Đề khảo sát môn Toán lớp 12 lần 1 năm 2020 – 2021 trường THPT Lê Lai – Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LAI

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN: TOÁN; KHỐI: 12 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm có 50 câu; 06 trang

1. Từ một nhóm gồm 14 học sinh có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh?

A. C₁₄². B. A₁₄². C. 7. D. C₁₄¹.C₁₃¹.

2. Cho cấp số cộng (u_n)có u₁ = 25 và u₃ = 11. Hãy tính u₂

A. 18. B. 16 C. 14 D. 12

3. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2; +∞). B. (1; +∞). C. ( − ∞; 3). D. ( − ∞; +∞).

4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. x = 2. B. x=−2. C. x = 0. D. x = 1.

5. Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f^′(x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

6. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 2}$là

A. x = 2. B. y = 1. C. $\mathbf{y =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$. D. y = 2.

7. Đồ thị hàm số nào sau đây có dạng như đường cong hình dưới đây

A. y=x³−3x² + 2. B. y=x³−3x²−1.

C. y=x⁴ − 3x² + 2. D. y=−x³ + 3x² + 2.

8. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x³ − 3x + 1 và trục hoành là

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

9. Với a là số thực dương tùy ý,  (a³) bằng

A. 3 a. B. 3 +  a. C. $\frac{3}{2}\operatorname{}a$. D. $\frac{2}{3}\operatorname{}a$.

10. Tính đạo hàm của hàm số y = e^x − ln x.

A. $y^{'} = e^{x} + \frac{1}{x}$. B. $y^{'} = e^{x} - \frac{1}{x}$. C. y^′ = xe^x. D. $y^{'} = \frac{e^{x}}{x}$.

11. Viết biểu thức (a>0) về dạng lũy thừa của alà.

A. $a^{\frac{5}{4}}$. B. $a^{\frac{1}{4}}$. C. $a^{\frac{3}{4}}$. D. $a^{\frac{1}{2}}$.

12. Phương trình $2^{3 - 4x} = \frac{1}{32}$ có nghiệm là

A. x =  − 3 B. x =  − 2 C. x = 2 D. x = 3

13. Phương trình  (3x − 2) = 3 có nghiệm là

A. $\frac{25}{3}$ B. $\frac{29}{3}$ C. $\frac{11}{3}$ D. 87

14. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 − cos x tương ứng là:

A. x²+sin x + C. B. 2−sin x + C. C. 2x−sin x + C. D. 2x−cos x + C.

15. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{x}{x - 2}$ trên khoảng (2;+∞) là

A. x + 2ln (x−2) + C. B. x − 2ln (x−2) + C.

C. $\mathbf{x -}\frac{\mathbf{2}}{\left( \mathbf{x - 1} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{+ C}$. D. $\mathbf{x +}\frac{\mathbf{2}}{\left( \mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{2} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{+ C}$.

16. Cho ∫₁²2f(x)dx = 2; ∫₂⁵f(x)dx = 3. Tính I = ∫₁⁵f(x)dx.

A. I = 4. B. I = 3. C. I = 6. D. I = 7.

17. Tính tích phân I = ∫₁^exln xdx.

A. $\mathbf{I =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$. B. $\mathbf{I =}\frac{\mathbf{e}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 2}}{\mathbf{2}}$. C. $\mathbf{I =}\frac{\mathbf{e}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 1}}{\mathbf{4}}$. D. $\mathbf{I =}\frac{\mathbf{e}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$.

18. Tìm phần ảo của số phức z = 19 − 20i?

A. 19. B. 20i. C. 20. D. −20.

19. Cho hai số phức z₁ = 4i − 5, z₂ = 7 − 3i. Phẩn thực của số phức z₁ − z₂ là

    A. −12. B. 7. C. 1. D. 2.

20. Cho số phức z = 2 − i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức $\overline{z}$ trên mặt phẳng tọa độ?

A. M(2;  − 1). B. N( − 1; 2). C. P(1; 2). D. Q(2; 1).

21. Thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 là

A. V = 8. B. V = 4. C. V = 2. D. V = 12.

22. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy Bvà chiều cao hlà

A. V = 3Bh. B. V = Bh. C. V = 2Bh. D. $\mathbf{V =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{B}\mathbf{h}$.

23. Cho khối nón có chiều cao bằng 6 và đường kính đường tròn đáy bằng 8. Thể tích của khối nón là

A. V = 160π. B. V = 32π. C. V = 128π. D. V = 384π.

24. Cho hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh là l, độ dài đường cao là hvà r là bán kính đáy. Công thức diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó là

