Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm 2018 môn toán lớp 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH TỔ TOÁN TIN (Đề thi có 01 trang) ĐỀ THI ĐỊNH KỲ LẦN I NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán 10 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) I. PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình và hệ phương trình sau: 1) 2x  3  x 1 x  1 0 ( x  1)( y  2)  xy  1 2)  (2 x  1)( y  2) 2 xy  1 Câu 2 (1,5 điểm). Cho tập hợp A  ;1  3;6  và tập B được biểu diễn như hình vẽ sau: 1) Hãy viết tập B dưới dạng hợp của các khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. 2) Xác định các tập hợp sau dưới dạng hợp của các khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng : C  A  B và E  \ (A  B) Câu 3 (1,0 điểm). Cho phương trình: mx2 – 4 m  2 x  3m – 2 0 (1) ( m là tham số). 1) Giải phương trình (1) khi m 2. 2) Tìm giá trị nguyên của tham số m để phương trình (1) có các nghiệm đều là số nguyên. Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tọa độ các giao điểm của đường Parabol( P) : y 2 x 2 và đường thẳng (d ) : y 3x  1 . Câu 5 (1,5 điểm). Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a . Gọi O là giao điểm của AC và BD. 1) Chứng minh rằng: AC  BD  AD BC 2) Tính AB  DO theo a . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Phần dành cho thí sinh lớp 10: Anh1, Anh2, Văn, Cận2. Câu 6a (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC (với E thuộc BC, K thuộc AC ). 1) Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp được trong một đường tròn. 2) Chứng minh CE.CB CK .CA . Câu 7a (1,0 điểm). Cho các số x,y thỏa mãn x 0; y 0 và x  y 1 . Tìm giả trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2  y 2 . B. Phần dành cho thí sinh lớp 10: Lý, Hóa, Sinh, Tin, Cận1. Câu 6b (2,0 điểm). Cho đường tròn tâm O . Từ A là một điểm nằm ngoài O  kẻ các tiếp tuyến AM và AN tới O  ( M ;N là các tiếp điểm ). 1) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp được trong một đường tròn. 2) Đường thẳng qua A cắt đường tròn O  tại B và C ( B nằm giữa A và C ). Gọi I là trung điểm của BC , K là giao điểm của MN và BC . Chứng minh rằng: AK .AI  AB.AC . Câu 7b (1,0 điểm). Cho các số x,y thỏa mãn x 0; y 0 và x  y 1. Tìm giả trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  1 1  . x  1 y 1 -------------------------Hết-------------------------(Thí sinh không được sử dụng tài liệu; Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:.......................................................Số báo danh:............................................................... TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH TỔ TOÁN TIN Câu Câu 1 (2,0 đ) Câu 1.1 (1,0 đ) Câu 1.2 (1,0 đ) HDC ĐỀ THI ĐỊNH KỲ LẦN I NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán 10 Hướng dẫn PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: ( x  1)( y  2)  xy  1 2x  3 1) 2)   x  1 0 x 1 (2 x  1)( y  2) 2 xy  1 ĐK: x  1 Pt  2 x  3  0,25 0,5 0,25   x 2 0 ( x  1)2 0  ... KL: x 2  xy  2 x  y  2 xy  1  2 xy  4 x  y  2  2 xy  1  Hệ   Điểm 2 x  y  3  4 x  y 1  x 2  ...   , KL y  7  0,5 0,5 Cho tập hợp A  ;1  3;6 và tập B được biểu diễn như hình vẽ sau: Câu 2 (1,5 đ) Câu 2.1 (0,5 đ) Câu 2.2 (1,0 đ) Câu 3 (1,0 đ) Câu 3.1 (0,5 đ) Câu 3.2 (0,5 đ) 1) Hãy viết tập B dưới dạng hợp của các khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. 2) Xác định các tập hợp sau dưới dạng hợp của các khoảng, đoạn hoặc nửa C  A  B và E  \ (A  B) khoảng : +) B ( ; 2)  [5;) 0,5 + C A  B ( ; 2)  [ 5;6) + E  \ (A  B) (1;3] 0,5 0,5 Cho phương trình: mx2 – 4 m  2 x  3m – 2 0 (1) ( m là tham số). 1) Giải phương trình (1) khi m 2. 