Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm 2018 môn toán 11

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH

ĐỀ THI KHẢO SÁT HÈ 2018

TỔ TOÁN TIN

MÔN TOÁN – KHỐI 11
Thời gian: 150 phút

Câu 1 (4,0 điểm): Cho dãy số

xác định như sau:

Tìm giới hạn

.

.

Câu 2 (4,0 điểm): Tìm tất cả hàm f : ℤ →ℤ thỏa điều kiện sau:
f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1, ∀ x,y∈ ℤ.
Câu 3 (4,0 điểm): Cho ba số dương

. Chứng minh rằng:
.

Câu 4 (4,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy,cho tam giác ABC ngoại tiếp đường
tròn tâm J(2;1). Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A cùa tam giác ABC có phương trình là
2x+y-10=0 và D(2;-4) là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ âm và thuộc đường
thẳng: x+y+7=0.
Câu 5 Giải phương trình sin2x + sin23x - 2cos22x = 0.
…………………………….HẾT…………………………..

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

Từ giả thiết ta có

2đ

(4đ)

.
Từ giả thiết về dãy
+ Nếu dãy

, hiển nhiên thấy

bị chặn trên thì tồn tại

tăng.
1đ

. Chuyển đẳng thức

qua giới hạn ta được
(vô lí vì
+ Nếu dãy

và

không bị chặn trên thì do

tăng).
tăng nên

. Khi

1đ

đó

Câu 2
(4đ)

Xét mệnh đề p(x,y) là f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1, ∀ x,y∈ ℤ
Giả sử f(0)=a.
 p(0,a) được f(-f(a))=-1, đặt f(b)=-1.
 p(x,b) được f(x+1)=f(f(x)) suy ra f(f(f(x)))=f(f(x+1))=f(x+2).

1đ

1đ

 p(f(x)-1,x) được f(-1)=f(f(f(x)-1))-f(x)-1=f(f(x))-f(x)-1=f(x+1)-f(x)1
như vậy f(x+1)-f(x)=f(-1)+1=const.

1đ

Suy ra f(n)=c.n+d (với c, d là các hằng số).
Thử lại ta được f(n)=-1, hoặc f(n)=n+1 với mọi n∈ ℤ
1đ
Câu 3
(4đ)

Đặt

. Ta có

.

1đ

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

1đ

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

1đ

Từ

1đ

và

suy ra điều phải chứng minh. Dẫu đẳng thức xảy ra
.

Câu 4

A

(4đ)

E

J

B

C

H
D

AJ qua J(2;1) và D(2;-4) nên có phương trình: x-2=0
AJ  AH  A ( H là chân đường cao xuất phát từ A)

Tọa độ A là nghiệm của hệ:
 x  2 0


 2 x  y  10 0

 x 2
 A(2;6)

 y 6

Gọi E là giao điểm thứ hai của BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
 DC
  DB DC và EC
 EA

Ta có: DB
1
1

  sd DC

  sd DB

 DBJ
 sd EC
 sd EA
DJB
2
2



 



 DJB cân tại D suy ra DC=DB=DJ

Hay D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC
Suy ra B và C nằm trên đường tròn tâm D(2;-4) bán kính JD=
2
2
02  52 5 có phương trình:  x  2   ( y  4) 25
Vậy B là nghiệm của hệ:
 x  2  2  ( y  4) 2 25


x  y  7 0


 B ( 3;  4)
 B (2;  9)


Do B có hoành độ âm nên B(-3;-4)
Suy ra BC qua B và vuông góc với AH có phương trình: x-2y-5=0
Tọa độ của C là nghiệm của hệ:

4đ

2
 C ( 3;  4)
 x  2   ( y  4) 2 25


x  2 y  5 0
 C (5; 0)


 C (5;0)

Vậy A(2;6) , B(-3;-4), C(5;0)
Câu 5
(4đ)

Hạ bậc
Kq:

4đ