A. S_xq = πrl. B. S_xq = πr²h. C. S_xq = πrh. D. S_xq = 2πrl.

25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a⃗ =  − i⃗ + 2j⃗ − 3k⃗. Tọa độ của vectơ a⃗ là

A. (−2;−1;−3). B. (−3;2;−1). C. (2;−3;−1). D. (−1;2;−3).

26. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 5)² + (y − 7)² + (z + 8)² = 25. Mặt cầu (S) có tọa độ tâm và bán kính lần lượt là

A. I(5; 7; 8), R = 5 B. I( − 5;  − 7; 8), R = 5

C. I (5; 7;  − 8),R = 5 D. I (5;  − 7;  − 8), R = 25

27. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − 6y + 4z − 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

A. $\overrightarrow{\mathbf{n}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\left( \mathbf{1; - 3;2} \right)$. B. $\overrightarrow{\mathbf{n}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2;6;4} \right)$. C. $\overrightarrow{\mathbf{n}_{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2; - 6; - 5} \right)$. D. $\overrightarrow{\mathbf{n}_{\mathbf{4}}}\mathbf{=}\left( \mathbf{-}\mathbf{6;4;}\mathbf{-}\mathbf{5} \right)$.

28. Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua hai điểm M(−2;1;2), N(3;−1;0) có vectơ chỉ phương là

A. u⃗ = (1;0;2). B. u⃗ = (5;−2;−2). C. u⃗ = (−1;0;2). D. u⃗ = (5;0;2).

29. Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt bằng

A. $\frac{135}{988}$. B. $\frac{3}{247}$. C. $\frac{244}{247}$. D. $\frac{15}{26}$.

30. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ℝ?

A. y =  − x³ − 2x. B. $y = \frac{x - 2}{x - 1}$. C. y = x⁴ + 3x². D. y = x³ + 3x².

31. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x⁴ − 10x² + 2 trên đoạn [−1;2]bằng

A. 2. B.  − 23. C.  − 22. D. −7.

32. Nghiệm của bất phương trình:  (2x−3) >  − 1

A. x < 4. B. $\mathbf{x >}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}$. C. $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{< x < 4}$. D. x > 4.

33. Cho ∫₁²[4f(x)−2x]dx = 1. Khi đó ∫₁²f(x)dx bằng

A. 1. B.  − 3. C. 3. D.  − 1.

34. Cho hai số phức z₁ = 4 + 2ivà z₂ =  − 1 − 3i. Phần thực của số phức $z_{1}.\overline{z_{2}}$ là

A.  − 10. B. 10. C. 2. D. −14.

35. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC),$SA = a\sqrt{2}$, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

A. 30^∘. B. 45^∘. C. 60^∘. D. 90^∘.

36. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ΔABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = 2a. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) bằng

A. a B. 2a C. $\frac{\sqrt{3}a}{3}$ D. $\frac{\sqrt{3}a}{2}$

37. Trong không gian , phương trình mặt cầu tâm I(−2;0;0) và đi qua M(0;2;0) là:

A. (x − 2)²+y²+z² = 8. B. $\left( \mathbf{x + 2} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{y}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{z}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 2}\sqrt{\mathbf{2}}$.

