PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN

TRƯỜNGTHCS NGA THỦY

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2020- 2021

Môn thi: TOÁN 7

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1.(4,5 điểm) 1.Tính hợp lí giá trị các biểu thức sau:

A =

B =

2. Cho a + b + c = 2021 và = . Tính C =

Câu 2.(3,5 điểm) Tìm x biết:

a. (x +2)ⁿ⁺¹ = (x + 2)ⁿ⁺¹¹ với n là số tự nhiên

b.

Câu 3.(4 điểm)

a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3xy - 5 = x² + 2y

b) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn: a³ + b³ = 2(c³ - 8d³).

Chứng minh: a + b+ c+ d chia hết cho 3.

Câu 4.(6 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh:

a) FB = EC

b) EF = 2AM

c) AM EF

Câu 5.(2 điểm).Chứng tỏ rằng S = không là số tự nhiên với mọi n N

................................ Hết ....................................

Họ tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: .............

PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN

TRƯỜNGTHCS NGA THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi : Toán 7

1

(4,5đ)

1.a

(1,5)

A = = = 2

0,5đ

1đ

1.b

(1,5)

B= ==

1,5đ

2 (1,5)

Vì a + b + c = 2021 => a = 2021 - (b+c); b = 2021 -(a+c);

c = 2021-(a+b)

=> C = = 2021() - 3

= 2021. - 3 =

0,5đ

2

(3,5)

a

(1,5)

a. (x +2)ⁿ⁺¹ = (x + 2)ⁿ⁺¹¹ Suy ra: Từ đó tìm được x = -2; x= -1; x = -3

1,5đ

b

(2đ)

b.

Ta có ; Do đó để thì

Suy ra x = 2020

1đ

3

(4đ)

a

(2,0đ)

a. 3xy - 5 = x² + 2y

y(3x - 2) = x² + 5 (1)

Do x, y nguyên suy ra x² + 5 chia hết cho 3x - 2 9(x² + 5) chia hết cho 3x - 2

9x² -6x + 6x - 4 +49 chia hết cho 3x - 2

49 chia hết cho 3x - 2 3x - 2 x thay vào (1) được y . Vậy (x,y) = (1;6); (3;2); (17;6)

0.5

0,5

b

2,0

b) Ta có: a³ + b³ = 2(c³ - 8d³) a³ +b³ +c³ +d³ = 3c³ - 15d³

Mà 3c³ - 15d³ chia hết cho 3 nên a³ +b³ +c³ +d³ chia hết cho 3 (1)

Lại có a a³ (mod3)

b b³(mod3); c c³(mod3); d d³(mod3)

suy ra a + b+ c +d a³ + b³ +c³ + d³ (mod3) (2)

Từ (1) và (2) suy ra a +b +c + d chia hết cho 3

1đ

0,5

4

(6đ)

Vẽ hình chính xác và viết đúng GT,KL

0,5

a

(1,5đ)

∆ABF = ∆AEC (c-g-c) ⇒ FB = EC

1

0,5

b

(2đ)

Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho AK = 2AM . Ta có

∆ABM = ∆KCM (c-g-c) => CK//AB

=>∠ACK + ∠CAB = ∠EAF + ∠CAB = 180⁰

=>∠ACK = ∠EAF

Xét tam giác ∆EAF và ∆KCA có AE = AB = CK, ∠ACK = ∠EAF , AF = AC => ∆EAF = ∆KCA (c.g.c)

=> EF = AK = 2AM

0,5

c

(2,0đ)

Từ ∆EAF = ∆KCA =>∠CAK = ∠AFE

=>∠CAK + ∠FAK = ∠AEF + ∠FAK =90⁰

=> AK EF

1đ

5

(2đ)

S = =

= (n - 1) - ()

=> S < n - 1 (1)

< = 1- <1

=> S > n- 1 - 1 = n - 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra S không là số nguyên

0,5

Hỏi đáp

MÔN HỌC

Đề thi chọn HSG Toán 7 trường THCS Nga Thùy năm 2020-2021

Nội dung tài liệu

Các tài liệu liên quan

Có thể bạn quan tâm

Thông tin tài liệu