Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 thành phố Hà Nội



Trịnh Bình Tổng hợp

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 9 TP HÀ NỘI

Thanh Hóa, tháng 12 năm 2019

2
MỤC LỤC
Phần 1: Đề thi
Đề số
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.

Đề thi
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2018- 2019
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2017- 2018
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2016- 2017
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2015- 2016
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2014- 2015
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2013- 2014
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2012- 2013
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2011- 2012
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2010- 2011
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2009- 2010
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2008- 2009
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2007- 2008
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2006- 2005
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2004- 2005
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2003- 2004
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2002- 2003
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2001- 2002
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2000- 2001
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1999- 2000
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1998- 1999
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1997- 1998

Trang

Phần 2: Hướng dẫn giải
Đề số
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Hướng dẫn
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2018- 2019
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2017- 2018
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2016- 2017
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2015- 2016
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2014- 2015
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2013- 2014
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2012- 2013
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2011- 2012
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2010- 2011
Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2009- 2010

Trang

3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 1
(Đề thi có một trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:

3

2 − x =1 − x − 1 .

2 
2  
2


b) Cho S =
1 −
1 −
 ... 1 −
 là một tích của 2019 thừa số. Tính S
 2.3  3.4   2020.2021 
(kết quả để dưới dạng phân số tối giản).

Câu 2: (5,0 điểm)
a) Biết a; b là các số nguyên dương thỏa mãn a 2 − ab + b 2 chia hết cho 9, chứng
minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9n + 11 là tích của k ( k ∈ , k ≥ 2 ) số tự
nhiên liên tiếp.
Câu 3: (3,0 điểm)
a) Cho x; y; z là các số thực dương nhỏ hơn 4 . Chứng minh rằng trong các số
1
1
1
1 1
1
+
, +
, +
luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1.
x 4− y y 4− z z 4− x
b) Với các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 + 2abc =
1
, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + ca − abc .
Câu 3: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A

( AB < AC ) . Đường tròn ( I ) nội tiếp tam

giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E , F . Gọi S là giao điểm của
AI và DE .
a) Chứng minh rằng tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS .
b) Gọi K là trung điểm của AB và O là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba
điểm K , O, S thẳng hàng.
c) Gọi M là giao điểm của KI và AC. Đường thẳng chứa đường cao AH của
tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N . Chứng minh rằng AM = AN .
Câu 4: (1,0 điểm) Xét bảng ô vuông cỡ 10 ×10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị.
Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được
điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1 . Chứng minh
rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần.

4
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 2
(Đề thi có một trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2018 và
Tính giá trị của biểu thức: P =

1
1
1
2017
+
+
=.
b + c c + a a + b 2018

a
b
c
+
+
.
b+c c+a a+b

b) Tìm tất các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình:
x− y
7
= .
2
2
x + xy + y 13
Câu 2: (5,0 điểm)

+ 1 3 x 6 x + 3.
a) Giải phương trình: 6 x 2 + 2 x=
3
3
2
 x + x + 2 = y − 3 y + 4 y
b) Giải hệ phương trình: 
2 x + 2 = y + 2.

Câu 3: (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng không tồn tại các số dương m, n, p với p nguyên tố thỏa mãn:
m 2019 + n 2019 =
p 2018
b) Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
y
z
P= 3
+ 3
+ 3
.
y + 16 z + 16 x + 16
Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC < BC, nội tiếp đường tròn (O).
Gọi H là hình chiếu của A trên BC, M là trung điểm của AC và P lầ điểm thay đổ trên
đoạn thẳng MH (P khác M và P khác H).

∠HAC.
a) Chứng minh rằng ∠BAO =
o
b) Khi ∠APB =
90 chứng minh ba điểm B, O, P thẳng hàng.
c) Đường tròn ngoại tiếp AMP và đường tròn ngoại tiếp tam giác BHP cắt nhau tại Q
(Q khác P). Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi P
thay đổi.
Câu 3: (3,0 điểm) Cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn (O). Chia 2n đỉnh này thành
n cặp điểm, mỗi cặp điểm này tạo thành một đoạn thằng (hai đoạn thẳng bất kỳ trong số
n đoạn thẳng được tạo ra không có đầu mút chung).
a) Khi n = 4, hãy chỉ ra một cách chia sao cho trong bốn đoạn thẳng được tạo ra
không có hai đoạn thẳng nào có độ dài bằng nhau.
b) Khi n = 10, chứng minh rằng trong mười đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại
hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 3
(Đề thi có một trang)
Bài 1 (5.0 điểm).
a) Chứng minh rằng n 5 + 5n 3 - 6n chia hết cho 30 với mọi số nguyên dương n.