C. (x + 2)²+(y − 2)²+z² = 4. D. (x + 2)²+y²+z² = 8.

38. Trong không gian Oxyz, cho điểm hai điểm M(1;0;1) và N(3;2;−1). Đường thẳng MN có phương trình tham số là

A. $\left\{ \begin{matrix} \mathbf{\& x = 1 + 2t} \\ \mathbf{\& y = 2t} \\ \mathbf{\& z = 1 + t} \\ \end{matrix} \right.\ $. B. $\left\{ \begin{matrix} \mathbf{\& x = 1 + t} \\ \mathbf{\& y = t} \\ \mathbf{\& z = 1 + t} \\ \end{matrix} \right.\ $. C. $\left\{ \begin{matrix} \mathbf{\& x = 1 - t} \\ \mathbf{\& y = t} \\ \mathbf{\& z = 1 + t} \\ \end{matrix} \right.\ $. D. $\left\{ \begin{matrix} \mathbf{\& x = 1 + t} \\ \mathbf{\& y = t} \\ \mathbf{\& z = 1}\mathbf{-}\mathbf{t} \\ \end{matrix} \right.\ $.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Biết f(−4) = f(4) =  − 7. Giá trị lớn nhất của hàm số y = |f(x)+5| trên đoạn [−4;4] đạt được tại điểm nào?

A. x =  − 4. B. x =  − 1. C. x = 2. D. x = 4.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (a;b) thỏa mãn  b + 6 a = 5 và 2 ≤ a; b ≤ 2005.

A. 54. B. 43. C. 53. D. 44.

41. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} \& 2x^{3} - \text{xk}h\text{ix} \geq 1 \\ \& - 3x + 4kh\text{ix} \leq 1 \\ \end{matrix} \right.\ $.

Biết tích phân $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{\operatorname{}x}dx +}\int_{0}^{\sqrt{e - 1}}{\frac{\text{xf}\left( \ln\left( x^{2} + 1 \right) \right)}{x^{2} + 1}dx = \frac{a}{b}}$ với a, b ∈ ℕ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức P = a + b.

A. P = 77. B. P = 33. C. P = 66. D. P = 99.

42. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 10 và $w = \left( 6 + 8i \right)\overline{z} + \left( 1 - 2i \right)^{2}.$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là

A. I(−3;−4). B. I(3;4). C. I(1;−2). D. I(6;8).

43. Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, $\widehat{\text{ACB}} = 60{^\circ}$ cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45^∘. Thể tích của khối chóp S.ABC là

A. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$ B. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}$ C. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{9}$ D. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

44. Một cuộn túi nilon PE gồm nhiều túi nilon như hình vẽ có lõi rỗng là một hình trụ bán kính đáy của phần lõi là r = 1, 5cm, bán kính đáy của cuộn nilon là R = 3cm. Biết chiều dày mỗi lớp nilon là 0, 05mm, chiều dài của mỗi túi nilon là 25cm. Số lượng túi nilon trong cuộn gần bằng

A. 512. B. 286. C. 1700. D. 169.

45. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ và mặt phẳng (P) : x + y − 2z + 6 = 0. Biết ∆ cắt mặt phẳng (P) tại A, M thuộc ∆ sao cho $AM = 2\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

A. $\sqrt{2}$. B. 2. C. $\sqrt{3}$. D. 3.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f^′(x) xác định trên ℝ. Đồ thị hàm số y = f^′(x) như hình vẽ dưới đây:

Hỏi hàm số y = f(x²) có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại.

C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

47. Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn  a +  c ≥ 2 b. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a + b + c + \frac{1}{3}b^{3} - 2b^{2} + 2$ bằng

A. $\sqrt{\mathbf{3}}$. B. 2. C. 1. D. 3.

Cho parabol (P₁) : y =  − x² + 4 cắt trục hoành tại hai điểm A, B và đường thẳng d : y = a (0<a<4). Xét parabol (P₂) đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng y = a. Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P₁) và d. S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P₂) và trục hoành. Biết S₁ = S₂ (tham khảo hình vẽ bên).

Tính T = a³ − 8a² + 48a.

