Đề cương ôn thi môn toán học lớp 12

WWW.ToanCapBa.NetCHUYÊN PH CỀ ỨA. CHU KI TH CẨ ỨI. NG PH .Ạ Ứ1. ph cộ là bi th có ng bi trong đó a, là các th và thoảmãn -1. Ký hi ph đó là và vi bi .i gượ là oơ ảa là ph th c. Ký hi Re(z) ượ ệb là ph ph ượ bi ký hi Im(z) bệT các ph ký hi là C.ậ ệ*) ý: ư- Mỗ th ng xem nh là ph ph 0.ố ươ ượ ả- ph bi có là thu hay là o.ượ ả- là th là o.ố ả2. Hai ph ng nhau.ố ằCho bi và z’ a’ b’i.z z’ ''a ab b=ìí=î3. Bi di hình ph c.ể ứM ph bi di đi M(a;b) trên ph ng to Oxy.ỗ ượ ộNg i, đi M(a;b) bi di ph là ượ bi .4. Phép ng và phép tr các ph c.ộ ứCho hai ph bi và z’ a’ b’i Ta nh nghĩa:ị ' ') ')' ') ')z iz i+ +ìí- -î5. Phép nhân ph c.ố ứCho hai ph bi và z’ a’ b’i Ta nh nghĩa:ị ' ' ' ' ' )zz aa bb ab i= -6. ph liên p. ợCho ph bi ph ứz bi là ph liên ph trên.ọ ứV ậz bi bi Chú ý: 0) và là hai ph liên nhau.ọ 0) z.z 2*) Tính ch ph liên p:ấ ợ(1): =(2): ' 'z z+ +(3): ' 'z [email protected] Page 1WWW.ToanCapBa.NetWWW.ToanCapBa.NetCHUYÊN PH CỀ Ứ(4): z.z 2a b+ (z bi 7. Môđun ph c.ủ ứCho ph bi Ta ký hi là môđun ph z, đó là th không âmủ ựđ xác nh nh sau:ượ ư- M(a;b) bi di phc bi thì OMuuuuuv=2 2a b+- bi, thì .z =2 2a b+8. Phép chia ph khác 0.ố ứCho ph bi (t là aứ 2+b )Ta nh nghĩa ngh ch zị -1 ph là sủ ốz -1= 22 21 1z za bz=+Th ng ươ 'zz phép chia ph z’ cho ph xác nh nh sau:ủ ượ ư12' '..z zz zzz-= =V các phép tính ng, tr nhân chia ph nói trên nó cũng có tính ch tớ ấgiao hoán, phân ph i, nh các phép ng, tr nhân, chia th thông th ng.ố ườII. NG NG GIÁC PH CẠ ƯỢ .1. Cho ph cố 0. là đi trong ph ng ph bi di ph z. đoọ ố(radian) góc ng giác tia là Ox, tia cu OM là acgumen z.ủ ượ ượ ủNh là acgumen z, thì acgumen có ng:ộ ạ 2k Z.2. ng ng giác ph c.ạ ượ ứXét ph bi (a, R) là môđun và là acgumen z.ộ ủTa có: rcos rsin r(cos +isin trong đó 0, là ng ng giác ph ượ ượ 0.z bi (a, R) là ng z.ọ ủ3. Nhân và chia ph ng ng giác.ố ướ ượN r(cos +isin z' r’(cos +isin ’) (r 0, r’ 0) thì: z.z’ r.r[cos( ’) +isin( ’)][]' 'os( ' sin( ' )z rcz rj j= khi 0.4. Công th Moivre.ứ[email protected] Page 2WWW.ToanCapBa.NetWWW.ToanCapBa.NetCHUYÊN PH CỀ Ứ[ r(cos +isin n( cos +isin 5. Căn hai ph ng ng giác.ậ ướ ượCho ph r(cos +isin (r>0)Khi đó có hai căn hai là: ậos isin2 2r cj jæ ö+ç ÷è và -os isin2 2r cj jæ ö+ç ÷è os isin2 2r cj jp pæ öæ ö+ +ç ÷ç ÷è øè øB. NG TOÁN N.Ộ ẢV 1: NG PH CẤ ỨDạng 1: Các phép tính về số phức.Ph ng pháp gi i: ươ ảS ng các công th ng tr nhân, chia và lu th ph c.