Đề thi HSG toán lớp 7 trường THCS Văn Tiến - Vĩnh Phúc năm 2020 - 2021

Trường THCS Văn Tiến ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2020- 2021 MÔN THI: TOÁN LỚP 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1điểm):Tính giá trị của các biểu thức sau 2 2 1 1   0, 25  9 11  3 5 a) A  7 7 1 1, 4   1  0,875  0, 7 9 11 6 0, 4  b) B  23 23 23 23    ......  3.5 5.7 7.9 101.103 Bài 2: (2,5điểm): Tìm x biết: a) 7,5  3 5  2x  4,5  1 1 1  1   ...   2x  b) 3x  3x 1  3x  2  117 c)  99.100  2  1.2 2.3 2x  1 3y  2 2x  3y  1   5 7 6x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 e) T×m x biÕt     10 11 12 13 14 d)T×m x, y biÕt : Bài 3: (2.5điểm) a 2  b2 a  b2  c2 c a b c b) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng :   vµ a + 2b – 3c = -20 2 3 4 a) Cho b 2  ac . Chứng minh rằng: c) Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®îc 912 m3 ®Êt. Trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lµm ®îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 ®Êt. Sè häc sinh khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 vµ 3. Khèi 8 vµ 9 tØ lÖ víi 4 vµ 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi. Bài 4 : (3 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng: a/ AC=EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. c/ Từ E kẻ EH  BC (H  BC). Biết góc HBE bằng 500; góc MEB bằng 250, tính các góc HEM và BME ? 2 Bài 5 : (1điểm): Tìm x, y  N biết: 36  y 2  8  x  2010  ------------------------- HẾT ------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Bài Bài 1 Bài 2 Nội dung Điểm 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 0, 4    0, 25      9 11  3 5  5 9 11  3 4 5 A 7 7 1 7 7 7 7 7 7 1, 4   1  0,875  0, 7     9 11 6 5 9 11 6 8 10 1 1 1  1 1 1 2.        5 9 11   3 4 5 = 2  2  0 1 1 1  7 1 1 1 7 7 7.     .     5 9 11  2  3 4 5  23 23 23 23 2 2 2  2  = 22  B    ......     ......   3.5 5.7 7.9 101.103 3.5 5.7 7.9 101.103   1 1 1 1 1 1 1 1 100 400     = 2 2      ........     = 4.    = 4. 309 309 3 5 5 7 101 103 3 103     a. 7,5  3 5  2x  4,5  5  2x  4  5  2x  4 TH1: 5 – 2x = 4  x  1 2 TH2: 5 – 2x = -4  x  9 2 1 9 hoặc x  2 2 x x 1 x2 b) 3  3  3  117  3x (1  31  32 )  117 Vậy x   3x.13  117  3x  117 :13  3x  9  x  2  1 1 1  0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1   ...   2x  c)  99.100  2  1.2 2.3 1 1  1 1 1 1 1 1         ......     2x  2 99 100  1 2 2 3 3 4 99 1 1     2x  2   2x  2  100  1 100  99 101   2  2x   2x 100 100 101  x 200 2x 1 3y  2 2x  3y 1 d) (1)   5 7 6x 2x 1 3y  2 2x  3y 1 Tõ hai tØ sè ®Çu ta cã : (2)   5 7 12 2x  3y 1 2x  3y 1 Tõ (1) vµ (2) ta suy ra  (3) 6x 12 Tõ (3) xÐt hai tr­êng hîp. + NÕu 2x + 3y - 1  0  6x = 12 =>x =2 khi ®ã t×m ®­îc y =3 + NÕu 2x + 3y - 1 = 0  2x=1-3y khi ®ã tõ hai tØ sè ®Çu ta cã 1 3y 1 3y  2 1 3y  3 y 1   0 5 7 12 0,5đ 0,5đ suy ra 2-3y = 3y -2=0  y= 2 1 tõ ®ã t×m tiÕp x=3 2  1 1 1 1 1       10 11 12 13 14  1 1 1 1 1 =>x+1=0 (vì        0 )  10 11 12 13 14  =>x=-1 e)   x  1  Bài 3 a b 0,5đ b c a) +Ta có: b 2  ac   (1) 2 2 a b a 2 b2 a a b + Từ (1) suy ra:       .  2  2  b c b c c b c Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a 2 b2 a a 2  b 2    b2 c2 c b2  c2 a 2  b2 a Vậy: 2 2  (ĐPCM b c c a b c a 2b 3c a  2b  3c 20 b)        5 2 3 4 2 6 12 2  6  12 4 1đ 0,5đ => a = 10, b = 15, c =20. c) Gäi khèi l­îng cña 3 khèi 7, 8, 9 lÇn l­ît lµ a, b, c (m3)  a + b + c = 912  Sè häc sinh cña 3 khèi lµ : Theo ®Ò ra ta cã:  m3 a b c ; ; 1,2 1,4 1,6 b a b c vµ   3.4,1 1,2 4.1,4 5.1,6 a b c    20 4.1,2 12.1,4 15.1,6 VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3. Nªn sè HS c¸c khèi 7, 8, 9 lÇn l­ît lµ: 80 hs, 240 hs, 300 hs. Bài 4 a. Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) góc  AMC=  EMB(đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c )  AC = EB Vì AMC = EMB => Góc MAC bằng góc MEB (2 góc có vị trí so le trong 1đ A I M B C H K E 1đ được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b. Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt )  MAI=  MEK ( vì AMC  EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI  EMK ( c.g.c ) Suy ra  AMI=  EMK Mà  AMI+  IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )   EMK+  IME= 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng c.Trong tam giác vuông BHE (  H = 90o ) có  HBE = 50o   HBE= 900-  HBE = 400   HEM =  HEB-  MEB= 150  BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên  BME=  HEM +  MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) Bài 5 1đ 1đ Ta có: 36  y 2  8  x  2010   y 2  8  x  2010   36 . 2 2 36 8 2 2 Vì 0  ( x  2010) và x  N ,  x  2010  là số chính phương nên Vì y 2  0  8  x  2010   36  ( x  2010) 2  2  ( x  2010) 2  4 hoặc ( x  2010) 2  1 hoặc ( x  2010) 2  0 .  x  2012 + Với ( x  2010)2  4  x  2010  2    x  2008 y  2  y2  4    y  2 (loai ) + Với ( x  2010) 2  1  y 2  36  8  28 (loại) y  6 + Với ( x  2010) 2  0  x  2010 và y 2  36    y  6 (loai ) Vậy ( x, y )  (2012; 2); (2008; 2); (2010;6). 1đ