đề cương ôn tập về phương trình
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ biên: Nguyễn văn h
26-7-2012
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Các thành viên tham gia chuyên đề
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ
10
Phương trình bậc ba
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Phương trình bậc bốn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Phương trình dạng phân thức
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Xây dựng phương trình hữu. tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Một số phương trình bậc cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ
32
Phương pháp sử dụng đạo hàm
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Phương pháp dùng định lý Lagrange - Rolle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Phương pháp dùng điều kiện cần và .đủ
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Phương pháp ứng dụng hình học giải tích và hình học phẳng
. . . . . . . . . . . .
55
Hình học không gian và việc khảo sát hệ phương trình .ba
. .ẩn
. .. . . . . . . .
76
Một số bài phương trình, hệ phương trình có tham số trong các kì thi Olympic
. .
81.
3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
93
Phương pháp đặt ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Một số cách đặt ẩn phụ cơ bản
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích
. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng .cấp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
103
Phương pháp sử dụng hệ số bất định
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
Phương pháp lượng giác hóa
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
Phương pháp biến đổi đẳng thức
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
Phương pháp dùng lượng liên hợp
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
Phương pháp dùng đơn điệu hàm. số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
Phương pháp dùng bất đẳng thức
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
Một số bài toán chọn lọc. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
3
4
158
4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Phương pháp đặt ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Phương pháp dùng đơn điệu hàm. số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
Phương pháp biến đổi đẳng thức
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
Bài tập tổng hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
177
5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Các loại hệ cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
Hệ phương trình hoán .vị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình
. . . .. . . . . . . . . . . . . .
206
Phương pháp biến đổi đẳng thức
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
Phương pháp dùng đơn điệu hàm. số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
Phương pháp hệ số bất định
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng - hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
Phương pháp dùng bất đẳng thức
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
Tổng hợp các bài hệ phương trình
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hệ phương trình hữu .tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hệ phương trình vô tỉ. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
258
277
297
6 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương
. . .trình
. 297
Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức. bậc
. . . cao
307
Sử dụng các hàm lượng giác hyperbolic
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310
Sáng tác một số phương trình đẳng cấp đối với hai biểu. .thức
. . .. . . . . . . .
312
Xây dựng phương trình từ các đẳng thức
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
318
Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại
. . .II . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm
. . . số.
. . . . . 324
Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng
. .giác.
. . . .. 328
Sử dụng căn bậc n của số phức để sáng tạo và giải hệ phương
. . .trình.
. . . 331
Sử dụng bất đẳng thức lượng giác trong tam. giác
. . . . . . . . . . . . . . . 338
Sử dụng hàm ngược để sáng tác một số phương trình, hệ phương
. . .trình.
. 345
Sáng tác hệ phương trình
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349
Kinh nghiệm giải một số bài hệ phương trình
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353
7 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
362
8 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG
366
Lịch sử phát triển của phương trình
. . .. . . . . . . .
Có mấy cách giải phương trình bậc hai?
. . . . .
Cuộc thách đố chấn động thế giới toán .học
. .
Những vinh quang sau khi đã qua. đời
. . . . . .
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
366
366
368
372
5
Tỉểu sử một số nhà toán học nổi
Một cuộc đời trên bia mộ
. . .
Chỉ vì lề sách quá hẹp!
. . . . .
Hai gương mặt trẻ. . . . . . .
Sống hay chết
. . . . . . . . . .
9 Tàiliệu tham khảo
tiếng
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
376
376
376
377
378
381
Lời nói đầu
Phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứng
dụng rất lớn trong các ngành khoa học.
Sớm được biết đến từ thời
xa xưa do nhu cầu tính
toán của con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét riêng trong Toán
học, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu t
phương trình vô tỉ, phương trình mũ - logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trình
sai phân, phương trình đạo hàm riêng, . . . )
Còn ở Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, đã là một dạng toán quen thuộc và được
yêu thích bởi nhiều bạn học sinh. Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các công cụ giải tích
và hình học,những bàitoán phương trình - hệ phương trình ngày càng được trautrở
chuốt,
thành nét đẹp của Toán học và một phần không thể thiếu trong
thicác
Họckìsinh giỏi,thi
Đại học.
Đã có rất nhiều bài viết về phương trình - hệ phương trình, nhưng chưa thể đề cập một
cách toàn diện về những phương phápvà
giải
sáng tạo phương trình.
Nhận thấy nhu cầu có
một tàiliệu đầy đủ về hình thức và nội
dung cho cả hệ chuyên và không chuyên,
Diễn đàn
MathScope đã tiến hành biên soạn quyển sách Chuyên đề phương trình - hệ phương trình mà
chúng tôi hân hạnh giới thiệu đến các thầy cô giáo và các bạn học sinh.
Quyển sách này gồm 6 chương, với các nội dung như sau:
> Chương I:Đại cương về phương hữu tỉ cung cấp một số cách
tổng
giảiquát phương
trình bậc ba và bốn, ngoài ra còn đề cập đến phương trình phân thức và những cách xây dựn
phương trình hữu tỉ.
> Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến các phương pháp
giảivà biện luận bài
toán có tham số ,cũng như một sốtoán
bài thường gặp trong cácthi
kì
Học sinh giỏi.
> Chương III: Các phương pháp giải
phương trình chủ yếu tổng hợp những phương
pháp quen thuộc như bất đẳng thức,
lượng liên hợp,
hàm số đơn điệu,
. . . vớinhiều bàitoán
mở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan về phương trình.
Chương này không đề cập đến Phương trình lượng giác, vì vấn đề này đã có trong chuyên đề
Lượng giác của Diễn đàn.
> Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa ra một số dạng bài tập ứng dụng của hàm
số logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng như đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơ
điệu, ...
> Chương V:Hệ phương trình là phần trọng tâm của chuyên
Nội
đề.
dung của chương
7
bao gồm một số phương pháp hệ
giảiphương trình và tổng hợp cáchệ
bàiphương trình hay
trong những kì thi học sinh giỏi trong nước cũng như quốc tế.
> Chương VI:Sáng tạo phương trình - hệ phương trình đưa ra những cách xây dựng mộ
hay và khó từ những phương trình đơn giản bằng các công cụ mới như số phức, hàm hy
hàm đơn điệu, . . .
Ngoài ra còn có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phư
trình trong giải toán và về lịch sử phát triển của phương trình.
Chúng tôi xin ngỏ lời cảm ơn tới những thành viên của Diễn đàn đã chung tay xây d
chuyên đề. Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường
anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh vì đã hỗ trợ và đóng góp nh
ý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành vì đã giúp ban biên tập kiểm t
bài viết để có một tuyển tập hoàn chỉnh.
