Đề thi thử THPTQG môn Toán năm 2021 lần 1 trường THPT chuyên KTHN - ĐHQG Hà Nội có lời giải
Gửi bởi: Khoa CNTT - HCEM 23 tháng 2 2021 lúc 14:29:57 | Được cập nhật: hôm kia lúc 19:57:50 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 543 | Lượt Download: 13 | File size: 0.797209 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Đề thi học kì 1 Toán 12 trường THPT Nguyễn Quán Nho năm 2021-2022
- Đề thi học kì 1 Toán 12 trường THPT Trần Quốc Tuấn năm 2021-2022
- Đề KSCL thi TNTHPT môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2022 MÃ ĐỀ 219
- Đề KSCL thi TNTHPT môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2022 MÃ ĐỀ 224
- Đề KSCL thi TNTHPT môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2022 MÃ ĐỀ 222
- Đề KSCL thi TNTHPT môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2022 MÃ ĐỀ 220
- Đề KSCL thi TNTHPT môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2022 MÃ ĐỀ 223
- Đề KSCL thi TNTHPT môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2022 MÃ ĐỀ 218
- Đề KSCL thi TNTHPT môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2022 MÃ ĐỀ 221
- Đề KSCL thi TNTHPT môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2022 MÃ ĐỀ 217
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ĐH KHTN
ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN 1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2020 – 2021
KHTN
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề
Câu 1 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
d2 :
x y 1 z 1
và
2
1
2
x 1 y 2 z 3
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng:
1
2
2
A.
17
16
17
4
B.
16
17
C.
D. 16
Câu 2 (TH): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y x 3 và parabol y 2 x 2 x 1 bằng:
A. 9
B.
13
6
C.
13
3
D.
9
2
Câu 3 (TH): Phương trình z 4 16 có bao nhiêu nghiệm phức?
A. 0
B. 4
C. 2
D. 1
Câu 4 (VD): Cho hàm số y x 3 mx 2 m 2 x 8. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực
tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?
A. 3
B. 5
C. 4
D. 6
Câu 5 (TH): Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y
A. 4
B. 2
mx 4
nghịch biến trên khoảng 1;1 ?
xm
C. 5
D. 0
1
Câu 6 (NB): Hàm số y x 1 3 có tập xác định là:
A. 1;
B. 1;
C. ;
D. ;1 1;
x y 1 z 1
Câu 7 (TH): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
và mặt
2
2
1
phẳng Q : x y 2 z 0. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm A 0; 1; 2 , song song với
đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng Q .
A. x y 1 0
B. 5 x 3 y 3 0
C. x y 1 0
Câu 8 (TH): Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x log
2
1
A. ;1
2
1
B. ;1
4
1
C. ;1
4
1
2
2 x 1
D. 5 x 3 y 2 0
là:
1
D. ;1
2
Câu 9 (VD): Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x 4 2 x 2 3 2m 1 có đúng 6 nghiệm
thực phân biệt.
Trang 1
A. 1 m
3
2
B. 4 m 5
D. 2 m
C. 3 m 4
5
2
Câu 10 (TH): Số nghiệm thực của phương trình log 4 x 2 log 2 x 2 2 là:
A. 0
B. 2
C. 4
D. 1
Câu 11 (TH): Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y x 3 12 x 1 m cắt trục hoành tại
3 điểm phân biệt?
A. 3
B. 33
C. 32
Câu 12 (VD): Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn log
A.
1
3
B.
1
3
B. 4
a b 3. Tính log b a .
3
ab
C. 3
Câu 13 (TH): Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2
A. 6
D. 31
3
ab
D. 3
16
trên 0; bằng:
x
C. 24
D. 12
Câu 14 (VD): Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2. Cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Gọi E là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng DE và SC .
A.
2a 19
19
B.
a 10
19
C.
a 10
5
D.
2a 19
5
Câu 15 (TH): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m không vượt quá 2021 để phương trình
4 x 1 m.2 x 2 1 0 có nghiệm?
A. 2019
B. 2018
C. 2021
D. 2017
2
Câu 16 (TH): Biết rằng
A. 5
x3 1
1 x 2 x dx a b ln 3 c ln 2 với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính 2a 3b 4c.
B. 19
C. 5
D. 19
Câu 17 (TH): Biết rằng log 2 3 a, log 2 5 b. Tính log 45 4 theo a, b.
A.
2a b
2
B.
2b a
2
C.
2
2a b
D. 2ab
Câu 18 (TH): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số
đều không vượt quá 5.
A. 38
B. 48
C. 44
D. 24
Câu 19 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;3; 2 và mặt phẳng
P : 2 x y 2 z 3 0. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P
A.
2
3
B. 2
C. 3
bằng:
D. 1
Trang 2
Câu 20 (TH): Một lớp học có 30 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban
cán sự lớp gồm 3 học sinh. Tính xác suất để ban cán sự lớp có cả nam và nữ.
A.
435
988
B.
135
988
Câu 21 (TH): Tính nguyên hàm
A.
1
tan 2 x x C
2
tan
2
C.
285
494
D.
5750
9880
C.
1
tan 2 x x C
2
D. tan 2x x C
2 xdx.
B. tan 2x x C
x
4
3 x
Câu 22 (TH): Số nghiệm nguyên thuộc đoạn 99;100 của bất phương trình sin cos
là:
5
10
A. 5
B. 101
C. 100
D. 4
Câu 23 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
x 1 y 2 z
và mặt
1
2
2
phẳng P :2 x y 2 z 3 0. Gọi α là góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. cos
4
9
B. sin
4
9
C. cos
4
9
D. sin
4
9
Câu 24 (TH): Cho cấp số cộng un thỏa mãn u1 u2020 2, u1001 u1221 1. Tính u1 u2 .... u2021.
A.
2021
2
B. 2021
C. 2020
D. 1010
Câu 25 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :
x 1 y 2 z 3
và điểm
2
2
1
A 1; 2; 0 . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ bằng:
A.
17
9
B.
17
3
C.
2 17
9
D.
Câu 26 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y
2 17
3
8 3
x 2 ln x mx đồng biến trên
3
0;1 ?
