Đề thi chọn HSG môn toán học lớp 11 (11)

GD ĐT NGH ANỞ ỆTR NG THPT CON CUÔNGƯỜĐ CHÍNH TH CỀ THI SINH GI TR NG KH 10Ề ƯỜ ỐNĂM 2017 2018ỌMôn TOÁN Th gian: 150 phút không th gian phát để Câu 1. (5,0 đi m)ể Cho ph ng trình hai ươ ậ25 0x m- (1) là a) Gi ph ng trình (1) khi 6.ả ươ b) Tìm ph ng trình (1) có hai nghi ng xể ươ ươ1 x2 tho mãn ả1 1x 6+ .Câu 2. (3,0 đi m) Gi ph ng trình: ươ2 24 21 (2 1) xy xy yx xy xì+ =ïí+ =ïî Câu 3. (5,0 đi m)ể a) Cho góc th mãn ỏtan 2a= Tính giá tr bi th ứ3 34 sin cossin cosPa aa a-=+ b) Cho tam giác ABC. D, là các ượ2 1BD BC; AE AC3 4= =uuur uuur uuur uuur Đi trên đo th ng AD sao cho đi B, K, th ng hàng. Tìm ADAK Câu 4. 5,0 đi m).ể Trong ph ng 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB 2BC, là trung đi AB, là đi thu đo AC sao cho AC 3EC, có ph ng trình ươ: 0CD y- 16;13Eæ öç ÷è a) Ch ng minh ng BE là phân giác trong góc B, Tìm đi là giao CD và BE. b) Tìm các nh A, B, C, bi có tung âm.ọ Câu 5. (2,0 đi m)ể Cho c,b,a là các th ng tho mãn ươ ả1cba Tìm giá tr nh nh bi th ứ2 21 1Pa abc= ++ .---- ----ếH tên thí sinh :........................................................................... báo danh :.....................................ọ ốH NG CH CHÍNH TH ƯỚ (H ng ch 04 trang)ướ ồCâuN dungộ Đi mể1. Ph ng trình ươ25 0x m- 5,0a)Gi ph ng trình (1) khi ươ 6m =1,5Khi 6m PT (1) có ng: ạ25 0x x- 0,5Ta có: '4 0D 0,5 PT (1) có nghi phân bi t: ệ1 2x và 23x= 0,5b)Tìm giá tr th mãnị 3,5L 25 4mậ Ph ng trình có nghi ươ ệ1 ,x khi hay 254 0,5Áp ng th Viet, ta có ứ1 25; m+ Hai nghi ệ1 ,x xd ng khi ươ1 21 2x 0x 0ì+ >ïïíï>ïî hay 0. 0,5Đi ki ph ng trình có nghi ng xề ươ ươ1 x2 là 254 (*) 0,5Ta có: ()21 2x .x m+ Suy ra 2x m+ +Ta có ()1 2x .x 6+ Hay 2m 5m 36 0+ (1) 0,5Đ ặt 0= khi đó (1) thành: 2t 5t 36 (t 2)(2t 9t 18) 0,5 ho 2tặ 9t 18 0V => => (tho mãn (*)).ớ 2tớ 9t 18 ph ng trình vô nghi m. ươ 0,5V thì ph ng trình đã cho có hai nghi ng xậ ươ ươ1 x2 tho mãnả1 1x 6+ =. 0,52. Gi ph ng trình: ươ2 24 21 (2 1) xy xy yx xy xì+ =ïí+ =ïî 3,0H ệ()2 222( 11x xy xyx xyì- =ïÛí- =ïî 1,0Đ ặ2a yb xyì= -í=î tr thành: ở211a ab ba b+ =ìí+ =î (*) 0,5H ệ3 22 22 2) 0(*)1 1a ab aì ì+ =ï ïÛ Ûí í= -ï ïî îT đó tìm ra ừ{}( (0; 1); (1; 0); 2; 3)a bÎ 0,5 (0; 1) ta có ệ2011x yx yxyì- =Û =í=î (1; 0) ta có ệ21( (0; 1); (1; 0); 1; 0)0x yx yxyì- =Û -í=î 0,5V ớ( 2; 3)a b= ta có hệ23 23 321; 332 1)( 3) 0y yx yx yx xxyx xì ì=- =-ì- =-ï ïÛ =- =í í=-îï ï+ =î î.K lu n: có nghi ệ{}( (1; 1); (0; 1); (1; 0); 1; 0); 1; 3)x yÎ 0,53. 5,0a) Cho góc th mãn ỏtan 2a= Tính giá tr bi th ứ3 34 sin cossin cosPa aa a-=+ 2,5()()2 23 34 sin cos sin cos4 sin cossin cos sin cosPa aa aa a- +-= =+ +1.0 33 34 sin sin cos sin cos cossin cosa aa a- -=+ 0,5 234 tan tan tan 1tan 2a aa- -=+ 0,54.8 4.2 78 2- -= =+ 0,5b) b) Cho tam giác ABC. D, là các ượ2 1BD BC; AE AC3 4= =uuur uuur uuur uuur Đi ểK trên đo th ng AD sao cho đi B, K, th ng hàng. Tìm ADAK 2,5Vì (1)4 4AE AC BE BC BA= +uuur uuur uuur uuur uuur 0,5Gi ử()1 (1)AK AD BK BD BA= -uuur uuur uuur uuur uuur 0,5Mà 2BD BC3=uuur uuur nên 2xAK x.AD BK BD (1 x)BA3= -uuur uuur uuur uuur uuur 0,5Do BC; BAuuur uuur không cùng ph ng nên ươm 2x 3m0 &1 04 4- 0.5T đó suy ra 8x m3 9= =. ậ1 ADAK AD 33 AK= =uuur uuur 0,54. Trong ph ng 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB 2BC, Dặ ạlà trung đi AB, là đi thu đo AC sao cho AC 3EC, có ph ngể ươtrình 0CD y- 16;13Eæ öç ÷è 5,0a) Ch ng minh ng BE là phân giác trong góc B, Tìm đi làứ ểgiao CD và BE.ủ 2,5ABCDEKTa có 2BA EAEBC EC= là chân ng phân giác trongườ0,5 Do BD BC 17 0BE CD BE yÞ 0,5I BE CD= đii là nghi ệ3 03 17 0x yx y- =ìí+ =î 0,5Gi ph ng trình ươ()5; 2IÞ 1,0b)Tìm các nh A, B, C, bi có tung âm.ọ 2,5Đ ặ50 5,3aBC AB AC CE= 0,5Do ·0452 2BC aCBE IB IC= (1)Tam giác EIC vuông ạ2 23 2aIE EC IC IEÞ (2) 0,5T (1) và (2) ừ3 (4; 5)IB IE BÞ =- Þuur uur 0,5G ọ(3 1; )C c- ừ212 03cBC cc=é= Ûê=ë 0,5V ớ1 (2;1), (12;1) (KTM)c A= ớ3 (8; 3), (0; 3) (TM)c A= -V ậ(0; 3), (4; 5), (8; 3)A C- 0,55. Cho c,b,a là các th ng tho mãn ươ ả1cba Tìm giá tr nh nh bi th ứ2 21 1Pa abc= ++ 2,0AB CDEIÁp ng BĐT AM- GM ta có ụ3222cba3cabcab3 311= abc abc3³ abc9abcabc3cabcab 33 0,5cabcab9cba1P2220,5 cabcab1cba1P222cabcab7cabcab1303cba7ca2bc2ab2cba922220,5V giá tr nh nh ủP là 30 khi ch ng ạ31cba 0,5