A. T = 99. B. T = 64. C. T = 32. D. T = 72.

49. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z - 1 \right| = \sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z+i| + |z−2−i| bằng

A. $8\sqrt{2}$. B. 4. C. $4\sqrt{2}$. D. 8.

50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S₁):(x + 4)²+y²+z² = 16, (S₂):(x + 4)²+y²+z² = 36 và điểm A(4; 0; 0). Đường thẳng Δ di động nhưng luôn tiếp xúc với (S₁), đồng thời cắt (S₂) tại hai điểm B, C. Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

A. $24\sqrt{5}$. B. 48. C. 72. D. $28\sqrt{5}$.

--------------------Hết----------------

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A	2.A	3.A	4.A	5.C	6.D	7.A	8.A	9.C	10.B
11.C	12.C	13.B	14.C	15.A	16.A	17.C	18.D	19.A	20.D
21.B	22.B	23.B	24.D	25.D	26.C	27.A	28.B	29.C	30.A
31.C	32.C	32.A	34.A	35.B	36.D	37.D	38.D	39.C	40.A
41.A	42.A	43.B	44.D	45.B	46.B	47.B	48.B	49.B	50.A

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 39. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Biết f(−4) = f(4) =  − 7. Giá trị lớn nhất của hàm số y = |f(x)+5| trên đoạn [−4;4] đạt được tại điểm nào?

A. x =  − 4. B. x =  − 1. C. x = 2. D. x = 4.

Lời giải

Chọn C

Xét g(x) = f(x) + 5 ⇒ g′(x) = f′(x).

g′(x) = 0 ⇔ x =  − 4 ∨ x =  − 1 ∨ x = 2 ∨ x = 4.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy y = |f(x)+5| đạt GTLN tại x = 2.

Câu 40. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (a;b) thỏa mãn  b + 6 a = 5 và 2 ≤ a; b ≤ 2005.

A. 54. B. 43. C. 53. D. 44.

Lời giải

Chọn A

$$\operatorname{}b + 6\operatorname{}a = 5 \Leftrightarrow \operatorname{}b + 6\frac{1}{\operatorname{}b} = 5 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \&\operatorname{}a = 2 \\ \&\operatorname{}a = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \& b = a^{2} \\ \& b = a^{3} \\ \end{matrix} \right.\ $$

TH1: b = a²và 2 ≤ b ≤ 2005 nên $2 \leq a^{2} \leq 2005 \Leftrightarrow \sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2005}$

Vì a; b ∈ ℕ* nên a ∈ {2,3,4,5,...,44}. Do đó có 43 cặp số (a;b).

TH2: b = a³và 2 ≤ b ≤ 2005 nên $2 \leq a^{3} \leq 2005 \Leftrightarrow \sqrt[3]{2} \leq a \leq \sqrt[3]{2005}$

Vì a; b ∈ ℕ* nên a ∈ {2,3,4,5,...,12}. Do đó có 11 cặp số (a;b).

Vậy có 54 cặp số (a;b) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 41. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} \& 2x^{3} - \text{xk}h\text{ix} \geq 1 \\ \& - 3x + 4kh\text{ix} \leq 1 \\ \end{matrix} \right.\ $.

Biết tích phân $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{\operatorname{}x}dx +}\int_{0}^{\sqrt{e - 1}}{\frac{\text{xf}\left( \ln\left( x^{2} + 1 \right) \right)}{x^{2} + 1}dx = \frac{a}{b}}$ với a, b ∈ ℕ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức P = a + b.

A. P = 21. B. P = 33. C. P = 45. D. P = 77.

Lời giải

Chọn A

Ta có $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{\text{co}s^{2}x}dx +}\int_{0}^{\sqrt{e - 1}}{\frac{\text{xf}\left( \ln\left( x^{2} + 1 \right) \right)}{x^{2} + 1}d\mathrm{x = J + K}}$.

+)$J = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{\text{co}s^{2}x}dx}$. Đặt $t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{\text{co}s^{2}x}\text{dx}$. Đổi cận $x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \sqrt{3};x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 1$.

Suy ra $J = \int_{1}^{\sqrt{3}}{f\left( t \right)\text{dt}} = \int_{1}^{\sqrt{3}}{f\left( x \right)\text{dx}} = {\int_{1}^{\sqrt{3}}{\left( 2x^{3} - x \right)dx = \left. \ \left( \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{2}}{2} \right) \right|}}_{1}^{\sqrt{3}} = 3$.