A. 5
B. 10
C. 6
D. vô số
Câu 27 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :
x 1 y 1 z
và hai mặt
1
1
2
phẳng P : x 2 y 3z 0, Q : x 2 y 3z 4 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng
và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng P và Q .
A. x 2 y 2 z 2
2
2
1
7
B. x 2 y 2 z 2
2
2
1
7
Trang 3
C. x 2 y 2 z 2
2
2
2
7
D. x 2 y 2 z 2
2
2
2
7
2 x 1 ln xdx .
Câu 28 (TH): Tìm nguyên hàm
A. x x 2 ln x
x2
xC
2
B. x x 2 ln x
x2
xC
2
C. x x 2 ln x
x2
xC
2
D. x x 2 ln x
x2
xC
2
Câu 29 (VDC): Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2 a b 2 ab 3
1 ab
. Giá trị nhỏ nhất của biểu
ab
thức a 2 b 2 là:
A. 3 5
B.
5 1
2
5 1
2
C.
D. 2
Câu 30 (VD): Cho hàm số y mx3 mx 2 m 1 x 1 . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch
biến trên R?
A.
3
m0
4
C.
B. m 0
3
m0
4
D. m
3
4
Câu 31 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y x 2 8ln 2 x mx đồng biến trên
0; ?
A. 6
B. 7
C. 5
D. 8
Câu 32 (TH): Cho số phức z thỏa mãn 3 z i z 8 0 . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng:
A. 1
B. 2
D. 2
C. 1
Câu 33 (VDC): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1; 0; 2 , B 1;1;3 , C 3; 2;0 và
mặt phẳng P : x 2 y 2 z 1 0 . Biết rằng điểm M a; b; c thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức
MA2 2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a b c bằng:
A. 1
B. 1
C. 3
Câu 34 (TH): Tính đạo hàm của hàm số y ln
A.
x
x 1
B.
1
x 1
Câu 35 (TH): Tính nguyên hàm
2x
A.
3
1
18
3
C
2x
B.
2
1
3
x 1 .
C.
x 2x
3
3
D. 5
1
x x
D.
1
2x 2 x
1 dx .
3
C
2
2x
C.
3
1
6
3
C
2x
D.
3
1
9
3
C
2
Câu 36 (TH): Phương trình 2 x 3x có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
Trang 4
Câu 37 (VD): Cho hàm số y x 3 3x 2 2 . Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm
A 1; 0 ?
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Câu 38 (TH): Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 3 , SA ABCD và SA a 2 .
Tính góc giữa SC và ABCD .
A. 900
B. 450
C. 300
D. 600
Câu 39 (TH): Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y x 3 3x 2 là:
A. 0; 0
B. 0; 2
C. 1; 0
D. 1; 4
Câu 40 (VD): Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn xf x x 1 f x e x với mọi x .
Tính f 0 .
B. 1
A. 1
C.
1
e
D. e
Câu 41 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1; 2 và mặt phẳng
P : x 2 y 3z 4 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
A.
x 1 y 1 z 2
1
2
3
B.
x 1 y 1 z 2
1
2
3
C.
x 1 y 1 z 2
1
2
3
D.
x 1 y 1 z 2
1
2
3
Câu
42
(VDC):
Có
bao
nhiêu
giá
trị
thực
của
m
để
hàm
số
y mx9 m 2 3m 2 x 6 2m3 m 2 m x 4 m đồng biến trên .
A. Vô số
B. 1
C. 3
D. 2
1
Câu 43 (VD): Cho hàm số f x liên tục trên 0; và thỏa mãn 2 f x xf x với mọi x 0 .
x
2
Tính
f x dx .
1
2
A.
7
12
B.
7
4
C.
9
4
Câu 44 (TH): Biết rằng đường thẳng y 1 2 x cắt đồ thị hàm số y
D.
3
4
x2
tại hai điểm phân biệt A và
x 1
B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:
A. 20
B.
20
C. 15
D. 15
Trang 5
Câu 45 (VD): Cho hình chóp S . ABC có AB 3a, BC 4a, CA 5a , các mặt bên tạo với đáy góc 600 ,
hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC thuộc miền trong tam giác ABC. Tính thể tích hình
chóp S . ABC .
A. 2a3 3
B. 6a 3 3
C. 12a 3 3
D. 2a 3 2
Câu 46 (VD): Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có cạnh đáy là 2a và khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng ABC bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC . ABC .
2a 3
3
A.
B.
a3 2
2
C. 2 2a3
D.
3a 3 2
2
Câu 47 (TH): Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 3 x 2 và đồ
thị hàm số y x 2 quanh quanh trục Ox .
A.
1
6
B.
C.
6
4
5
D.
Câu 48 (TH): Cho cấp số nhân un thỏa mãn 2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 . Tính
A. 4
B. 1
C. 8
u8 u9 u10
.
u 2 u3 u 4
D. 2
Câu 49 (VD): Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1 3i z 1 i .
A. x 2 y 2 0
B. x y 2 0
C. x y 2 0
D. x y 2 0
Câu 50 (VDC): Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB BC 3a , góc
SAB SCB 900 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 6 . Tính diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
A. 36 a 2
B. 6 a 2
C. 18 a 2
D. 48 a 2
-------------------- HẾT --------------------
Trang 6
Đáp án
1-C
2-A
3-B
4-C
5-B
6-B
7-C
8-A
9-D
10-B
11-D
12-B
13-D
14-A
15-B
16-D
17-C
18-A
19-B
20-C
21-A
22-C
23-B
24-A
25-D
26-C
27-B
28-A
29-C
30-D
31-D
32-D
33-C
34-D
35-A
36-A
37-C
38-C
39-B
40-B
41-A
42-B
43-D
44-D
45-A
46-D
47-D
48-A
49-D
50-A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án C
Phương pháp giải:
Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M 1 và có VTCP u1 ; đường thẳng d 2 đi qua điểm M 2 và có VTCP u2 .
u1 ,u2 .M 1 M 2
Khi đó ta có khoảng cách giữa d1 , d 2 được tính bởi công thức: d d1 ; d 2
.
u1 ,u2
Giải chi tiết:
Ta có:
x y 1 z 1
d1 đi qua M 1 0; 1; 1 và có 1 VTCP là: u1 2;1; 2 .