( )

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x; y sao cho x 2 + 8y và y 2 + 8x đều là số chính
phương.
Bài 2 (5.0 điểm).
a) Giải phương trình

2x -

3
+
x

 4x
=

 5y
b) Giải hệ phương trình 
 5y
 x =

6
3
- 2x = 1 +
x
2x

x+y - x-y
x+y + x-y

Bài 3 (3.0 điểm).
Với mọi số thực không âm x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 2 .
a) Chứng minh rằng x + y + z ≤ 2 + xy .
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =

y
x
z
+
+
.
2 + yz 2 + zx 2 + xy

Bài 4 (6.0 điểm).
Cho tam giác ABC (BC > CA > AB) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Đường

tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tia phân giác của góc ABC
tại điểm thứ hai là M. Gọi P

là trực tâm của tam giác BMC.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, P cùng huộc một đường tròn.
b) Đường thẳng qua H song song với AO cắt cạnh BC tại E. Gọi F là điểm trên cạnh
BC sao cho CF = BE. Chứng minh ba điểm A, F, O thẳng hàng.
c) Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. Chứng minh rằng PN = PO
Bài 5 (1.0 điểm).
Trên bàn có 100 thể được đánh số từ 1 đến 100.Hai người A và B lần lượt chọn lấy
một tẩm thẻ trên bàn sao cho nếu người A lấy tấm thẻ đánh số n thì đảm bảo người B chọn
được tấm thẻ đánh số 2n + 2 . Hỏi người A có thể lấy được nhiều nhất bào nhiêu tấm thẻ
trên bàn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

6
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 4
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (5.0 điểm).

(

)

a) Cho các nguyên a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a 3 + b3 = 2 c 3 - 8d 3 .
Chứng minh rằng a + b + c + d chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố x sao cho 2 x + x2 là số nguyên tố.
Câu 2. (5.0 điểm).
a) Giải phương trình

2x 2 + 11x + 19 + 2x2 + 5x + 7 = 3 ( x + 2 )

x + y + z = 3

1 1 1 1
b) Tìm tất cả các bộ ba số x; y; z thỏa mãn  + + =
x y z 3
 x2 + y2 + z2 = 17


(

)

Câu 3. (3.0 điểm).
a) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn 0 < x, y, z <

3
3
và xy + yz + zx = . Tìm giá trị nhỏ
2
4

nhất của biểu thức:
P=

4y
4x
4z
+
+
2
2
3 - 4x
3 - 4y
3 - 4z 2

b) Cho a, b, c là đồ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a 2016
b 2016
c 2016
+
+
≥ a 2015 + b 2015 + c 2015
b+c-a c+a-b a+b-c

Câu 4. (6.0 điểm).
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Lấy điểm Q bất kì trên cạnh BC (Q khác B
và C). Trên tia đối của tia BA lấy điểm P sao cho CQ.AP = a 2 . Gọi M là giao điểm của AQ
và CP.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, CA.
1. Xác định vị trí của Q để IK có độ dài lớn nhất.
2. Chứng minh MI 2 + MJ 2 + MK 2 không đổi khi Q di chuyển trên cạnh BC.
Câu 5. (1.0 điểm).
Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông có kích thước 1x1. Điền vào
mỗi ô vuông của bảng này một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai ô
vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong bảng ô
vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần.

7
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014– 2015
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 5
(Đề thi có một trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1 và a + b + c =

1 1 1
+ +
a b c

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c bằng 1
b) Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng A = 23n +1 + 23n −1 + 1 là hợp số
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x 3 − 2 x = 3 x 2 − 6 x + 4 .

 x3 + 2 xy 2 + 12 y =
0
b) Giải hệ phương trình: 
.
2
2
x
+
8
y
=
12

Bài 3: (2,0 điểm)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn

1 1 1
+ + =
3.
a b c

Tìm giá trị lớn nhất của: P =

1
a − ab + b
2

2

+

1
b − bc + c
2

2

+

1
c − ca + a 2
2

.

Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của
tam giác ABC đồng quy tại H
 + cos2 CBA
 + cos2 ACB
 <1
a) Chứng minh rằng: cos2 BAC

b) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn (O). Gọi M, I lần lượt là trung điểm
các đoạn thẳng BC và HP. Chứng minh rằng MI vuông góc với AP.
Bài 5: (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên tố p sao cho

p2 − p − 2
là lập phương của một số tự nhiên
2

b) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường
tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có diện
1
tích không lớn hơn
9

8
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013– 2014
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 6
(Đề thi có một trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Cho các số thực khác 0 thỏa mãn a + b + c =
2014 và
Tính giá trị M =

1
a

2013

+

1
b

2013

+

b) Tìm số tự nhiên n để 25n

2

1
c

2013

−3 n +1

1 1 1
1
.
+ + =
a b c 2014

.

− 12 là số nguyên tố

Bài 2: (5,0 điểm)

0.
a) Giải phương trình x 2 − 2 x − 2 2 x + 1 − 2 =

x 2 + y 2 = 4 x − 5 + 2 xy
b) Giải hệ phương trình  4
.
4
2
2 2
x + y = 9z − 5 − 4z − 2x y
Bài 3: (2,0 điểm)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c =
6 và 0 ≤ a, b, c ≤ 4 .

Tìm giá trị lớn nhất của P = a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + ca .
Bài 6: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC, tia AI cắt đường tròn (O) tại M (điểm M khác điểm A).
a) Chứng minh các tam giác IMB và IMC là các tam giác cân.
b) Đường thẳng MO cắt đường tròn tại điểm N (N khác điểm M) và cắt cạnh BC tại

điểm P. Chứng minh rằng: sin BAC = IP .
2

IN

c) Gọi các điểm D, E lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các cạnh AB, AC. Gọi các
điểm H, K lần lượt đối xứng với các điểm D, E qua điểm I. Biết rằng AB + AC =
3BC, chứng minh các điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5: (2,0 điểm) 1) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn 5 x − 2 y =
1.
2) Cho lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác
đó. Các tia AP, BP, CP, DP, EP, CF cắt các cạnh của lục giác này lần lượt tại các điểm M1,
M2, M3, M4, M5, M6 (các điểm này lần lượt khác các điểm A, B, C, D, E, F). Chứng minh lục
giác M1M2M3M4M5M6 có ít nhất một cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1.

9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012– 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 7
(Đề thi có một trang)
Câu 1. ( 5 điểm)
a) Tìm các sso thực a, b sao cho đa thức 4x4 – 11x3 – 2ax2 + 5bx – 6 chia hết cho đa thức
x2 -2x -3.

(

) (

)

b) Cho biểu thức P = a 2013 − 8a 2012 + 11a 2011 + b 2013 − 8b 2012 + 11b 2011 .
Tính giá trị của P với a= 4 + 5 và b= 4 − 5.
Câu 2. ( 5 điểm)

6 x 2 − y 2 − xy + 5 x + 5 y − 6 =
0
a) Giải hệ phương trình: 
.
2
2
0
 20 x − y − 28 x + 9 =

0
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6 x 2 + 10 y 2 + 2 xy − x − 28 y + 18 =
Câu 3. (2 điểm) Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn:

1 2 3
+ + =
3. . Chứng minh:
a b c

27 a 2
b2
8c 2
3
+
+
≥ .
2
2
2
2
2
2
c ( c + 9a ) a ( 4a + b ) b ( 9b + 4c ) 2

Câu 4. (7 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các đường
cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao ddiemr của hai đường
thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).
a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
c) Chứng minh BM. AC + AM.BC = AB. MC.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 2013 điểm A1, A2,…,A2013 và đường tròn (O; 1) tùy ý cùng nằm trong mặt
phẳng. Chứng minh trên đường tròn (O; 1) đó, ta luôn có thể tìm đường một điểm M sao
cho MA1 + MA2 +…+ MA2013 ≥ 2013

10
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011– 2012
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 8
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (5 điểm)
1) Cho biểu thức A =

(a

2012

+ b 2012 + c 2012 ) − ( a 2008 + b 2008 + c 2008 ) với a,b,c là các số nguyên

dương. Chứng minh A chia hết cho 30.
2) Cho f ( x ) =

( 2x

3

− 21x − 29 )

Tính f(x) tại x = 3 7 +

2012

.

