Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán lớp 12 - Trường THPT chuyên ĐH Vinh

TR¦êNG §¹I HäC VINH TR¦êNG THPT CHUY£N §Ò THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU N¡M năm học: 2012 2013 M«n: To¸n Líp 12; Thêi gian lµm bµi: 120 phót Câu 1. (3 điểm) Cho hàm số xy−−=23 có đồ thị ()C. a, Tìm điểm thuộc ()C biết hoành độ của nó thoả mãn phương trình ()2 \' \'=x y. b, Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ()C tại điểm tìm được câu a. Câu 2. (2 điểm) a, (1 điểm) Cho hàm số ()()3 33 12 3+ =x y, là tham số. Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại điểm 1=x. b, (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ()24 2x y− =. Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧= −− −0 22 1222 3x xy xy xy y. Câu 4. (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên gấp3 lần cạnh đáy. a, Cho AB=. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. b, Gọi là trung điểm AB. Tính góc giữa hai đường thẳng SA và CM. Câu 5. (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác đều, cạnh bên bằng và tạo với đáy một góc 060. Gọi là trung điểm cạnh CC’. Biết rằng hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. .…………Hết………….TR¦êNG §¹I HäC VINH TR¦êNG THPT CHUY£N ĐÁP ÁN §Ò THI KSCL ĐẦU N¡M Năm học: 2012 2013 M«n: To¸n Líp 12; Thêi gian lµm bµi: 120 phót Câu 1. (3 điểm) TXĐ {}2 \\R D=. a, (1,5 điểm) ()()221\'x y− =, ()()322\' \'x y− Theo giả thiết ta có ()()1 22233= =−x xx. Suy ra điểm cần tìm là: ()1 1−M. b, (1,5 điểm) Tại ()1 1− M, hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là ()1 \'=y Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2−=x y. Câu 2. (2 điểm) a, (1 điểm) TXĐ R. Ta có: () )m y2 \'2− =, ()4 \' \'−+=m y. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 1=x khi: ()()2 10 60 40 \' \'0 \'= ⇔⎩ ⎨⎧> −= −⇔⎩ ⎨⎧> =mmmy y. b, (1 điểm) TXĐ []2 2− D. Ta có ()2242 4\'xx xx y−− −= ()⇔ =0 \'x y1 042 422= =−− −xxx Vì ()()()3 2= −y y. Suy ra: GTLN của hàm số là 3, GTNN của hàm số là 0. Câu 3. (1 điểm) Ta có: 122 3− −y xy ()()()()1 23 3− ⇔x Xét hàm số f+ =3) trên R, phương trình trên có dạng ()( )1 2−= −x Vì ()R f∈ =, \'2 nên hàm số ()t đồng biến trên R. Do đó ()( )1 2− −x x−=⇔−=−⇔1 2. Thế vào phương trình còn lại ta được: ⎢⎣ ⎡− =⇔ +3 10 32x xx x. Hệ đã cho có hai nghiệm ()y x, là ()0 và ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−3 8,3 5.Câu 4. (3 điểm) a, (1,5 điểm) 2a SO SA AC= =. Đặt ()) ;SBC h= Suy ra 1155511 12 2aha OC OB OS h= =. Ta có ()( )( )1155 22 ;ah SBC SBC SC AD d= =. b, (1,5 điểm) Đặt 2= =SA AB Gọi là trung điểm của CD 11 52 2= ⇒SN AN Ta có ()()10155 211 12cos cos cos= += =SAN AN SA CM SA. Suy ra ()⎟ ⎟⎠ ⎞⎜ ⎜⎝ ⎛=1015arccos ,CM SA. Câu 5. (1 điểm) Gọi H, lần lượt là hình chiếu A’, lên (ABC). Suy ra là trọng tâm ABC Δvà \'2 1H DK= .163 31632 ,23\'2 2aS aS aAH aH AABC HAB= =Δ Vậy .64 3.3 13aS DK VABC ABCD= =Δ OSDABCNMaA\'AC\'B\'BCHKD