Đề thi học sinh giỏi Toán 9 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh năm 2018 - 2019

SỞ GD& ĐT HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC I. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN PHẦN GHI KẾT QUẢ 1  Câu 1. Đường thẳng y  ax  b đi qua điểm A  ;4  và B  2;7  2  Tính M  3 13a  5b b  3 13a  5b b Câu 2. Dãy số  an  thỏa mãn an1  an  3, n  * và a2  a19  25. Tính tổng S  a1  a2  .....  a20 3 2   a  a  2a  7  0 . Tính a  b Câu 3. Cho hai số thực a, b thỏa mãn  3 2 b  2 b  3 b  5  0   Câu 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A 1;2  và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. a 4  a3  3a 2  a  1 Câu 5. Cho số thực a  0. Tìm GTNN của P  a3  a  x  by  cz  Câu 6. Cho các số a, b, c khác 1 và các số x, y, z khác 0 thỏa mãn  y  cz  ax  z  ax  by  1 1 1 Tính tổng T    1 a 1 b 1 c Câu 7. Cho đa thức P  x   x 4  ax3  bx 2  cx  d . Biết P 1  3; P  2  6; P  3  11. Tính Q  4P  4   P  1 1  15 đều là các số nguyên. a 2sin 2   3sin  cos   cos 2  Câu 9. Cho góc nhọn  có tan   2. Tính M  sin  cos   cos 2   1 Câu 10. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt Câu 8. Tìm các số thực a biết a  15 và BD tại I. Biết IB  10 5cm, ID  5 5cm. Tính diện tích tam giác ABC II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 11. Giải phương trình : 3 24  x  12  x  6 Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH a) Khi AB  12cm, tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác bằng 2 . Tính diện tích tam giác ABC 5 b) Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC Chứng minh rằng: BE CH  CF BH  AH BC Câu 13. Một doanh nghiệp tư nhân chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda future với chi phí mua vào là 23 triệu đồng và bán ra với giá 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khác hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giẩm giá bán và ước tính rằng, theo tỷ lệ nếu cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 20 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau khi giảm giá. Lơi nhuận thu được sẽ cao nhất ? ĐÁP ÁN Câu 1. 1  Đường thẳng y  ax  b đi qua điểm A  ;4  và B  2;7  nên 2  Khi đó M  3 26  15 3  3 26  15 3  3   3  32  3 2 3  3 a  2b  8 a  2    2a  b  7 b  3    32 2 3 2 3 Câu 2. Ta có: a3  a2  3; a4  a3  3  a2  2.3;.....a19  a2  17.3  25  a2  a2  17.3  a2  13  a1  a2  3  16 Vậy S  a1  a1  3  a1  2.3  ......  a1  19.3  20 a1  3. 1  2  3  ..... 19   250 Câu 3.  a 3  a 2  2a  7  0  a 3  a 2  2a  7  0 3 2   3 2 Ta có:  3   a  b  1  b  a  1 0      3 2 2 b  2 b  3 b  5  0     b  1  b  6  0 2   a  b  1 a 2  a  b  1   b  1   a  b   1  0  a  b  1   Câu 4. Gọi phương trình đường thẳng d là y  ax  b. Vì  d  đi qua A1;2   a  b  2 Gọi M , N lần lượt là giao điểm của d với trục Oy, Ox và khoảng cách từ O đến d là OH Ta có 1 1 1 1 a2 a2  1      2 OH 2 OM 2 ON 2 b 2 b 2 b b2 a 2  4a  4   2a  1  OH  2   55 a 1 a2  1 a2  1 1  a   2 1 5 . Do đó phương trình đường thẳng (d): y   x  Dấu "  " xảy ra   2 2 b  5  2 Câu 5. 