Niềm hi vọng duy nhất của những người làm chuyên đề là bạn đọc sẽ tìm thấy nhiề
bổ ích và tình yêu toán học thông qua quyển sách này. Chúng tôi xin đón nhận và hoan
mọiý kiến xây dựng của bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện
Mọi hơn.
góp ý xin vuilòng
chuyển đến [email protected]
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012
Thay mặt nhóm biên soạn
Nguyễn Anh Huy
Các thành viên tham gia chuyên đề
Để hoàn thành được các nội dung trên, chính là nhờ sự cố gắng nỗ lực của các thành viên củ
diễn đàn đã tham gia xây dựng chuyên đề:
• Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)
• Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM),
Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM)
• Đại cương về phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền –
TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)
• Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A
– Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên - Hải Phòng), Đình Võ Bảo Châu
(THPT chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu),
Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên Trần
Đại Nghĩa - TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai), Ong Thế
Phương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai)
• Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương - Bình Phước), thầy
Nguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPT
Nguyễn Huệ - Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đoàn Thế
Hoà (10A7 THPT Long Khánh - Đồng Nai)
• Phương pháp dùng lượng liên hợp:
Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT - chuyên Lê Quý Đôn,
Vũng Tàu),Đoàn Thế
Hòa (THPT Long Khánh - Đồng Nai)
• Phương pháp dùng bất đẳng thức:
Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếuTP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP
HCM), Đặng Hoàng PhiLong (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội),Nguyễn Văn Bình
(11A5 THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi),
• Phương pháp dùng đơn điệu:
Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong
- TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái– Hà Nội), Đặng Hoàng PhiLong
(10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội)
• Phương trình mũ – logarit:
Võ Anh Khoa,Nguyễn Thanh Hoài
(Đại học KHTN- TP
HCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai)
• Các loại hệ cơ bản: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)
9
• Hệ phương trình hoán vị:
thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình),
Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng
(10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội)
• Phương pháp biến đổi
đẳng thức:Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà
Nội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong - Thái
Nguyên),Nguyễn Đức Huỳnh (11
Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP HCM)
• Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy,
Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM)
• Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu:
Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng
Phong TP HCM)
• Tổng hợp các bài hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng P
TP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), Trần
Minh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPT
Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM)
• Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia La
thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong - Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10C
THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM)
• Giải toán bằng cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng kh
TP HCM)
• Lịch sử phát triển của phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiế
TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai)
Chương I: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
HỮU TỈ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Một số phương pháp giải phương trình bậc ba
F Phương pháp phân tích nhân tử:
Nếu phương trình bậc ba3 +
axbx2 + cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đó
có thể phân tích
2
2
ax3 + bx2 + cx + d = (x − r)[ax
+ (b + ar)x + c + br +
] ar
Từ đó ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là
√
2
−b − ra ± b2 − 4ac − 2abr −2r3a
2a
F Phương pháp Cardano:
3
Xét phương trình bậc ba
+x ax2 + bx + c = 0 (1).
a
Bằng cách đặt x = y −
, phương trình (1) luôn biến đổi được về dạng chính tắc:
3
y3 + py + q = 0(2)
a2
2a3 − 9ab
Trong đó: p = b −, q = c +
3
27
Ta chỉ xét p, q 6= 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản.
Đặt y = u + v thay vào (2), ta được:
3
(u + v)3 + p(u + v) + q = 0 ⇔
+
u v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 (3)
Chọn u, v sao cho 3uv + p = 0 (4).
Như vậy, để tìm u và v, từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:
u3 + v3 = −q
3
u3v3 = −p
27
Theo định lí Viete,3uvà v3 là hai nghiệm của phương trình:
X 2 + qX −
Đặt ∆ =
p3
= 0(5)
27
q2 p3
+
4 27
10
11
> Khi ∆ > 0, (5) có nghiệm:
q √
q √
u3 = − + ∆, v3 = − − ∆
2
2
Như vậy, phương trình (2) sẽ có nghiệm thực duy nhất:
r
r
q √
q √
y= − + ∆+ 3 − − ∆
2
2
r
q
3
> Khi ∆ = 0, (5) có nghiệm kép: u = v =
−
2
Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm thực, trong đó một nghiệm kép.
3
r
r
q
q
3
y1 = 2 − , y2 = y3 = 3
2
2
> Khi ∆ < 0, (5) có nghiệm phức.
p
3
Gọi u30 là một nghiệm phức của (5),
=− .
0v0 u
0 làvgiá trị tương ứng sao cho
3
Khi đó, phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.
y1 = u0 + v0
√
1
3
y2 = − (u0 + v0) + i (u0 − v0)
2
√2
1
3
y3 = − (u0 + v0) − i (u0 − v0)
2
2
F Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic:
Một phương trình bậc ba, nếu có 3 nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liê
đến số phức.
Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu di
khác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số cos và arccos
Cụ thể,từ phương trình3 t+ pt + q = 0 (∗) ta đặt t = u cos α và tìm u để có thể đưa (∗) v
dạng
3
4 cos
α − 3 cos α − cos 3α = 0
r
−p
u3
Muốn vậy, ta chọn u = 2 và chia 2 vế của (∗) chođể được
3
4
r
r
3q −3
3q −3
3
4 cosα − 3 cos α − .
= 0 ⇔ cos 3α = .
2p
p
2p
p
Vậy 3 nghiệm thực là
r
r
−p
1
3q −3
2iπ
ti = 2
. cos arccos .
−
với i = 0, 1, 2.
3
3
2p
p
3
Lưu ý rằng nếu phương trình có 3 nghiệm thực thì p < 0 (điều ngược lại không đúng) nê
thức trên không có số phức.
Khi phương trình chỉ có 1 nghiệm thực và p 6= 0 ta cũng có thể biểu diễn nghiệm đó bằ
thức hàm arcosh và arsinh:
r
r
−2|q| −p
1
−3|q| −3
>t =
.
cosh .arcosh
.
q
3
3
2p
p
2
nếu p < 0 và 34p
+ 27q
> 0.
12
r
r
p
1
3q 3
>t = −2 . sinh .arsinh
.
nếu p > 0
3
3
2p p
Mỗi phương pháp trên đều có thể giải quyết phương trình bậc ba tổng quát. Nhưng mục đích
của chúng ta trong mỗi bài toán luôn là tìm lời giải ngắn nhất, đẹp nhất. Hãy cùng xem qua
một số ví dụ:
Bài tập ví dụ
1
Bài 1: Giải phương trình3 +
x x2 + x = −
3
Giải
Phương trình không có nghiệm hữu
nên
tỉ không thể phân tích nhân Trước
tử.
khinghĩtới
công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình:
3x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
2
2
3
Đại lượng 3x
+3x+1 gợi ta đến một hằng đẳng thức rất quen3 +3x
thuộc
+3x+1
x
= (x+1)
.
Do đó phương trình tương đương:
(x + 1)3 = −2x3
hay
√
x + 1 = −3 2x
−1
Từ đó suy ra nghiệm duy nhất x = √3 .
1+ 2
~ Nhận xét: Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ, và được giải nhờ khéo léo
biến đổi đẳng thức. Nhưng những bài đơn giản như thế này không có nhiều. Sau đây ta sẽ đi
sâu vào công thức Cardano:
Bài 2: Giải phuơng trình3 −
x 3x2 + 4x + 11 = 0
Giải
Đặt x = y + 1 . Thế vào phương trình đầu bài, ta được phương trình:
y3 + 1.y + 13 = 0
4
4567
Tính ∆ = 132 + .13 =
>0
27
27
Áp dụng công thức Cardanov suy ra:
v
q
q
u
u
u3 −13 + 4567 u3 −13 − 4567
t
t
27
27
y=
+
2
2
v
v
q
q
u
u
u3 −13 + 4567 u3 −13 − 4567
t
t
27
27
Suy ra x =
+
+ 1.
2
2
~ Nhận xét:Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano.
Tuy nhiên công
thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi Học sinh giỏi. Vì thế, có lẽ chúng
ta sẽ cố gắng tìm một con đường “hợp thứccác
hóa”
lờigiảitrên.Đó là phương pháp lượng
3
giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng
+ px
x + q = 0 với p < 0 và có 1 nghiệm thực:
13
Bài 3: Giải phương trình3 +
x 3x2 + 2x − 1 = 0
Giải
3
Đầu tiên đặt x = y − 1 ta đưa về phương trình
−y−
y 1 = 0 (1). Đến đây ta dùng lượng giác
như sau:
√
√
2
3
3
Nếu |y| <√ suy ra
y < 1. Do đó tồn tại α ∈ [0, π] sao cho
y = cos α.
