  2m  2  0 có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x12  x22  x1 x2  10. Câu 4: Cho a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng a2  1 1  b2  2  2 2 . 2 b a Khi nào xảy ra dấu đẳng thức? Câu 5: Cho tam giác ABC và (O) là đường tròn nội tiếp của nó. Gọi M 0 , N 0 , P0 lần lượt là tiếp điểm giữa các cạnh AB, AC và BC với (O). Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M , N sao cho BM  CN  BC. a) Chứng minh rằng P0 M 0 N 0  1 (A  B). 2 b) Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác cân. c) Xác định vị trí của M trên AB sao cho đoạn MN ngắn nhất. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 28 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2008-2009 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 28 Câu 1: Giải các phương trình a) x 2  4 x  b) 3 10  2. x  4x  5 2 2 x  1  3 3x  1  3 5x  1. Câu 2: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  18x  1  0. Đặt S n  x1n  x2n , n  N , trong đó N là tập các số tự nhiên. a) Chứng minh rằng S n2  18S n1  S n , n  N . b) Chứng minh rằng S n là số nguyên dương và không chia hết cho 17 với mọi n  N . Câu 3: Cho các số a, b, c, d đều thuộc đoạn 0,1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  3 abcd  3 (1  a)(1  b)(1  c)(1  d ) Câu 4: Cho (O) là đường tròn có bán kính R và A, B là 2 điểm thuộc (O) sao cho AB  2a không đổi, với 0 < a < R. Giả sử M , N là hai điểm thuộc cung lớn AB sao cho AM  BN . a) Tính khoảng cách từ O đến trung điểm I của MN theo a. b) Xác định vị trí của M sao cho độ dài MA  MB đạt giá trị lớn nhất. Câu 5. Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa? ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 29 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2007-2008 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 29 Câu 1: Cho biểu thức  x 1   A=    4 4 x   2  x 1 x  1     x 1 x  1   a) Rút gọn A. b) Tìm x để 2 A  5 x . 4 Câu 2: a) Xác định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm kép: x 2  2 x  m(m  3)  1  0 . x  y  4 b) Giải hệ phương trình:  3 3  x y  xy  30. Câu 3: Cho các số thực x, y thoả mãn x  y  6. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn 2 2 nhất của biểu thức P  x  5y. Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường Gọi AA', BB', CC' là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. tròn a) Chứng minh rằng AA' là đường phân giác trong của B' A' C '. b) Cho BAC  60 . Chứng minh tam giác AOH là tam giác cân. 0 ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ tâm O. 30 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2007-2008 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 30 Câu 1: a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5x  2007 y  1, trong đó x  1; 3000 .  b) Chứng minh rằng 5 3n 2  22 n3   11 , với mọi số tự nhiên n . Câu 2: Xác định các số nguyên tố p , q sao cho p  pq  2q và 2 p  pq  q là các số 2 2 2 2 nguyên tố cùng nhau. Câu 3: Cho các số thực dương a , b , c thoả mãn a  b  c  6 . Chứng minh rằng bc5 ca4 ab3    6. 