Đề thi HSG Môn toán lớp 11

GD&ĐT VĨNH PHÚCỞ——————Đ CHÍNH TH CỀ KỲ THI CH HSG 11 NĂM 2011-2012Ọ ỌĐ THI MÔN: TOÁNỀDành cho sinh THPT không chuyênọTh gian làm bài: 180 phút, không th gian giao đờ ề————————————Câu 1,5 đi mể ).Gi ph ng trình: ươ22tan tan 2sintan 4x xxxp+æ ö= +ç ÷+è .Câu 3,0 đi mể ).1. là các nhiên có ch Ch ng nhiên ,tính xác su ch chia cho ượ và ch hàng ng .2. Ch ng minh ng th sau:ứ ứ()()()()()()2 20 2011 2012 10062012 2012 2012 2012 2012 2012 2012...C C- =.Câu 2,5 đi mể ).1. Ch ng minh ng ph ng trình ươ38 0x x- có ba nghi th phân bi t. Hãy tìm 3nghi đó.ệ2. Cho dãy ố()nu xác nh i: ượ ở1 12sinsin 1;n nnu un-= ọ, 2n nÎ ³¥ Ch ng minh ng dãy ố()nu xác nh nh trên là dãy ch n.ị ặCâu 3,0 đi mể ).1. Cho hình chóp giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông nh ng ằ2a các nh bênạb ng nhau và ng ằ3a (0a> ). Hãy xác nh đi sao cho cách các nh aề ủhình chóp S.ABCD và tính dài SO theo a.2. Cho hình chóp S.ABC có ng th ng ườ SA vuông góc ph ng (ớ SBC ). là hìnhchi lên ph ng (ABC) Ch ng minh ng ng th ng ườ SB vuông góc ngớ ườth ng SC bi ng ằ2 21 1SH SA SB SC +.3. Cho di ABCD th mãn đi ki ệ, ,AB CD BC AD AC BD= và đi Xthay trong không gian. Tìm trí đi sao cho ng ổXA XB XC XD+ giá trạ ịnh nh t.ỏ ấ—H t— ếCán coi thi không gi thích gì thêm.ộ ảH và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; báo danh……………….ọ ốS GD&ĐT VĨNH PHÚCỞ KỲ THI CH HSG 11 THPT KHÔNG CHUYÊNỌ Ớ——————— NĂM 2011-2012ỌH NG CH MÔN: TOÁNƯỚ Ấ———————————I. CHUNG:Ư- ng ch ch trình bày cách gi nh ng ph có. Khi ch bài cướ ọsinh làm theo cách khác đúng và thì cho đi đa.ế ố- Đi toàn bài tính 0,25 và không làm tròn.ể ế- bài hình thí sinh không hình ph nào thì không cho đi ng ng ph nớ ươ ầđó.II. ĐÁP ÁN:Câu dung trình bàyộ Điểm1 1,5 đi mểĐi ki n: ệcos 02x kpp¹ (*)Ph ng trình đã cho ng ng i: ươ ươ ươ ớ2 22 cos (tan tan sin cosx x+ 0,2522 sin sin cos sin cos sin (sin cos sin cos(sin cos )(2 sin 1) 0x xx xÛ +Û =0,5+ ớsin cos tan 14x kpp+ =- =- 0,25+ ớ1 52 sin sin 22 6x kp pp p- 0,25Đ chi đi ki (*), suy ra nghi ph ng trình đã cho là:ố ươ5; )4 6x kp pp p=- ΢0,252 1,5 đi mểS các nhiên có ch là ố99999 10000 90000- =Gi nhiên có ch chia cho và ch hàng ng là: ằ1abcd 0,5Ta có 10. 3. 7. 1abcd abcd abcd abcd= chia cho khi và ch khi ỉ3. 1abcd+chia cho 7. ặ13. 