2
2
3
Phương trình tương đương:
8
2
√ cos3 α − √ cos α − 1 = 0
3 3
3
hay
√
3 3
cos 3α =
(vô nghiệm)
2
2
1
1
Do đó |y| >√ . Như vậy luôn tồn tại t thoả y√=(t + ) (∗). Thế vào (1) ta được phương
t
3
3
trình
t3
1
√ + √
−1=0
3 3 3 3t3
Việc giải phương trình này không khó, xin dành cho bạn đọc. Ta tìm được nghiệm:
r
√
1 √
1
−12
3 3 − 23 + r
√
√
2
1
3
3 3 − 23
2
~ Nhận xét: Câu hỏi đặt ra là: “Sử dụng phương pháp trên như thế nào?”. Muốn trả lời,
làm sáng tỏ 2 vấn đề:
1) Có luôn tồn tại t thoả mãn cách đặt trên?
2
Đáp án là không.
Coi (∗) là phương trình bậc hai
theo t ta sẽ tìm được điều kiện |y|√ >.
3
Thật ra có thể tìm nhanh bằng cách dùng AM-GM:
1
x = √
3
3
1
1
|y| = √
t+
t
3
1
1
2
=√
|t| +
>√
|t|
3
3
2
√ |y|
Vậy trước hết ta phải chứng minh (1) không có nghiệm
. <
3
2
2) Vì sao có số√ ?
3
3
Ý tưởng của ta là từ phương trình
+ xpx + q = 0 đưa về một phươngr trình trùng phương the
1
−p
t3 qua cách đặt x = kt + . Khai triển và đồng nhất hệ số ta được k =
t
3
3
Sau đây là phương trình dạng+xpx + q = 0 với p < 0 và có 3 nghiệm thực:
Bài 4: Giải phương trình3 −
x x2 − 2x + 1 = 0
Giải
1
Đặt y = x − . Phương trình tương đương:
3
7
7
y3 − y + = 0(∗)
3
27
14
√
√
2 7
3y
3y
2 7 cos α
√ αhay
Với |y| <
thì √ < 1. Do đó tồn tại α ∈ [0, π] sao cho cos
= y=
.
3
3
2 7
2 7
Thế vào (∗), ta được:
√
7
cos 3α = −
14
Đây là phương trình lượng giác cơ bản.
Dễ dàng tìm được ba nghiệm của phương trình ban
đầu:
√ !
7
√
arccos −
14
2 7
+1
x1 =
cos
3
3
3
√ !
7
√
± arccos − 14
2 7
2π
1
x2,3 =
cos
+ +
3
3
3
3
Do phương
trình bậc ba có tối
đa ba nghiệm phân biệt nên ta không cần xét trường hợp
√
2 7
|y| >
. Bài toán được giải quyết.
3
√
2 7
~ Nhận xét: Ta cũng có thể chứng minh phương trình vô nghiệm khi bằng
|y| > cách đặt
3
√
7
1
y=
(t + ) giống như bài 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm.
3
t
r
−p
1
Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ y = t +
(∗) như sau:
3
t
r
−p
> Nếu phương trình có 1 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi ,|y| < 2
3
trường hợp còn lại dùng (∗) để đưa về phương trình trùng phương theo t. r
−p
> Nếu phương trình có 3 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| > 2
3
r
−p
bằng phép đặt (∗) (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo t). Khi thì
|y| 6 2
3
|y|
đặt r
= cos α, từ đó tìm α, suy ra 3 nghiệm y.
−p
2
3
Còn khi p > 0 không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất:
Bài 5: Giải phương trình3 +
x 6x + 4 = 0
Giải
1
để đưa về phương trình trùng phương. Để ý
t
2
phép đặt này không cần điều kiện của x, vì nó tương đương
− 1)k(t
− xt = 0. Phương trình
trên luôn có nghiệm theo t.
Như vậy từ phương trình đầu ta được
~ Ý tưởng: Ta sẽ dùng phép đặt x =t k−
k3 t3 −
1
t3
− 3k3 t −
1
1
+ 6k t −
+4=0
t
t
15
√
3
Cần chọn k thoả 3k
= 6k ⇒ k = 2
Vậy ta có lời giải bài toán như sau:
~ Lời giải:
√
1
Đặt x = 2 t −
ta có phương trình
t
√
1
2 2 t3 − 3
t
√
+ 4 = 0 ⇔ 6t− 1 + 2t3 = 0 ⇔ t1,2 =
s
3
√
−1 ± 3
√
2
Lưu ý rằng 1t.t2 = s−1 theo địnhs lý Viete nên
ta chỉ nhận được một giá trị của x là
√
√ !
√
−1 + 3 3 −1 − 3
√
√
x = t1 + t2 = 2 3
+
.2
2
2
Bài 6: Giải phương trình 34x
− 3x = m với |m| > 1
Giải
Nhận xét rằng khi|x| 6 1 thì |V T |6 1 < |m| (sai) nên |x|> 1. Vì vậy ta có thể đặt
1
1
x=
t+ .
2
t
Ta có phương trình tương đương:
1 3 1
t + 3 =m
2
t
Từ đó:
p3
p3
√
√
√
1 p3
t = m ± m2 − 1 ⇒ x =
m + m2 − 1 + m − m2 − 1 .
2
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Giả sử phương trình có nghiệm
x x0 6∈ [−1, 1] vì
> 1. Khi đó:
0 thì
0| |x
3
4x3 − 3x = 4x
0
0 − 3x
hay
(x − x0)(4x2 + 4xx0 + 4x20 − 3) = 0
Xét phương trình:
4x2 + 4xx0 + 4x20 − 3 = 0
2
có ∆0 = 12 − 12x
0 < 0 nên phương trình bậc hai này vô nghiệm.
Vậy phương trình đầu bài có nghiệm duy nhất là
x=
p3
√
√
1 p3
m + m2 − 1 + m − m2 − 1 .
2
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) x3 + 2x2 + 3x + 1 = 0
b) 2x3 + 5x2 + 4x + 2 = 0
c) x3 − 5x2 + 4x + 1 = 0
16
√
2
d) 8x3 + 24x
+ 6x − 10 − 3
6=0
Bài 2: Giải và biện luận phương trình:
4x3 + 3x = m với m ∈ R
Bài 3: Giải và biện luận phương trình:
x3 + ax2 + bx + c = 0
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
2
[1] Phương trình dạng4 ax
+ bx3 + cx2 + bkx + ak
= 0 (1)
Ta có
2
2
(1) ⇔ a(x4 + 2x2.k + k2) + bx(x
+ k) + (c − 2ak)x
=0
2
⇔ a(x2 + k)2 + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x
=0
Đến đây có hai hướng để giải quyết:
2
Cách 1: Đưa phương trình về dạng
=AB2:
Thêm bớt, biến đổi vế trái thành dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng, chuy
các hạng tử chứa2 sang
x
bên phải.
2
Cách 2: Đặt y = x+ k ⇒ y > k
2
Phương trình (1) trở thành2ay
+ bxy + (c − 2ak)x
=0
Tính x theo y hoặc y theo x để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn x.