2
1
2
x 1 y 2 z 3
d2 :
d 2 đi qua M 2 1; 2;3 và có 1 VTCP là: u2 1; 2; 2 .
1
2
2
M 1M 2 1;1; 4
u , u 2; 2;3
1 2
u1 ,u2 .M 1M 2
2 2 12
16
d d1 ; d 2
.
2
2
2
17
u1 ,u2
2
2
3
d1 :
Câu 2: Đáp án A
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ tìm 2 đường giới hạn x a, x b .
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y g x , đường thẳng x a, x b là
b
S f x g x dx .
a
Giải chi tiết:
x 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 3 2 x 2 x 1
.
x 1
Trang 7
2
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S
x 3 2x
2
x 1 dx 9 .
1
Câu 3: Đáp án B
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức a 2 b 2 a b a b .
Giải chi tiết:
Ta có
z 4 16 z 4 16 0 z 2 4 z 2 4 0
z2 4
z 2
2
z 2i
z 4
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức.
Câu 4: Đáp án C
Phương pháp giải:
- Giải phương trình y 0 xác định các giá trị cực trị theo m.
- Chia các TH, tìm các giá trị cực tiểu tương ứng và giải bất phương trình yCT 0 .
Giải chi tiết:
Ta có y 3 x 2 2mx m 2 ; y 0 có m 2 3m2 4m 2 0 m .
Để hàm số có cực tiểu, tức là có 2 điểm cực trị thì phương trình y 0 phải có 2 nghiệm phân biệt
m0
m 2m
3
x 3 m y m 8
Khi đó ta có y 0
3
x m 2 m m y 5m 8
3
3
27
m 0
3
0 m 2
yCT m 8 0 m 2
Khi đó yêu cầu bài toán m 0
6
m0
3
3 5
5m
6
yCT 27 8 0 m 3
5
Lại có m m 3; 2; 1;1 . Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5: Đáp án B
Phương pháp giải:
ax b
Hàm số y
nghịch biến trên ; khi và chỉ khi
cx d
y 0
d
c ;
Giải chi tiết:
Trang 8
TXĐ: D \ m .
Ta có y
mx 4
m2 4
.
y
2
xm
x m
Để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 thì
m2 4 0
2 m 2
y
0
1 m 2
.
m 1 m 1
2 m 1
m 1;1
m 1
m 1
Lại có m m 1 .
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 6: Đáp án B
Phương pháp giải:
Hàm số y x n với n xác định khi và chỉ khi x 0 .
Giải chi tiết:
1
Hàm số y x 1 3 xác định khi và chỉ khi x 1 0 x 1 .
Vậy TXĐ của hàm số là 1; .
Câu 7: Đáp án C
Phương pháp giải:
- Xác định u là 1 VTCP của và nQ là 1 VTPT của Q .
nP u
P / /
- Vì
nP nQ ; u .
P Q nP nQ
- Phương trình mặt phẳng đi qua M x0 ; y0 ; z0 và có 1 VTPT → n A; B; C là
A x x0 B y y0 C z z0 0 .
Giải chi tiết:
Đường thẳng có 1 VTCP là u 2; 2;1 .
Mặt phẳng Q có 1 VTPT là nQ 1; 1; 2 .
nP u
P / /
Gọi nP là 1 VTPT của mặt phẳng P . Vì
.
P Q nP nQ
nP nQ ; u 3;3; 0 n 1;1;0 cũng là 1 VTPT của P .
Vậy phương trình mặt phẳng P là 1. x 0 1. y 1 0. z 2 0 x y 1 0 .
Câu 8: Đáp án A
Phương pháp giải:
Trang 9
- Tìm ĐKXĐ của bất phương trình.
- Giải bất phương trình logarit: log a f x log a g x f x g x khi 0 a 1 .
Giải chi tiết:
x 0
1
ĐKXĐ:
x .
2
2 x 1 0
Ta có:
log 1 x log
2
1
2
2 x 1
log 1 x log 1 2 x 1 x 2 x 1
2
2
2
2
x 2 4 x 2 4 x 1 3x 2 4 x 1 0
1
x 1
3
1
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là S ;1 .
2
Câu 9: Đáp án D
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x .
- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y 2m 1 phải cắt đồ thị
hàm số y x 4 2 x 2 3 tại 3 điểm phân biệt.
- Lập BBT hàm số y x 4 2 x 2 3 , từ đó lập BBT hàm số y x 4 2 x 2 3 , y x 4 2 x 2 3 và tìm m
thỏa mãn.
Giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình x 4 2 x 2 3 2m 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 3 và
đường thẳng y 2m 1 .
x 0
Xét hàm số y x 4 2 x 2 3 ta có y 4 x 3 4 x 0
x 1
BBT:
Từ đó ta suy ra BBT của đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 3 .
- Từ đồ thị y x 4 2 x 2 3 lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục Ox qua trục Ox .
Trang 10
- Xóa đi phần đồ thị bên dưới trục Ox .
Ta có BBT của đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 3 như sau:
Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y 2m 1 cắt đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 3 tại 6 điểm phân biệt khi
và chỉ khi 3 2m 1 4 4 2m 5 2 m
Vậy 2 m
5
.
2
5
.
2
Câu 10: Đáp án B
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x .
- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm
số y f x tại 3 điểm phân biệt.
- Lập BBT hàm số y f x và tìm m thỏa mãn.
Giải chi tiết:
x 0
x 2
x2 0
ĐKXĐ: 2
x 2
x 2 0
x 2
x 2
Ta có:
log 4 x 2 log 2 x 2 2
1
.2.log 2 x log 2 x 2 2
2
log 2 x log 2 x 2 2 x 2 2 x
x x 2 0 x 2 x 2 tm
2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 11: Đáp án D
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x .
Trang 11
- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm
số y f x tại 3 điểm phân biệt.
- Lập BBT hàm số y f x và tìm m thỏa mãn.
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 12 x 1 m 0 m x3 12 x 1 f x .
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm số
y f x tại 3 điểm phân biệt.
Ta có f x 3 x 2 12 0 x 2 .
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy để đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt thì
15 m 17 .
Mà m m 14; 13; 12;...;15;16 . Vậy có 31 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12: Đáp án B
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức: log a xy log a x log a y 0 a 1, x, y 0
log a n b m
m
log a b 0 a 1, b 0
n
Từ giả thiết tính log a b .
- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay log a b vừa tính được để tính giá
trị biểu thức.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
log√ab(a3√b)=log√ab(3√ab.3√a2)=log√ab3√ab+log√ab3√a2=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132.logab
(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37logab(ab3)=logab(ab3.a23)=lo
gabab3+logaba23=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132.logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒2
3+134(1+logab)=3⇒logab=−37
log
a b log
3
ab
ab
3
ab . 3 a 2
Trang 12
log
log
3
ab
ab log
3
ab
1
1
ab
1
2
a2
ab 3
log
1
ab 2
2
a3
1
1
2.log ab ab
1 3
3
. log a ab
2 2
2
1
3
3
1 log a b
4
2
1
3
3 3 1 log b
a
4
log a b
3
7
Khi đó ta có:
log
b a log
3
ab
log
log
3
ab
3
ab
ab log
3
ab
ab
b2
1
1
1
2
ab 3 b 2
ab 3
log
1
2
b3
ab 2
1
1
.2.log ab ab
1 3
3
. log b ab
2 2
2
1
3 3 log a 1
b
4
2 4
1
1
.
7
3 3 1
3
3
Câu 13: Đáp án D
Phương pháp giải:
Lập BBT của hàm số trên 0; và tìm GTNN của hàm số.
Giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định trên 0; .
Ta có y 2 x
16 2 x 3 16
; y 0 x 2 .
x2
x2
Trang 13
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy min y 12 .
0;
Câu 14: Đáp án A
Phương pháp giải:
- Xác định mặt phẳng P chứa DE và song song với SC , khi đó d DE ; SC d SC ; P .
- Đổi sang d A; P . Dựng khoảng cách.
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt
phẳng đó.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, diện tích … để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:
Trong ABCD gọi I AC DE , trong SAC kẻ IG / / SC G SA , khi đó ta có DE GDE / / SC .
d SC ; DE d SC ; GDE d C ; GDE .
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
d C ; GDE
d C ; GDE IC 1
IC EC 1
, do AC GDE I nên
IA AD 2
d A; GDE IA 2
1
d A; GDE .
2
Trong ABCD kẻ AH DE H DE , trong GAH kẻ AK GH K GH ta có:
DE AH
DE AGH DE AK
DE AG
Trang 14
AK GH
AK GDE d A; GDE AK
AK DE
Vì SA ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABCD
SC ; ABCD SC ; AC SCA 450 .
SAC vuông cân tại A.
Vì ABCD là hình vuông cạnh a 2 nên AC a 2. 2 2a SA .
Áp dụng định lí Ta-lét ta có
Ta có: S AED
AG AI 2
4a
.
AG
AS AC 3
3
1
1
1
d E ; AD . AD AB. AD a 2.a 2 a 2 .
2
2
2
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CDE ta có DE CD 2 CE 2 2a 2
AH
a 2 a 10
.
2
2
2 S AED
2a 2
2a 10
.
ED
5
a 10
2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông GAH ta có
AK=AG.AH√AG2+AH2=4a3.2a√105
AK
AG. AH
AG AH
2
Vậy d DE; SC
2
4a 2a 10
.
3
5
2
4a 2a 10
3 5
2
4a 19
.
19
1 2a 19
.
2
19
Câu 15: Đáp án B
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ t 2 x 2 0 .
- Cô lập m, đưa phương trình về dạng m g t t 0 .
- Lập BBT của hàm số g t khi t 0 .
- Dựa vào BBT tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Giải chi tiết:
Ta có 4 x 1 m.2 x 2 1 0 4. 2 x 2 m.2 x 2 1 0 .
2
Đặt t 2 x 2 0 , phương trình đã cho trở thành 4t 2 mt 1 0 m
Xét hàm số g t
4t 2 1
g t t 0 .
t
4t 2 1
1
1
1
4t có g t 4 2 0 t .
t
t
t
2
Trang 15
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm t 0 m 4 .
m
Kết hợp điều kiện
m 4;5; 6;...; 2020; 2021 .
m 2021
Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 16: Đáp án D
Phương pháp giải:
- Chia tử cho mẫu để đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng đa thức + phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ
hơn bậc mẫu.
2
- Phân tích mẫu thành nhân tử, biến đổi để xuất hiện các tích phân dạng
k
ax b dx .
1
- Tính tích phân và tìm a, b, c
Giải chi tiết:
2
Ta có:
2
x3 1
x 1
1 x 2 x dx 1 x 1 x 2 x dx
2
2
1
1
x 1 dx
Giả sử
x 1
1
dx I
x x 1
2
B x 1 Cx
x 1
B
C
x 1
x x 1 x x 1
x x 1
x x 1
B C x B B C 1 B 1
x 1
x x 1
x x 1
B 1
C 2
Khi đó ta có
2
I
1
2
2
x 1
1
2
dx dx
dx
x x 1
x
x 1
1
1
2
2
ln x 1 2 ln x 1 1 ln 2 2 ln 3 2 ln 2 2 ln 3 3ln 2
Trang 16
1
a
2
2
x3 1
1
2
dx 2 ln 3 3ln 2 b 2
x x
2
1
c 3
1
Vậy 2a 3b 4c 2. 3.2 4. 3 19 .
2
Câu 17: Đáp án C
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức: log a b m m log a b 0 a 1, b 0
log a b
1
0 a, b 1
log b a
Giải chi tiết:
Ta có:
log 45 4 2 log 32.5 2
2
log 2 3 log 2 5
2
2
2
2 log 2 3 log 2 5 2a b
Câu 18: Đáp án A
Phương pháp giải:
- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là abcd a; b; c; d 0;1; 2;3; 4;5 , a b c d .
abcd 5 d 0;5
- Vì abcd 15 nên
.
abcd 3
- Ứng với mõi trường hợp của d, tìm các cặp số a, b, c tương ứng.
Giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là abcd a; b; c; d 0;1; 2;3; 4;5 , a b c d .
abcd 5 d 0;5
Vì abcd 15 nên
.
abcd 3
+ TH1: d 0 , số cần tìm có dạng abc0 a b c 3 .
Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là 1; 2;3 ;1;3;5 ;2;3; 4 ; 3; 4;5 .