1 a 2b 3c Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm H nằm trong đường tròn. Qua H ta vẽ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau. a) Tính AB  CD theo R , biết rằng OH  2 2 R . 2 b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, OH. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. Câu 5: Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân biệt. Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 31 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2006-2007 Đề chính thức Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 31 Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 2 không chia hết cho 3. Câu 2: a) Giải hệ phương trình  x 2  y 2  x  2 y  19   xy( x  1)( y  2)  20 b) Giải phương trình 3x  1 + 2 x = 3 Câu 3: Cho hàm số f(x) = (x3 + 6x – 5)2006. Tính f(a) với a = 3 3  17 + 3 3  17 Câu 4: Cho hai đường tròn (O, R ) và (O ', R ') cắt nhau tại A và B . Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( E thuộc ( O , R ) và F thuộc (O ', R ') ) . Đường thẳng AB cắt EF tại K . Gọi I là điểm đối xứng của A qua K ( A nằm giữa B và I ). a) Có nhận xét gì về tứ giác AEIF ? b) Gọi M là trung điểm của OO' . Cho biết MA = MO' . Hãy tính độ dài EF theo R và R ' . ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 32 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH Năm học 2006-2007 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 32 Câu 1: Tìm số nguyên dương a sao cho a1966  a2006  1 là số nguyên tố. Câu 2: a) Giải phương trình x 4  4 x 3  8x  12  0. b) Xác định số nguyên m để phương trình sau có nghiệm nguyên x 2  m(m  1) x  3m  1  0 Câu 3: Chứng minh rằng a2 b2 (a2  b2 )  128, với a, b là các số thực dương thoả mãn hệ thức a  b  4 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 4: Cho tam giác đều ABC, có O là trung điểm của cạnh BC. Vẽ xOy = 600 sao cho các tia Ox, Oy cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. a) Chứng minh rằng BC2  4BE.FC b) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox, Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. ----------Hết---------Họ và tên ....................................................................Số báo danh ........................................ 33 HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN 1: ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN Đề số 1 Câu 1: a) Điều kiện: x  1 1  x 2  x  1  12 x  x  1  20  0    x x  1  2 x x  1  10  0 x x 1  2   x x  1  10 TH1: x x  1  2  x3  x 2  4  x  2 (thỏa mãn điều kiện) TH2: x x  1  10  x3  x 2  100  x  5 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có hai nghiệm là x  2 và x  5 . b)  x 2 y  xy  x  5 2 2 2 2  x y  x y   7 Hệ phương trình 1   Đặt xy  a , x  b . Ta có:  ab  a  b  5   2 2 2  a  b   ab  7 ab  a  b  7  ab  a  b  5 Hệ phương trình trở thành    a  b   a  b  5  7   a  b    a  b   12  0 2 2 a  b  3   a  b  3 a  b  4   0    a  b  4 TH1: a  b  3 suy ra ab  2 X 1  a, b là nghiệm của phương trình X 2  3 X  2  0   X  2   a; b   1; 2  ;  2;1  1   x; y    2;  ; 