ĐỀ THI THỬ ĐỘI TUYỂN HSG MÔN TOÁN LỚP 12 LẦN 13

THI TH MÔN TOÁNỀ ỌGV: Nguy Văn Xá, tr ng THPT Yên Phong 2, Yên Trung, Yên Phong, Ninh (0949969143)ễ ườ ắI. Ph chung (7,0 đi m)ầ ểCâu 2,0 đi mể ). Cho hàm 23y có thồ ). 1. Kh sát bi thiên và th hàm .ả ố2. là ng th ng đi qua đi ườ ể(2; 4)A- và có góc .k Tìm giá tr aấ ủtham số (ắ ba đi phân bi sao cho tam giác MBD có di tích ngệ ằ3 17 bi đi (1; 2) .Câu ,0 đi mể ). Gi ph ng trình ươ2 29 2sin cos cos .422 4xx xp-æ ö+ =ç ÷è øCâu 1,0 đi mể ). Gi tấ ph ng trình ươ352 103 27 276. 0xx x- .Câu đi mể ). Tính tích phân 2333 ln lneex xI dxx+ -=ò .Câu (1, đi mể Cho lăng tr ABC A’B’C’ có A’ ABC là hình chóp tam giác u, ềAB a= 2a< jlà góc gi ph ng ẳ()'A BC và ph ng ẳ()' 'C BC Tính bi th tích kh chópể ố'. ' 'A BCC là 23 và 3cos3j= .Câu (1,0 đi mể Cho các số th cự ngươ th mãn ỏa ab+ Ch ng minh ng ằ6.b aa b+ >II. Ph ch (3,0 đi m)ầ ểA. Dành cho ch ng trình chu nươ ẩCâu 7a đi mể ). Trong ph ng Oxy cho 4; (2; 0).2 52 2A Dæ öæ öæ ö- -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øè øè Vi tếph ng trình ng tròn (T) tâm và ng tròn ngo ti tam giác ươ ườ ườ ABC ra dây cungạcó dài ng 2. ằCâu 8a đi mể ). Trong không gian hớ Oxyz cho ng th ng ườ ẳ2:1 1x z+D =- và ph ngặ ẳ( 0.P z+ là giao đi và ). Vi tế ph ng trình ng th ng ươ ườ 'D điqua A, trong và góc ng 060 .Câu 9a đi mể ). Tìm nh nh trong khai tri nh th Newton ứ()22 3nx- bi ng là nguyênốd ng th mãn ươ ỏ3 24 100n nA C+ .B. Dành cho ch ng nâng caoươCâu 7b đi mể ). Trong ph ng Oxy cho tam giác ABC có tr tâm ự()5; 5H ph ngươtrình ng th ng ch nh ườ BC là 0x y+ Bi ng tròn ngo ti tam giác ườ ABC điqua hai đi ể()()7; 4; 2M Tính di tích tam giác ABC Câu 8b đi mể ). Trong không gian Oxyz cho ng th ng ườ ẳ1 2:1 2x zd- += =- và hai đi mể(1; 4; 2), 1; 2; 4)A B-. Tìm đi thu sao cho MA MB nh nh t.ể ấCâu 9b đi mể ). Ch ng minh ng ằ20143 20132014 2014 2014 20142 4...3C C-+ .---------- ---------- ẾĐáp án tắ ắCâu 2,0 đi mể ). 1. sinh làm.ọ ự2. Ta có PT hoành giao đi (C) và là ()()3 2223 .4 1xx xx k=é- Ûê- =ë ngườth ngẳ (): 4y xD th (C) ba đi A, B, phân bi ph ng trình (ươ ph có hainghi phân bi khác 2ệ ()172 .42kkì>-ïÛíï¹ -î Do (2; 4)A- nên hoành B, là nghi (ệ ). iọ()()1 1; ,B x- ()()2 2; 4D x- x1 x2 là hai nghi (ệ Ta có ()()21 17BD k= +. là hình chi trên BD. Ta có ủ()26, .1kMH BD Mk+= =+ Theo gi thi tả ế()()3 17 17 17 17 (2)MBDS MH BD mD= =. yậ là giá tr tìmị .Câu 1,0 đi mể ). 