Đề thi cuối kỳ 2014 - 2015 Ca 1 - Giải tích 1 - Cô Trần Ngọc Diễm - ĐHBK TPHCM

ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY HKI -2014-2015. Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Môn Thi: Giải tích 1 Khoa Khoa Học Ứng Dụng Ngày thi: 31/01/2015. Bộ môn Toán - Ứng dụng Thời gian: 90 phút CA 1 Hình thức thi: TỰ LUẬN. 2 Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = √ . x 4 − x2 √ +∞ 1 + x2 Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I = R dx. xm(1 + xm+1) 0 +∞ dx Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = R . (1 − e2x)ex ln 2 Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho miền D giới hạn bởi √ y = 2 − x, x = y, y = 0 quay quanh trục Oy. Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân y (xy0 − y) arctan = x x thỏa điều kiện y(1) = 0. Câu 6: Giải phương trình vi phân y00 − 3y0 + 2y = 2xe2x. Câu 7: Giải hệ phương trình vi phân (x0(t) = x(t) − y(t) + et, cuu duong than cong . com y0(t) = x(t) + 3y(t) − 3. Đề gồm 7 câu. Sinh viên không được sử dụng tài liệu. Chủ nhiệm bộ môn PGS.TS.Nguyễn Đình Huy Trang 1 CuuDuongThanCong.com 1 https://fb.com/tailieudientucntt

---

Đáp án CA 1 2 1 ) y = √ . TXD: (−2, 0) ∪ (0, 2). 3 TCĐ: x = 0, x = ±2. x 4 − x2 4x2 − 8 √ √ y0 = . Cực đại (− 2, −1), cực tiểu ( 2, 1). x2p(4 − x2)3 √ √ x −2 −2 0 2 +2 f 0(x) + 0 − || − 0 + BBT: . Vẽ ĐT. f (x) −∞ % −1 & −∞|| +∞ & 1 % +∞ √ +∞ 1 + x2 2 ) Tìm m > 0 để tp HT: I = R dx = R 1 + R +∞ = I1 + I2. Hàm f (x) > 0, ∀x > 0 xm(1 + xm+1) 0 1 0 1 x → 0+ : f ∼ . Suy ra I1 hội tụ khi và chỉ khi m < 1. xm1 1 x → +∞ : f ∼ . Suy ra I2 hội tụ khi và chỉ khi m > x2m 2 1 Vậy I hội tụ khi và chỉ khi < m < 1. 2 dx dt 3 ) Tính I = R +∞ . Đặt t = ex ⇒ I = R +∞ . ln 2 ex(1 − e2x) 2 (1 − t2)t2  1 1   1 t + 1 1  +∞ 1 1 I = R +∞ + dt = ln − I = − ln 3. 2 1 − t2 t2 2 t − 1 t 2 2 2 √ 4 ) Tính Vy, D : y = 2 − x, y = x, y = 0. √ 38π Cách 1: Vy = 2π R 1 x.xdx + 2π R 2 x 2 − xdx(1đ) = 0 1 15 38π Cách 2: Vy = π R 0 [(2 − y2)2 − y2]dy(1đ) = −1 15 y 5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy0 − y) arctan = x thỏa điều kiện y(1) = 0. x 1 y y y0 = y + . Đặt u = arctan x x x dx 1 arctan udu = =⇒ u arctan u − ln(1 + u2) = ln |x| + C. cuu duong than cong . com x 2 y y 1 y2 Thay điều kiện: C = 0. Vậy nghiệm arctan + ln(1 + ) = ln |x|. x x 2 x2 6 ) Giải y00 − 3y0 + 2y = 2xe2x. Nghiệm thuần nhất y0 = C1ex + C2e2xyr = x(Ax + B)e2x=⇒ A = 1, B = −2. Vậy y = C1ex + C2e2x + (x2 − 2x)e2x. (x0(t) = x(t) − y(t) + et, 7 ) Giải hệ phương trình vi phân y0(t) = x(t) + 3y(t) − 3. Cách 1: Khử x 3 y00 − 4y0 + 4y = et + 3 =⇒ y(t) = C1e2t + C2te2t + et + 4 3 Suy ra x = −C1e2t + C2(2t − 2)e2t − 2et + . 4 Cách 2: Khử y : x00 − 4x0 + 4x = −2et + 3 . Trang 2 CuuDuongThanCong.com 2 https://fb.com/tailieudientucntt

---