49 3
49
+ 7−
8
8

Câu 2. (5 điểm)
1) Giải phương trình:

x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5

 x 2 + xy + x − y − 2 y 2 =
0
2) Giải hệ phương trình: 
2
2
6
 x − y +x+ y =
Câu 3. (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn:

2 x 2 + 3 y 2 − 5 xy − x + 3 y − 4 =
0
Câu 4. (4 điểm) Cho A là điểm thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính BC (A không
trùng với B, C). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Đường tròn đường kính AH căt AB,
AC lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh AO ⊥ MN.

2) Cho AH = √2𝑐𝑚, BC = √7𝑐𝑚. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC.

Câu 5. (4 điểm)

1) Gọi h1, h2, h3, r lần lượt là độ dài các đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp của
một tam giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều khi và chỉ khi:
1
1
1
1
+
+
=
ℎ1 + 2ℎ2 ℎ2 + 2ℎ3 ℎ3 + 2ℎ1 3𝑟
2) Trong mặt phẳng cho 8045 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các
điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể

tìm được 2012 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích
không lớn hơn 1.

11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010– 2011
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 9
(Đề thi có một trang)

Bài 1. (2 điểm) Rút gọn biểu thức : A =

4 x 3 − 16 x 2 + 21x − 9
x −1

Bài 2. (5 điểm)
1, Giải phương trình: 2(x2 + 2x + 3) = 5 x3 + 3 x 2 + 3 x + 2
2, Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn:

4 x 2 – ( 8 y + 11) x + ( 8 y 2 + 14 ) =
0

Tìm y khi x lẫn lượt đạt được giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. (5điểm)
1, Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các
bình phương của chúng.
2, Cho các số thức không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của:

B = (4x2 + 3y) (4y2 + 3x)+ 25xy.

Bài 4. ( 6 điểm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.
1, Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn
(K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường tròn (I), (K) lần lượt tại các
điểm M, N( M khác A, B và N khác A,C)
Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CNA bằng 3 lần diện tích tam giác
AMB
2, Cho AB < AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = AB. Gọi E là hình chiếu của điểm
D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu điểm A trên đường thẳng DE.
AF
AF
So sánh
và
với cos 
AEB .
AB
AC
Bài 5. (2 điểm)
Hai người chơi trò chơi như sau: trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k
viên bi, với k ∈ {1, 2,3} . Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó.
1, Hỏi người thứ nhất hay người thứ 2 thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng?
2, Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên
dương?

12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009– 2010
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 10
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (4 điểm)

Tính giá trị biểu thức: A =

(x

31

+x −x
3

)

2010 2009

với x =

(

3 2 + 5


)

3

17 5 − 38 


5 + 14 − 6 5

Câu 2. (4 điểm)
a. Giải phương trình x 4 + 3 x3 − 2 x 2 − 6 x + 4 =
0
 xy + x + y = a + 1
b. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất  2
2
a
 x y + xy =

Câu 3. (4 điểm)
a. Giải bất phương trình:

x 4 + x3 + x + 1
≤0
x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 1
b. Tìm giá trị lớn nhất của: B =

1
1
1
+ 3 3
+ 3 3
3
x + y +1 y + z +1 z + x +1
3

Với x, y, z là các số dương và xyz = 1
Câu4. (6 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). D là một điểm bất kì
thuộc cung nhỏ AC(D khác A và C). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D
tới các đường thẳng AB, AC. Gọi P là giao điểm các đường thẳng MN,BC.
1) Chứng minh DP và BC vuông góc với nhau
2) Đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác ABC. Tính IO với R = 5cm, r =1,6 cm.
Bài 5. (2 điểm) Tìm x,y nguyên dương để C là một số nguyên dương với
C=

x3 + x
.
xy − 1

13
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008– 2009
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 11
(Đề thi có một trang)

Câu 1 (4 điểm)
1)