2) Tìm giá trị của tham số m để pt (1) có các nghiệm đều là số nguyên. Thay m 2, ta được: (1)  2 x 2  6 x  4 0  x 2 3x  2 0 Ta thấy: 1 – 3 +2 = 0 nên pt có 2 nghiệm: x1 1; x2 2 * Nếu m 0 thì (1) 2x 2 0  x 1 nguyên Suy ra: Với m 0 pt có nghiệm nguyên * Nếu m 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x . Từ ý 2 ta có: pt có 2 nghiệm: 2m  1 m  1  1  x1  m   x  2m  1 m  1 3m  2  2 m m Để pt (1) có nghiệm nguyên thì nghiệm x2 phải nguyên 3m  2 2   Z  3  Z ( m 0)  2 m hay m là ước của 2 m m m   2; 1;1;2 1; 2;0} thì pt có nghiệm nguyên Kết luận: Với m { Câu 4 (1,0 đ) Tìm tọa độ các giao điểm của đường Parabol( P) : y 2 x 2 và đường thẳng (d ) : y 3x  1 . 0,25 0,25 0,25 0,25 2  + Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x 3 x  1  ... x 1;x  1 2 11  ;  22  + KL: Tọa độ các giao điểm là: (1; 2) và  Câu 5 (1,5 đ) Câu 5.1 (0,75đ) Câu 5.2 (0,75đ) Câu 6a (2,0 đ) 0,5 0,5 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a . Gọi O là giao điểm của AC và BD. 1) Chứng minh rằng: AC  BD  AD BC 2) Tính AB  DO theo a  AC  AD BD BC  0  DC  CD 0  DD 0 luôn đúng (đpcm) + Từ giả thiết ta được: AB DC + AB  DO  DC  DO  OC OC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 a 2 a 2 + Tính được OC  AC  , KL: AB  DO  2 2 2 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Phần dành cho thí sinh lớp 10: Anh1, Anh2, Văn, Cận2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC (với E thuộc BC, K thuộc AC ). 0,25 1) Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp được trong một đường tròn. 2) Chứng minh CE.CB CK .CA . Vẽ hình theo giả thiết: A E 0,25 Câu 6a.1 (1,0 đ) C B K 0,5 + Ta có AEB  AKB 900 . Nên E và K cùng thuộc đường tròn đường kính AB. + Vậy tứ giác ABEK nội tiếp trong một đường tròn. Câu 6a.2 (1,0 đ) + Vì AE  BC;BK  AC nên AEC BKC 900 . + Chỉ ra hai tam giác AEC và BKC đồng dạng (g-g). CE CA  Suy ra . Vậy CE.CB CK .CA . CK CB Cho các số x,y thỏa mãn x 0; y 0 và x  y 1 . Tìm giả trị lớn nhất và giá 0,25 0,25 0,5 0,25 trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2  y 2 . 0,25 +) Ta có A x 2  y 2 ( x  y)2  2 xy 1  2 xy Câu 7a (1,0đ) 2 1  x y +) Mà x 0; y 0 và x  y 1 ta được: 0 xy    4  2  0,25 0,25  x 0; y 1 +) max A 1 khi xy 0    x 1; y 0 1 1 +) min A  khi x  y  2 2 B. Phần dành cho thí sinh lớp 10: Lý, Hóa, Sinh, Tin, Cận1. Cho đường tròn tâm O . Từ A là một điểm nằm ngoài O  kẻ các tiếp tuyến Câu 6b (2,0 đ) 0,25 AM và AN tới O  ( M ;N là các tiếp điểm ). 1) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp trong một đường tròn. 2) Đường thẳng qua A cắt đường tròn O  tại B và C ( B nằm giữa A và C ). Gọi I là trung điểm của BC , K là giao điểm của MN và BC . Chứng minh rằng: AK .AI  AB.AC . Vẽ hình theo giả thiết: M A I B K C Câu 6b.1 (1,0 đ) 0,25 O E N Theo tính chất tiếp tuyến ta có : AMO  ANO 90O Vậy: Tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn đường kính AO Nối M với B, C. 1 ACM có: MAC chung, MCB  AMB  sđ MB 2 AB AM  AMB ~ ACM (g.g)    AB.AC  AM 2 (1) AM AC + Xét Câu 6b.2 (1,0 đ) Câu 7b (1,0 đ) 0,5 0,25 AMB và + Vì I là trung điểm BC nên OI  BC  OIA 90o nên I thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNO . + Xét AMK và AIM có: MAK chung, AIM  AMK (Vì: AIM  ANM cùng chắn AM và AMK  ANM ) AK AM  AMK ~ AIM (g.g)    AK .AI  AM 2 (2) AM AI Từ (1) và (2) ta có: AK .AI  AB.AC (đpcm) Cho các số x,y thỏa mãn x 0; y 0 và x  y 1 . Tìm giả trị lớn nhất và giá 1 1 trị nhỏ nhất của biểu thức A   . x 1 y 1 1 1 x  y 2 3 +) Ta có A     x 1 y 1 xy  x  y 1 2  xy 2 1  x y +) Mà x 0; y 0 và x  y 1 ta được: 0 xy    4  2   x 0; y 1 3 +) max A  khi xy 0   2  x 1; y 0 4 1 +) min A  khi x  y  3 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 * Chú ý: Các cách giải toán khác phù hợp, giám khảo cho điểm tối đa theo thang điểm.