Đề thi KSCL HSG Môn toán lớp 11

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu (4 điểm) 1. Giải phương trình: 23 cos sin cos sin cos 0x x 2. Giải hệ phương trình: 2 22 22 12 ,1x yy zxy yz zx    Câu II (2 điểm) Giả sử ,A lần lượt là số đo các góc , ,DAB ABC BCD CDA của tứ giác lồi ABCD bất kì. 1. Chứng minh rằng sin sin sin sin3A CA C  . 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sin sin sin sin3AP D . Câu III (1 điểm) Gọi là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc và số đó chia hết cho 9. Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm1 1, ,A C. Đường thẳng 1AA cắt đường thẳng 1CC tại điểm I; đường thẳng 1AA cắt đường thẳng BC tại điểm N; đường thẳng 1BB cắt đường thẳng 1A tại điểm P. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 1IPC. Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC tại điểm M. Biết rằng BM MN và 2BAC ABC. Tính các góc của tam giác ABC. Câu (1 điểm) Cho hàm số : 0; 0;f  thỏa mãn điều kiện 13 22f x    với mọi 0x. Chứng minh rằng f x với mọi 0x. -------------Hết------------- Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT chuyên) Đáp án gồm trang Câu Nội dung Điểm 4điểm I.1 (2 điểm) 22 23 cos sin cos sin cos 03 cos sin .cos cos sin .cos sin cos 0x xx x  0,5 2 23 sin sin cos cos sin cos sin cos 03 sin sin cos cos sin cos sin cos 0sin cos sin cos 0x xx xx x   0,5 sin 0sin cos 0413 sin cos 1sin6 2xx xx xx            0,5 442 6252236 6x kx kx kx kx k          0,5 I.2 (2 điểm) +) Nếu 0x thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm 0,25 +) Nếu 0x ta đặt ax bx thay vào hệ ta được 0,25 2 22 22 22 22221 14 11 31 12 01 21x aa ba bx ba aa ab bx ab b          0,52 22114 11 21 02 0aba bb aa ba a             0,5 +) Nếu 11ab   thay vào (1) không thỏa mãn 0,25 +) Nếu 2111 212 020abb aa aab    thay 11ab  vào (1) không thỏa mãn, thay 120ab vào (1) ta có 2x . Do đó nghiệm của hệ là 1 1; 2; 02 2x z    0,25 II 2điểm II.1 (1 điểm) Nhận xét. Nếu ;2x yx y thì sin sin sin cos sin2 2x yx y  . Dấu bằng xảy ra khi y 0,25 Sử dụng nhận xét trên ta có 4sin sin sin sin sin sin3 642 64 sin sin2 3A CA CA CA C     0,5 sin sin sin sin3A CA C  . Dấu bằng xảy ra khi C . 0,25 II.2 (1 điểm) Đặt ,3B Dt  ta có 22 13 3A t  0,25 Khi đó theo phần II.1 ta có 5sin sin cos sin3 2tP t    0,25Khi đó 222 23 5sin cos 72 2P t            0,25 Đẳng thức xảy ra khi 3 5cos sin 22828t t Vậy max 3P t (với xác định bởi (1) và (2)) 0,25 III 1điểm +) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên có cách chọn và có 79A cho vị trí còn lại. Vậy 799n A 0,25 +) Giả sử 0;1; 2;...; 9B ta thấy tổng các phần tử của bằng 45 9 nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho sẽ được tạo thành từ chữ số đôi một khác nhau của các tập \\ 0; \\ 1; \\ 2; \\ 3; \\ 4; 5B nên số các số loại này là 78 74.7.A A. 0,5 Vậy xác suất cần tìm là 78 7794.7.19. 9A AA. 0,25 IV 2điểm Dễ thấy 0190IPC, do đó là trung điểm của 1IC. 0,5 1 12 //IOP IC CAB CC BC OP Do BM=MN; 1//OI OC IN B 0,5 Do đó 1CIA BAC, mà 112CIA BAC ACB Vậy 12BAC BAC ACB BAC ACB 0,5 Cùng với 2BAC ABC ta được 0 072 36BAC ACB ABC MOINPA1B1C1ABC 0,5V 1điểm 1(3 (2 (1)2f x    Từ (1) suy ra 2( 02 3x xf x       (2) 0,25 Khi đó 2( .2 27 3x xf x       Xét dãy )na, (n=1,2,…) được xác định như sau: 123a và 211 23 3n na a . 0,25 Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo rằng với mỗi *n luôn có nf xvới 0x (3) Thật vậy, khi 1n thì theo (2), ta có ngay (3) Giả sử mệnh đề (3) đúng với k. Khi đó 11 2( .2 322. .3kx xf ak kakx x        Vậy (3) đúng với 1n k . 0,25 Tiếp theo ta chứng minh lim 1na. Thật vậy, ta thấy ngay *1 na n . Do đó:11( 1)( 2) 03n na a , suy ra dãy )na tăng ngặt. Dãy )na tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt limna l thì 21 23 3l l với 1l, suy ra 1l. Vậy lim 1na.Do ®ã tõ (3) suy ra )f xvíi mäi 0x (®pcm). 0,25