⇒ có 4.3! 24 cách chọn a, b, c .
⇒ Có 24 số thỏa mãn.
TH2: d 5 , số cần tìm có dạng abc5 a b c 5 3 a b c chia 3 dư 1.
Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là 0;1;3 ;1; 2; 4 ; 0;3; 4 .
Trang 17
⇒ có 2.2.2! 3! 14 cách chọn a, b, c .
⇒ Có 14 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả 14 14 38 số thỏa mãn.
Câu 19: Đáp án B
Phương pháp giải:
-
Khoảng
d M ; P
cách
từ
M x0 ; y0 ; z0
điểm
Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
đến
mặt
phẳng
P : Ax By Cz D 0
là
.
Giải chi tiết:
d A; P
2.1 3 2. 2 3
2 1 2
2
2
2
2.
Câu 20: Đáp án C
Phương pháp giải:
- Tính số phần tử của không gian mẫu là n là số cách chọn 3 học sinh bất kì.
- Gọi A là biến cố: “Ban sự lớp gồm 3 bạn có cả nam và nữ”. Xét 2 TH để tính số phần tử của biến cố A
là n A .
+ TH1: Chọn 1 nam và 2 nữ
+ TH2: Chọn 2 nam và 1 nữ
- Tính xác suất của biến cố A: P A
n A
.
n
Giải chi tiết:
3
3
Số cách chọn 3 bạn bất kì là C40
nên số phần tử của không gian mẫu là n C40
.
Gọi A là biến cố: “Ban sự lớp gồm 3 bạn có cả nam và nữ”.
1
TH1: Chọn 1 nam và 2 nữ có C30
.C102 cách.
TH2: Chọn 2 nam và 1 nữ có C302 .C101 cách.
1
n A C40
.C102 C402 .C101 .
Vậy xác suất của biến cố A là P A
n A
n
1
C30
.C102 C302 .C101 15 285
.
3
C40
26 494
Câu 21: Đáp án A
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tan 2
1
1.
cos 2
Trang 18
- Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng:
1
1
cos ax b dx a tan ax b .
2
2
Giải chi tiết:
Ta có:
tan
2
1
1
1
2xdx
1 dx
dx dx tan 2 x x C
2
2
cos 2 x
2
cos 2 x
Câu 22: Đáp án C
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất sin cos .
2
- Giải bất phương trình mũ: a
f x
a g x f x g x khi 0 a 1 .
- Giải bất phương trình đại số tìm x, sau đó kết hợp điều kiện đề bài.
Giải chi tiết:
Vì
5
3 5
3
.
nên sin cos
10 10 2
5
10
Khi đó ta có
4
x
x
4
3 x
4
x
sin cos sin sin x do 0 sin 1
5
10
5
5
x
5
x 2
x2 4
0
x
0 x 2
Kết hợp điều kiện x 99;100 ta có x 99; 2 0; 2 .
Vậy phương trình đã cho có 100 nghiệm nguyên thỏa mãn.
Câu 23: Đáp án B
Phương pháp giải:
nP .ud
Gọi là góc giữa P và , khi đó ta có sin , với n p và ud lần lượt là 1 vtpt của P và
nP . u d
vtcp của Δ.
Giải chi tiết:
x 1 y 2 z
Mặt phẳng P :2 x y 2 z 3 0 có 1 vtpt là nP 2; 1; 2 , đường thẳng :
có 1
1
2
2
vtcp là ud 1; 2; 2 .
nP .ud
2.1 1.2 2. 2
4
Ta có: sin
.
2
2
2
2
2
2
9
nP . u d
2 1 2 . 1 2 2
Trang 19
cos 1 sin 2
65
.
9
Câu 24: Đáp án A
Phương pháp giải:
- Gọi d là công sai của CSC trên. Sử dụng công thức SHTQ của CSC: un u1 n 1 d , giải hệ phương
trình tìm u1 , d .
2u1 n 1 d n
- Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSC: u1 u2 u3 ... un
2
Giải chi tiết:
Gọi d là công sai của CSC trên. Theo bài ra ta có:
2021
u1 u2020 2
2u1 2019d 2
u1
2 .
u1001 u1021 1 2u1 2020d 1
d 1
Vậy u1 u2 ... u2021
2u1 2020d .2021 2021 .
2
2
Câu 25: Đáp án D
Phương pháp giải:
AM ; ud
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d là d A; d
, trong đó M là
ud
điểm bất kì thuộc d và ud là 1 vtcp của đường thẳng d.
Giải chi tiết:
Lấy M 1; 2;3 d . Đường thẳng d có 1 VTCP là ud 2; 2;1 .
Ta có: AM 2; 0;3 AM ; ud 6; 4; 4 .
2
AM ; ud
6 2 4 2 4
2 17
Vậy d A; d
.
2
3
ud
22 2 12
Câu 26: Đáp án C
Phương pháp giải:
- Để hàm số đồng biến trên 0;1 thì y 0 x 0;1 .
- Cô lập m , đưa bất phương trình về dạng m g x x 0;1 m min g x .
0;1
- Lập BBT hàm số g x trên 0;1 và kết luận.
Giải chi tiết:
TXĐ: D 0; nên hàm số xác định trên 0;1 .
Trang 20
Ta có y 8 x 2
2
m.
x
2
Để hàm số đồng biến trên 0;1 thì y 0 x 0;1 m 8 x 2 x 0;1 .
x
2
Đặt g x 8 x 2 , x 0;1 , khi đó ta có m g x x 0;1 m min g x .
0;1
x
Ta có g x 16 x
2 16 x 3 2
1
; g x 0 x tm .
2
2
x
x
2
BBT:
Dựa vào BBT m 6 . Kết hợp điều kiện m m 1; 2;3; 4;5; 6 .
Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 27: Đáp án B
Phương pháp giải:
- Gọi tâm mặt cầu là I, tham số hóa tọa độ điểm I theo biến t.
- Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng P và Q nên R d I ; P d I ; Q . Giải phương
trình tìm t và suy ra tâm, bán kính mặt cầu.
- Mặt cầu tâm I x0 ; y0 ; z0 , bán kính R có phương trình là x x0 y y0 z z0 R 2 .