1; 2   2 TH2: a  b  4 suy ra ab  9 34  a, b là nghiệm của phương trình: X 2  4 X  9  0 (phương trình vô nghiệm) Câu 2: a) Ta có: P  9   P  6   2019   8ba  9b  c    36a  6b  c   2019  45a  3b  2019 1 Lại có: P 10   P  7   100a  10b  c    29a  7b  c   51a  3b Đặt P 10   P  7   t  51a  3b  t  2  Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 6a  t  2019 , mà 6a chẵn, 2019 lẻ nên t lẻ, ta có điều phải chứng minh b) Ta có: x 2 y  x  y xy 2  y  1  y  x 2 y  x  y   x  xy 2  y  1 xy 2  y  1  y 2  x xy 2  y  1 y  m TH1: y 2  x   2 x  m : Với mọi m là số tự nhiên khác 0 Thử lại thấy thỏa mãn TH2: y  x , ta có: 2 xy 2  y  1  y 2  x   x  1 y 2  y  x  1  0 (vô lí do x, y  1) TH3: y 2  x Ta có: xy 2  y  1  x  y 2  x  y 2  1  y 2  y  1  0 (vô lí do x, y  1)   2 Vậy,  x; y   m ; m với m thuộc tập số tự nhiên khác 0 Câu 3: Từ đẳng thức abc  a  b  c  2  1 1 1 2    1 ab bc ca abc 35 Đặt 1 x 1 y 1 z  ;  ;  ( x, y, z  0) a yz b zx c x y 1 Ta có: P  a 2  b2 1 Mặt khác: 2ab  1  b2  c 2 1  xy  x  z  y  z  c2  a2 . 1 2   1 2ab  1 2bc  1 2ca 1 x y  1   . 2 x z y  z  2 Tương tự thì ta cũng có: 1 2bc 1 2ca  1 y z  1   . 2 y  x z  x 2  1 z x  1   . 2 y  z y  x 2 Cộng vế theo vế ta có: P  3 2 2 Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  1 . Hay là a  b  c  2 Câu 4: a) Có ̂ ̂(hai góc kề bù) ̂= ̂ ̂  ̂ =180 - ̂ ̂ ̂(Do cung DE  EC ) ̂ Suy ra DEF đồng dạng với NEA b) Ta có EB  EC  EM do E là điểm chính giữa cung BC và theo giả thiết EM  EC . Mặt khác AE là tia phân giác ̂ suy ra AE là trung trực đoạn thẳng BM hay vuông góc với tia NM Chứng minh tương tự thì NE là tia phân giác của ̂, suy ra NE là đường trung trực của đoạn thẳng MC hay NE vuông góc với AM . Từ hai điều trên ta có M là trực tâm của AEN c) Gọi giao điểm của AM với EN là X , của BN với AE là Y Gọi giao điểm của IM với đường tròn  O  là T . Dễ thấy rằng ATNM là hình bình hành nên TN vuông góc với EN suy ra ET là đường kính đường tròn  O   ̂ = 90 hay ̂ = 90 hay K thuộc đường tròn đường kính EM , suy ra năm điểm X , Y , M , K , E cùng thuộc một đường tròn Ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (do tứ giác MEKX nội tiếp) Suy ra CM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK 36 Câu 5: Ta tô màu các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong 12 điểm đã cho: -Tô đỏ các đoạn thẳng có độ dài nhỏ hơn 673 -Tô xanh các đoạn thẳng còn lại thì mỗi tam giác có ít nhất một cạnh màu đỏ. Ta sẽ chứng minh có ít nhất 2 tam giác có 3 cạnh đều là màu đỏ. +Xét 6 điểm trong 12 điểm đã cho. Từ một điểm A nối đến các đoạn thẳng còn lại tạo thành 5 đoạn thẳng, được tô tới hai màu xanh, nên tồn tại 3 cạnh cùng màu. Giả sử đó là AB, AC, AD Nếu AB, AC, AD tô đỏ (nét liền, h1) thì tam giác BCD phải có 1cạnh tô đỏ(h1)., chẳn hạn BC thì tam giác ABC có 3 cạnh tô đỏ(h2). Nếu AB, AC, AD tô xanh (nét đứt, h3). Do mỗi tam giác phải có ít nhất một cạnh đỏ nên BC, CD, BD và tam giác BCD có 3 cạnh đỏ(h1). Suy ra trong 6 điểm này luôn tồn tại ít nhất một tam giác có 3 cạnh màu đỏ +Xét 6 điểm còn lại, chứng minh