1 1 a2  2  a   3 1 a a . Đặt t  a   2 . Dấu "  " xảy ra khi a  1 Vì a  0 nên P  1 a a a 2 2 t 2  t  1 t 1 3t t 1 3.2 7 Ta có: P     1 2 .  1 t 4 t 4 4 t 4 2 7 Do đó GTNN của P là  a  1 2 Câu 6. 1 x  Ta có: x  by  cz  x  a  1  ax  by  cz  a  1 ax  by  cz Tương tự: T  1 y 1 z  ;  b  1 ax  by  cz c  1 ax  by  cz 2  ax  by  cz  x yz  2 ax  by  cz ax  by  cz Câu 7. Đặt R  x   P  x    x2  2   R 1  0; R  2  0; R  3  0 Do đó R  x    x  1 x  2  x  3 x  m   P  x    x  1 x  2  x  3 x  m    x 2  2  Vậy Q  4. 3.2.1 4  m   18    2 .  3 .  4 . 1  m   3  195 Câu 8. Đặt x  a  15; y  1  15  x, y  a  1  15  xy  16   y  x  15 x  15 Nếu y  x thì vế phải là số vô tỉ còn vế trái là số nguyên, vô lý. Do đó x  y Ta có: y   a  4  15  xy  16  0  x  y  4. Thay vào ta tìm được   a  4  15 Câu 9. 2sin 2   3sin  .cos   cos 2  2 tan 2   3tan   1 15 cos 2    Ta có: M  sin  cos   cos 2   1 tan   1  1  tan 2  8 cos 2  Câu 10. AD ID 1 AB    AD  Ta có . AB IB 2 2 AB 2 Mặt khác AD 2  AB 2  BD 2   AB 2  15 5 4  AB  30(cm)  AD  15cm.   2 AD AB DC AD 1      BC  2 DC DC BC BC AB 2 Mặt khác Lại có AB2  AC 2  BC 2  900   DC  15  4DC 2  DC  25(cm)  AC  40(cm) 2 Vậy diện tích tam giác ABC là 600cm2 Câu 11. 3  a  b  6 2  24  x  a ĐKXĐ: x  12 . Đặt   3  a3   6  a   36  0 2   12  x  b  0 a  b  36 a  0  a  a  3 a  4   0   a  3   a  4 a  0 24  x  0 *)    x  24(tmdk ) b  6 12  x  36   a  3 24  x  27 *)    x  3(tmdk ) b  3 12  x  9 a  4 24  x  64 *)    x  88(tmdk ) b  10 12  x  100 Vậy phương trình có tập nghiệm S  88;3; 24 Câu 12. A NF M I E C B HP O a) Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC thì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên AB, AC, BC. Đặt BC  2OA  2R; IM  IN  IP  r r 2 Theo bài thì   BC  5r R 5 2 Ta có AC  BC 2  AB2  25r 2  144 Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau thì BM  BP, CP  CF và tứ giác AMIN là hình vuông nên AM  AN  r Do đó AB  AC  r  BM  r  CE  2r  BP  CP  2r  BC  7r  AC  7r  12 Từ đó ta có: r  3 2 25r 2  144   7r  12   r 2  7r  12  0   r  4 Với r  3cm thì AC  9cm  S ABC  54cm2 Với r  4cm thì AC  16cm  S ABC  96cm2 b) Ta có: BE CF  CF BH  AH BC  BE. BC.CH  CF . BC.BH  AH .BC Ta lại có : EH / / AC nên BE EH AF    BE. AC  AB. AF ( AEHF là hình chữ nhật) AB AC AC Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BE BC.CH  CF BC.BH  BE. AC  CF .AB  AB.CF  AF   AB.AC  AH .BC (dfcm) Câu 13. Gọi x là giá mới mà doanh nghiệp phải bán. ĐK: x  0 đơn vị: triệu đồng Theo bài ra số tiền mà doanh nghiệp sẽ giảm là: 27  x (triệu đồng) mỗi chiếc Khi đó, số lượng xe tăng lên là: 20. 27  x  : 0,1  200  27  x  (chiếc) Do đó số lượng xe mà doanh nghiệp bán được là: 600  200. 27  x   6000  200 x (chiếc) Vậy doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là:  6000  200x  x (triệu đồng) Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là:  6000  200 x .23 (triệu đồng) Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sau khi bán giá mới là:  6000  200 x  x   6000  200 x .23  200 x 2  10600 x  138000  200  x 2  53x  690   200  x  26,5   2450  2450 2 Giá trị lợi nhuận thu được cao nhất là 2450 triệu đồng. Khi đó giá bán mới là 26,5 triệu đồng.