Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Minh Châu, Hưng Yên năm 2020-2021

Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí TRƯỜNG THPT MINH CHÂU TỔ TỰ NHIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN - Lớp 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2 điểm) a) Giải phương trình: sin 3x 3 cos3x 2sin 2x . b)Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x 7 cos x Câu 2: (2 điểm) a) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển x 1 3 sin 2 x 7 sin x 8 trên đoạn 2 ;2 . 2x b) Đề thi THPT môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được cộng 0, 2 điểm, điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh có năng lực 9 trung bình đã làm đúng được 25 câu( từ câu 1 đến câu 25), các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn 6 điểm nhưng không vượt quá 8 điểm( làm tròn đến hàng phần nghìn). Câu 3:(1 điểm) Tìm tất cả các số thực x để ba số x, 2 x , 4 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Câu 4: (2 điểm) Tính các giới hạn sau: x 1 a) I lim 16 n 1 4 n 16 n 1 3 n b) J lim x 2 x 2 3 7x 1 2 x 1 Câu 5: (1,5 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A , , SB 2a . Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho AM 2MD . Gọi P là mặt phẳng qua M và 3 song song với SAB . SA a a) Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD. b) Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P . Câu 6: (1,5 điểm) a) Giải hệ phương trình x 2 8 x 17 y x 4 x y y 21 12 u1 b) Cho dãy số un được xác định như sau y 21 9u 4 y 3x . * 4 n1 un 4 Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số un ----------------- ,n . 4 1 2un và tính lim un Hết ---------------- (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:............................................... Chữ ký của giám thị:……………………… Số báo danh:……………….. Phòng thi số:……… Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021 TRƯỜNG THPT MINH CHÂU TỔ TỰ NHIÊN Môn: TOÁN – Khối 11 Câu 1: a) Giải phương trình sau sin 3x 3 cos3x 2sin 2x . Ta có : sin 3 x sin 3 x 3 3 cos 3 x 2 sin 2 x 1sin 3 x 3 cos 3 x sin 2x 2 2 3x 3 2x k2 x 3k2 2 k2 3x 3 2x k2 x 15 sin 2x Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm b) Ta có: cos 2 x cos 2 x (0.25) 7 cos x 3 sin 2 x 7 cos x S 3 k2; 3 sin 2 x k(0.5) 2 5 k2 k 15 5 7 sin x 8 3 sin x . (0.25) 8 0 (0.25) 2 cos 2 x 7 sin x 3 sin x sin x 6 4 02 sin 6 6 Ta có: sin x B1.X.T0 6 6 3 0 2 (0.25) 3(VN) 6 x6 2 x6 x k2 6k2 5 6 k2 4 x2 ; 2x2 ; 3 Câu 2: Câu 030. 7 sin x 1 1 Vì x ;0; 2 3 2 x 3 (0.25) ;2 . 19 3 Tìm số hạng chứa x (0.25) k2 . trong khai triển x 2x Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có k 9 1 9 1 9 k k C x 9 .x . k 0 2x 2x 9 1k 9 2k C 9 k 0 3 Hệ số của x ứng với 1 Vậy số hạng cần tìm 8 C93 x3. k . 2 9 2k 3 .x k 0.25 0.25 . 3 b) Gọi x là số câu học sinh đó trả lời đúng trong 25 câu còn lại. Số điểm học sinh đó đạt được là 5 0, 2x . 