Đề thi HSG Môn toán lớp 11

S GD T CAO NG CHÍNH TH C THI OLYMPIC TRUNG C PH THÔNG Nm c 2011 2012 S Môn thi Toán Lp 11 THPT Thi gian: 150 phút (không k thi gian giao ) I. I S VÀ GII TÍCH Câu 4,0 im) a. Gii h phng trình 34( ).1 26 15 yx yx y+ = + = b. Gii phng trình (16 3x x+ . Câu 4,0 im) a. Tìm h s ca s hng cha x38 trong khai trin nh thc Niutn ca + nxx22. Bit là nghim ca phng trình: 50 250 50 50... 2nC =. b. Bit 1, 6, 11, ..., 96x x+ là mt cp s cng. Tìm tha mãn: (2 1) (2 6) (2 11) ... (2 96) 1010x x+ =. Câu 4,0 im) a. 2lim( )A n= . b. 30 41... 30lim4xx xBx x+ =+ . Câu 4,0 im a. Tìm s các giá tr x tha mãn bt phng trình 2( 4)(1 1)x x +. b. Gii phng trình: 21 sin cos 22 sin sin 21 cotx xx xx+ +=+. II. HÌNH HC Câu (4,0 im) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông; cnh SA vuông góc vi mt phng (ABCD). Gi H, I, ln lt là hình chiu vuông góc ca im trên SB, SC, SD. a. Chng minh BC vuông góc vi mt phng (SAB); CD vuông góc vi mt phng (SAD). b. Chng minh rng AH, AK cùng vuông góc vi SC. c. Chng mình rng HK vuông góc vi AI. -------------------Ht------------------- Chú ý: Thí sinh không c s dng tài liu. Cán b coi thi không gii thích gì thêmS GD T CAO NG THI C KÌ TRUNG C PH THÔNG Nm c 2011- 2012 s H NG N CH M THI Câu áp án im a. 2,0 im) Gii h phng trình 34( ).1 26 15 yx yx y+ = + = t: 1; Yx y= 0,5 Ta có h 31421 216 154X YXX Y+ == + == 1,0 T ó: 24xy= = 0,5 Lu ý: Nu thí sinh gii theo cách khác nu úng vn cho im ti a. b. 2,0 im) Gii phng trình (16 3x x+ . Ta có: 223 (16 34 03 (16 (4 3)344 2( 0(*) xx xx x+ + + = 1,0 Gii phng trình (*): \' 2( ) (*)2232x x= = i chiu iu kin 34x ta c 22x 1,0 Câu im) Lu ý: Nu hc sinh không bit loi nghim tr 0,25. a. im) Tìm h s ca s hng cha x38 trong khai trin nh thc Niutn ca + nxx22. Bit là nghim ca phng trình: 50 250 50 50... 2nC C+ =. Ta có: 50 5050 50 50... 25n nC n+ 0,5 Câu im) S hng th: + = kk kkT xx2 251 252( )=k x50 3252 1,0Theo bài ta có 50 3k 38 0,25 Vy h s cha x38 là 4252C 202400 0,25 b. im Bit 1, 2x+6, 2x+11, ..., 2x+96x+ là mt cp s cng. Tìm tha mãn: (2 1) (2 6) (2 11) ... (2 96) 1010x x+ =. Ta có 1, 2x+6, 2x+11, ..., 2x+96x+ là cp s cng vi công sai 5d= 0,25 T 1, 2x+6, 2x+11, ..., 2x+96x+ có s. Theo công thc s hng tng quát ta có: 96 1).520x nn+ 0,75 Do ó: (2 1) (2 6) (2 11) ... (2 96) 10102 96.20 101024 97 1011x xx xxx+ =+ + 1,0 Vy 1x= tha mãn. a. im )2lim( )A n= Ta có: 22 2224 2( )( )4 214 1(1 )1 14 2n nn nn nnn nn nn n+ + +=+ ++=+ ++=+ 1,0 Vy: 21 1(1 11lim lim41 14 nn nAn nn n+ += =+ 1,0 b. 302 41... 30lim4xx xBx x+ =+ Ta có: 302 302 429 282 229 282 2... 30 4( 1) 1) ... 1)( 1) 1) 1) 1)( 1) 1) ... 1)( 1) 1) 1) 1)1 1) ... 1)1 1) 1) (x xx xx xx xx xx xx x+ + = + = + + +=+ +1)x 1,0 Câu im) Vy: 1,029 282 211 1) ... 1) ... 30 93lim1 1) 1) 1) 2xx xBx x+ += =+ Lu ý: im thành phn trong các úng n âu chm n ó. a. im) Tìm s các giá tr x tha mãn bt phng trình 2( 4)(1 1)x x iu kin: 1x 0,25 Ta có: )2 2222( 4)(1 1)41 (1 1)41 41 31 8x xxx xxx xxx + + + + 1,5 Vì x nên các giá tr ca là {}1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Vy s các giá tr ca là 10 0,25 Lu ý: Hc sinh cha kt lun c s các giá tr ca tr 0,25 b. im Gii phng trình: 21 sin cos 22 sin sin 21 cotx xx xx+ +=+. iu kin: sin (*)x Phng trình ã cho tng ng vi: 0,5 1,0 0,5 Câu im) Lu ý: Hc sinh không t iu kin tr 0,25 Câu im) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông; cnh SA vuông góc vi mt phng (ABCD). Gi H, I, ln lt là hình chiu vuông góc ca im trên SB, SC, SD. a. Chng minh BC vuông góc vi mt phng (SAB). b. Chng minh rng AH, AK cùng vuông góc vi SC. c. Chng mình rng HK vuông góc vi AI.ODBCASHKI 0.25 a. Ta có: do ABCD là hình vuông) SA (ABCD) và BC (ABCD) )BC AB BC SA )BC SAB . Tng t )CD SAD. 0,75 b. )( )BC SABBC AHAH SAB (1) Theo gii thit thì AH SB (2) T (1) và (2) suy ra mà SC (SBC) nên AH SCAH SBC Chng minh tng t ta cng có AK SC. 1,0 c. Gi AC BD O =. Ta có: )SA ABSA ABCDSA AD Hai tam giá SAB và SAD vuông ti có cnh SA chung, AB=AD nên chúng bng nhau. T ó suy ra: /SB SDHK BDSH SK ==; 1,0 mà )BD ACBD SACBD SA nên )HK SAC 0,5 )( )HK SACHK AIAI SAC 0,5 Lu ý: Nu hc sinh ch v c hình thì cho 0,25 Lu ý: Nu thí sinh làm theo cách khác vi áp án nhng vn m bo tính logic, chính xác và cho kt qu úng thì vn cho im ti a. mi bài nu hc sinh làm không ht 0,5 im thì vn cho im n 0,25 im ca bài thi là tng im ca các bài thành phn và không tính làm tròn. --------------H t------------