2
Ví dụ: Giải phương trình:4 −
x 8x3 + 21x
− 24x + 9 = 0 (1.1)
Cách 1:
2
2
2
2
(1.1) ⇔ (x4 + 9 + 6x
) − 8(x2 + 3) + 16x
= 16x2 − 21x
+ 6x2 ⇔ (x 2 − 4x + 3)
= x2
√
"
"
5 − 13
x2 − 4x + 3 = x
x2 − 5x + 3 = 0 x =
2√
⇔
⇔
⇔
5 + 13
x2 − 4x + 3 = −x
x2 − 3x + 3 = 0
x=
2
Cách 2:
2
2
2
(1.1) ⇔ (x4 + 6x2 + 9) − 8x(x
+ 3) + 15x
= 0 ⇔ (x2 + 3)2 − 8x(x2 + 3) + 15x
"= 0
y = 3x
2
2
Đặt y = x2 + 3. (1.1) trở thành:
−
y 8xy + 15x
= 0 ⇔ (y − 3x)(y − 5x) = 0 ⇔
y = 5x
2
Với y = 3x: Ta có x+ 3 = 3x: Phương trình vô nghiệm
√
5 − 13
x=
2√
Với y = 5x: Ta có2 x+ 3 = 5x ⇔ 2x− 5x + 3 = 0 ⇔
5 + 13
x=
(
√
√ 2)
5 + 13 5 − 13
Vậy phương trình (1.1) có tập nghiệm: S =
;
2
2
Nhận xét: Mỗi phương pháp giải có lợi thế riêng. Với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp m
17
không phải thông qua ẩn phụ. Với cách giải 2, ta sẽ có những tính toán đơn giản hơn và
nhầm lẫn.
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
3
2
1) x4 − 13x
+ 46x
− 39x + 9 = 0
4
3
2
2) 2x + 3x − 27x + 6x + 8 = 0
3) x4 − 3x3 − 6x2 + 3x + 1 = 0
2
4) 6x4 + 7x3 − 36x
− 7x + 6 = 0
4
3
2
5) x − 3x − 9x − 27x + 81 = 0
[2] Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + 2d)(2)
= ex
với ad = bc = m
Cách 1: Đưa về dạng2 =
A B2
2
2
(2) ⇔ (x + px + m)(x+ nx + m) = ex
(ad = bc = m, p = a + d, n = b + c)
!
!
p
+
n
n
−
p
p
+
n
n
−
p
⇔ x2 +
x+m−
x
x2 +
x+m+
x = ex2
2
2
2
2
!2 "
#
2
p+n
n−p
⇔ x2 +
x+m =
+ e x2
2
2
Cách 2: Xét xem x = 0 có phải là nghiệm của phương trình không.
Trường hợp x 6= 0:
!
!
m
m
(2) ⇔ x + + p x + + n = e
x
x
p
m
Đặt u = x + . Điều kiện: |u| > 2|m|
x
(2) trở thành (u + p)(u + n) = e. Đến đây giải phương trình bậc hai theo u để tìm x.
Ví dụ: Giải phương trình: (x + 4)(x + 6)(x − 2)(x − 12)2 (2.1)
= 25x
Cách 1:
2
2
(2.1) ⇔ (x2 + 10x + 24)(x
− 14x + 24) = 25x
2
⇔ (x 2 − 2x + 24 + 12x)(x
− 2x + 24 − 12x) = 225x
"
x2 − 2x + 24 = 13x
2
2
⇔ (x 2 − 2x + 24)
= 169x
⇔
x2 − 2x + 24 = −13x
x = −8
"
2
x − 15x + 24 = 0 x = −3
⇔
⇔
√
x2 + 11x + 24 = 0
15 ± 129
x=
2
Cách 2:
2
2
(2.1) ⇔ (x2 + 10x + 24)(x
− 14x + 24) = 25x
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
18
24
24
+ 10 x + − 14 = 25
x
x
√
24
Đặt y = x + ⇒ |y| > 4 6. (2.1) trở thành:
x
"
y = −11
(y + 10)(y − 14) = 25 ⇔ (y + 11)(y − 15) = 0 ⇔
y = 15
Với y = −11: Ta có phương trình: "
x = −3
24
x + = −11 ⇔ x2 + 11x + 24 = 0 ⇔
x
x = −8
Với y = 15: Ta có phương trình:
√
24
15 ± 129
2
x + = 15 ⇔ x − 15x + 24 = 0 ⇔ x =
x
2
(
)
√
√
15 − 129 15 + 129
Phương trình (2.1) có tập nghiệm S−3;
= −8;
;
2
2
x 6= 0 : (2.1) ⇔x +
~ Nhận xét:Trong cách giải
2, có thể ta không cần xét x 6= 0
chia
rồi mà có thể đặt ẩn phụ
y = x2 + m để thu được phương trình bậc hai ẩn x, tham số y hoặc ngược lại.
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
1) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12)2 = 3x
2) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = 2168x
3) (x + 3)(x + 2)(x + 4)(x + 6) =2 14x
4) (x + 6)(x + 8)(x + 9)(x + 12) 2= 2x
19 2
5) 18(x + 1)(x + 2)(x + 5)(2x + 5)x=
4
[3] Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (3) với a + b = c + d = p
2
Ta có (3) ⇔ (x2 + px + ab)(x
+ px + cd) = m
Cách 1:
!
!
ab + cd ab − cd 2
ab + cd ab − cd
(3) ⇔ x2 + px +
+
x + px +
−
=m
2
2
2
2
!2
!2
ab
+
cd
ab
−
cd
⇔ x2 + px +
=m+
2
2
Bài toán quy về giải hai phương trình bậc hai theo x.
Cách 2:
p2
2
Đặt y = x + px Điều kiện: y > −. (3) trở thành:(y + ab)(y + cd) = m
4
Giải phương trình bậc 2 ẩn y để tìm x.
Ví dụ: Giải phương trình: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8 (3.1)
Cách 1:
19
Ta có
(3.1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 8
2
⇔ (x 2 + 3x + 1 − 1)(x
+ 3x + 1 + 1) = 8
"
x2 + 3x + 1 = 3
2
⇔ (x 2 + 3x + 1)
=9⇔
x2 + 3x + 1 = −3
"
√
x2 + 3x − 2 = 0
−3 ± 17
⇔
⇔x=
2
x2 + 3x + 4 = 0
Cách 2:
(3.1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 8
9
Đặt y = x2 + 3x ⇒ y > −
4
(3.1) trở thành:
"
y(y + 2) = 8 ⇔2y+ 2y − 8 = 0 ⇔
y=2
⇔y=2
y = −4(loại)
Với y = 2: Ta có phương trình:
√
−3 ± 17
x + 3x − 2 = 0 ⇔ x =
2
(
√
√ )
−3 + 17 −3 − 17
Phương trình (3.1) có tập nghiệm: S =
;
2
2
2
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
1. (x + 2)(x + 3)(x − 7)(x − 8) = 144
2. (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = 40
1
3
1
4
39879
3. x +
x+
x+
x+
=
4
5
20
5
40000
2
4. (6x + 5)
(3x + 2)(x + 1) = 35
2
5. (4x + 3)
(x + 1)(2x + 1) = 810
Nhận xét:Như dạng (2),ngoàicách đặt ẩn phụ trên,
ta có thể đăt một trong các dạng
ẩn phụ sau:
> Đặt y = x2 + px + ab
> Đặt y = x2 + px + cd
p 2
> Đặt y = x +
2
ab + cd
2
> Đặt y = x + px +
2
4
4
[4] Phương trình dạng (x +
+a)(x + b)
=c
a+b
Đặt x = y −
. (4) trở thành:
2
4
(c > 0) (4)
4
a−b
a−b
y+
+ y−
=c
2
2
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ biên: Nguyễn văn h
26-7-2012
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Các thành viên tham gia chuyên đề
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ
10
Phương trình bậc ba
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Phương trình bậc bốn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Phương trình dạng phân thức
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Xây dựng phương trình hữu. tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Một số phương trình bậc cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ
32
Phương pháp sử dụng đạo hàm
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Phương pháp dùng định lý Lagrange - Rolle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Phương pháp dùng điều kiện cần và .đủ
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Phương pháp ứng dụng hình học giải tích và hình học phẳng
. . . . . . . . . . . .
