Đề thi HSG Môn toán lớp 11

GIÁO ĐÀO HỞ NG NTr ng THPT Minh Chườ THI CH SINH GI TR NGỀ ƯỜNăm 2014 2015. Môn Toán: 11ọTh gian làm bài 180 phút, không th gianể giao đề(Đ thi có 01 trang)ề Câu 2.0 đi m)ể 1) Gi ph ng trình ươ()3 3sin cos cos cos sinx x+ 2) Tìm sinx; sinể 22x; 1-sin7x theo th thành ng. ộCâu II 2.5 đi m)ể 1) đoàn tàu có toa ch khách toa còn ít nh ch tr ng. Trên sân ga có hành ốkhách chu lên tàu. Tính xác su trong hành khách lên tàu đó có toa có khách lên, hai ộtoa có khách lên và toa không có khách nào lên tàu.ộ 2) T×m hÖ sè cña 4x trong khai triÓn sau: 3531nnxxæ ö+ç ÷è biÕt lµ sè nguyªntho¶ m·n hÖ thøc 22 20nnC n+ knC là ch ph ).ầ 3) Tính gi ạ2015212015 2014lim( 1)xx xIx®- +=- Câu III (2,0 đi m).ể 1) Ch ng minh ng ph ng trình ươ38 0x x- có ba nghi th phân bi t. Hãy tìm 3nghi đó.ệ 2) Gi ph ng trình:ả ươì+ +ïÎí+ =ïî22x (x y) y(x, )x .Câu IV( 2.5 đi m)ể 1) Trong ph ng tr Oxy cho parabol ): xxy22 và elip ): 1922yx .Ch ng minhứ ng (ằ giao đi phân bi tạ cùng trên ng tròn.ằ ườ Vi ph ng trìnhế ươđ ng tròn đi qua đi đó.ườ 2) Cho hình ng ABCD.A’B’C’D’ có ứ·03; ' 60 .2aAB AD AA BAD= và nọ ầl là trung đi A’D’ và A’B’, là giao đi MN và A’C’.ượ a) Tính cosin góc ng th ng BE và ph ng (ACC’A’).ủ ườ b) Ch ng minh AC’ vuông góc ph ng (BDMN).ứ ẳCâu V( 1,0 đi m)ể Cho dãy )nxxác nh nh sau ư01122( 1) 1nnnxxxn x+ì=ïïíï=+ +ïî ọn NÎ Tìm 2lim )nnn x®+¥ .-------------------------------H t-------------------------------ếC¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.Hä vµ tªn thÝ sinh …………………………….…. SBD: ………………. líp: ……………..ĐÁP ÁN C©uI.1(1 đ) 1. Gi ph ng trình lả ươ ng giácượ ()3 3sin cos cos cos sinx x+ -Bi tích (sinx cosx)(2sinx cosx)cosx 0ế ề* cos ,2x kpp= ΢ sinx cosx2 sin( ,4 4x kp ppÛ =- ΢ 2sinx cosx1 1tan tan2 2x ka aÛ =¢ ĐS ,2k Zpp+ ,4k Zpp- 1, tan2k Za a+ 0,250,250,250,25 C©uI.2(1 đ) 2. sinx; sin 22x; 1-sin7x theo th thành sứ ố2sin sin sin sin sin cos 4cos 02 cos sin cos 41sin 328 42,18 35 218 3x xxx xxx kx kx kp pp pp pÛ -=éêÛ Ûê=ëé= +êêêÛ Îêêê= +êë¢ KL… 0,250,250,5 C©uII.1(1 đ) T×m hÖ sè cña 4x trong khai triÓn sau: 3531nnxxæ ö+ç ÷è biÕt lµ sènguyªn tho¶ m·n hÖ thøc 22 20nnC n+ .Tõ hÖ thøc 22 20nnC n+ §k22, 40 5n n³ =-Ta îc n= tho¶ m·n .Ta cã 840 1483 35 8383 301 18 .2 .kkk kkx xx x-=-=æ ö+ =ç ÷è øå Khai triÓn chøa 440 144 23kk-Û =. VËy hÖ sè