ĐỀ ÔN TẬP KÌ THI HSG TOÁN LỚP 6 ĐỀ 8

ĐỀ SỐ 8

Bµi 1( 8 ®iÓm )

1. T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau:

a) 57¹⁹⁹⁹ b) 93¹⁹⁹⁹

2. Cho A= 999993¹⁹⁹⁹ - 555557¹⁹⁹⁷

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 5.

3 . Cho ph©n sè ( a<b) cïng thªm m ®¬n vÞ vµo tö vµ mÉu th× ph©n sè míi lín h¬n hay bÐ h¬n ?

4. Cho sè cã 12 ch÷ sè . chøng minh r»ng nÕu thay c¸c dÊu * bëi c¸c ch­c sè kh¸c nhau trong ba ch÷ sè 1,2,3 mét c¸ch tuú ‎ th× sè ®ã lu«n chia hÕt cho 396.

5. chøng minh r»ng:

a)

b)

Bµi 2( 2 ®iÓm )

Trªn tia Ox x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm A vµ B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm)

a) TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AB, biÕt b< a

b) X¸c ®Þnh ®iÓm M trªn tia Ox sao cho OM = (a+b).

§¸p ¸n:

Bµi 1:

1. T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: ( 1 ®iÓm )

§Ó t×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè chØ cÇn xÐt ch÷ sè tËn cïng cña tõng sè :

a) 57¹⁹⁹⁹ ta xÐt 7¹⁹⁹⁹

Ta cã: 7¹⁹⁹⁹ = (7⁴)⁴⁹⁹.7³ = 2041⁴⁹⁹. 343 Suy ra ch÷ sè tËn cïng b»ng 3 ( 0,25 ®iÓm )

‏VËy sè 57¹⁹⁹⁹ cã ch÷ sè tËn cïng lµ : 3

b) 93¹⁹⁹⁹ ta xÐt 3¹⁹⁹⁹

Ta cã: 3¹⁹⁹⁹ = (3⁴)⁴⁹⁹. 3³ = 81⁴⁹⁹.27

Suy ra ch÷ sè tËn cïng b»ng 7 (0,25 ®iÓm )

2. Cho A = 999993¹⁹⁹⁹ - 555557¹⁹⁹⁷ . chøng minh r»ng A chia hÕt cho 5

§Ó chøng minh A chia hÕt cho 5 , ta xÐt ch÷ sè tËn cïng cña A b»ng viÖc xÐt ch÷ sè tËn cïng cña tõng sè h¹ng.

Theo c©u 1b ta cã: 999993¹⁹⁹⁹ cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7

T­¬ng tù c©u 1a ta cã: (7⁴)⁴⁹⁹.7 =2041⁴⁹⁹.7 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7 ( 0,25 ®iÓm )

VËy A cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0, do ®ã A chia hÕt cho 5. ( 0,25 ®iÓm )

3 (1 ®iÓm )Theo bµi to¸n cho a <b nªn am < bm ( nh©n c¶ hai vÕ víi m) ( 0,25 ®iÓm )

⇒ ab +am < ab+bm ( céng hai vÕ víi ab) ( 0,25 ®iÓm )

⇒ a(b+m) < b( a+m)

⇒

4.(1 ®iÓm )

Ta nhËn thÊy , vÞ trÝ cña c¸c ch÷ sè thay thÕ ba dÊu sao trong sè trªn ®Òu ë hµng ch½n vµ v× ba ch÷ sè ®ã ®«i mét kh¸c nhau, lÊy tõ tËp hîp nªn tæng cña chóng lu«n b»ng 1+2+3=6.

MÆt kh¸c 396 = 4.9.11 trong ®ã 4;9;11 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn ta cÇn chøng minh

A = chia hÕt cho 4 ; 9 vµ 11.

ThËt vËy :

+A 4 v× sè t¹o bëi hai ch÷ sè tËn cïng cña A lµ 16 chia hÕt cho 4 ( 0,25 ®iÓm )

+ A 9 v× tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 :

1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hÕt cho 9 ( 0,25 ®iÓm )

+ A 11 v× hiÖu sè gi÷a tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n vµ tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ lµ 0, chia hÕt cho 11.

{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 ®iÓm )

VËy A 396

5(4 ®iÓm )

a) (2 ®iÓm ) §Æt A= (0,25 ®iÓm )

⇒ 2A= (0,5 ®iÓm )

⇒ 2A+A =3A = 1- (0,75 ®iÓm )

⇒ 3A < 1 ⇒ A < (0,5 ®iÓm )

b) §Æt A= ⇒3A= 1-

(0,5 ®iÓm )

⇒ 4A = 1- ⇒ 4A< 1- (1) §Æt B= 1- ⇒ 3B= 2+ (0,5 ®iÓm )

4B = B+3B= 3- < 3 ⇒ B < (2)

Tõ (1)vµ (2) ⇒ 4A < B < ⇒ A < (0,5 ®iÓm )

Bµi 2 ( 2 ®iÓm )

a) (1 ®iÓm )V× OB <OA ( do b<a) nªn trªn tia Ox th× ®iÓm B n»m gi÷a ®iÓm O vµ ®iÓm A. Do ®ã: OB +OA= OA

Tõ ®ã suy ra: AB=a-b.

b)(1 ®iÓm )V× M n»m trªn tia Ox vµ OM =

= OB +

⇒ M chÝnh lµ ®iÓm thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AM = BM