55
Hình học không gian và việc khảo sát hệ phương trình .ba
. .ẩn
. .. . . . . . . .
76
Một số bài phương trình, hệ phương trình có tham số trong các kì thi Olympic
. .
81.
3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
93
Phương pháp đặt ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Một số cách đặt ẩn phụ cơ bản
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích
. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng .cấp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
103
Phương pháp sử dụng hệ số bất định
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
Phương pháp lượng giác hóa
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
Phương pháp biến đổi đẳng thức
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
Phương pháp dùng lượng liên hợp
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
Phương pháp dùng đơn điệu hàm. số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
Phương pháp dùng bất đẳng thức
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
Một số bài toán chọn lọc. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
3
4
158
4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Phương pháp đặt ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Phương pháp dùng đơn điệu hàm. số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
Phương pháp biến đổi đẳng thức
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
Bài tập tổng hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
177
5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Các loại hệ cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
Hệ phương trình hoán .vị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình
. . . .. . . . . . . . . . . . . .
206
Phương pháp biến đổi đẳng thức
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
Phương pháp dùng đơn điệu hàm. số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
Phương pháp hệ số bất định
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng - hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
Phương pháp dùng bất đẳng thức
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
Tổng hợp các bài hệ phương trình
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hệ phương trình hữu .tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hệ phương trình vô tỉ. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
258
277
297
6 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương
. . .trình
. 297
Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức. bậc
. . . cao
307
Sử dụng các hàm lượng giác hyperbolic
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310
Sáng tác một số phương trình đẳng cấp đối với hai biểu. .thức
. . .. . . . . . . .
312
Xây dựng phương trình từ các đẳng thức
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
318
Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại
. . .II . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm
. . . số.
. . . . . 324
Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng
. .giác.
. . . .. 328
Sử dụng căn bậc n của số phức để sáng tạo và giải hệ phương
. . .trình.
. . . 331
Sử dụng bất đẳng thức lượng giác trong tam. giác
. . . . . . . . . . . . . . . 338
Sử dụng hàm ngược để sáng tác một số phương trình, hệ phương
. . .trình.
. 345
Sáng tác hệ phương trình
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349
Kinh nghiệm giải một số bài hệ phương trình
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353
7 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
362
8 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG
366
Lịch sử phát triển của phương trình
. . .. . . . . . . .
Có mấy cách giải phương trình bậc hai?
. . . . .
Cuộc thách đố chấn động thế giới toán .học
. .
Những vinh quang sau khi đã qua. đời
. . . . . .
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
366
366
368
372
5
Tỉểu sử một số nhà toán học nổi
Một cuộc đời trên bia mộ
. . .
Chỉ vì lề sách quá hẹp!
. . . . .
Hai gương mặt trẻ. . . . . . .
Sống hay chết
. . . . . . . . . .
9 Tàiliệu tham khảo
tiếng
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
376
376
376
377
378
381
Lời nói đầu
Phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứng
dụng rất lớn trong các ngành khoa học.
Sớm được biết đến từ thời
xa xưa do nhu cầu tính
toán của con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét riêng trong Toán
học, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu t
phương trình vô tỉ, phương trình mũ - logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trình
sai phân, phương trình đạo hàm riêng, . . . )
Còn ở Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, đã là một dạng toán quen thuộc và được
yêu thích bởi nhiều bạn học sinh. Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các công cụ giải tích
và hình học,những bàitoán phương trình - hệ phương trình ngày càng được trautrở
chuốt,
thành nét đẹp của Toán học và một phần không thể thiếu trong
thicác
Họckìsinh giỏi,thi
Đại học.
Đã có rất nhiều bài viết về phương trình - hệ phương trình, nhưng chưa thể đề cập một
cách toàn diện về những phương phápvà
giải
sáng tạo phương trình.
Nhận thấy nhu cầu có
một tàiliệu đầy đủ về hình thức và nội
dung cho cả hệ chuyên và không chuyên,
Diễn đàn
MathScope đã tiến hành biên soạn quyển sách Chuyên đề phương trình - hệ phương trình mà
chúng tôi hân hạnh giới thiệu đến các thầy cô giáo và các bạn học sinh.
Quyển sách này gồm 6 chương, với các nội dung như sau:
> Chương I:Đại cương về phương hữu tỉ cung cấp một số cách
tổng
giảiquát phương
trình bậc ba và bốn, ngoài ra còn đề cập đến phương trình phân thức và những cách xây dựn
phương trình hữu tỉ.
> Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến các phương pháp
giảivà biện luận bài
toán có tham số ,cũng như một sốtoán
bài thường gặp trong cácthi
kì
Học sinh giỏi.
> Chương III: Các phương pháp giải
phương trình chủ yếu tổng hợp những phương
pháp quen thuộc như bất đẳng thức,
lượng liên hợp,
hàm số đơn điệu,
. . . vớinhiều bàitoán
mở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan về phương trình.
Chương này không đề cập đến Phương trình lượng giác, vì vấn đề này đã có trong chuyên đề
Lượng giác của Diễn đàn.
> Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa ra một số dạng bài tập ứng dụng của hàm
số logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng như đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơ
điệu, ...
> Chương V:Hệ phương trình là phần trọng tâm của chuyên
Nội
đề.
dung của chương
7
bao gồm một số phương pháp hệ
giảiphương trình và tổng hợp cáchệ
bàiphương trình hay
trong những kì thi học sinh giỏi trong nước cũng như quốc tế.
> Chương VI:Sáng tạo phương trình - hệ phương trình đưa ra những cách xây dựng mộ
hay và khó từ những phương trình đơn giản bằng các công cụ mới như số phức, hàm hy
hàm đơn điệu, . . .
Ngoài ra còn có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phư
trình trong giải toán và về lịch sử phát triển của phương trình.
Chúng tôi xin ngỏ lời cảm ơn tới những thành viên của Diễn đàn đã chung tay xây d
chuyên đề. Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường
anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh vì đã hỗ trợ và đóng góp nh
ý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành vì đã giúp ban biên tập kiểm t
bài viết để có một tuyển tập hoàn chỉnh.