(

)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có a 3 + 5a là số nguyên chia

hết cho 6.
2)

=
A 27309 + 27309
Cho

102

10

+ 2730910 + ... + 2730910 . Tìm số dư trong phép
3

10

chia A cho 7.
Câu 2 (4 điểm)
1
x

1) Chứng minh +

1
4
, với x > 0, y > 0. Xảy ra đẳng thức khi nào?
≥
y x+ y

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P, biết
2
35
=
+
+ 2ab, với a > 0, b > 0 và a + b ≤ 4
P
2
2
a +b
ab
Câu 3 (4 điểm)
3

Cho phương trình x + m – 1 = m √2𝑥 − 1 (với x là ẩn số).
1) Giải phương trình khi m = 3.

2) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1?
Câu 4 (4 điểm)
Cho đường tròn (O; 3) và điểm A cố định (A khác O). Chứng minh:
1) Nếu HK là đường kính của đường tròn (O; 3) thì AH ≥ 3 hoặc AK ≥ 3.

2) Tồn tại hình thang cân MNPQ nội tiếp đường tròn (O; 3) thỏa mãn đồng thời hai
điều kiện MA + NA + PA + QA > 12 và MN + NP + PQ + QM < 12 .

Câu 5 (4 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là điểm chính giưa của cung AB.
Lấy điểm M tùy ý trên cung BC (M khác B). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM; H, I
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM; K là giao điểm của đường thẳng BM
và HI.
1) Chứng minh các điểm A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn.
Xác định vị trí của điểm M trên cung BC (M khác B) sao cho AK =

R 10
.
2

14
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2007– 2008
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 12
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (4 điểm)
a. Tìm số nguyên p thoả mãn: (p + 4), (p + 8) cũng là các số nguyên số
b. Tìm số hữu tỉ a thoả mãn: 2a + 5a là số tự nhiên và là số chính phương
Câu 2. (4 điểm)
Cho 𝑥 ≥ 1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=

x − 1 + x2 − 5x + 7

Câu 3. (4 điểm)
Cho phương trình 2𝑥 2 − 2(2 + 𝑚)𝑥 + 8 − 4𝑚 = 3√𝑥 3 + 8

với x là ẩn số

a. Giải phương trình khi m=1
b. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Câu 4. (4 điểm)
Cho đa giác đều 91 đỉnh mỗi đỉnh của đa giác. Mỗi đỉnh của đa giác được tô bởi
một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh luôn tìm được 3 đỉnh trong 91 đỉnh của đa
giác thoả mãn: 3 đỉnh này cùng màu và 3 đỉnh của một tam giác cân có ít nhất một góc nhỏ
hơn 600 .

Câu 5. (4 điểm)
Cho đường tròn (O’,R) và dây BC cố định (BC < 2R) . A là điểm di chuyển trên cung
lớn BC (A khác B,C). Gọi M là trung điểm của đoạn AC, H là hình chiếu vuông góc của M
trên AB. Xác định vị trí của điểm A trên cung lớn BC để đoạn CH có độ dài lớn nhất.

15
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2006– 2007
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 12
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4 điểm)
Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức
A = x3 + y3 + 2xy
Câu 2. (4 điểm)
a, Cho p là số tự nhiên khác 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
x2 + 5px – 1 = 0
x3, x4 là hai nghiệm của phương trình x2 + 4px – 1 = 0
Chứng minh rằng tích:

(x1 – x3) (x2 – x3)(x1 + x4) (x2 + x4)

là một số chính phương
b, Tìm số tự nhiên m thỏa mãn đồng thời các điều kiện 9000 < m < 10000, m chia cho
95 dư 25 và m chia cho 97 dư 11
Câu 3. (4 điểm)
a, Tìm các số a, b để phương trình
(x -1)(x – a) + 1 = (x -2 )(x + b)
có ít nhất 3 nghiệm x = 30, x =3 và x = 2007
b, Giải phương trình

x2 −

3
1
1
2
+ x−
=
x , với điều kiện
4x
4x
2

Câu 4. (4 điểm)
Trong mặt phẳng cho 19 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng
và nằm trong hình chữ nhật kích thước 2x3. Chứng minh rằng trong 19 điểm đã cho có 3
3
điểm nằm trong hình tròn bán kính và tạo thành một tam giác có ít nhất một góc không
4
o
vượt quá 45
Câu 5. (4 điểm)
Trong đường tròn (O, R), cho dây AB cố định (AB < 2R) và C là điểm chính giữa của
cung nhỏ AB. Gọi M là điểm tùy ý trên cung lớn AM với dây AB.
a, Chứng minh tích CM.CN có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí của M
1
b, Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB sao cho AM – BM = AB
3

16
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2005– 2006
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 14
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4 điểm)
a. Cho năm chữ số 1,3,5,7,9. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt
được thành lập từ năm chữ số đã cho?