cña lµ 68.2 1792C= 0,250,250,250,25 C©uII.2(0.75đ) là bi tính xác su tọ ấS cách khách lên toa là ế54W cách ch ba khách lên cùng toa là ộ3510C= cách ch toa ba ng này là ườ144C= cách hai ng ng toa) vào ba toa còn là ườ ườ ạ236A= Suy ra 10.4.6 240AW 0,250,25V xác su tìm là ầ5240 154 64APW= =W 0,25 C©uII.3(0.75đ) Tính gi ạ2015 20152 21 12015 2014 2015( 1)lim lim( 1) 1)x xx xIx x® ®- -= =- 2014 2013 2014 20131 1... 2015 1) 1) ...( 1)lim lim1 1x xx xx x® ®+ -= =- -2013 2012 2012 20111 1lim( ... 1) lim( ... 1) ... lim( 1) 1x x® ®= +2014.20152014 2013 ... 2.029.1052= 0,250,250,25III 1,0 đi mểĐ ặ()38 1f x= xác nh ịD=¡ suy ra hàm liên trên ụ¡ Ta có()()()11 3, 1, 1, 12f fæ ö- =- =- =ç ÷è suy ra 0,25()()()()1 11 0, 0, 02 2f fæ ö- <ç ÷è ø. ng th này và tínhừ ứliên hàm suy ra pt ố()0f x= có ba nghi phân bi thu ộ()1; 1- 0,25Đ ặ[]cos 0;x tp= thay vào pt ta c:ượ()322 cos cos cos cos3 3t kp p- =± +, ớ[]0;tpÎ tađ ượ5 7; ;9 9tp pì üÎí ýî Do đó ph ng trình đã cho có nghi m:ươ ệ5 7cos cos cos9 9x xp p= =. 0,5IV Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (E) vµ (P) lµ nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh09x37x36x91)x2x(9x234222 (*)XÐt 9x37x36x9)x(f234 f(x) liªn tôc trªn cã f(-1)f(0) 0, f(0)f(1) 0, f(1)f(2) 0, f(2)f(3) suy ra (*) cã nghiÖm ph©n biÖt, do ®ã (E) c¾t (P) t¹i ®iÓm ph©n biÖtTo¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (E) vµ (P) tháa m·n hÖ 1y9xx2xy22209y8x16y9x99y9xy8x16x822222 (**)(**) lµ ph ¬ng tr×nh cña êng trßn cã t©m 94;98I b¸n kÝnh =9161 Do ®ã giao ®iÓm cña (E) vµ (P) cïng n»m trªn êng trßn cãph ¬ng tr×nh (**) 0,50,5III.2(1,0)Gi ệì+ +ïÎí+ =ïî22x (x y) (1)(x, R)x (2) .Đi ki n: ệ00x yx y+ ³ìí- ³î (*)Đ ặ0t y= (1) ta có: ừ+ +2t 0,25Û =2t 0-Û =+ +3(1 t)t(1 t) 0t tæ öÛ =ç ÷+ +è 3(1 t) 0t tÛ =t (Vì " ³+ +3t 0, 0t ). 0,25Suy ra 1x x+ (3).Thay (3) vào (2) ta có: =2x 2x 3Û =2( 2) 2x 1) 0- -Û =- ++ +22x 2x 202x 1x 2æ ö+Û =ç ÷ç ÷- ++ +è ø2x 2(x 1) 02x 1x 2Û =x (Vì ++ ³- ++ +2x 10, x22x 1x ). 0,25Suy ra (x 1; 0), tho mãn (*). đã cho có nghi duy nh 1; 0).ả ấ0,25V.(1 đ) Ta có112( 1) 11 12( 1)2( 1) 1n nnn nx xx nn x+++ += ++ +0.2511 12( 1)n nnx x+Û +11 12n nnx x-® 21 12( 1)n nnx x- -- …………………. 01 12x x- =C ng suy ra: ế()()01 1)2 .. 2. 12nn nn nx x+- 0.51( 1) 2nn nxÞ +2222nnn xn nÞ =+ ậ()222lim lim 12nn nnn xn n®+¥ ®+¥= =+ +0.25