2
2
2
Giải chi tiết:
Gọi tâm mặt cầu là I 1 t ; 1 t ; 2t .
Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng P và Q nên R d I ; P d I ; Q .
1 t 2 1 t 3.2t
1 2 3
2
2
2
1 t 2 1 t 3.2t 4
12 22 32
5t 3 5t 7 5t 3 5t 7 t 1
Khi đó mặt cầu có tâm I 0; 2; 2 , bán kính R
5 3
14
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là x 2 y 2 z 2
2
2
2
.
14
2
7
Câu 28: Đáp án A
Trang 21
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
udv uv vdu .
Giải chi tiết:
dx
u ln x
du
Đặt
x
dv 2 x 1 dx v x 2 x x x 1
Khi đó ta có
2
2
2 x 1 ln xdx x x ln x x 1 dx x x ln x
x2
xC
2
Câu 29: Đáp án C
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả hai vế của phương trình, sau đó xét hàm đặc trưng.
- Rút a theo b, từ điều kiện của a suy ra điều kiện chặt chẽ hơn của b.
- Biến đổi P a 2 b 2 a b 2ab , đặt ẩn phụ t 2ab , lập BBT tìm miền giá trị của t.
2
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của biểu thức P.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
2 a b 2 ab 3
1 ab
ab
a b 2ab 3 log 2 1 ab log 2 a b
a b 2ab 2 log 2 1 ab 1 log 2 a b
a b 2ab 2 log 2 2 2ab log 2 a b
log 2 a b a b log 2 2 2ab 2 2ab *
Xét hàm số y log 2 t t t 0 ta có y
1
1 0 t 0 , do đó hàm số đồng biến trên 0; .
t ln 2
Khi đó * a b 2 2ab a 1 2b 2 b a
Vì a, b 0
2b
.
1 2b
2b
0 2b 0 b 2.
1 2b
Khi đó ta có P a 2 b 2 a b 2ab 2 2ab 2ab .
2
Đặt t 2ab 2
2
2b b 2
2b
.b 0 b 2 ta có t 2.
1 2b
1 2b
2 2b 1 2b 2b b 2 .2
t 2.
2
1 2b
Trang 22
2.
2 4b 2b 4b2 4b 2b 2
t 0 b
1 2b
2
4 4b 4b 2
1 2b
2
1 5
2
BBT:
t 0;3 5 .
2
Khi đó ta có P 2 t t t 2 5t 4, t 0;3 5 .
Ta có P 2t 5 0 t
5
ktm , do đó Pmin P 3 5 3 5 .
2
Câu 30: Đáp án D
Phương pháp giải:
- Để hàm số nghịch biến trên thì y 0 x
m 0
- Xét 2 TH: m 0 và
.
0
Giải chi tiết:
TXĐ: D .
Ta có: y 3mx 2 2mx m 1 .
Để hàm số nghịch biến trên thì y 0 x .
3mx 2 2mx m 1 0 x
m 0
m 0
m 0
1 0 x luon dung
m 0
m 0
3
m0
4m 2 3m 0
m 0
2
m 3m m 1 0
4
m 0
3
3
m0
m 0
4
4
Câu 31: Đáp án D
Phương pháp giải:
Trang 23
- Để hàm số đồng biến trên 0; thì y 0 x 0; .
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng m g x x 0; m min g x .
0;
- Sử dụng BĐT Cô-si tìm min g x .
0;
Giải chi tiết:
TXĐ: D 0; .
Ta có: y 2 x 8.
2
8
m 2x m
2x
x
Để hàm số đồng biến trên 0; thì y 0 x 0; .
2x
8
m 0 x 0;
x
8
m 2 x x 0; * .
x
Đặt g x 2 x
8
, khi đó * m min g x .
0;
x
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
2x
2x
8
8
2 2 x. 2.4 8
x
x
min g x 8 , dấu “=” xảy ra
0;
8
x 2.
x
Từ đó ta suy ra được m 8 , kết hợp điều kiện m m 1; 2;3; 4;5; 6; 7;8 .
Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 32: Đáp án D
Phương pháp giải:
- Đặt z a bi a; b z a bi .
- Thay vào giả thiết 3 z i z 8 0 , đưa phương trình về dạng A Bi 0 A B 0 .
Giải chi tiết:
Đặt z a bi a; b z a bi .
Theo bài ra ta có:
3z i z 8 0
3 a bi i a bi 8 0 3a 3bi ai b 8i 0
3a b 0
a 1
3a b a 3b 8 i 0
a 3b 8 0
b 3
Vậy tổng phần thực và phần ảo của z là a b 1 3 2 .
Câu 33: Đáp án C
Trang 24
Phương pháp giải:
- Gọi I là điểm thỏa mãn IA 2 IB IC 0 . Phân tích MA2 2 MB 2 MC 2 theo MI.
- Chứng minh đó MA2 2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.
- Với I cố định, tìm vị trí của M P để IM min .
- Tìm tọa độ điểm I, từ đó dựa vào mối quan hệ giữa IM và P để tìm tọa độ điểm M.
Giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn IA 2 IB IC 0 . Khi đó ta có:
2
2 2
MA2 2 MB 2 MC 2 MA 2 MB MC
2
2
MI IA 2 MI IB MI IC
2
2
2
2 2
2 MI 2MI IA 2 IB IC IA 2 IB IC
2 MI 2 IA2 2 IB 2 IC 2
Vì I , A, B, C cố định nên IA2 2 IB 2 IC 2 không đổi, do đó MA2 2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi
và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà M P nên IM đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên P hay
IM P IM và nP 1; 2; 2 cùng phương, với nP là 1 vtpt của P .
Tìm tọa độ điểm I ta gọi I x; y; z . Ta có:
IA 2 IB IC 0
x 1; y; z 2 2 x 1; y 1; z 3 x 3; y 2; z 0
x 1 2 x 1 x 3 0
2 x 4 0
x 2
y 2 y 1 y 2 0 2 y 0
y 0 I 2;0; 4
z 2 2 z 3 z 0
2 z 8 0
z 4
Khi đó ta có IM a 2; b; c 4
Vì IM và nP 1; 2; 2 cùng phương, lại có M P nên ta có hệ phương trình:
2a b 4 0
a 1
a 2 b c 4
b 2
2
2 b c 4 0
1
a 2b 2c 1 0
a 2b 2c 1 0
c 2
Vậy a b c 1 2 2 3
Câu 34: Đáp án D
Phương pháp giải:
u
Sử dụng công thức tính đạo hàm ln u .
u
Giải chi tiết:
Trang 25
y
x 1
x 1
2 x
1
x 1
1
.