tương tự Vậy trong 12 điểm luôn tồn tại ít nhất 2 tam giác có hai cạnh đều màu đỏ. Suy ra tồn tại ít nhất hai tam giác mà chu vi mỗi tam giác bé hơn 2019 (Từ trái qua phải lần lượt là h1,h2,h3,h4) Đề số 2 Câu 1. a) Giải phương trình : x  2  4  x  2 x2  5x 1 Điều kiện xác định: 2  x  4 Ta có 2 x2  5x  3     x  2 1   4  x 1  0 x 3 x 3  0 x  2 1 4  x 1 1 1     x  3  2 x  1   0 x  2 1 4  x 1     2 x  1 x  3  1 1   1  1 0 1 1  Do  x  2  1  2x 1  0 x  2 1 x  2 1 4  x 1 2  x  4   x  3  0  x  3(tm) 37 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  3 b) Hệ đã cho tương đương với 2 xy  6 y  8 x 2  xy  3 y  4 x 2  2  2 2 2 2  y  2 y  7  8 x  x  8 x  y  2 y  7  2 xy  6 y  x  8 x  0 2  xy  3 y  4 x 2  xy  3 y  4 x    2  x  y  7  x  y  1  0  x  y   8  x  y   7  0   2  13 5  13 ;y  x  y  1 x  3 3   2  3 x  4 x  3  0  2  13 5  13 ;y  x  3 3     5  2 22 26  2 22  x ;y  x  y  7 3 3    3 x 2  10 x  21  0  5  2 22 26  2 22  ;y x  3 3   Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm Câu 2 a) Do x, y, z là các số nguyên nên x 2  y 2  z 2  6  1  xy  3 y  4 z  x 2  y 2  z 2  7  xy  3 y  4 z  0 2 2 1  2  y    x  y   3   1   z  2   0 2   2   1 x  2 y  0 x  1  y    1  0   y  2 2  z  2 z  2  0   Vậy x  1; y  z  2 là 3 số nguyên cần tìm a) Giả sử m  n . Theo bài ra ta có: m  n 2  1   m  n  1 m  n  1  m  n  1 2  2  m 2  n 2   1   m  n   1  m  n  1     2m 2  2n 2  m 2  2mn  n 2   m  n  1   m  n 2  m  n  1 Do m  n  1 là số nguyên tố  m  n  1 là ước của m  n Mà m  n  m  n  1 do đó vô lý Vậy giả sử sai  m  n  m.n  m2 là số chính phương Ta có điều phải chứng minh. 38 Câu 3. Ta có:  a  1 2 a 2  a  1  0   a 2  2a  1 a 2  a  1  0  a 4  a3  a  1  0  a 4  a3  1  a  a 4  a 3  ab  2  ab  a  1  1 a  a  ab  2 4 3 1 ab  a  1  Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: 1 1 1 1  ;  4 3 4 3 bc  b  1 c  c  ac  2 ac  c  1 b  b  bc  2 Như vậy VT  1 1 1 1 1 1      3.     ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1  ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1  (Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 3 số) Lại có 1 1 1 1 a ab     3.      2   3.    ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1   ab  a  1 abc  ab  a a bc  abc  ab  1 a ab    3.     3  ab  a  1 1  ab  a a  ab  1  Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 Câu 4 A I N P C H J M D O Q K B 39 a) Chứng minh AN.BI  DH .BK Ta có do cùng chắn cung AB nên BDA  BNA  IHA  BNA  INA Suy ra tứ giác ANHI nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau). Do đó: AHN  AIN  BIK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN ) Ta có : AK  BD  AK  IH  AIH  900 Do tứ giác AHNI là tứ giác nội tiếp (cmt)  AIH  ANH  1800  ANH  900 BK BI BI  IBK  NAH  ANH BKI ( g.g )     AN .BI  DH .BK AN AH DH b) Gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP, I là trung điểm NP Vì A; D đối xứng qua BC nên PA cũng là tiếp tuyến của (O) 1 Ta có: PAN  PO1 N  PO1I1 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung NP của 2 đường tròn  O1  ) Lại có: PAN  ADN (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung AN của  O  )  PO1I1  ADN Hơn nữa ANHI nội tiếp (cmt) nên ANH  AIH  900  NAH  NHP (cùng phụ với NHA ) Ta có : NAH  NIH  NBD  NDP  NHP  NDP  tứ giác PDNH nội tiếp nên NPH  NDA  NPH  PO1I1 Mặt khác : PO1I1  O1PI1  900  NPH  O1PI1  900  O1PH  900 Suy ra BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c) Gọi J là trung điểm OM, G là trung điểm của OC, E là giao điểm của QG và BM Dễ thấy MQ là đường kính của đường tròn đi qua D là tiếp xúc với MC (Do MDQ  900 )  MQ  MC . Mà MC  BC  MQ / / BC Do MQ / / BC  QMO  MOP (so le trong)  QOM  Tam giác QOM cân tại Q  QJ  OM (trung tuyến đồng thời là đường cao)  BOM  GJQ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) Mặt khác OGJ OJG( g.g )  OGJ OCM   GJ OG  JQ OJ OG OC OB   (OC  OB) OJ OM OM GJ OB   GJQ JQ OM BOM (c.g.c)  OMB  QJM  900 40 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QM)  QE  EM  QE  BM Vậy đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua trung điểm G của OC cố định. Câu 5: Xét tập A  1; 2;3;.........; 2500 và tập B  1;3;3.2;3.22 ;......;3.213 Do 3.213  24576  250000  B  A Tập B có 15 phần tử. Do mỗi quả bóng được sơn một màu mà có 7 màu nên theo nguyên lý Dirichle trong tập B tồn tại 3 quả bóng cùng màu. Giả sử 3 quả bóng được đánh số a  b  c thì a chia hết cho b, b chia hết cho c và abc  18  17 Vậy ta có điều phải chứng minh Đề số 3 Thầy Nguyễn Công Lợi Câu 1 (7.0 điểm). a) Giải phương trình 3x  7 x  4  14 x  4  20 .  Phân tích. Điều kiện xác địnhcủa phương trình là x  4 . Nhận thấy phương tình có chứa hai  căn thức   nên ta đặt x  4  a và x  4  b với a  0, b  0 . Nhận thấy  4 x  4  x  4  3x  20 ta có các biến đổi sau. Phương trình đã cho tương đương với     3x  7 x  4  14 x  4  20  0  4 x  4  x  4  7 x  4  14 x  4  0 Từ đó ta có phương trình 4b2  a2  7a  14b  0  2b  a 2b  a  7   0 . Đến đây chỉ cần giải phương trình tích là xong.  Lời giải. Điều kiện xác định của phương trình là x  4 . Phương trình đã cho tương đương với     3x  7 x  4  14 x  4  20  0  4 x  4  x  4  7 x  4  14 x  4  0 Đặt x  4  a và x  4  b với a  0, b  0 . Khi đó phương trình trên trở thành 41 2b  a  0 4b2  a 2  7a  14b  0  2b  a 2b  a  7  0   2b  a  7  0    + Với 2b  a  0  2b  a  2 x  4  x  4  4  x  4   x  4  x  20 . 3 + Với 2b  a  7  0  2b  7  a , khi đó ta có phương trình 4  2 x4 7 x4   4  29 4  x  3   2 2  29  3x  14 x  4      x  53  x  4   7   x4  2 4  x  53  29  3x  14 x  4  29 4  x  x5 3  2 9x  370x  1625  0  Kết hợp với điều kiện xác định ta được x  5 là nghiệm duy nhất của phương trình.  Nhận xét. Nhận thấy x  5 là nghiệm duy nhất của phương trình nên ta nghĩ đến phương pháp nhận lượng liên hợp để làm xuất hiện đại lương x  5 . Ta có các biến đổi sau 3x  7 x  4  14 x  4  20  3x  15  7 x  4  7  14 x  4  42  0    3 x5   7 x5    14 x  5    0  x  5 3  x4 3   x 4 1 x  5  0   7 14 3  0  x 4 1 x4 3  7 x 4 1   0 x  4  3 14 + Với x  5  0  x  5 , thỏa mãn điều kiện xác định. + Với 3  7 x 4 1 Từ đó ta được  14 x4 3 14 x4 3 0 3  3 . Với x  4 thì 7 x 4 1 14 x4 3 Vậy x  5 là nghiệm duy nhất của phương trình.     