Niềm hi vọng duy nhất của những người làm chuyên đề là bạn đọc sẽ tìm thấy nhiề
bổ ích và tình yêu toán học thông qua quyển sách này. Chúng tôi xin đón nhận và hoan
mọiý kiến xây dựng của bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện
Mọi hơn.
góp ý xin vuilòng
chuyển đến [email protected]
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012
Thay mặt nhóm biên soạn
Nguyễn Anh Huy
Các thành viên tham gia chuyên đề
Để hoàn thành được các nội dung trên, chính là nhờ sự cố gắng nỗ lực của các thành viên củ
diễn đàn đã tham gia xây dựng chuyên đề:
• Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)
• Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM),
Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM)
• Đại cương về phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền –
TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)
• Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A
– Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên - Hải Phòng), Đình Võ Bảo Châu
(THPT chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu),
Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên Trần
Đại Nghĩa - TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai), Ong Thế
Phương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai)
• Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương - Bình Phước), thầy
Nguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí-Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPT
Nguyễn Huệ - Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đoàn Thế
Hoà (10A7 THPT Long Khánh - Đồng Nai)
• Phương pháp dùng lượng liên hợp:
Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT - chuyên Lê Quý Đôn,
Vũng Tàu),Đoàn Thế
Hòa (THPT Long Khánh - Đồng Nai)
• Phương pháp dùng bất đẳng thức:
Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếuTP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP
HCM), Đặng Hoàng PhiLong (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội),Nguyễn Văn Bình
(11A5 THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi),
• Phương pháp dùng đơn điệu:
Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong
- TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái– Hà Nội), Đặng Hoàng PhiLong
(10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội)
• Phương trình mũ – logarit:
Võ Anh Khoa,Nguyễn Thanh Hoài
(Đại học KHTN- TP
HCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai)
• Các loại hệ cơ bản: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)
9
• Hệ phương trình hoán vị:
thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình),
Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng
(10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội)
• Phương pháp biến đổi
đẳng thức:Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà
Nội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong - Thái
Nguyên),Nguyễn Đức Huỳnh (11
Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP HCM)
• Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy,
Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM)
• Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu:
Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng
Phong TP HCM)
• Tổng hợp các bài hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng P
TP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), Trần
Minh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPT
Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM)
• Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia La
thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong - Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10C
THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM)
• Giải toán bằng cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng kh
TP HCM)
• Lịch sử phát triển của phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiế
TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai)
Chương I: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
HỮU TỈ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Một số phương pháp giải phương trình bậc ba
F Phương pháp phân tích nhân tử:
Nếu phương trình bậc ba3 +
axbx2 + cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đó
có thể phân tích
2
2
ax3 + bx2 + cx + d = (x − r)[ax
+ (b + ar)x + c + br +
] ar
Từ đó ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là
√
2
−b − ra ± b2 − 4ac − 2abr −2r3a
2a
F Phương pháp Cardano:
3
Xét phương trình bậc ba
+x ax2 + bx + c = 0 (1).
a
Bằng cách đặt x = y −
, phương trình (1) luôn biến đổi được về dạng chính tắc:
3
y3 + py + q = 0(2)
a2
2a3 − 9ab
Trong đó: p = b −, q = c +
3
27
Ta chỉ xét p, q 6= 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản.
Đặt y = u + v thay vào (2), ta được:
3
(u + v)3 + p(u + v) + q = 0 ⇔
+
u v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 (3)
Chọn u, v sao cho 3uv + p = 0 (4).
Như vậy, để tìm u và v, từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:
u3 + v3 = −q
3
u3v3 = −p
27
Theo định lí Viete,3uvà v3 là hai nghiệm của phương trình:
X 2 + qX −
Đặt ∆ =
p3
= 0(5)
27
q2 p3
+
4 27
10
11
> Khi ∆ > 0, (5) có nghiệm:
q √
q √
u3 = − + ∆, v3 = − − ∆
2
2
Như vậy, phương trình (2) sẽ có nghiệm thực duy nhất:
r
r
q √
q √
y= − + ∆+ 3 − − ∆
2
2
r
q
3
> Khi ∆ = 0, (5) có nghiệm kép: u = v =
−
2
Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm thực, trong đó một nghiệm kép.
3
r
r
q
q
3
y1 = 2 − , y2 = y3 = 3
2
2
> Khi ∆ < 0, (5) có nghiệm phức.
p
3
Gọi u30 là một nghiệm phức của (5),
=− .
0v0 u
0 làvgiá trị tương ứng sao cho
3
Khi đó, phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.
y1 = u0 + v0
√
1
3
y2 = − (u0 + v0) + i (u0 − v0)
2
√2
1
3
y3 = − (u0 + v0) − i (u0 − v0)
2
2
F Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic:
Một phương trình bậc ba, nếu có 3 nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liê
đến số phức.
Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu di
khác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số cos và arccos
Cụ thể,từ phương trình3 t+ pt + q = 0 (∗) ta đặt t = u cos α và tìm u để có thể đưa (∗) v
dạng
3
4 cos
α − 3 cos α − cos 3α = 0
r
−p
u3
Muốn vậy, ta chọn u = 2 và chia 2 vế của (∗) chođể được
3
4
r
r
3q −3
3q −3
3
4 cosα − 3 cos α − .
= 0 ⇔ cos 3α = .
2p
p
2p
p
Vậy 3 nghiệm thực là
r
r
−p
1
3q −3
2iπ
ti = 2
. cos arccos .
−
với i = 0, 1, 2.
3
3
2p
p
3
Lưu ý rằng nếu phương trình có 3 nghiệm thực thì p < 0 (điều ngược lại không đúng) nê
thức trên không có số phức.
Khi phương trình chỉ có 1 nghiệm thực và p 6= 0 ta cũng có thể biểu diễn nghiệm đó bằ
thức hàm arcosh và arsinh:
r
r
−2|q| −p
1
−3|q| −3
>t =
.
cosh .arcosh
.
q
3
3
2p
p
2
nếu p < 0 và 34p
+ 27q
> 0.
12
r
r
p
1
3q 3
>t = −2 . sinh .arsinh
.
nếu p > 0
3
3
2p p
Mỗi phương pháp trên đều có thể giải quyết phương trình bậc ba tổng quát. Nhưng mục đích
của chúng ta trong mỗi bài toán luôn là tìm lời giải ngắn nhất, đẹp nhất. Hãy cùng xem qua
một số ví dụ:
Bài tập ví dụ
1
Bài 1: Giải phương trình3 +
x x2 + x = −
3
Giải
Phương trình không có nghiệm hữu
nên
tỉ không thể phân tích nhân Trước
tử.
khinghĩtới
công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình:
3x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
2
2
3
Đại lượng 3x
+3x+1 gợi ta đến một hằng đẳng thức rất quen3 +3x
thuộc
+3x+1
x
= (x+1)
.
Do đó phương trình tương đương:
(x + 1)3 = −2x3
hay
√
x + 1 = −3 2x
−1
Từ đó suy ra nghiệm duy nhất x = √3 .
1+ 2
~ Nhận xét: Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ, và được giải nhờ khéo léo
biến đổi đẳng thức. Nhưng những bài đơn giản như thế này không có nhiều. Sau đây ta sẽ đi
sâu vào công thức Cardano:
Bài 2: Giải phuơng trình3 −
x 3x2 + 4x + 11 = 0
Giải
Đặt x = y + 1 . Thế vào phương trình đầu bài, ta được phương trình:
y3 + 1.y + 13 = 0
4
4567
Tính ∆ = 132 + .13 =
>0
27
27
Áp dụng công thức Cardanov suy ra:
v
q
q
u
u
u3 −13 + 4567 u3 −13 − 4567
t
t
27
27
y=
+
2
2
v
v
q
q
u
u
u3 −13 + 4567 u3 −13 − 4567
t
t
27
27
Suy ra x =
+
+ 1.
2
2
~ Nhận xét:Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano.
Tuy nhiên công
thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi Học sinh giỏi. Vì thế, có lẽ chúng
ta sẽ cố gắng tìm một con đường “hợp thứccác
hóa”
lờigiảitrên.Đó là phương pháp lượng
3
giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng
+ px
x + q = 0 với p < 0 và có 1 nghiệm thực:
13
Bài 3: Giải phương trình3 +
x 3x2 + 2x − 1 = 0
Giải
3
Đầu tiên đặt x = y − 1 ta đưa về phương trình
−y−
y 1 = 0 (1). Đến đây ta dùng lượng giác
như sau:
√
√
2
3
3
Nếu |y| <√ suy ra
y < 1. Do đó tồn tại α ∈ [0, π] sao cho
y = cos α.