2x 2 x
Câu 35: Đáp án A
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt t 2 x 3 1 .
Giải chi tiết:
Đặt t 2 x3 1 dt 6 x 2 dx x 2 dx
dt
.
6
2 x3 1
t 2 dt 1 t 3
2
3
Khi đó ta có x 2 x 1 dx
. C
C .
6
6 3
18
3
2
Câu 36: Đáp án A
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp logarit hai vế.
Giải chi tiết:
Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình ta có:
2 x 3x log 3 2 x log 3 3x x log 3 2 x 2 x x log3 2 0
2
2
x 0
x 0
x log 3 2 0
x log 3 2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thực.
Câu 37: Đáp án C
Phương pháp giải:
- Gọi M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M .
- Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y f x tại M x0 ; y0 là y f x0 x x0 f x0 .
- Cho A 1; 0 d , giải phương trình tìm số nghiệm x0 . Số nghiệm x0 chính là số tiếp tuyến với đồ thị
hàm số đi qua điểm A 1; 0 cần tìm.
Giải chi tiết:
Ta có y 3 x 2 6 x .
Gọi M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số.
Phương
trình
tiếp
tuyến
của
đồ
thị
hàm
số
tại
điểm
M x0 ; y0
là
y 3 x02 6 x0 x x0 x03 3 x02 2 d .
Cho A 1;0 d ta có:
Trang 26
0 3 x02 6 x0 1 x0 x03 3 x02 2
0 3 x02 6 x0 3 x03 6 x02 x03 3 x02 2 0 2 x03 6 x0 2 x0 0, 32
Vậy có duy nhất 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A 1; 0 .
Câu 38: Đáp án C
Phương pháp giải:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
- Sử dụng công thức tính nhanh: Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2 .
Giải chi tiết:
Vì SA ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABCD .
SC ; ABCD SC ; AC SCA .
Vì ABCD là hình vuông cạnh a 3 nên AC a 3. 2 a 6 .
Xét tam giác vuông SAC ta có: tan SCA
SA
1
SCA 300 .
SC
3
Vậy SC ; ABCD 300 .
Câu 39: Đáp án B
Phương pháp giải:
- Hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
- Giải phương trình y 0 tìm hoành độ điểm uốn, từ đó suy ra tọa độ điểm uốn.
Giải chi tiết:
Ta có: y x 3 3x 2 y 3x 2 3; y 6 x .
Cho y 0 6 x 0 x 0 y 2
⇒ Hàm số đã cho có điểm uốn là 0; 2 .
Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Vậy hàm số đã cho có tâm đối xứng là 0; 2 .
Câu 40: Đáp án B
Phương pháp giải:
Trang 27
- Nhận thấy x 1 e x xe x . Sử dụng công thức uv u v uv .
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế để tìm f x .
- Tính f x và tính f 0 .
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có
xf x x 1 f x e x xe x f x x 1 e x f x 1
Ta có xe x e x xe x x 1 e x
xe x f x xe x f x 1
xe x f x 1 xe x f x dx dx xe x f x x C
x 0
Thay x 0 ta có 0 0 C C 0 , do đó xe f x x x e f x 1 0
f x 1x e x
e
x
x
f x e x f 0 e 0 1
Câu 41: Đáp án A
Phương pháp giải:
- Vì d P nên ud nP .
x x0 y y0 z z0
- Phương trình đường thẳng đi qua A x0 ; y0 ; z0 và có 1 vtcp u a; b; c là
.
a
b
c
Giải chi tiết:
Mặt phẳng P : x 2 y 3 z 4 0 có 1 vtpt là nP 1; 2; 3 .
Gọi d là đường thẳng đi qua A 1; 1; 2 và vuông góc với P và ud là 1 vtcp của đường thẳng d.
Vì d P nên ud nP 1; 2; 3 .
Vậy phương trình đường thẳng d là
x 1 y 1 z 2
.
1
2
3
Câu 42: Đáp án B
Phương pháp giải:
Giải chi tiết:
TXĐ: D .
Ta có:
y 9mx8 6 m 2 3m 2 x5 4 2m3 m 2 m x 3
y x3 9mx 5 6 m 2 3m 2 x 2 4 2m3 m 2 m
Trang 28
x 0 nghiem boi 3
Cho y 0
5
2
2
3
2
9mx 6 m 3m 2 x 4 2m m m 0 *
Để hàm số đồng biến trên thì x 0 phải là nghiệm bội chẵn của phương trình y 0 , do đó phương
trình (*) phải nhận x 0 là nghiệm bội lẻ.
Vì x 0 là nghiệm của (*) nên thay x=0x=0
vào phương trình (*) ta có:
m 1
1
2 m3 m 2 m 0 m
2
m 0
Thử lại:
+ Với m 0 ta có y 12 x 5 không thỏa mãn y 0 x .
+ Với m 1 ta có y 9 x8 0 x (thỏa mãn).
+ Với m
x 0
1
9
45 5
9
ta có y x8
, do đó không thỏa mãn
x x5 x3 5 0
3
2
2
2
2
x 5
y 0 x
Vậy có duy nhất 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m 1 .
Câu 43: Đáp án D
Phương pháp giải:
1
1
- Thay x , sau đó rút f theo f x và thế vào giả thiết.
t
x
- Tìm f x theo x và tính
2
f x dx bằng phương pháp tích phân 2 vế.
1
2
Giải chi tiết:
1
1
1
1 1
1 1 1 1
Ta có: 2 f x xf x , với x ta có 2 f f t f f t
x
t
t
t
t
t
2
t
t
1 11 1
f f x
x 2 x x
Khi đó ta có
2 f x
1 1 1
1 1
x f x x 2 f x f x x
2 x x
2 2
2
2
2
2
3
1
3
1
f x x f x dx x dx
2
2
21
2
1
Trang 29
2
2
2
2
3
9
3
f x dx f x dx
21
8
4
1
Câu 44: Đáp án D
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai.
- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng AB
xB xA yB y A
2
2
.
Giải chi tiết:
TXĐ: D \ 1
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x2
1 2 x x 2 x 11 2 x
x 1
x 2 x 1 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 1 0 *
Khi đó hoành độ của điểm A và B lần lượt là x A , xB là nghiệm của phương trình (*).
x1 x2 1
Áp dụng định lí Vi-ét ta có
1.
x1 x2 2
Ta có: A x A ;1 2 x A ; B xB ;1 2 xB nên:
AB 2 xB x A 1 2 xB 1 2 x A
2
AB 2 xB x A 4 xB x A
2
AB 2 5 xB x A
2
2
2
2
AB 2 5 x A xB 4 x A xB
1
AB 2 5 12 4. 15
2
Vậy AB 15 .
Câu 45: Đáp án A
Phương pháp giải:
- Gọi H là hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác ABC , chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp
ABC .
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng
vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Trang 30
- Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r
S
, với S , p lần lượt là diện tích và
p
nửa chu vi tam giác.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối chóp.
1
- Tính thể tích khối chóp VS . ABC SH .SABC .
3
Giải chi tiết:
Vì chóp S . ABC có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu của S thuộc miền trong tam
giác ABC nên hình chiếu của S là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
Gọi H là tâm đường tròn nội tiếp ABC SH ABC
Xét ABC có AB 2 BC 2 CA2 25a 2 nên ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo).
AB SH
Trong ABC kẻ HK / / BC K AB ta có
AB SHK AB SK .
AB HK
SAB ABC AB
SK SAB ; SK AB
HK ABC ; HK AB
SAB ; ABC SK ; HK SKH 600 .
1
.3a.4a
S ABC
Vì HK là bán kính đường tròn nội tiếp ABC nên HK
2
a.
pABC 3a 4a 5a
2
Xét tam giác vuông SHK ta có SH HK .tan 600 a 3 .
1
1
1
Vậy VS . ABC SH .SABC a 3. .3a.4a 2 3a3 .
3
3
2
Câu 46: Đáp án D
Phương pháp giải:
- Xác định góc từ điểm A đến ABC .
Trang 31
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính AA .
- Tính thể tích VABC . ABC AA.S ABC .
Giải chi tiết:
BC AM
Gọi M là trung điểm của BC ta có
BC ABC .
BC AA
AH BC
Trong ABC kẻ AH AM H AM ta có:
AH ABC
AH AM
d A; ABC AH a .
Vì tam giác ABC đều cạnh 2a nên AM 2a.
3
3
2
a 3 và S ABC 2a
a2 3 .
2
4
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AAM ta có
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
AH
AA
AM
a
A A 3a
1
2
a 6
2 AA
2
AA
3a
2
Vậy VABC . ABC AA.S ABC
a 6 2
3a 3 2
.a 3
2
2
Câu 47: Đáp án D
Phương pháp giải:
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y f x ; đồ thị hàm số
b
y g x ; đường thẳng x a; x b quanh quanh trục Ox là V f 2 x g 2 x dx .
a
Giải chi tiết:
x 1
Xét phương trình hoành độ giao điểm 3 x 2 x 2
.
x 2
Trang 32
Vậy thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 3 x 2 và đồ thị hàm số v
2
quanh quanh trục Ox là V 3 x 2 x 4 dx
2
1
4
.
5
Câu 48: Đáp án A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức un uk q n k
Giải chi tiết:
Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:
2 u3 u4 u5 u6 u7 u8
2 u3 u3q u3q 2 u6 u6 q u6 q 2 2u3 1 q q 2 u6 1 q q 2
2u3 u6 do 1 q q 2 0 q
u3 0
2u3 u3 q 3 u3 2 q 3 0
3
q 2
Ta có:
2
u8 u9 u10 u8 u8 q u8 q 2 u8 1 q q u2 q 6
q6 4
2
2
u2
u2 u3 u4 u2 u2 q u2 q
u2 1 q q
Câu 49: Đáp án D
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức z1 z2 z1 z2 ; z z .
- Đặt z a bi , sử dụng công thức z a 2 b 2 , biến đổi rút ra mối quan hệ giữa a, b và kết luận.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có
z 1 3i z 1 i
z 1 3i z 1 i z 1 3i z 1 i z 1 3i z 1 i
Đặt z a bi ta có:
a bi 1 3i a bi 1 i
a 1 b 3 i a 1 b 1 i a 1 b 3 a 1 b 1
2
2
2
2
2a 1 6b 9 2a 1 2b 1 4a 4b 8 0
a b2 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x y 2 0 .
Câu 50: Đáp án A
Trang 33
Phương pháp giải:
Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của SB .
Vì SAB SCB 900 nên IS IA IB IC , do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S . ABC , bán kính
R IS
1
SB .
2
Xét v SAB và v SCB có AB CB gt , SB chung v SAB v SCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
SA S SAC cân tại S.
SM AC
Gọi M là trung điểm của AC ta có
AC SBM .
BM AC
SH BM
Trong SBM kẻ SH BM ta có:
SH ABC .
SH AC AC SBM
Đặt SA SC x .
Vì ABC vuông cân tại B nên AC AB 2 3a 2 BM AM MC
3a 2
.
2
Áp dụng định lí Pytago ta có:
SM SC 2 MC 2 x 2
9a 2
2
SB BC 2 SC 2 9a 2 x 2 .
x2
Gọi p là nửa chu vi tam giác SBM ta có p
Diện tích tam giác SBM là: S SBM
Khi đó ta có SH
9a 2
9a 2
9a 2 x 2
2
2 .
2
p p SM p SB p BM
2 S SBM
.
BM
Trang 34
Ta có:
1
1
VS . ABC SH .SABC d A; SBC .S SBC
3
3
SH .S ABC d A; SBC .SSBC
2 S SBM 1
1
. .3a.3a a 6. .3a.x x 3 3a
BM 2
2
Áp dụng định lí Pytago ta có: SB SC 2 BC 2 27 a 2 9a 2 6a R IS 3a .
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S . ABC là S 4 R 2 4 .9a 2 36 a 2 .
-------------------- HẾT --------------------
Trang 35