Đề thi chọn HSG môn toán học lớp 12 (5)

UBND NH NINHỈ ẮS GIÁO VÀ ĐÀO OỞ THI CH SINH GI NHỌ ỈNĂM 201Ọ 201 5MÔN THI: TOÁN 12 Dành cho sinh ChuyênọTh gian làm bài: 180 phútờ hông th gian giao )ể ềNgày thi tháng năm 201 5================Câu 1. ,0 đi mê Gi ph ng trình: ươ2(2 1) (6 2( ).11 6x xx yx yì- -ïÎí+ +ïî¡Câu 2. ,0 đi mê Cho ,x ylà các th th mãn đi ki ệ2 22 2x x- Tìm giá tr ớnh t, giá tr nh nh bi th ứ3( 12( 1)( 1)P xy= Câu 3. ,0 đi mê Trong ph ng Oxy, cho tam giác ABC Hình chi vuông góc ủB lên ng th ng ườ ẳAC là (3; 1)H- Trung đi nh ạBC là Đi ng ớH quaM là 1;1)K- ng th ng ườ ẳAM ng tròn ngo ti tam giác ườ ếABC iạ(1; 1)L-. Tìm các nh tam giác ủABC .Câu 4. ,0 đi mê )Tìm các hàm :f ®R Rsao cho ọ,x yÎR ta có 2( )) .f xf Câu 5. ,0 đi mê a) nguyên ng ươ3n³ xét ph ng trình nghi nguyên ng sau (các nươ ươ ẩ1 2, ,...,nx đôi khác nhau): ộ1 21 1... (*)nx x+ Ch ng mình ng ớ3;n n³ ÎZ thì ph ng trình (*) luôn có nghi m.ươ ệb) Ch ng minh ng: 2015 nguyên ng đôi khác nhau sao cho ươ ốđ là ng 2015 đó.ề ướ ốCâu 6. ,0 đi mê Xét ậ{1, 2, 3,..., 6n}T= là nguyên ng). Gi trong ươ ậT có 4n ốđ tô màu 2n còn tô màu xanh. Ch ng minh ng: 3n nguyên ng ượ ươliên ti trong ậT mà trong 3n đó có đúng 2n tô màu .ố ượ ỏ------------------------H t------------------------ếĐ CHÍNH TH CỀ Ứ( thi co 01 trangề )UBND NH NINHỈ ẮS GIÁO VÀ ĐÀO OỞ NG CH MƯỚ ẤĐ THI CH SINH GI NHỀ ỈNĂM 201Ọ 201 3MÔN THI TOÁN 12 THPTỚNgày thi tháng năm 201 3==============L gi cơ ươ Thangđi mêCâu1 4.0Đ/k: 0, 0, (*)x x+ £N ế0x y+ thì (1) suy ra 2, 2x =- thay vào (2) không th mãnỏ0, 2x xÞ <. Khi đó:()()2 26 26 1(1) (3)2 2x xx xx x- -- -Û =+ -Xét hàm ố26( )tf tt-= trên kho ng ả()0;+¥ Ta có:26'( (0; )f tt=- " +¥ )f tÞ ngh ch bi trên kho ng ả()0;+¥Do đó (3) 5x xÛ Th ế8 5y x= vào (2) ta c:ượ2 221 781 72 26 81 72 282 2x xx xx xé+ +êæ ö+ Ûêç ÷è øê+ =- -êëGi hai ph ng trình này c: ươ ượ5 21 17;2 2x x- -= +) ớ5 21 41 212 2x y- -= (th mãn (*))ỏ +) ớ7 17 51 172 2x y- += (th mãn (*))ỏV đã cho có hai nghi m: ệ5 21 41 21;2 2æ ö- -ç ÷è ,7 17 51 17;2 2æ ö- +ç ÷è ø.Câu2 4.0Ta có:2 22 22 22 22 2x xx x+ -- £. Do đó ra ng th c, là ứ22x y= và 22y x= Suy ra0, 0x và 22x =. ặ2 2( )12 2x tt xy+ += Ta có 22( 2t y£ khác ặ2 2( 2; 2t té ù= Îë ûKhi đó 23 2( 12( 12 12 12 12tP xy xy t= Hàm 23 2( 12 