0.25 0.25 (0.25) Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí 5 Theo yêu cầu đề bài 6 0, 2 x 8 5 x 15, x . Như vậy, để điểm của học sinh đó lớn hơn 6 điểm nhưng không vượt quá 8 điểm thì học sinh đó phải trả lời đúng từ 6 đến 15 câu và làm sai các câu còn lại. Xác suất trả lời đúng 1 câu là 0,25; xác suất trả lời sai 1 câu là 0,75. Xác suất trong mỗi trường hợp là C25x 0.25 x . 0.75 25 x với x và 6 x 15 15 C25x 0.25 x . 0.75 Suy ra xác suất cần tính là 25 x 0, 622 . (0.25) (0.25) (0.25) x6 0,622 Câu 3: Ta có 2 x 0 2 x.4 4 x2 (0.25) x 4 x 0 (0.25) (0.25) (0.25) . x 1 Với x 0 ta có 0; 0; 4 không là cấp số nhân. Với x 1 ta có 1; 2; 4 là cấp số nhân có công bội q 2 . Vậy x 1. (0.5) Câu 4: a) Ta có T lim 16 n 1 16 n 1 4n 3n lim 1 16 4n 16 n1 3 n (0.5) 1 4 1 3n n 3 lim n1 16 4n n 8. n 3 16 4 (0.25) 16 b) Lời giải 3 Ta có lim x 2 x 2 2 x 1 7 x 1 lim x2 x 2 2 2 2 x 1 x 1 3 7x 1 x 1 2 3 lim x x 2 2 lim 2 7 x 1 I J . x 1 2 x 1x1 2 x 1 2 x 1 lim x 1 3 x 1 x2 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x và J lim 2 x 1 x 2 2 2 x 1 4 2 3 3 . x2 x 22 2 4 2 (0.25) 2x 1 4 23 7x 1 3 7x 1 2 7 . 7x 1 Do đó lim x 2 x 2 x 1 x 2 8 7x 1 x 1 7 2 (0.25) 2 lim x 2 2 x 2 4 x 1 x x 2 2 7 x 1 lim lim x1 x 2 2 lim x2 Tính I lim 3 3 7x 1 2 7x 1 I J 12 2 2 12 (0.25) 2 x 1 Câu 5: Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí a) Ta có : AB//CD nên (SB,CD)=(SB,AB) Do tam giác SAB vuông tại A theo gt nên SB,CD SBA SA a 3 Có : SB 2a sin 0 Suy ra: SB , CD 60 b) M M ( 0 . 2 5 ) ABCD MN SCD PQ P P // SAB AD,M P SBA 3 2 P // SAB AD,M P P (0.25) (0.25) P SAD PSBC MQ và NP và MN // PQ // AB (1) MQ // SA NP // SB Mà tam giác SAB vuông tại A nên SA ABMN MQ (2) Từ (1) và (2) suy ra thiết diện là hình thang vuông tại M và Q . MQ // SA MQ DM DQ MQ 1 SA và DQ 1 . (0.25) DA DS DS 3 3 PQ SQ PQ // CD PQ 2 AB , với AB SB 2 SA2 a SD 3 CD Khi đó S MNPQ 1 MQ. PQ MN 2 2AB 5 a2 3 1 SA S MNPQ . AB SMNPQ . 2 3 3 18 SA 6. a) 2 x x (0.25) (0.25) 2 11 4 x 8 x 17 y y y y 21 1 2 4 y 3 x 2 Điều kiện: y 0, 4 y 3 x 0 . 1 x y 4 x y 4 x 2 8x 17 y 2 x y 4 1 0 0x x 4 x2 y 4 1 2 y2 0 8x 17y 1 2 0 (0.25) x 4y x 4 y x y x 4. 2 8x 17y 2 y x 4 1 2 x 8x 17 y21 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí x 4 y (Vì: 1 2 x 4 x 2 8x 17 y 2 1 Thay y x 4 vào (2) ta được: 2x x 4 y2 1 y 0 x,y) (0.25) x 2 8x 17y2 1 x 25 1 2 x 16 x 4 2 x x 4 1 x 25 5 1 x 4 2 x 0y 4 1 x4 2 x 8 2 x 16 0 1 x 12 x 25 5 x 8 ( t/m) 1 0 2 x 16 x 12 3 . (0.25) 2 x 16 0 x 25 5 x 8 Do x 4 y 0 x 4 x 8 0 nên (3) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y0; 4 . Chú ý: Ta có thể giải (1) như sau: Xét hàm số f t t (0.25) x 4 1 t 1 x 4 1 y t y2 1 2 1 t 0, t. 2 2 f t t 1 t 1 Do đó f t đồng biến trên nên 1f x 4 f yx 4 y . 1 có 2 t Ta có u n 0, n* và 9u n 1 u n 4 4 18u n 1 2u n 9 1 2u n 1 3 8 8 1 2un 42 1 2u n 4 1 2un 1 2u n 1 3 1 2u n 1 v 1 Ta có 6. b) v 1v 3n n1 (0.75đ) 0,25 2, n* * , n là một cấp số nhân có công bội q 1 , số hạng đầu v1 1. dãy số vn 3 0,25 2 21 2u n 1 2u n 1 Đặt vn 1 2un 0,25 1 n1 vn 3 un 22 vn 1 2 1 Kết luận 1 1 2 43 2n 2 3 3 1 un 4 2n 2 2 3 lim un lim 1 1 2n 2 2 3 3 4 n1 3 . n1 3 . 2 n1 3 * 3 , n . Khi đó 0,25 Hết