+) $K = \int_{0}^{\sqrt{e - 1}}{\frac{\text{xf}\left( \ln\left( x^{2} + 1 \right) \right)}{x^{2} + 1}\text{dx}}$. Đặt $t = \ln\left( x^{2} + 1 \right) \Rightarrow dt = \frac{2x}{x^{2} + 1}\text{dx} \Rightarrow \frac{x}{x^{2} + 1}dx = \frac{\text{dt}}{2}$

Đổi cận $x = \sqrt{e - 1} \Rightarrow t = 1;x = 0 \Rightarrow t = 0$.

Suy ra $K = \int_{0}^{1}{f\left( t \right)\frac{\text{dt}}{2} = \int_{0}^{1}{f\left( x \right)\frac{\text{dx}}{2}}} = \int_{0}^{1}{\frac{- 3x + 4}{2}\text{dx}} = \left. \ \left( - \frac{3}{4}x^{2} + 2x \right) \right|_{0}^{1} = \frac{5}{4}$

Vậy $I = J + K = 3 + \frac{5}{4} = \frac{17}{4}$. Do đó $\left\{ \begin{matrix} \& a = 17 \\ \& b = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow P = a + b = 21$

Câu 42. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 10 và $w = \left( 6 + 8i \right)\overline{z} + \left( 1 - 2i \right)^{2}.$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là

A. I(−3;−4). B. I(3;4). C. I(1;−2). D. I(6;8).

Lời giải

Chọn A

Ta có

$$w = \left( 6 + 8i \right)\overline{z} + \left( 1 - 2i \right)^{2}$$

$$\Leftrightarrow w - \left( - 3 - 4i \right) = \left( 6 + 8i \right)\overline{z}$$

$$\Leftrightarrow \left| w - \left( - 3 - 4i \right) \right| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}\left| \overline{z} \right|$$

 ⇔ |w−(−3−4i)| = 10.10 ⇔ |w−(−3−4i)| = 100

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức wlà đường tròn (C) có tâm I(−3;−4).

Câu 43. Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, $\widehat{\text{ACB}} = 60{^\circ}$ cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45^∘. Thể tích của khối chóp S.ABC là

A. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$ B. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}$ C. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{9}$ D. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

Lời giải

Chọn B

Ta có ΔABC vuông tại B nên $BC = AB.\cot\widehat{\text{ACB}} = a.\cot 60{^\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$$\Rightarrow S_{\Delta\text{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}\text{a.}\frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{6}$$

Ta có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên $\left( \text{ABC} \right) \Rightarrow \left( \widehat{SB,\left( \text{ABC} \right)} \right) = \left( \widehat{SB,AB} \right) = \widehat{\text{SBA}} = 45{^\circ}$

ΔSAB vuông tại A nên$SA = AB.\tan\widehat{\text{SBA}} = AB.\tan 45{^\circ} = a$.

Vậy $V_{\text{S.ABC}} = \frac{1}{3}S_{\text{ABC}}.SA = \frac{1}{3}\frac{a^{2}.\sqrt{3}}{6}.a = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}$

Câu 44. Một cuộn túi nilon PE gồm nhiều túi nilon như hình vẽ có lõi rỗng là một hình trụ bán kính đáy của phần lõi là r = 1, 5cm, bán kính đáy của cuộn nilon là R = 3cm. Biết chiều dày mỗi lớp nilon là 0, 05mm, chiều dài của mỗi túi nilon là 25cm. Số lượng túi nilon trong cuộn gần bằng

A. 512. B. 286. C. 1700. D. 169.

Lời giải

Chọn D

Giả sử chiều cao của hình trụ lõi là h.

Cách 1

Gọi số lượng túi nilon là x, (x>0).

Thể tích của phần nilon là 25.x.h.0, 05.10^− 1 = 0, 125hx(cm³).

Mặt khác thể tích phần nilon là (πR²−πr²).h = π.(3²−1,5²).h ≈ 21, 2h(cm³).

Do đó: 0, 125hx ≈ 21, 2h ⇔ x ≈ 169.

Cách 2

Coi mỗi lớp nilon là một hình trụ.