12tf liên trên ụ2; 2é ùë ()22'( 12 12 2; 22 12tf tt= " Î-( )f tÞđ ng bi trênồ ế2; 2é ùë û2 22 2min 14 12; max (2) 9f fé ùé ùë ûë ûÞ =14 12 9PÞ £. Khi 1x y= thì 9P= và khi 0, 2x y= thì 14 12P= -V ậmin 14 12; max 9. =Câu3 .0642-2-10-551015KHLB CAO MTa có BHCK là hình ch nh và giác ABLC là giác ti nên ta cóữ ếML.MA=MB.MC=MK.MH.M khác gi thi suy ra (1; 0) và MK=MH=ặ ế5 ML=1.Suy ra ML.MA=5 do đó MA=5. Suy ra 5MA ML® ®=- nên ta có A(1; 5).B là giao đi ng th ng qua song song AH và ng th ng qua ườ ườ ẳvuông góc AH nên ta tìm B(0; -2). Suy ra C(2; 2).ớ ượCâu4 .0Cho x=0 ta có 2( (0) ))f đây suy ra f(x) là toàn ánh trên R.ừDo đó sao cho f(c)=0. Cho x=c trong ph ng trình ta suy raồ ươ ầf(f(y)=y th y. y=0 ta suy ra f(f(0))=0=f(c) nên c=0.ớ ấThay f(x) trong PT ta có ầ2 22( )) )) ))( )) ))f yf xf y+ += +Do ánh nên ơ2 2( )x y+ do đó 2( )f x= Suy ra ớm th thì ta có f(x)=x ho f(x)=-x. ặGi hai th a, khác nhau sao cho ự0ab¹ và( )f b= =-.Trong PT gi thi x=a, y=b ta suy ra ấ2 2( )a b± .Đi này không th ra vì và khác 0.ề Do đó ta có ,f x= "ho ặ( ,f x=- " .Th ta th hai là nghi bài toán.ử ủCâu5 3.0a) n=3 thì 1/2+1/3+1/6=1.Gi (*) có nghi n=k, ta ch ng minh nó có nghi n=k+1.ả ớĐi này đúng vì ta có ng th ứ1 11 1)x x+ =+ Nh ta ếtheo th tăng và ch thay nh ng ng th trên.ứ ứb) Ch ch ọ20151iikkxax==Õ k=1,2,…,2015.ớV ớ1 2015 ,...,x là nghi (*) trong tr ng n=2015.ệ ườ ợCâu6 2.0Xét các ậA ={i,i+1,i+2,...,i+3n-1}i (i=1,2,…,3n+1). Ph ch ng: không có nào trong các trên có đúng 2n tô màu .ả ượ ỏG ai là các tô màu trong ượ Ai Khi đó ế1a <2n thì 2a<2n vì 1A và 2A ch khác nhau ph và ừ2a khác 2n.T ng ta cũng suy ra ươ ự3 5, ,a …, na+ cũng nh 2n.ỏ ơNh ậ1 1,na a+ nh 2n, các tô trong các pề ượ ậ1 1,nA A+ n. khác này là các phân bi t, suy ra ốcác tô trong nh 4n. Vô lý.ố ơT ng ươ ế12a n> thì ta cũng suy ra các tô trong ượ ơ4n. Mâu thu n.ẫDo đó, gi ph ch ng là sai. Hay ta có ĐPCM.ả ứ1. ng ch này ch trình bày cách gi i. Bài làm sinh ph ướ ượ ảchi ti t, lu ch ch tính toán chính xác tính đi đa.ế ượ ố2. các cách gi đúng nh ng khác đáp án, ch trao và th ng nh đi chi ểti nh ng không quá đi dành cho bài ho ph đó. phátế ượ ượ ềsinh trong quá trình ch ph trao trong ch và ch cho đi theo ượ ựth ng nh .ố ổ3. Đi toàn bài là ng đi các ph đã ch m, không làm tròn đi mể