Đề thi HSG Toán 9 Bắc Ninh năm 2022 có lời giải chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 

BẮC NINH 

 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 

NĂM HỌC: 2021 – 2022 

Môn: TOÁN 

Ngày thi: 18/02/2022 

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

 

 

Câu 1. (4,0 điểm) 

a) Rút gọn biểu thức 

2

2

1

1

2

2

1

x

x

x

x

x

P

x x

x x

x

x

x

x

















 



 với 

0

x



 và 

1.

x



 

b) Cho đường thẳng 

:

d y

ax

b





 với 

0.

a



 Tìm 

,

a b

 biết 

d

 đi qua điểm 

 

1; 2

M

 và cắt các trục 

,

Ox Oy

 lần 

lượt tại 

,

A B

 sao cho tam giác 

OAB

 cân với 

O

 là gốc tọa độ. 

Câu 2. (4,0 điểm) 

a) Giải phương trình 





2

2

5

6

4

3

1

3

4.

x

x

x

x



 





 

b) Giải hệ phương trình 









2

3

2

4

1

3

5

2

0

.

5

3

8

2

0

x

x

y

y

x

x

x

y















 



 





 

Câu 3. (4,0 điểm) 

a)

 

Tìm tất cả các cặp số nguyên 





;

x y

 thỏa mãn phương trình: 

1

1

1

1

1

1

.

10

100

x

y

x

y







 

 

b) Cho 

,

a b

 là các số nguyên dương thỏa mãn 

2

2

p

a

b





 là số nguyên tố và 

5

p



 chia hết cho 

8.

 Giả sử 

,

x y

 

là các số nguyên dương thỏa mãn 

2

2

ax

by



 chia hết cho 

.

p

 Chứng minh rằng cả hai số 

,

x y

 đều chia hết cho 

.

p

 

Câu 4. (6,0 điểm) 

Cho hình vuông 

ABCD

 nội tiếp đường tròn 

 

.

O

 

Điểm 

M

 thuộc cung nhỏ 

CD

 của 

 

,

O

M

 khác 

C

 và 

.

D

 

Đường thẳng 

MA

 cắt 

DB

 và 

DC

 theo thứ tự tại 

H

 và 

,

K

 đường thẳng 

MB

 cắt 

DC

 và 

AC

 theo thứ tự tại 

E

 

và 

.

F

 Hai đường thẳng 

,

CH DF

 cắt nhau tại 

.

N

 

a) Chứng minh rằng tứ  giác 

DHEM

 nội tiếp và 

HE

 là phân giác của góc 

.

MHC



 

b) Gọi 

G

 là giao điểm của 

KF

 và 

.

HE

 Chứng minh rằng tứ giác 

GHOF

 là hình chữ nhật và 

G

 là tâm đường 

tròn ngoại tiếp tam giác 

.

KNE

 

c) Chứng minh rằng 

.

HN

DK

HM

DC



  

Câu 5. (2,0 điểm) 

a) Cho đường tròn 

 

.

O

 Bước 1, lấy một đường kính của đường tròn đó, tại mỗi đầu mút của đường kính ghi số 

1. Bước 2, tại điểm chính giữa của mỗi cung nhận được ghi số 2. Bước 3, coi 4 điểm đã ghi số ở trên là các điểm chia đường tròn; khi đó, đường tròn được chia thành 4 cung bằng nhau; tại điểm chính giữa của mỗi cung này ta ghi số có giá trị bằng tổng của hai số được ghi ở hai đầu cung tương ứng. Cứ tiếp tục quá trình như vậy, hỏi sau 2021 bước tổng các số được ghi trên đường tròn là bao nhiêu? 

b) Cho ba số 

, ,

a b c

 không âm thỏa mãn 

2

2

2

1.

a

b

c







 Chứng minh bất đẳng thức: 





2

2

2

2

2

2

1

1

1

3

.

2

1

1

1

a b

b c

c a

a

b

c





































 

-------------HẾT------------- 

ĐỀ THI CHÍNH THỨC 

LỜI GIẢI CHI TIẾT