23habcd abcd h-+ là nguyên khi và ch khiố ỉ3 1h t= 0,5Khi đó ta c: ượ7 1000 9999abcd t= £{}998 9997143, 144, ..., 14287 7t tÛ suy ra cách ch ra sao cho ố1abcdchia cho và ch hàng ng là 1286. ằV xác su tìm là: ầ12860, 01590000» 0,52 1,5 đi mểXét ng th ứ()()()20122012 201221 1x x- 0,5+) Ta có ()()201220122 2201201kkkx x=- -å suy ra ng ch 2012x là 10062012C 0,5+) Ta có ()()()2012 20122012 20122012 20120 01 1kk kk kx x= =æ öæ ö- -ç ÷ç ÷è øè øå suy ra ng ch 2012x là2012 2011 2010 2009 2012 20122012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012...oC C- +()()()()()()2 20 2011 20122012 2012 2012 2012 2012 2012...C C= +T đó suy ra ng th ch ng minh.ừ 0,53 1,5 đi mểĐ ặ()38 1f x= xác nh ịD=¡ suy ra hàm liên trên ụ¡ Ta có 0,25()()()11 3, 1, 1, 12f fæ ö- =- =- =ç ÷è suy ra 0,5()()()()1 11 0, 0, 02 2f fæ ö- <ç ÷è ø. ng th này và tínhừ ứliên hàm suy ra pt ố()0f x= có ba nghi phân bi thu ộ()1; 1- 0,25Đ ặ[]cos 0;x tp= thay vào pt ta c:ượ()322 cos cos cos cos3 3t kp p- =± +, ớ[]0;tpÎ tađ ượ5 7; ;9 9tp pì üÎí ýî Do đó ph ng trình đã cho có nghi m:ươ ệ5 7cos cos cos9 9x xp p= =. 0,52 1,0 đi mểNh xét. nguyên ng ta có: ươ2 21 1... 21 3n+ -ç ÷è (theo nh xét trên) (2). (1) vàớ ừ(2) suy ra dãy đã cho ch n.ố 0,254 1,0 đi mểIOMSDCABG ọI AC BD= Do SA SB SC SD= nên các tam giác SAC, SBD cân nh Snên SI vuông góc AC BD suy ra SI vuông góc ph ng (ớ ABCD ). th yễ ấm đi trên ng th ng ườ SI cách các nh A, B, C, 0,25Trong tam giác SIC ng trung tr nh SC ng th ng ườ SI suy raOS OA OB OC OD= =. 0,25Ta có 22 2. .3 2. .82 9SM SC aSM SC SO SI SOSISA IA a= =- .V ậ9 28aSO= 0,52 1,0 đi mểDKHCBSAG là giao đi ng th ng ườ AH và BC trong ph ng (ặ SBC là giaođi ng th ng qua ườ vuông góc SC Ta có BC vuông góc SH và SAnên BC vuông góc ph ng (ớ SAH suy ra BC vuông góc SK 0,25Trong tam giác vuông SAK ta có 21 1SH SA SK= gi thi ta cế ượ2 21 1SK SB SC= (1) 0,5Trong tam giác vuông SDC ta có 21 1SK SD SC= (2)T (1) và (2) ta ượSB SD= đó suy ra ừB Dº hay suy ra SB vuông góc SC 0,253 1,0 đi mểQPNMADCGBG là tr ng tâm di n; M, N, P, là trung đi các nh ượ AB,CD, BC, AD Ta có tam giác ACD ng tam giác BCD nên AN BN= suy ra MN AB^ ,t ng ta ch ng minh ươ ượMN CD^ và ng th ng ườ PQ vuông góc haiớ ảđ ng th ng ườ BC, AD đó suy ừGA GB GC GD= 0,25Ta có .XA GA XB GB XC GC XD GDXA XB XC XDGA+ ++ =. .XA GA XB GB XC GC XD GDGA+ +³uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur0,5()2. 4.4XG GA GB GC GD GAGAGA+ += =uuur uuur uuur uuur uuur. ng ra khi và ch khi trùngv đi ậXA XB XC XD+ nh nh khi và ch khi là tr ng tâm tọ ứdi ABCD 0,25