2
2
3
Phương trình tương đương:
8
2
√ cos3 α − √ cos α − 1 = 0
3 3
3
hay
√
3 3
cos 3α =
(vô nghiệm)
2
2
1
1
Do đó |y| >√ . Như vậy luôn tồn tại t thoả y√=(t + ) (∗). Thế vào (1) ta được phương
t
3
3
trình
t3
1
√ + √
−1=0
3 3 3 3t3
Việc giải phương trình này không khó, xin dành cho bạn đọc. Ta tìm được nghiệm:
r
√
1 √
1
−12
3 3 − 23 + r
√
√
2
1
3
3 3 − 23
2
~ Nhận xét: Câu hỏi đặt ra là: “Sử dụng phương pháp trên như thế nào?”. Muốn trả lời,
làm sáng tỏ 2 vấn đề:
1) Có luôn tồn tại t thoả mãn cách đặt trên?
2
Đáp án là không.
Coi (∗) là phương trình bậc hai
theo t ta sẽ tìm được điều kiện |y|√ >.
3
Thật ra có thể tìm nhanh bằng cách dùng AM-GM:
1
x = √
3
3
1
1
|y| = √
t+
t
3
1
1
2
=√
|t| +
>√
|t|
3
3
2
√ |y|
Vậy trước hết ta phải chứng minh (1) không có nghiệm
. <
3
2
2) Vì sao có số√ ?
3
3
Ý tưởng của ta là từ phương trình
+ xpx + q = 0 đưa về một phươngr trình trùng phương the
1
−p
t3 qua cách đặt x = kt + . Khai triển và đồng nhất hệ số ta được k =
t
3
3
Sau đây là phương trình dạng+xpx + q = 0 với p < 0 và có 3 nghiệm thực:
Bài 4: Giải phương trình3 −
x x2 − 2x + 1 = 0
Giải
1
Đặt y = x − . Phương trình tương đương:
3
7
7
y3 − y + = 0(∗)
3
27
14
√
√
2 7
3y
3y
2 7 cos α
√ αhay
Với |y| <
thì √ < 1. Do đó tồn tại α ∈ [0, π] sao cho cos
= y=
.
3
3
2 7
2 7
Thế vào (∗), ta được:
√
7
cos 3α = −
14
Đây là phương trình lượng giác cơ bản.
Dễ dàng tìm được ba nghiệm của phương trình ban
đầu:
√ !
7
√
arccos −
14
2 7
+1
x1 =
cos
3
3
3
√ !
7
√
± arccos − 14
2 7
2π
1
x2,3 =
cos
+ +
3
3
3
3
Do phương
trình bậc ba có tối
đa ba nghiệm phân biệt nên ta không cần xét trường hợp
√
2 7
|y| >
. Bài toán được giải quyết.
3
√
2 7
~ Nhận xét: Ta cũng có thể chứng minh phương trình vô nghiệm khi bằng
|y| > cách đặt
3
√
7
1
y=
(t + ) giống như bài 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm.
3
t
r
−p
1
Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ y = t +
(∗) như sau:
3
t
r
−p
> Nếu phương trình có 1 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi ,|y| < 2
3
trường hợp còn lại dùng (∗) để đưa về phương trình trùng phương theo t. r
−p
> Nếu phương trình có 3 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| > 2
3
r
−p
bằng phép đặt (∗) (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo t). Khi thì
|y| 6 2
3
|y|
đặt r
= cos α, từ đó tìm α, suy ra 3 nghiệm y.
−p
2
3
Còn khi p > 0 không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất:
Bài 5: Giải phương trình3 +
x 6x + 4 = 0
Giải
1
để đưa về phương trình trùng phương. Để ý
t
2
phép đặt này không cần điều kiện của x, vì nó tương đương
− 1)k(t
− xt = 0. Phương trình
trên luôn có nghiệm theo t.
Như vậy từ phương trình đầu ta được
~ Ý tưởng: Ta sẽ dùng phép đặt x =t k−
k3 t3 −
1
t3
− 3k3 t −
1
1
+ 6k t −
+4=0
t
t
15
√
3
Cần chọn k thoả 3k
= 6k ⇒ k = 2
Vậy ta có lời giải bài toán như sau:
~ Lời giải:
√
1
Đặt x = 2 t −
ta có phương trình
t
√
1
2 2 t3 − 3
t
√
+ 4 = 0 ⇔ 6t− 1 + 2t3 = 0 ⇔ t1,2 =
s
3
√
−1 ± 3
√
2
Lưu ý rằng 1t.t2 = s−1 theo địnhs lý Viete nên
ta chỉ nhận được một giá trị của x là
√
√ !
√
−1 + 3 3 −1 − 3
√
√
x = t1 + t2 = 2 3
+
.2
2
2
Bài 6: Giải phương trình 34x
− 3x = m với |m| > 1
Giải
Nhận xét rằng khi|x| 6 1 thì |V T |6 1 < |m| (sai) nên |x|> 1. Vì vậy ta có thể đặt
1
1
x=
t+ .
2
t
Ta có phương trình tương đương:
1 3 1
t + 3 =m
2
t
Từ đó:
p3
p3
√
√
√
1 p3
t = m ± m2 − 1 ⇒ x =
m + m2 − 1 + m − m2 − 1 .
2
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Giả sử phương trình có nghiệm
x x0 6∈ [−1, 1] vì
> 1. Khi đó:
0 thì
0| |x
3
4x3 − 3x = 4x
0
0 − 3x
hay
(x − x0)(4x2 + 4xx0 + 4x20 − 3) = 0
Xét phương trình:
4x2 + 4xx0 + 4x20 − 3 = 0
2
có ∆0 = 12 − 12x
0 < 0 nên phương trình bậc hai này vô nghiệm.
Vậy phương trình đầu bài có nghiệm duy nhất là
x=
p3
√
√
1 p3
m + m2 − 1 + m − m2 − 1 .
2
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) x3 + 2x2 + 3x + 1 = 0
b) 2x3 + 5x2 + 4x + 2 = 0
c) x3 − 5x2 + 4x + 1 = 0
16
√
2
d) 8x3 + 24x
+ 6x − 10 − 3
6=0
Bài 2: Giải và biện luận phương trình:
4x3 + 3x = m với m ∈ R
Bài 3: Giải và biện luận phương trình:
x3 + ax2 + bx + c = 0
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
2
[1] Phương trình dạng4 ax
+ bx3 + cx2 + bkx + ak
= 0 (1)
Ta có
2
2
(1) ⇔ a(x4 + 2x2.k + k2) + bx(x
+ k) + (c − 2ak)x
=0
2
⇔ a(x2 + k)2 + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x
=0
Đến đây có hai hướng để giải quyết:
2
Cách 1: Đưa phương trình về dạng
=AB2:
Thêm bớt, biến đổi vế trái thành dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng, chuy
các hạng tử chứa2 sang
x
bên phải.
2
Cách 2: Đặt y = x+ k ⇒ y > k
2
Phương trình (1) trở thành2ay
+ bxy + (c − 2ak)x
=0
Tính x theo y hoặc y theo x để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn x.