6x  4y  2  x  1 2  b) Giải hệ phương trình  2 6y  4x  2  y  1   14  x4 3  14 8 3 .  3 (Mâu thuẫn) 42  Phân tích. Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta thấy có dạng đối xứng dạng II nên ta thử đưa hệ về hai đại lương x  1 và y  1 xem sao. Hệ phương trình đã cho trương đương với                 6x  4y  2  x  1 2 6 x  1  4 y  1  x  1     2 6y  4x  2  y  1 6 y 1  4 x 1  y 1     2 2 Đến đây chỉ cần đặt x  1  a và y  1  b ta được hệ phương trình đối xứng dạng dạng II.             6 x  1  4 y  1  x  1 2   Lời giải. Hệ phương trình đã cho tương đương với  2 6 y 1  4 x 1  y 1   6a  4b  a 2 Đặt x  1  a; y  1  b . Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành  2 6b  4a  b a  b  0 Trừ theo vế ta được a 2  b2  2a  2b  0   a  b  a  b  2   0   a  b  2  0 + Với a  b  0  a  b  x  1  y  1  x  y  2 . Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được     2 6y  4 y  2  2  y  1 y  1  y2  12y  11  0    y  11   x  1; y  1  x  9; y  11  + Với a  b  2  0  a  2  b  x  1  2   y  1  x  2  y . Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được     6y  4 2  y  2  y  1 2  y  1  y2  4y  5  0    y5   x  3; y  1  x  3; y  5  Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y    1;1 ,  9;11 ,  3; 1 ,  3; 5  . Câu 2. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn S  n   n2  2017n  10 với S  n  là tổng các chữ số của n.  Phân tích. Nhận thấy n  2017 thoả mãn yêu cầu bài toán nên ta đi xét các trường hợp 1  n  2016 , n  2017 và n  2017 , sau đó chỉ cần chỉ ra với 1  n  2016 và n  2017 không 43 tồn tại n thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chú ý đến điều kiện 0  S(n)  n . Ta có lời giải chi tiết như sau.    Lời giải. Vì n là số tự nhiên và S n là tổng các chữ số của n nên n  1 và 0  S(n)  n . Ta xét các trường hợp sau: + Trường hợp 1. Nếu 1  n  2016 . Khi đó ta có      S n  n2  2017n  10  n2  2017n  2016  n  1 n  2016  0 Trường hợp này không tồn tại n thỏa mãn vì S(n)  0 . + Trường hợp 2. Nếu n  2017 . Khi đó ta được     S n  2  0  1  7  10 và S n  20172  2017.2017  10  10 (Thỏa mãn) + Trường hợp 3, Nếu n  2017 . Khi đó S  n   n2  2017n  10  n2  2017n  n  n  2017   n . Trường hợp này không tồn tại n thỏa mãn vì n  2017 . Vậy n  2017 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 3. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn c  a . Chứng minh rằng: 2 2 2  a   b   c  3      4   2 a  b b  c c a  Phân tích. Dự đoán dấu bằng xẩy ra tại a  b  c . Nhận thấy bất đẳng thức đã cho không có dạng đối xứng nên ta biển đổi rồi đặt ẩn xem sao. Bất đẳng thức đã cho tương đương với Đặt 1  b 1   a  2  1  c 1   b  2  4  a 1   c  2  3 2 a 1 b c  x,  y x, y  0 . Khi đó  . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành c xy a b   1  1  4x2 y2 1  x  1  y  1  xy  2 2 2  3 2 44 Áp dụng bổ đề 1 1  1  x  1  y  2 2  1 * . Để chứng minh bổ đề * ta chỉ cần sử dụng xy  1   1 4x2 y2  xy  1 1  xy phép biến đổi tương đương. Ta cần chứng minh   2  3 . Đến đây chỉ cần sử 2 dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số là bài toán được chứng minh. Chú ý đến c  a ta có lời giải chi tiết như sau.  