Đề thi cuối kỳ 2014 - 2015 Ca 2 - Giải tích 1 - Cô Trần Ngọc Diễm - ĐHBK TPHCM

ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY HKI -2014-2015. Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Môn Thi: Giải tích 1 Khoa Khoa Học Ứng Dụng Ngày thi: 31/01/2015. Bộ môn Toán - Ứng dụng Thời gian: 90 phút CA 2 Hình thức thi: TỰ LUẬN. x2 − 2x + 1 Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = . x2 − 4 1 2 x3 + x 3 Câu 2: Tìm tất cả các giá trị m > 0 để tích phân I = R dx hội tụ. x2 + arctan xm 0 √ +∞ x Câu 3: Tính tích phân suy rộng sau: I = R dx. x3 + 1 0 Câu 4: Cho miền phẳng D : √ y ≥ 0, y ≤ 3x, x2 + y2 ≤ 4 . Tính thể tích vật thể được tạo ra khi D quay quanh trục Ox. Câu 5: Tìm nghiệm phương trình: xy0 − y(2y ln x − 1) = 0, thỏa điều kiện y(1) = 1. Câu 6: Tìm nghiệm của phương trình y00 + 2y0 + y = 2 cos x. (x0(t) = 7x(t) + 3y(t) − 2, Câu 7: Giải hệ phương trình : y0(t) = 3x(t) − y(t) + 8t. . Đề gồm 7 câu. Sinh viên không được sử dụng tài liệu. Chủ nhiệm bộ môn cuu duong than cong . com PGS.TS.Nguyễn Đình Huy Trang 1 CuuDuongThanCong.com 1 https://fb.com/tailieudientucntt

---

Đáp án CA 2 x2 − 2x + 1 1 ) y = . TXD: x 6= ±2. TCĐ: x = ±2, TCN: y = 1 x2 − 4 x2 − 5x + 4 y0 = 2 . Cực đại (1, 0), cực tiểu (4, 3 ). (x2 − 4)2) 4 x −∞ −2 1 2 4 +∞ f 0(x) + || + 0 − || − 0 + BBT: . f (x) 1 % +∞ || −∞ % 0 & −∞ || +∞ & 3 % 1 4 Vẽ ĐT 1 2 x3 + x 3 2 ) Tìm m > 0 để tp HT: I = R dx. x2 + arctan xm 0 Hàm f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2], Ta sẽ so sánh khi x → 0+ Lưu ý: Không nhận xét fdương thì trừ 0.25đ 2 x 3 1 α > 2 : f ∼ = . Suy ra Tp PK. x2 4 x 3 2 x 3 α = 2 : f ∼ . Suy ra Tp PK 2x2 2 x 3 1 2 5 α < 2 : f ∼ = . Suy ra tp HT khi và chỉ khi α − < 1 ↔ α < xα xα − 2 3 3 3 5 Vậy I hội tụ khi và chỉ khi 0 < α < 3 √ +∞ x √ +∞ 2t2dt 2 +∞ π 3 ) Tính I = R dx. Đặt t = x ⇒ I = R = arctan t3 = x3 + 1 t6 + 1 3 3 0 0 0 √ 4 ) Tính Vx, D : y ≥ 0, y ≤ 3x, x2 + y2 ≤ 4.  √ √  8π V R 1 x = π x 3
2 dx + R 2 4 − x2
2 dx = . 0 1 3 5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân xy0 − y(2y ln x − 1) = 0 thỏa điều kiện y(1) = 1. 1 ln x y0 + y = 2 y2. Đặt z = y−1 x x 1 ln x  ln x + 1  Ta được pt z0 − z = −2 =⇒ z = x 2 + C x x x cuu duong than cong . com 1 Thay điều kiện: C = −1. Vậy nghiệm y = 2 (ln x + 1) − x 6 ) Giải y00 + 2y0 + y = 2 cos x.. Nghiệm thuần nhất ytn = C1e−x + C2xe−xyr = A cos x + B sin x=⇒ A = 0, B = 1. Vậy y = C1e−x + C2xe−x + sin x. (x0(t) = 7x(t) + 3y(t) − 2, 7 ) Giải hệ phương trình vi phân y0(t) = 3x(t) − y(t) + 8t. Cách 1: Khử x, ta được pt y00 − 6y0 + 16y = −56t + 2 7 23 3 11 =⇒ y(t) = C1e−2t + C2e8t + t − . Suy ra x = −C1e−2t + C2e8t − t + . 2 16 2 6 Cách 2: Khử y, ta được pt x00 − 6x0 + 16x = 24t − 2Cách 3: Dùng TR - VTR  −1 3   −2 0  1 P = , D = , P −1 = P 3 1 0 8 10 Trang 2 CuuDuongThanCong.com 2 https://fb.com/tailieudientucntt

---

 X   x   X   C e−2t + 6 t − 1   x   X  = P −1 → = 1 5 5 2 → = P Y y Y C e8t y Y 2 − 1 t + 1 80 10 16 cuu duong than cong . com Trang 3 CuuDuongThanCong.com 3 https://fb.com/tailieudientucntt

---