Số lớp nilon là $\frac{R - r}{0,05.10^{- 2}} = \frac{3 - 1,5}{0,05.10^{- 2}} = 300$

Khi trải cuộn nilon ta được một tấm nilon hình chữ nhật có chiều dài bằng $\sum_{k = 0}^{299}{2\pi\left( r + k.0,005 \right)} = 2\pi\left( 300r + \frac{299.300}{2}.0,005 \right) = 2\pi\left( 300.1,5 + \frac{299.300}{2}0,005 \right) \approx 4236,44.$

Do đó số túi nilon bằng $\frac{4236,44}{25} \approx 169.$

Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ và mặt phẳng (P) : x + y − 2z + 6 = 0. Biết ∆ cắt mặt phẳng (P) tại A, M thuộc ∆ sao cho $AM = 2\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

A. $\sqrt{2}$. B. 2. C. $\sqrt{3}$. D. 3.

Lời giải

Chọn B

Đường thẳng $\Delta:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4}$ có vectơ chỉ phương u⃗ = (1;1;4).

Mặt phẳng (P) : x + y − 2z + 6 = 0 có vectơ chỉ phương n⃗ = (1;1;−2).

$$\sin\left( \Delta,\left( P \right) \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \sin\varphi$$

Suy ra $d\left( M,\Delta \right) = MH = MA.\sin\varphi = 2\sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{3}} = 2$.

Câu 46. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f^′(x) xác định trên ℝ. Đồ thị hàm số y = f^′(x) như hình vẽ dưới đây:

Hỏi hàm số y = f(x²) có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại.

C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị hàm số y = f^′(x), ta thấy:

$f^{'}(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \& x = 0 \\ \& x = 1 \\ \& x = 3 \\ \end{matrix} \right.\ $,

f^′(x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞;0) ∪ (3;+∞)

f^′(x) < 0 ⇔ x ∈ (0;1) ∪ (1;3).

Ta có y^′ = (f(x²))^′ = 2x.f^′(x²)

$$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \& x = 0 \\ \& f^{'}(x^{2}) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \& x = 0 \\ \& x = \pm 1 \\ \& x = \pm \sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$f^{'}(x^{2}) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \& x^{2} < 0 \\ \& x^{2} > 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \in \left( - \infty;\sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3}; + \infty \right)$$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số y = f(x²) có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

Câu 47. Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn  a +  c ≥ 2 b. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a + b + c + \frac{1}{3}b^{3} - 2b^{2} + 2$ bằng

A. $\sqrt{\mathbf{3}}$. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải

Từ giả thiết  a +  c ≥ 2 b ⇔  (ac) ≥  b² ⇔ ac ≥ b².

Ta có: $P = \left( a + c \right) + b + \frac{1}{3}b^{3} - 2b^{2} + 2 \geq 2\sqrt{\text{ac}} + b + \frac{1}{3}b^{3} - 2b^{2} + 2$.

$\geq 2b + b + \frac{1}{3}b^{3} - 2b^{2} + 2 = \frac{1}{3}b^{3} - 2b^{2} + 3b + 2$.

Xét hàm số: $f(b) = \frac{1}{3}b^{3} - 2b^{2} + 3b + 2$ với b > 0.

Có $f'(b) = b^{2} - 4b + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \& b = 1 \\ \& b = 3 \\ \end{matrix} \right.\ $.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta được: .

 ⇒ P ≥ 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 đạt được khi b = 3 và a = c = 3.

Câu 48. Cho parabol (P₁) : y =  − x² + 4 cắt trục hoành tại hai điểm A, B và đường thẳng d : y = a (0<a<4). Xét parabol (P₂) đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng y = a. Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P₁) và d. S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P₂) và trục hoành. Biết S₁ = S₂ (tham khảo hình vẽ bên).

Tính T = a³ − 8a² + 48a.

A. T = 99. B. T = 64. C. T = 32. D. T = 72.

Lời giải

Chọn B

- Gọi A, B là các giao điểm của (P₁) và trục Ox ⇒ A(−2;0), B(2;0) ⇒ AB = 4.

- Gọi M, N là giao điểm của (P₁) và đường thẳng $d \Rightarrow M\left( - \sqrt{4 - a};a \right)$, $N\left( \sqrt{4 - a};a \right)$ $\Rightarrow MN = 2\sqrt{4 - a}$.