(

)

b. Chứng minh tồn tại số tự nhiên n khác không thoả mãn 13579n − 1 chia hết cho
313579

Câu 2. (4 điểm)
Cho phương trình x 2 − mx − 4 =
0 (x là ẩn số)
a. chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 𝑥1 , 𝑥2 với mọi giá trị
của m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

2 ( x1 + x2 ) + 7
.
x12 + x22

b. Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là số nguyên

1 3 3x + 1 .
=
Câu 3. (4 điểm) Giải phương trình x 2 −
Câu 4. (4 điểm)
Trong mỗi ô của bảng vuông 3x3 ta điền các dấu + hoặc - để được bảng như sau trong
hình 1
+

-

+

-

+

-

-

+

+

+

-

+

+

-

-

-

+

+

Hình 1

Hình 2

Ta thực hiện phép biến đổi:
“Đổi ngược dấu của tất cả các ô trong cùng một dòng hoặc trong cùng một cột”.
Hỏi sau một số hữu hạn lần áp dụng phép biến đổi trên ta có thể thu được bảng trong
hình 2 không? Tại sao?
Câu 5. (4 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2 và điểm C là điểm của cung AB. gọi
M là điểm tuỳ ý trên cung BC (M ≠ B,C). Kẻ dây BK song song với CM. Đường tròn đường
kính MK cắt tia BM tại điểm thứ hai là S. xác định vị trí của điểm M sao cho khoảng cách
từ điểm S đến AB là lớn nhất và tính khoảng cách lớn nhất đó.

17
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HÀ NỘI

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2004– 2005
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 15
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (4 điểm)
a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 4?
b. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số thoả mãn có chữ số hàng đơn vị là 4 và chi
hết cho 3?
Câu 2. (4 điểm)
Cho a, b là các số thoả mãn 0 < a < 3, 0 < b < 4. Tìm gái trị nhỏ nhất của tổng:

A=

a 2 + b2 +

(3 − a ) + ( 4 − b)
2

2

.

Câu 3. (4 điểm)

(

)(

)

0
Cho phương trình x 2 − 2 x x 2 − 2 x − 2 − m + m =
a. với giá trị nào của m thì x = 1 + 5 là nghiệm của phương trình đã cho?
b. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt và xác định các
nghiệm đó.
Câu 4. (4 điểm)
Cho 53 số nguyên dương phân biệt có tổng không lớn hơn 2004. Chứng minh rằng
luôn tìm được 6 số trong 53 số đã cho thoả mãn: 6 ố này chia được thành 3 cặp số , mà mỗi
cặp đều có tổng bằng 53.
Câu 5. (4 điểm)
Cho tam giác vuông ABC (𝐴̂ = 90𝑜 ). Nội tiếp trong đường tròn (O). M là một điểm

tuỳ ý thuộc đường tròn (𝑀 ≠ 𝐴, 𝐵, 𝐶). Gọi I là trung điểm của đoạn AM và h là hình chiếu
vuông góc của I trên đường thẳng CM . Hãy xác định vị trí của M sao cho tam giác ACH
có diện tích lớn nhất.

18
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2003– 2004
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 16
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng
b) Cho=
số S
So sánh S với

(

1

3 1+ 2

2 + 3 + 4 − 2 3 − 21 − 12 3 là số tự nhiên.
+

) 5(

1
2+ 3

+

) 7(

1
3+ 4

)

+ ... +
97

(

1
48 + 49

)

.