Lời giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với Đặt 1  b 1   a  2 1   c 1   b   2 4  a 1   c  2  3 2 a 1 b c  x,  y x, y  0 . Khi đó  . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành c xy a b   1 1  4x2 y2   3 2  1 , với x, y là các số dương. xy  1 1  x  1  y  1  xy  2 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 2 1 2 1  1  x  1  y  2 2 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương ương với 2  2x  2y  x 2  y2   xy  1  1  2x  x 1  2y  y  2   1  2xy  x2 y2  x 3 y  xy 3  0  1  xy  2 Đặt P  1 4x2 y2  xy  1 1  xy Khi đó P    2 Ta cần chứng minh   2  1  2 11    0 1 2  1 . xy  1 3 . 2 4x2 y2 1  xy  1 4xy 3xy 3  1   xy  1 1  xy 1  xy 1 1 xy 3xy 3 3 3  hay  1  xy 2 1 2 1 xy 2 1  x  1  y  2 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 1 4x2 y2  xy  1 1  xy  1 4x2 y2  xy  1 1  xy   xy x  y Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do x, y  0 . Vì vậy ta có Ta quy bài toán về chứng minh 2 2 1  4xy 1  xy 45 Thật vậy, từ giả thiết c  a ta được a 1 3 3   1 . Do đó  c xy 1 2 1 xy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xẩy ra tại a  b  c . Câu 4. Cho hai đường tròn  O  và  O '  cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A. Qua M kẻ các tiếp tuyến MC và MD với đường tròn  O '  (C, D là tiếp điểm và D nằm trong đường tròn tâm O). a) Chứng minh AD.BC  AC.DB .  Phân tích tìm lời giải. Quan M sát hình vẽ ta nhận thấy và giả thiết của bài toán ta nhận thấy để chứng minh được C AD.BC  AC.DB ta quy về chứng minh AC AD  . Nhận thấy rằng BC BD không thể chứng minh được một cách trực tiếp nên ta nghĩ đến A Q E J O I D H O' N B F K P chọn các tỉ số trung gian. Ta có AC là tiếp tuyến và AB là cát tuyến nên dễ thấy hai tam giác MAC và MCB đồng dạng với nhau, từ đó ta có Tương tự thì AC MA  . BC MB AD MA  . BD MB Do đó ta được AC AD  hay ta có điều cần chứng minh. BC BD    Lời giải. Vì MC là tiếp tuyến của đường tròn O ' nên ta được MCA  CBM . Xét hai tam giác MAC và MCB có MCA  CBM và MCB chung. Suy ra tam giác MAC đồng dạng với tam giác MCB, do đó ta được AC MA  . Chứng minh tương tự ta được tam giác MAD BC MB 46 đồng dạng với tam giác MDB nên AD MA AC AD   . Kết hợp hai kết quả trên ta được BD MB BC BD hay AD.BC  AC.DB . b) Các đường thẳng AC và AD cắt đường tròn  O  lần lượt tại E, F (E, Fkhác A). Chứng minh đường thẳng CD đi qua trung điểm của EF .  Phân tích tìm lời giải. Gọi N là giao điểm của CD với EF và ta cần chứng minh NE  NF . Nhận thấy rằng không thể chỉ ra trực tiếp các tam giác chứa NE và NF bằng nhau nên ta nghĩ đến việc tạo ra các tỉ số bằng nhau thông qua các tam giác đồng dạng hoặc định lí Talets. Để ý là các tỉ số bằng nhau cần có chứa các đoạn NE và NF. Từ đó ta thấy có các hướng sau. + Hướng 1. Ta thấy NFB  BAC  BDC nên tứ giác NFBD nội tiếp. Do đó CA NF  . Từ ý a ta CB NB CA DA DA NE   đã có . Do đó phép chứng minh kết thúc nếu ta chỉ ra được . Để ý ta có CB DB DB NB FNB  FDB  