ử ứChú cho HS: Trong khi tính toán ph ta cũng có th ng các ng ngề ẳth đáng nh nh trong th c. Ch ng bình ph ng ng ho hi u, ph ngứ ươ ươc ng ho hi ph c…ủ ứVí 1:ụ Cho ph ứ3 12 2i- Tính các ph sau: ứz 2; (z 3; Gi i:ảa) Vì 12 2i- 12 2i+b) Ta có 23 12 2iæ ö-ç ÷ç ÷è =23 34 2i i+ =1 32 2i- (z 223 32 iæ ö+ +ç ÷ç ÷è ø(z =(z 32 4i iæ öæ ö+ =ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øè øTa có: 312 2i i+ ++ -Nh xét:ậ Trong bài toán này, tính ể() 3zta có th ng ng ng th nh trong sể ốth c.ựVí Tìm ph liên aố 1(1 )(3 )3z ii= ++ [email protected] Page 3WWW.ToanCapBa.NetWWW.ToanCapBa.NetCHUYÊN PH CỀ ỨGi i:ả Ta có 35 5(3 )(3 10i iz ii i- -= ++ Suy ra ph liên là: ủ53 910 10z i= -Ví 3:ụ Tìm mô đun ph ứ(1 )(2 )1 2i izi+ -=+ Gi i: Ta có 115 5iz i+= +V y, mô đun ng: ằ21 2615 5zæ ö= =ç ÷è øVí 4:ụ Tìm các th x, tho mãn: 3x 5xi 2y +(x y)iGi i:ả Theo gi thi t: 3x 5xi 2y +(x y)i (3x y) (5x)i (2y 1) +(x y)i 15x yx y+ -ìí= -î Gi này ta c: ượ 1747xyì=-ïïíï=ïîVí 5:ụ Tính: 105 23 20 34Gi i:ảĐ tính toán bài này, ta chú nh nghĩa đó suy ra lu th aể ủđ nh sau:ơ ưTa có: -1; -i; 3.i 1; i; -1…B ng quy dàng ch ng minh c: iằ ượ 4n 1; 4n+1 i; 4n+2 -1; 4n+3 -i; *V iậ {-1;1;-i;i}, N.N nguyên âm, iế (i -1) -n ()1nnii--æ ö= -ç ÷è .Nh theo qu trên, ta dàng tính c: ượ[email protected] Page 4WWW.ToanCapBa.NetWWW.ToanCapBa.NetCHUYÊN PH CỀ 105 23 20 34 4.26+1 4.5+3 4.5 4.8+2 2Ví 6:ụ Tính ph sau: (1+i) 15G i:ảTa có: (1 i) 2i 2i (1 i) 14 (2i) 128.i -128.iz (1+i) 15 (1+i) 14(1+i) -128i (1+i) -128 (-1 i) 128 128i.Ví 7:ụ Tính ph sau: ứ16 81 11 1i ii i+ -æ ö+ç ÷- +è øGi i: ảTa có: (1 )(1 21 iii+ += =- 11iii-=-+ ậ16 81 11 1i ii i+ -æ ö+ç ÷- +è 16 +(-i) 2Dạng 2: Các bài toán chứng minh.Trong ng này ta các bài toán ch ng minh tính ch t, ho ng th ềs ph c.ố ứĐ gi các bài toán ng trên, ta áp ng các tính ch các phép toán ng, tr ừnhân, chia, ph liên p, môđun ph đã ch ng minh.ố ượ ứVí 8:ụ Cho z1 z2 C. CMR: 2.z z+ RĐ gi bài toán này ta ng tính ch quan tr ng ph liên đó là: ợz Th y: Gi yi yi. yi yi Gi bài toán trên:ảTa có 2.z z+ RVí 9:ụ Ch ng minh ng: ằ1) E1 ()()7 72 5i i+ R2) E2 19 20 59 6n ni ii i+ +æ ö+ç ÷- +è [email protected] Page 5WWW.ToanCapBa.NetWWW.ToanCapBa.NetCHUYÊN PH CỀ ỨGi i: ả1) Ta có: 1E= ()()()()()()7 712 5i E+ E1 R()()()()219 (9 20 (7 )19 20 52)9 82 85164 82 170 852 282 85n nn nn nn ni ii iEi ii ii i+ -æ ö+ +æ ö= +ç ÷ç ÷- +è øè ø+ -æ ö= -ç ÷è ø 2E E2 RVí 10:ụ Cho C. CMR: 112z+ ho |zặ 1| 1Gi i:ảTa ch ng minh ng ph ch ng: Gi ử21121 1zzì+ <ïíï+ <î a+bi bi21121 1zzì+ <ïíï+ <î 22 22 22 21(1 )2( 02( 2( 0(1 1a ba aa ba bìì+ <+ <ï ïÛí í+ <ïîï+ <îC ng hai ng th trên ta c: (aộ ượ (2a+1) vô lý đpcmDạng 3: Các bài toán về môđun của số phức và biểu diễn hình họccủa số phức.Trong ng này, ta các bài toán bi di hình ph hay còn là tìmạ ọt đi bi di ph trong đó ph tho mãn th nào đóậ ứ(th ng là th liên quan môđun ph c). Khi đó ta gi bài toán này nh sau: ườ ưGi x+yi (x, R). Khi đó ph bi di trên ph ng ph đi mố ểM(x;y). Ta có: OM 2x y+ ng ki bài tìm liên gi và đó suy ra đi mử ểM.L ý:ư- th ng R, các ph ươ bi di trên ph ng ph cể ứlà ng tròn tâm O, bán kính R.ườ- Các ph z, là các đi trong ng tròn (O;R)ể ườ- Các ph z, >R là các đi ngoài ng tròn (O;R)ể ườ[email protected] Page 6WWW.ToanCapBa.NetWWW.ToanCapBa.NetCHUYÊN PH CỀ ỨVí 11 :ụ Gi M(z) là đi trên ph ng ph bi di ph z. Tìm pả ợcác đi M(z) tho mãn trong các đi ki sau đây:ể 1. 1z i- =2 2. i+ 3. 2z z+ 4. 10z i- 5. 1≤ 2z i+ £Gi i:ả 1) Xét th c: ứ1z i- =2 (1)Đ +yi (x, R) (x 1) (y 1)i.Khi đó (1) 2( 1) 1) 2x y- = (x-1) (y 1) 4. các đi M(z) trên ph ng to bi uậ ểdi ph tho mãn (1) là ng tròn có tâm I(1;-1) và bán kính 2.ễ ườ ạ2) Xét th ứ2z i+ (2) (2) 2)z (*)G là đi bi di -2, còn là đi bi di ph (A(-2;0); B(0;1))Đ ng th (*) ch ng Mẳ (z) (z) B.V các đi M(z) chính là ng trung tr AB.ậ ườ ủChú ý: Ta có th gi cách khác nh sau: ưGi yi, khi đó: ử(2) |(x+2) +yi| |-x+(1-y)i| (x+2) (1-y) 4x 2y 0.v các đi M(z) là ng th ng 4x 2y 0.ậ ườ ẳnh xét: ng th ng 4x 2y chính là ph ng trình ng trung tr đo AB.ậ ườ ươ ườ ạ3) Xét: 2z z+ (3)Gi yi, khi đó: ử(3) |2+x+yi| |x+yi-2| (x+2) +y (x-2) +y 0. các đi M(z) là ph ng bên ph tr tung, là các đi (x;y) mà xậ ể> 0.Nh xét: Ta có th gi cách khác nh sau:ậ ư(3) |z-(-2)| >|z-2|G A, ng ng là các đi bi di th -2 và 2, là A(-2;0), B(2;0).ọ ươ ứV (3) M(z)A M(z)B. Mà A, ng nhau qua Oy.ố đó suy ra các đi M(z) là ph ng bên ph tr tung.ừ ụ[email protected] Page 7WWW.ToanCapBa.Net-2-112-2-112xyABOWWW.ToanCapBa.NetCHUYÊN PH CỀ Ứ4) Xét th c: ứ4 10z i- =Xét F1 F2 ng ng bi di các đi 4i và -4i là Fươ ứ1 (0;4) và F2 =(0;-4). Do đó: (4) MF1 MF2 10 (M M(z))Ta có F1 F2 các đi trên (E) có hai tiêu đi là Fậ ể1và F2 và có dài tr ng 10.ộ ằPh ng trình (E) là: ươ ủ2 219 16x y+ =5) Xét th 1≤ ứ1 2z i+ 1≤ 2z i- .Xét đi A(-1;1) là đi bi di ph -1 i. Khi đó 1≤ MA 2.