3
.
7

Câu 2. (4,0 điểm)
Cho bốn số x, y, z, t có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=

( x + y + z )( x + y ) .
xyzt

Câu 3. (4,0 điểm)
Giải phương trình: x 2 − 2 ( x + 1) x 2 − 1 − 3 x 2 + 6 x − 1 =0.
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho 100 điểm phân biệt và một đường tròn (O) cố định có bán kính 1 cm. Chứng
minh rằng tồn tại một đa giác 2004 đỉnh nội tiếp đường tròn (O) sao cho: Tổng các khoảng
từ mỗi đỉnh đa giác đó đến 100 điểm đã cho đều không nhỏ hơn 100 cm.
Câu 5. (4,0 điểm)
Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, một dây MN = R di chuyển trên
nữa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song với ON, đường thẳng này cắt đường
thẳng AB tại E. Qua N kể đường thẳng song song với OM, đường thẳng này cắt đưởng
thẳng AB tại F.
a) Chứng minh hai tam giác MNE và NFM đồng dạng;
b) Gọi I là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để tam giác MIN
có chu vi lớn nhất.

19
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2002– 2003
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 17
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Nếu viết liên tiếp 9999 số 2003 ta được số mới A = 20032003...2003.
Hãy tìm số dư trong phép chia số A cho 9999.
b) Cho a, b là các số tự nhiên khác ) và a 2 + b 2  ab.

(

Hãy tính gía trị của biểu thức:
Câu 2. (4,0 điểm)

)

a +b
.
ab
2

2

2.
a) Giải phương trình 2 x + 4 x 2 − 1 + 2 x − 4 x 2 − 1 =
b) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
2 x + 4 x 2 − 1 + 2 x − 4 x 2 − 1= 4 x 2 − 2 x + 2 + m 2 .
Hãy tính nghiệm của phương trình trong trường hợp có nghiệm.
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho 0 < x < 2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức=
: A

2
1
+ .
2− x x

Câu 4. (4,0 điểm)
Cho 10 điểm phân biệt, không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong một tam
giác đều có cạnh là 2 cm. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 điểm trong 10 điểm đã cho, 3
điểm này lập thành một tam giác thỏa mãn đồng thời các đều kiện sau: Là tam giác có
diện tích không vượt quá

3
cm2 và có ít nhất một góc nhỏ nhỏ hơn hoặc bằng 45o.
3

Câu 5. (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố định, AB = R 3 . Gọi P là điểm chính giữa
cung nhỏ AB. Đường thẳng d quay quanh P nhưng luôn cắt đoạn AB tại điểm N (N ≠ A,
B) và cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Gọi I là điểm nằm trên đoạn thẳng BM sao cho
1
BI = BM .
3
a) Chứng minh rằng AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
b) Hãy dựng đường thẳng d sao cho tổng các khoảng cách từ điểm I đến hai
đường thẳng AO và AP là nhỏ nhất.

20
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2001– 2002
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề số 18
(Đề thi có một trang)
Bài 1. (4,0 điểm)
a) Gọi A là tích 2002 số tự nhien liên tiếp khác 0 đầu tiên. Ta chia A lần lượt cho 1;
2; 3;...; 2002 được các thương tương ứng là A1; A2; .....;A2002. Chứng minh rằng
tổng (A1 + A2 + .....+ A2002) chia hết cho 2003.
b) Cho n là số tự nhiên khác 0 và p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh trong
hai số (pn + 1) và (2pn + 1) có ít nhất một số là hợp số.
Bài 2. (4,0 điểm)

0
Cho phương trình: x 2 + ( a − 2b − 2 ) x + ( a − 2b − 7 ) =
Trong đó a ≥ 3 và b ≤ 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất mà nghiệm của phương trình có thể
đạt được.
Bài 3. (4,0 điểm)

1
Giải phương trình x +=

2 ( x + 1) + 2 2 ( x + 1) + 2 4 ( x + 1)

Bài 4. (4,0 điểm)
Trong hình chữ nhật kích thức 7 cm × 10 cm,ta đặt 7 điểm khác nhau một cách hú
họa. Chứng minh rằng luôn tìm được 2 điểm trong 7 điểm đã cho mà khoảng cách giữa
chúng không lớn hơn 5 cm.
Bài 5. (4,0 điểm)
Dựng một tam giác thỏa mãn hai điều kiện: Độ dài hai trung tuyến là m, n và diện
tích tam giác là lớn nhất.