29 6sin cos cos sin sin sin4 452125 7sin sin 212 12( ).sin sin 212 12123212xx xx kx kkx kx kpppp ppp pppp- ±æ ö+ =ç ÷è øé= +êêéê= +êêÛ Îêê- -êê= +êëêê= +êë¢Câu 1,0 đi mể ). 0x thì 55352 103 27 276. 27 27 0.x xx x- Tr ta gi phướ ươ ng trình 553 27 27 (1).x x- =Đ ặ59 27y x= thì (1) chuy ề5 55 53 27 27 (2).9 27 27 (3)x yy xì ì- +ï ïÛí í= +ï ïî îL ph ng trình (2) tr đi ph ng trình (3), ta thu ươ ươ ượ5 56 (4).x x- -N thì trái (4) ng còn ph âm. Do đó ươ không là nghi (4).ệ ủN thì trái (4) âm còn ph ng. Do đó ươ không là nghi (4).ệ ủD th th mãn ph ng trình (4).ỏ ươV ậ(4) .x yÛ (Ta cũng có th th ấ5 5(4) 6x yÛ do hàm ố5( 6f x= ng bi trên ế¡ (4'( 0f x= )).Th vào ph ng trình (2), ta cóươ5 29 27 (5) 3)( 9) 0x x- =3 23 0x xÛ (do ph ng trình ươ23 0x x+ có 0D vô nghi m)ệ3 33 1) 3( 1) 0.x xÛ =Đ ặ11x tt- ớ0.t¹ Ta cượ()3 33 36 331 1( 3( 05 25 29 29 29 292 .2 2t tt tt t- ¹± ±Û =Mà 35 29 29. 12 2+ -=- nên 31 29 291 12 2x tt+ -= là nghi duy nh ủph ng trình (5). Do đó ph ng trình (2)(3) có nghi duy nh ươ ươ ấ3 35 29 2912 2x y+ -= .V ph ng trình (1) có nghi ươ ệ3 305 29 291 .2 2x x+ -= +Hàm ố55( 27 27f x= liên trên ụ¡ 0( ,f x= lim )xf x®+¥=+¥ nên0( 0f x> và 0( .f x< Tóm i, ph ng trình ươ553 27 27 0x x- có nghi ệ3 35 29 291 .2 2x+ -> +Câu đi mể ). 23 32 21 ln ln 13 ln lne ee ex xI dx xdx dxx xæ ö- -= -ç ÷ç ÷è øò ò. Tính 2213 lneeI xdx=ò ặ23ln3dxu xduxdv dxv xì==ìïÞí í=îï=î 222 23 33 315 2ln ln 23 3eee ee eeex eI dx e- -Þ =ò .Tính 232ln 1eexI dxx-=ò ặ3 23ln ln 3dxx dtx- .Đ ậ20; 1x t= 11432003 334 4tI dtÞ =ò .V ậ6 31 25 20 93 12e eI I- -= .Câu (1, đi mể là dài nh bên lăng tr là tâm tam giác ABC và là trung đi ượ ủBC và ’.Ta có ()223' ' ' .2 4a aA ABC AI IM x^ ()··0'''180 'AI BC IMBC AIMA BCA IMjjé^ =ìÞ Þêí^êî= -ëTH1: ·'A IMj= Theo nh lí Cosin ta cóị 42 22 2228 11 03 12. .4 432x aa ax aaxì- =ï= =í³ïî 3'. ' ' '.2 22 ' .3 6A BCC ABC ABCaV S= (đvtt).Lúc này 3'. ' '2 223 3A BCC BaV a= (th mãn ỏ0 2).a< TH2: ·0180 'A IMj= -Theo nh lí Cosin ta có ị4 42 22 2228 11 03 62. .4 432x aa ax xaxì- =ï= =í£ïî .3'. ' ' '.2 22 ' .3 24A BCC ABC ABCaV S= =(đvtt).Lúc này 363'. ' '2 162 23 24 32A BCC BaV a= (không th mãn ỏ0 2).a< ậ2a= là giá tr th mãn yêu bài toán.ị ầCâu (1,0 đi mể Vì 10, 0, 1a ba b> nên 1. 