Đề thi HSG Môn toán lớp 11

SỞ GDĐT THANH HOÁ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2012 -2013 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề ---------------------------------------------------------------------- Câu 2,0 điểm). Giải phương trình sau: 22013 2013x x Câu 3,0 điểm). Cho phương trình (2 sin 1)(2 sin 2x co cos x Với là tham số) a, Giải phương trình với b, Tìm để phương trình có đúng nghiệm thuộc 0; Câu (5,0 điểm). a, Giải hệ phương trình 22 23 13 3x yx y   b, Tìm hệ số của 4xtrong khai triển sau: 3531nnxx   biết là số nguyên thoả mãn hệ thức 22 20nnC n . Câu .(4,0 điểm). Cho A, B, là ba góc của tam giác ABC. a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu cossinsin sinB cosCAB C b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2sin sin sinA CMcos cos cos C  Câu (3,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1) 213x y ,đường tròn (C2) 2( 6) 25x y . a, Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2) b, Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là viết phương trình đường thẳng đi qua cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. Câu (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,cạnh SA và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a, Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b, là điểm di động trên đoạn BC và BM =x ,K là hình chiếu của trên DM Tính độ dài đoạn SK theo và Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK. ..............................……………. Hết…………………..................................... Họ và tên thí sinh:...................................................................SBD:.....................................SỞ GDĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2012 -2013 Môn TOÁN Câu Đáp án Điểm Câu 22013 2013x x . ĐK 2013x Đặt 2013t x với 20) 2013 2013t x . Ta có hệ PT: 2220132013x tt x   )( 1) 0x t Với +t =0 ta được -x 2013x x .Giải ra ta được 80532x là nghiệm. Với +1 ta được +1 2013x x . Giải ra ta được 80492x  là nghiệm Đáp số 80532x, 80492x  0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Câu (2 sin 1)(2 sin 2x co cos x Với =1 ta được phương trình (2 sin 1)(2 sin 1) (2 sin 1). 0x co cos cos x 5sin 22 6x k   04 2co k  b, Phương trình đã cho tương đương với (2 sin 1)(2 1) 0x co m Với 1 5sin 0;2 6x x  Để phương trình đã cho có đúng nghiệm thuộc 0;thì phương trình 122mcos x vô nghiệm hoặc có hai nghiệm 5;6 6x x  .Tõ ®ã ta ®­îc <-1v >3 =0 0,5 1,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25Câu 22 23 13 3x yx y   22 23 13( 2( 3x yx y  223 04 0x xy y   Ta được nghiệm của hệ là 13; ;2    3 13; ;2    3 13; ;2    3 13; ;2    0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu Tìm hệ số của 4xtrong khai triển sau: 3531nnxx   biết là số nguyên thoả mãn hệ thức 22 20nnC n . Từ hệ thức 22 20nnC n . Đk 22, 40 5n n Ta được n= thoả mãn Ta có 840 1483 35 8383 301 18 .2 .kkk kkx xx x    . Khai triển chứa x4m 40 144 23kk . Vậy hệ số của x4 là 68.2 1792C 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu cossinsin sinB cosCAB C Từ 2sincos2sin sin cos 0sin sin 22AB cosC AA cos cos AAB Ccos  là góc vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A. b,2 22 2sin sin sinA CMcos cos cos C  2 22 2sin sin sin1 1A CMcos cos cos C   22 23 311M cos cos cos Ccos cos cos M  . Biến đổi về 23cos 01cos cos BM 2 23 3( 11 1cos cos BM M     3 11 31 4MM  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,2520( 13 601cos )2cos BM CC cos B    VËy MaxM khi tam gi¸c ABC ®Òu. 0,25 (C1) có tâm O(0;0),bán kính 113R (C2) có tâm I(6;0),bán kính 25R. Giao điểm của (C1) và (C2) là (2;3) và B(2;-3).Vì có tung độ dương nên A(2;3) 0,25 0,25 1,0 Vì có tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng qua có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi 2( ); )d d Yêu cầu bài toán trở thành:2 22 112R d 222 20( )1 03ba bb bb aa b     0,25 0,25 0,25 *b=0 ,chọ a=1,suy ra pt là:x-2=0 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt là:x-3y+7=0 0,25 a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên SA vuông góc với AB và AD. Vậy các tam giác SAB và SAD vuông tại Lại có SA vuông góc với (ABCD) và AB Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC Vởy tam giác SBC vuông tại C. Tương tự tam giác SDC vuông tại D. b, Ta có BM =x nên CM a- AKD DCM  (vì có 0ˆ ˆˆ ˆ90 ,AKD DCM DAK CDM ) .AK AD ADAK DCDC DM DM 22 22 2ax ax a . Tam giác SAK vuông tại nên 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 K2 22 22 22 32 2x ax aSK SA AK ax ax a   . SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AK nhỏ nhất 0K SK nhỏ nhất 62a 0,25 0,25 0,25 -----------------------------------------------HÕt--------------------------------------------------------- Ghi chó: Nªó häc sinh lµm theo c¸ch kh¸c mµ ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a ChØ chÊm bµi h×nh khi häc sinh vÏ h×nh ®Çy ®ñ vµ chÝnh x¸c