ể ứV các đi M(z) là hình vành khăn có tâm A(-1;1) và các bán kính và nhậ ỏl là và ượCách 2: Gi +yi khi đó (5) |(x+1) +(y-1)i| (x+1) (y-1) 4 qu nh trên.ế ởVí 12ụ Xác nh các đi trong ph ng ph bi di các ph tho mãnị ảm trong các đi ki sau đây:ộ ệ1. |z +3|=42. |z i| 23. 2|z-i|=|z-z +2i|4. |z 2| Gi i:ả 1) Xét th c: +3|=4 (1) yi yi, do đó(1) |(x+yi)+(x-yi)+3|=4 |2x+3|=4 1272xxé=êêê=-êëV các đi là hai ng th ng song song tr tung ườ 12 và x= 72-2) Xét th c: |z ứz i| 2.Đ yi yi. Khi đó:[email protected] Page 8WWW.ToanCapBa.NetWWW.ToanCapBa.NetCHUYÊN PH CỀ Ứ(2) |1+(2y-1)i| (2y-1) 2y -2y-1 321 32yyé+=êêê-=êëV các đi là hai ng th ng song song tr hoành ườ 32±.3) Xét th 2|z-i|=|z-ệ ứz +2i|.Đ yi yi. Khi đó: (3) |x+(y-1)i| |(x+y)i| +(y-1) (x+y) 4y 24x.V các đi là parabol 24x4)Xét th c: |zệ 2| yi yi. Khi đó: (4) |4xyi| 16x 2y 16 11xyxy=éê=-ëV các đi là hai nhánh (H) xy và xy -1ậ ểVí 13ụ Tìm ph tho mãn ệ1131zz iz iz iì -=ï-ïí-ï=ï+îGi i:ả Gi yi, khi đó ử11zz i-= Û- |z-1| |z-i| |x+yi-1|=|x+yi-i| (x-1) (y-1) x=y.Ta có: ạ31z iz i-=+ |z-3i| |z+i| |x+yi-3i| |x+yi+i| (y 3) (y+1) 2 1. ph ph tìm là =1+iậ ảVí 14:ụ Trong các ph tho mãn đi ki n: |z 2+3i| 32 Tìm ph có môđun nh nh t.ố ấGi i: Gi yi, khi đó |z 2+3i| 32 |(x-2) +(y+3)i|= 32 (x-2) (y+3) 94 đi tho mãn đi ki đã cho là ng tròn tâm I(2;-3)ậ ườvà bán kính 3/2. Môđun giá tr nh nh khi và ch khi thu ng tròn và nh ườ M trùng Mớ1 là giao ng th ng OI ng tròn.ủ ườ ườ[email protected] Page 9WWW.ToanCapBa.NetWWW.ToanCapBa.NetCHUYÊN PH CỀ ỨTa có: OI 13+ =K Mẻ1 Ox. Theo nh lý Talet ta có: ị1 1131323139 13 913 132 2M OMOIM H-= =-Þ = M1 13 78 13262 13- -=L có: ạ31326 1322 1313OHOH--= =V ph tìm là: ầ26 13 78 1313 26z- -= +Ví 15:ụ Cho z1 1+i; z2 -1-i. Tìm z3 sao cho các đi bi di zể ủ1 z2 z3 oạthành tam giác u.ềGi i:ảĐ gi bài toán này ta chú ki th sau:ể ứGi Mả ử1 (x1 ;y1 bi di ph zể ứ1 x1 y1 iGi Mả ử2 (x2 ;y2 bi di ph zể ứ2 x2 y2 iKhi đó kho ng cách gi hai đi Mả ể1 M2 ng môđun ph zằ ứ1 z2 .V y: Mậ1 M2 |z1 z2 ()()2 21 2x y- -Áp ng vào bài toán:ụGi zả ử3 x+yiĐ các đi bi di zể ủ1 z2 z3 thành tam giác thìạ ề1 31 3z zz zì -ïí- -ïî ()()()()()()2 22 22 24 11 804 1x yx yx yx yì+ -ì- =ï ïÛí í+ =ïïî+ +î 2y 3± 3mV có hai ph tho mãn là: zậ ả3 (1+i) và z3 -3 (1-i)V 2: GI PH NG TRÌNH PH C.Ấ ƯƠ ỨDạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức.Cho ph bi Tìm căn hai ph này.ậ ứPh ng pháp:ươ +) có căn hai là 0ộ ậ+) (a R) có hai căn hai là ậa và [email protected] Page 10WWW.ToanCapBa.Net