2
Ví dụ: Giải phương trình:4 −
x 8x3 + 21x
− 24x + 9 = 0 (1.1)
Cách 1:
2
2
2
2
(1.1) ⇔ (x4 + 9 + 6x
) − 8(x2 + 3) + 16x
= 16x2 − 21x
+ 6x2 ⇔ (x 2 − 4x + 3)
= x2
√
"
"
5 − 13
x2 − 4x + 3 = x
x2 − 5x + 3 = 0 x =
2√
⇔
⇔
⇔
5 + 13
x2 − 4x + 3 = −x
x2 − 3x + 3 = 0
x=
2
Cách 2:
2
2
2
(1.1) ⇔ (x4 + 6x2 + 9) − 8x(x
+ 3) + 15x
= 0 ⇔ (x2 + 3)2 − 8x(x2 + 3) + 15x
"= 0
y = 3x
2
2
Đặt y = x2 + 3. (1.1) trở thành:
−
y 8xy + 15x
= 0 ⇔ (y − 3x)(y − 5x) = 0 ⇔
y = 5x
2
Với y = 3x: Ta có x+ 3 = 3x: Phương trình vô nghiệm
√
5 − 13
x=
2√
Với y = 5x: Ta có2 x+ 3 = 5x ⇔ 2x− 5x + 3 = 0 ⇔
5 + 13
x=
(
√
√ 2)
5 + 13 5 − 13
Vậy phương trình (1.1) có tập nghiệm: S =
;
2
2
Nhận xét: Mỗi phương pháp giải có lợi thế riêng. Với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp m
17
không phải thông qua ẩn phụ. Với cách giải 2, ta sẽ có những tính toán đơn giản hơn và
nhầm lẫn.
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
3
2
1) x4 − 13x
+ 46x
− 39x + 9 = 0
4
3
2
2) 2x + 3x − 27x + 6x + 8 = 0
3) x4 − 3x3 − 6x2 + 3x + 1 = 0
2
4) 6x4 + 7x3 − 36x
− 7x + 6 = 0
4
3
2
5) x − 3x − 9x − 27x + 81 = 0
[2] Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + 2d)(2)
= ex
với ad = bc = m
Cách 1: Đưa về dạng2 =
A B2
2
2
(2) ⇔ (x + px + m)(x+ nx + m) = ex
(ad = bc = m, p = a + d, n = b + c)
!
!
p
+
n
n
−
p
p
+
n
n
−
p
⇔ x2 +
x+m−
x
x2 +
x+m+
x = ex2
2
2
2
2
!2 "
#
2
p+n
n−p
⇔ x2 +
x+m =
+ e x2
2
2
Cách 2: Xét xem x = 0 có phải là nghiệm của phương trình không.
Trường hợp x 6= 0:
!
!
m
m
(2) ⇔ x + + p x + + n = e
x
x
p
m
Đặt u = x + . Điều kiện: |u| > 2|m|
x
(2) trở thành (u + p)(u + n) = e. Đến đây giải phương trình bậc hai theo u để tìm x.
Ví dụ: Giải phương trình: (x + 4)(x + 6)(x − 2)(x − 12)2 (2.1)
= 25x
Cách 1:
2
2
(2.1) ⇔ (x2 + 10x + 24)(x
− 14x + 24) = 25x
2
⇔ (x 2 − 2x + 24 + 12x)(x
− 2x + 24 − 12x) = 225x
"
x2 − 2x + 24 = 13x
2
2
⇔ (x 2 − 2x + 24)
= 169x
⇔
x2 − 2x + 24 = −13x
x = −8
"
2
x − 15x + 24 = 0 x = −3
⇔
⇔
√
x2 + 11x + 24 = 0
15 ± 129
x=
2
Cách 2:
2
2
(2.1) ⇔ (x2 + 10x + 24)(x
− 14x + 24) = 25x
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
18
24
24
+ 10 x + − 14 = 25
x
x
√
24
Đặt y = x + ⇒ |y| > 4 6. (2.1) trở thành:
x
"
y = −11
(y + 10)(y − 14) = 25 ⇔ (y + 11)(y − 15) = 0 ⇔
y = 15
Với y = −11: Ta có phương trình: "
x = −3
24
x + = −11 ⇔ x2 + 11x + 24 = 0 ⇔
x
x = −8
Với y = 15: Ta có phương trình:
√
24
15 ± 129
2
x + = 15 ⇔ x − 15x + 24 = 0 ⇔ x =
x
2
(
)
√
√
15 − 129 15 + 129
Phương trình (2.1) có tập nghiệm S−3;
= −8;
;
2
2
x 6= 0 : (2.1) ⇔x +
~ Nhận xét:Trong cách giải
2, có thể ta không cần xét x 6= 0
chia
rồi mà có thể đặt ẩn phụ
y = x2 + m để thu được phương trình bậc hai ẩn x, tham số y hoặc ngược lại.
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
1) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12)2 = 3x
2) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = 2168x
3) (x + 3)(x + 2)(x + 4)(x + 6) =2 14x
4) (x + 6)(x + 8)(x + 9)(x + 12) 2= 2x
19 2
5) 18(x + 1)(x + 2)(x + 5)(2x + 5)x=
4
[3] Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (3) với a + b = c + d = p
2
Ta có (3) ⇔ (x2 + px + ab)(x
+ px + cd) = m
Cách 1:
!
!
ab + cd ab − cd 2
ab + cd ab − cd
(3) ⇔ x2 + px +
+
x + px +
−
=m
2
2
2
2
!2
!2
ab
+
cd
ab
−
cd
⇔ x2 + px +
=m+
2
2
Bài toán quy về giải hai phương trình bậc hai theo x.
Cách 2:
p2
2
Đặt y = x + px Điều kiện: y > −. (3) trở thành:(y + ab)(y + cd) = m
4
Giải phương trình bậc 2 ẩn y để tìm x.
Ví dụ: Giải phương trình: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8 (3.1)
Cách 1:
19
Ta có
(3.1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 8
2
⇔ (x 2 + 3x + 1 − 1)(x
+ 3x + 1 + 1) = 8
"
x2 + 3x + 1 = 3
2
⇔ (x 2 + 3x + 1)
=9⇔
x2 + 3x + 1 = −3
"
√
x2 + 3x − 2 = 0
−3 ± 17
⇔
⇔x=
2
x2 + 3x + 4 = 0
Cách 2:
(3.1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 8
9
Đặt y = x2 + 3x ⇒ y > −
4
(3.1) trở thành:
"
y(y + 2) = 8 ⇔2y+ 2y − 8 = 0 ⇔
y=2
⇔y=2
y = −4(loại)
Với y = 2: Ta có phương trình:
√
−3 ± 17
x + 3x − 2 = 0 ⇔ x =
2
(
√
√ )
−3 + 17 −3 − 17
Phương trình (3.1) có tập nghiệm: S =
;
2
2
2
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
1. (x + 2)(x + 3)(x − 7)(x − 8) = 144
2. (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = 40
1
3
1
4
39879
3. x +
x+
x+
x+
=
4
5
20
5
40000
2
4. (6x + 5)
(3x + 2)(x + 1) = 35
2
5. (4x + 3)
(x + 1)(2x + 1) = 810
Nhận xét:Như dạng (2),ngoàicách đặt ẩn phụ trên,
ta có thể đăt một trong các dạng
ẩn phụ sau:
> Đặt y = x2 + px + ab
> Đặt y = x2 + px + cd
p 2
> Đặt y = x +
2
ab + cd
2
> Đặt y = x + px +
2
4
4
[4] Phương trình dạng (x +
+a)(x + b)
=c
a+b
Đặt x = y −
. (4) trở thành:
2
4
(c > 0) (4)
4
a−b
a−b
y+
+ y−
=c
2
2