Đề thi HSG Toán 9 huyện Tư Nghĩa năm 2016-2017

PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP ĐỀ CHÍNH THỨC HUYỆN Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/11/2016 MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA. Mức độ Mạch Kiến thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Cấp độ thấp Cấp độ cao Cộng Biểu thức đại số 1.a 1.b,c 2.c 5,0 đ 1,0 Bất đẳng thức 2,0 2,0 2.b 2,0 Phương trình vô 3.a tỷ .Chia hết và nghiệm nguyên 3.b 2.a 6,0 đ 2,0 2,0 Chứng minh mối liên quan đại lượng hình học Tổng cộng 2,0 5 4.a,b 3,0 4ý 4ý 3,0 1ý 6,0 Bài 1: điểm). a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . b) Rút gọn biểu thức A . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 2: (6,0 điểm). a) Giải phương trình 2,0 đ 4,0 7,0 đ 4ý 3,0 8,0 20,0đ (3,0 b) Chứng minh bất đẳng thức c) Tính giá trị của biểu thức có điều kiện Bài 3: (4,0 điểm). a) Chứng minh chia hết b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn cho trước Bài 4: (4,0 điểm). a) Chứng minh về diện tích b) Chứng minh đẳng thức hình học Bài 5: (3,0 điểm). Tính diện tích hình học PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA KÌ THI HỌC GIỎI LỚP 9 CẤP ĐỀ SINH CHÍNH THỨC HUYỆN Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/11/2016 Bài 1:(3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . b)Rút gọn biểu thức A . c)Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 2:(6 điểm) a)Giải phương trình: b)Chứng minh rằng : c)Cho thỏa mãn . biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0. . Tính giá trị của biểu thức . Bài 3:(4 điểm) a)Với n chẵn (n N) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1) 323 b)Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : Bài 4:(4 điểm) Cho tam giác ABC ( có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. a) Chứng minh SAHG = 2SAGO b) Chứng minh Bài 5:(3 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. C và D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn đó sao cho góc , góc . AC cắt BD tại M. Tính diện tích tam giác ABM theo R ..........................HẾT............................. PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp trường Năm học: 2016 - 2017 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 Bài Nội dung Điểm 1a a) Điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa : (1đ) 1,0đ b) Rút gọn biểu thức A 1,0đ 1b (1đ) c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Ta có 1c (1đ) 1,0đ Ta có A nhỏ nhất khi Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là 2a (2đ) đạt giá trị nhỏ nhất khi =0 a) Giải phương trình: Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với 2 x  2 x  1  2017 x  2016  2 2017 x  2016  1 0 1,0đ   x  1  2   2 2017 x  2016  1 0  x  1 0   2017 x  2016  1 0  x 1   2017 x  2016 1  x 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho. biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0. b) Chứng minh: 2b (2đ) 1,0đ Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0 ( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0 ( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 0 .( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = 0 .( x + y + 2). 1,0đ =0 x+y+2=0 x + y = -2 mà x.y > 0 nên x< 0, y < 0 Áp dụng BĐT CauChy ta có Do đó xy Vậy c) Cho 1 suy ra 1 hay -2 1,0đ Mà (đpcm) thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức 2c Ta có: (2đ) (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0 x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = 0 1,0đ 1,0đ (yz + zx + y2+ yx)( x+ z) = 0 Thay vào B tính được B = 0 a) Với n chẵn (n N) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 1 323 Ta có: 323=17.19  20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) 20n – 1 19 3a 16n – 3n 19 (n chẵn) (2đ) Do đó 20n + 16n – 3n – 1 19 (1) n n n n n n  20 + 16 – 3 – 1= (20 – 3 ) + (16 –1) n 20 – 3n 17 16n –1n 17 ( n chẵn) Do đó 20n + 16n – 3n – 1 17 (2) n Mà (17;19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20 + 16n – 3n – 1 323 1,0đ 1,0đ b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : Nếu y+2=0  y  2 lúc đó phương trình có dạng 0 x 2017  1 0 (vô nghiệm ). 1,0đ y 2  2 y 1 1 y  Nếu y  2 thì ta có x 2017  y 2 3b (2đ) Vì x,y nguyên nên y 2 1 nguyên y  2  Ư(1)   1;1 . y2 Với y  2  1  y  3  x 2017  4 (loại ). 1,0đ Với y  2 1  y  1  x 2017 0  x 0 . Vậy số nguyên x,y thỏa mãn đề bài là : x=0,y=-1 a) Chứng minh SAHG = 2SAGO  Tam giác ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK Nên KC vuông góc với AC Mà BE vuông góc với AC (gt) Suy ra KC // BE hay KC // BH Chứng minh tương tự ta có KB // CH Nên tứ giác BHCK là hình bình hành 1,0đ Gọi M giao điểm của BC và HK nên 4 (4đ)  M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 1,0đ AM  M là trung điểm của HK nên AM là đường trung tuyến của tam giác AHK. Mà G thuộc đoạn AM và AG = AM nên G là trọng tâm của tam giác AHK Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đường trung tuyến của tam giác AHK Nên HO đi qua G do đó HG = 2GO  Tam giác AHG và tam giác AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO và HG = 2GO Do đó SAHG = 2SAGO 2,0đ b) Chứng minh Ta có: = =1 Tính diện tích tam giác ABM theo R 5 (3đ) Gọi N là giao điểm của AD và BC; H là giao điểm của MN và AB Chứng minh góc ; mà góc MH = AH MH + HB = AH + HB = 2R 1,0đ (gt) nên tam giác vuông cân (1) * Tam giác vuông tại H  HB=MB.cos MBH  MH= MB.sinMBH MH HB= 2,0đ (2) Từ (1) và (2) ta có MH + Vậy: Chú ý: -Học sinh có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. -Không có điểm vẽ hình. -Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không có điểm. Duyệt đề: Nghĩa Thắng, ngày 01 tháng 11 năm 2016 Giáo viên ra đề Trương Quang An