ACB nên hai tam giác BNF và CAB đồng dạng nên ta có BEN  FAB và ENB  BDA , do đó suy ra hai tam giác ENF và BDA đồng dạng. Suy ra ta được DA NE  . Đến đây kết hợp các kết quả ta được NE  NF . DA NB + Hướng 2. Dựng đường qua A đường thẳng song song với CD cắt EF tại I. Khi đó theo định lý Talest ta có chỉ ra được NE EC NF DF   và . Như vậy phép chứng minh sẽ kết thúc nếu ta NI AC NI DA EC DF  . Tứ giác ACBD nội tiếp nên FDB  ACB , do đó ta được FDB  ECB . AC DA Xét tam giác ECB và tam giác DFB có FDB  ECB và CEB  DFB (cùng chắn cung AB ). Suy ra tam giác ECB đồng dạng với tam giác DFB, từ đó suy ra DF DB  . Do đó ta được EC CB DA DF EC DF NF NE    hay . Điều này dẫn đến hay N là qua trung điểm của EF. CA EC AC DA NI NI + Hướng 3. Để ý đến định lí Menelaus cho tam giác EAF với ba điểm N, D, C thẳng hàng NF CE DA DA CE . .  1 . Như vậy để có NE  NF ta cần chỉ ra được .  1. NE CA DF DF CA Chú ý rằng theo kết quả ý a ta có AD.BC  AC.DB . Như vậy phép chứng minh kết thúc ta có hệ thức nếu ta chỉ ra được BC DF  . Điều này có nghĩa là ta cần chứng minh được BD CE 47 BCE ∽ BDF . Để ý ta thấy ECB  BDF và CEB  BFD nên BCE ∽ BDF . Như vậy ta có lời giải cho bài toán.  Trình bày lời giải. + Cách 1. Gọi N là giao điểm của CD và EF. Từ câu a ta đã có AC AD  . Do tứ giác ABFE BC BD và ACBD nội tiếp nên NFB  BAC  BDC , suy ra tứ giác BFND nội tiếp, do đó FNB  FDB  ACB . Lại có NFB  BAC nên hai tam giác NFB và CAB đồng dạng với nhau. CA NF  . Ta lại có BEN  FAB , lại do FNB  FDB nên ENB  BDA , do đó CB NB DA NE  suy ra hai tam giác ENF và BDA đồng dạng. Suy ra ta được . Kết hợp ba kết quả DA NB Do đó suy ra trên ta được NE NF  , do đs NE  NF hay N là trung điểm của EF NB NB + Cách 2. Từ AD.BC  AC.DB suy ra DA DB  . Gọi N là giai điểm của CD với EF. Từ A kẻ CA CB đường thẳng song song với CD cắt EF tại I. Theo định lý Talest ta có NE EC  và NI AC NF DF  . Tứ giác ACBD nội tiếp nên FDB  ACB , do đó ta được FDB  ECB . Xét tam NI DA giác ECB và tam giác DFB có FDB  ECB và CEB  DFB (cùng chắn cung AB ). Suy ra tam giác ECB đồng dạng với tam giác DFB, từ đó suy ra DF DB  . Do đó ta được EC CB DA DF EC DF NF NE    hay . Điều này dẫn đến hay N là qua trung điểm của EF. CA EC AC DA NI NI Vậy CD đi qua trung điểm N của EF. + Cách 3. Gọi N là giao điểm của CD và EF. Theo kết quả ý a ta có AD.BC  AC.DB . Xét hai tam giác BCE và BDF có ECB  BDF và CEB  BFD nên BCE ∽ BDF . Từ đó BC DF  . BD CE DA CE .  1 . Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác EAF với ba điểm N, D, DF CA NF CE DA DA CE NF . .  1 . Kết hợp với .  1 ta được  1 nên suy ra C thẳng hàng ta có NE CA DF DF CA NE NE  NF hay N là trung điểm của EF. Do đó ta được c) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm có định khi M thay đổi.  Phân tích tìm lời giải. Bài toán yêu cầu chứng minh EF đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên AB do đó ta dự đoán được điểm cố định. Từ đề bài ta nhận thấy các điểm A, B, O, O’ cố định nên ta dự đoán rằng điểm cố định cần tìm sẽ có liên hệ với các điểm trên.