1.a b> Xét hàm 1) 1bf x= ọ1, 1.x b³ Có'( 0f x> khi 1,x '( 0f x= khi 1,x nên )f ng bi trên ế[)1;+¥ Do đó (1) 0f f> iớm ọ1.a> Nh ậ1, 1, 1.ba ab b> " " ng ươ ự1, 1, 1.ab ab b> " " Suy raa 2.b ab ab ab+ Ta có ạ2 4.ab ab ab= ậa 6.b ab+ >Câu 7a đi mể ). ng tròn ngo ti tam giác ườ ABC có ph ng trình ươ2 21 '),x T+ tâm (0; 0)O bán kính' 1.R= ng tròn (T) (T’) M, thì dây cung MN vuông góc ng tâm OD,ườ ườ ốhay MNOx^ (T’) có bán kính ' 1R mà MN nên MN là ng kính (T’), suy raộ ườ ủM, trên Oy. (T) là ng tròn tâm và đi qua hai đi (0;1), (0;-1), do đó (T) cóằ ườ ểph ng trình ươ2 2( 2) 5.x y- Câu 8a đi mể ). đi ể()1; 0; 1A- ọ2 2( ), 0,u c= ¹r là vect ch ph ng ươ ủ'D Vì' )PD nên 0Pu nD=uur uur hay ()2 2a b+ =- -r Do ớ'D góc 60 nên ()2 222 22 28 026 21a ba ab ba b+ += =é ù+ +ë Ch ta ượ4 3a=- Vậ y()(41'2 3)7 ):13(xy tz ttì=ïD Îíï=-- +î- -¡ ho ặ()(41'2 3)7 ):13(xy tz ttì=ïD Îíï=+- +î- +¡ Câu 9a đi mể ). Ta có 2( 1)( 1)( 2) 1004 100 52, 3n nn nn nA nn n-ì- =ï+ =íïÎ ³î¢ Và 10 1010 10100 0(12 1)k kkk kx x-= =- =å tìm nh nh trong khai tri ta ch xét ng có mũ Nh th yể ấ1 915360, 414720, 1959552, 2099520, 393660a a=- =- =- =- =-. nh nh trong khai ấtri chính là ủ7x là72099520a=- .Câu 7b đi mể ).G là đi ng qua BC Ph ng trình ươ HH ’: 0x y- Khi đó, giao đi HH vàBC là ()4; 4I Suy ra đi ể()' 3; 3H .Ch ng minh ượ trên ng tròn ngo ti tam giác ườ ABC .G Pt ng tròn ngo ti tam giác ườ ABC là ()2 22 0x ax by c+ >Do thu ng tròn ngo ti tam giác ườ ABC nên ta có2 22 22 27 14 053 4364 0a caa bca cì+ ==-ìïï+ =-í íï ï=+ =îî.Ph ng trình ng tròn ngo ti tam giác ươ ườ ABC là ()2 210 36 0x C+ .Vì ()()' 6; 6A HH A= (vì 'A Hº {}();B BC C= là nghi ph ngệ ươtrình2 23510 36 08 062xyx yx yxyé =ìíê=ì+ =îêÛíê+ ==ìîêí=êîë. 2BCÞ Di tích tam giác ABC là ()6 81 1, .3 62 22ABCS BC BC+ -= (đvdt).Câu 8b đi mể ). Gi ử(1 2; ), .M t- Ρ Ta có 26 20 40 28 36.MA MB t+ Ch ọ5 210 306 03 3u tæ ö= +ç ÷ç ÷è ør thì 88 20 7.3MA MB v++ =r “=” ra khi ả22 7.9t-= ớ7 13 44 7; ;9 9Mæ ö- -ç ÷ç ÷è thì MA MB+ nh nh t.ạ ấCâu 9b đi mể ). Ta có 1... (1).n nn nC C+ ặ2 2cos .sin3 3z ip p= đó là o. Ta có ả31,z=21 0,z z+ cos .sin ,3 3z ip p+ 21 cos .sin .3 3z ip p+ Nh th yậ ấ0 5(1 ... ...n nn nz zC zC zC C+ (2)2 5(1 ... ...n nn nz zC zC+ (3).T (1), (2), (3) suy raừ0 23( ...) (1 (1 cos3n nn nnC zp+ 91... (2 cos 13 3nn nnC Cp+ (n nguyên ng).ươThay 2014 ta thu cượ20143 2013 20142014 2014 2014 20141 2014 4... (2 cos 13 3C Cp-+ (đpcm).