- Nhận thấy: (P₂) là parabol có phương trình $y = - \frac{a}{4}x^{2} + a$.

- Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta được:

$S_{1} = 2\int_{a}^{4}{\sqrt{4 - y}.dy} = - \frac{4}{3}\left. \ \left( \left( 4 - y \right)^{\frac{3}{2}} \right) \right|_{a}^{4} = \frac{4}{3}\left( 4 - a \right)\sqrt{4 - a}$.

$S_{2} = 2\int_{0}^{2}{\left( - \frac{a}{4}x^{2} + a \right).dx} = 2\left. \ \left( - \frac{ax^{3}}{12} + ax \right) \right|_{0}^{2} = \frac{8a}{3}$.

- Theo giả thiết: $S_{1} = S_{2} \Rightarrow \frac{4}{3}\left( 4 - a \right)\sqrt{4 - a} = \frac{8a}{3} \Leftrightarrow \left( 4 - a \right)^{3} = 4a^{2} \Leftrightarrow a^{3} - 8a^{2} + 48a = 64$.

Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z - 1 \right| = \sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z+i| + |z−2−i| bằng

A. $8\sqrt{2}$. B. 4. C. $4\sqrt{2}$. D. 8.

Lời giải

Chọn B.

Đặt z = x + yi(x,y∈ℝ), ta có

$$\left| z - 1 \right| = \sqrt{2} \Leftrightarrow \left| x - 1 + yi \right| = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{\left( x - 1 \right)^{2} + y^{2}} = \sqrt{2}$$

 ⇔ (x−1)² + y² = 2 ⇔ x² + y² = 2x + 1 (*).

Lại có

T = |z+i| + |z−2−i| = |x+(y+1)i| + |x−2+(y−1)i|

$$= \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2y + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4x - 2y + 5}$$

Kết hợp với (*) ta được

$$T = \sqrt{2x + 2y + 2} + \sqrt{6 - 2x - 2y} = \sqrt{2\left( x + y \right) + 2} + \sqrt{6 - 2\left( x + y \right)}$$

Đặt T = x + y, khi đó $T = f\left( t \right) = \sqrt{2t + 2} + \sqrt{6 - 2t}$ với t ∈ [−1;3].

Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có $f'\left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{2t + 2}} - \frac{1}{\sqrt{6 - 2t}};\ f^{'}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Mà $f\left( 1 \right) = 4,f\left( - 1 \right) = 2\sqrt{2},f\left( 3 \right) = 2\sqrt{2}$. Vậy max f(t) = f(1) = 4.

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

$T = \sqrt{2t + 2} + \sqrt{6 - 2t} \leq \sqrt{\left( 1 + 1 \right).8} = 4$.

Đẳng thức xảy ra khi t = 1.

Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S₁):(x + 4)²+y²+z² = 16, (S₂):(x + 4)²+y²+z² = 36 và điểm A(4; 0; 0). Đường thẳng Δ di động nhưng luôn tiếp xúc với (S₁), đồng thời cắt (S₂) tại hai điểm B, C. Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

A. $24\sqrt{5}$. B. 48. C. 72. D. $28\sqrt{5}$.

Lời giải

Chọn A.

(S₁), (S₂) có cùng tâm I(−4;0;0) và lần lượt có bán kính là r₁ = 4, r₂ = 6.

Gọi T là hình chiếu của I trên d, ta được $TB = \sqrt{IB^{2} - IT^{2}} = 2\sqrt{5}$, tức $BC = 4\sqrt{5}$.

Gọi (P) là tiếp diện của (S₁) tại T, khi đó Δ qua T và nằm trong (P).

Gọi H là hình chiếu của A trên d, ta có AH ≤ AT, dấu bằng xảy ra khi d⊥AT.

Gọi M, N là các giao điểm của đường thẳng AI và (S₁) với AM < AN. Dễ thấy AN = 12 và đây cũng chính là độ dài lớn nhất của AT.

Lúc này ta có AH ≤ AN = 12, bằng xảy ra khi d⊥AN.

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là $24\sqrt{5}$.