Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Thanh Hóa năm 2010-2011

371e5a0be4f16d0d4596b3b0de1df11b
Gửi bởi: Nguyễn Minh Lệ 16 tháng 9 2021 lúc 21:20:08 | Được cập nhật: 24 tháng 3 lúc 19:26:09 | IP: 14.243.135.15 Kiểu file: DOC | Lượt xem: 263 | Lượt Download: 1 | File size: 0.82432 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Đề chính thức Môn thi: Toán Lớp: 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Số báo danh Câu I. (5,0 điểm). 1) Cho phương trình: x 2 − 2mx + 2m −1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = khi m thay đổi. 2 x1 x2 + 3 2 2 x + x + 2(1 + x x ) 1 2 1 2 2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 + 1 = 1 . Chứng minh rằng A = a2 + b2 + c2 a b c là số hữu tỉ. (b). Cho ba số hữu tỉ x, y , z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 1 1 1 là số hữu tỉ. B = (x− y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình: x 2 x − 1x + 2 x +1 1 1 x2 + x + 1+ 2) Giải hệ phương trình: y y 10 = 9 . =4 x2 1 x + + = 4. x3 + 2 3 y y y Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính BPE. Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O ∉ AB ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( P ≠ A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N ≠ P ). 1) Chứng minh rằng ANP = BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động. Câu V. (4,0 điểm). 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 < a2 < .... < a45 ≤ 130. Đặt 1) Cho a1 ,a2 ,....,a45 là d j = aj +1 − aj , ( j = 1,2,...,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít nhất 10 lần. 2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 = 2011. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ 1 2011 . 2 b+c c+a a+b 2 ............................................................. HẾT ........................................................ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 3 trang) LỚP: 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Câu I 6đ ướ Ý ẫ Hng d Ta có Δ ' = ( m − 1) 2,5đ 1) 2 ấ n ch m Điểm 0,5 ≥ 0,∀m nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 4m +1 Theo định lí viet, ta có x + x = 2m, x x = 2m −1, suy ra P = 4m + 2 2 = 1− (2m −1) ≤ 1. Max P = 1, khi m = 1 . 2 4m2 + 2 2a) Từ giả thiết suy ra 2ab − 2bc − 2ca = 0 1,5đ Suy ra A = (a + b − c )2 = a + b − c là số hữu tỉ 2) 2 x Đk: y ≠ 0. Hệ tương đương với x u = x +1 y Đặt v x= y , 3 1,0 x 3 y + y x+ y 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 +1 + x + 1 =4 y2 y 1 1 + 1,0 0,5 2b) Đặt a = 1 , b = 1 ,c = 1 suy ra 1 + 1 = 1 . 1,0đ a b c x−y y−z x−z 1 + 1 + 1 Áp dụng câu 2a) suy ra B = là số hữu tỉ. 2 2 2 (x − y ) (y − z ) (z − x) Câu II 1) ĐK: x ≠ ±1. Phương trình tương đương với x 2 10 6đ 2,5đ x x2 2x 2 2 2x2 10 − + −2 = ⇔2 − = 0. 2 2 x x −1 9 − 1 x +1 x−1 x −1 9 Đặt t = 2x 2 , ta được phương trình t 2 − t − 10 = 0 ⇔ t = 5 hoặct =−2 9 3 3 x2 −1 2 Với t = 5 , ta được 2x = 5 (vô nghiệm) x2 − 1 3 3 Với t = − 2 , ta được 2x 2 = − 2 suy ra x = ± 1 . x2 −1 3 2 3 2,5đ 1,0 2 1 2 2 1 = 4. 1,0 u ta được hệ u 2 + u − 2v = 4 3 − 2uv = 4 u2 u ⇔ 2 − 4u + 4 = 0 u=2 + u − 4 = 2v ⇔ v = 1. u=2 Với x+ ta được 1 y x=1 v = 1, 1,0 =2 ⇔ x =1 (thoả mãn điều kiện) y = 1. y Câu III 2đ 0,5 Kẻ EF ⊥ AC tại F, DG ⊥ BC tại G. Theo giả thiết S( ADPE) = S(BPC) =S . ⇒S ( ACE) (BCD) 0,5 Mà AC = BC ⇒ EF = DG và A = C Suy ra ΔAEF = ΔCDG ⇒ AE = CG. 0,5 Do đó Câu IV 4,0đ ΔAEC = ΔCDB (c − g − c ) ⇒ DBC = ECA = 60 0 ⇒ BPE = PBC + PCB = PCD + PCB 1) Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến 3,0đ chung của (O) với (C), (D) tại A, B tương ứng. 0,5 1,0 N Suy ra ANP = QAP = QBP = BNP. Ta có A ANB = ANP + BNP = QAP + QBP =180 0 − AQB , suy ra NAQB nội tiếp (1). Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B cùng nằm trên một đường tròn. Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên C HO D P B 0,5 E 0,5 Q 0,5 một đường tròn. Ta có OCN = 2OAN = 2OBN = ODN , suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua 1,0đ các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố 0,5 1,0 định. Câu V 2đ 1) 2,0 đ d1 + d2 + ...+ d44 = (a2 − a1 )+ (a3 − a2 )+ ...+ (a45 − a44 ) = a45 − a1 ≤ 130−1 =129. (1) Nếu mỗi hiệu d j ( j = 1,2,....,44) xuất hiện không quá 10 lần thì mâu thuẫn với (1). d1 + d 2 + ... + d44 ≥ 9(1 +2+3+4)+8.5=130 Vậy phải có ít nhất một hiêụ d j ( j =1,...,44) xuất hiện không ít hơn 10 lần 2 2 2 2) 2,0đ Ta có 2(a + b ) ≥ ( a + b) . 0,5 1,5 0,5 a2 b2 c2 Suy ra b + c + c + a +a + b ≥ 2 a2 b2 + 2( c 2 + a 2 + c2 2 2 2 2 2 2 Đặt x = b + c , y = c + a , z = a + b , (b 2 ) c2 ) + 2( c 2 + a2 ) suy ra VT ≥ y 2 + z 2 − x 2 + z 2 + x 2 − y 2 + x 2 + y 2 − z2 2 2x 2 2y 2 2z 2 2 1 (y+z) (z+x) ( x + y)2 ≥ −x+ −y + −z 2x 2y 22 2z 1 ( y + z )2 ( z + x )2 ( x + y)2 ≥ + 2y − 3y + + 2x − 3x + 2y 2z 2 2 2x ≥ 1 2( y + z ) − 3 x )+ ( 2( z + x ) − 3 y ) + (2( x + y − 3z ( ) 2 2 Suy ra VT ≥ 1 (x + y + z) = 1 2011 2 2 2 1,0 + 2z − 3z 2 GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 0,5