Đề cương ôn tập học kỳ II môn toán 8 năm học 2017-2018 THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
Gửi bởi: Khoa CNTT - HCEM 5 tháng 3 2021 lúc 8:12:49 | Được cập nhật: 7 giờ trước (2:18:02) Kiểu file: PDF | Lượt xem: 525 | Lượt Download: 12 | File size: 2.382427 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Đề cương ôn thi học kì 1 Toán 8
- Đề cương ôn tập Toán 8 học kì 2
- Các chuyên đề ôn tập các dạng hình học toán 8
- Các chuyên đề ôn tập các dạng hình học toán 8
- Các chuyên đề ôn tập Đại số 8
- Tài liệu ôn thi HSG Toán 8 đại số
- Toán 8: Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
- Các chuyên đề ôn HSG Toán 8
- Các chuyên đề ôn toán hình lớp 8
- 350 bài tập trắc nghiệm phép nhân và phép chia các đa thức
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
1/
43
Trường THCS Ngô Sĩ Liên
Đề cương ôn tập học kỳ II – Toán 8
Năm học: 2017-2018
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
x+2
5
1
Bài 1. Cho biểu thức A =
− 2
+
x+3 x + x−6 2− x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A > 0
c) Tìm x
để A nguyên dương.
Bài 2. Cho các biểu thức A =
2 x2 + 2x
1− 2x
x +1
và B = 2
+
2
1− x
x − 3x + 2 x − 2
a) Rút gọn biểu thức A, B;
b) Tính giá trị của A khi x − 2 = 3;
c) Tính C = A – B;
d) Tìm x
để C .
Bài 3. Cho biểu thức A =
2x
x + 1 3 − 11x
x−3
và B =
với 0 x 9.
+
+
2
x +3 x −3 9− x
x +1
a) Rút gọn A;
9
b) Với P = A.B, tìm x để P = .
2
c) Tìm x để B < 1
d) Tìm số nguyên x để P = A.B là số nguyên.
1
x2 − x + 3
x2 + 2
−
B
=
Bài 4. Cho biểu thức A =
và
với 0 x 9.
x −1
x3 − 1
x2 + x + 1
a) Rút gọn A;
b) Biết P = A: (1 - B). Tìm x để P 1.
3x + 1 2 x + 1
x
x −1
Bài 5. Cho biểu thức P =
: 2
−
−
2
x + 1 x −1 1 − x x −1
a) Rút gọn P;
3
b) Tìm các giá trị của x để P =
.
x −1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A > 1
x 2 + 2 x x − 5 50 − 5 x
Bài 6. Cho biểu thức P =
+
+
2 x + 10
x
2 x ( x + 5)
a) Tìm điều kiện xác định của P;
b) Rút gọn biểu thức P.
1
c) Tìm các giá trị của x để P = 0; P = .
4
d) Tìm các giá trị của x để P > 0; P < 0.
2/
43
2x
5
2
Bài 7. Cho biểu thức P = 2
−
:3+
2 x − 5x + 3 2 x − 3 1 − x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn 2 x − 1 = 3
c) Tìm x để P > 1
d) Tìm x nguyên để P nguyên.
2x
x2 1
− 3
Bài 8. Cho biểu thức A = 1 + 2 :
2
x +1 x −1 x + x − x −1
a) Rút gọn A.
1
b) Tính giá trị của A tại x = − .
2
c) Tìm x để A< 1
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Dạng 2: Phương trình và bất phương trình
Bài 1. Giải các phương trình sau:
3x + 2 3x + 1
5
a) 5 − ( x − 6 ) = 4 ( 3 − 2 x )
d)
−
= 2x +
2
6
3
2x − 2 x + 8
x −1
b) 3 − 4 x ( 25 − 2 x ) = 8 x 2 + x − 300
e) x −
+
=7+
5
6
3
2 ( x − 3)
13 x + 4
5x + 2 8x −1 4 x + 2
−x+2=
c)
f)
−
=
−5
7
21
6
3
5
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 2 x ( x − 3) + 5 ( x − 3) = 0
d) x2 − 5x + 6 = 0
b) ( x 2 − 4 ) − ( x − 2 )( 3 − 2 x ) = 0
e) 2 x3 + 6 x 2 = x 2 + 3x
c) ( 2 x + 5 ) = ( x + 2 )
1
1
f) x + + 2 x + − 8 = 0.
x
x
2
2
2
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1
5
15
−
=
a)
x + 1 x − 2 ( x + 1)( 2 − x )
d)
1
3x 2
2x
− 3
= 2
x −1 x −1 x + x +1
e)
7
5− x
x −1
1
+ 2
=
+
8 x 4 x − 8 x 2 x ( x − 2 ) 8 x − 16
c)
f)
2
1
1
+ 2
= 2
x + 3x + 2 x + 5 x + 6 x + 4 x + 3
a) x − 5 = 3
c) 2 x + 1 = x − 1
b) −5 x = 3 x − 16
d) 2 x + 1 − 5 x − 2 = 3
b)
x −1
x
5x − 2
−
=
x + 2 x − 2 4 − x2
x+5
x −5
x + 25
− 2
= 2
2
x − 5 x 2 x + 10 x 2 x − 50
Bài 4. Giải các phương trình sau:
2
3/
43
Bài 5. Giải các bất phương trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a) ( x − 3) x 2 − 5 x + 4
f) x 2 − 4 x + 3 0
2
b) ( x − 3)( x + 3) ( x + 2 ) + 3
2
g) x3 − 2 x2 + 3x − 6 0
4x − 5 7 − x
x+2
h)
0
3
5
5
2x +1
3 − 5x 4x + 1
x+2
d)
i)
+3
−
0
2
3
4
x−3
5 x − 3 2 x + 1 2 − 3x
x −1
e)
k)
+
−5
1
5
4
2
x−3
Dạng 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 1. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi quay trở về A
người đó tăng vận tốc thêm 5km/h nên thời gian về hết ít hơn thời gian đi 40 phút. Tính
quãng đường AB?
Bài 2. Lúc 6 giờ, một ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi đến B,
người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng trong 30 phút rồi cho xe quay trở về A với vận
tốc trung bình 30km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng ô tô về đến A lúc 10 giờ cùng
ngày.
Bài 3. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Một giờ sau, một người đi xe
máy từ A và đến B trước người đi xe đạp 20 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc
của xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp.
Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 90 km trong một thời gian nhất định. Khi đi được
1 giờ người đó dừng lại nghỉ 15 phút. Trên quãng đường còn lại người đó phải tăng vận
tốc them 10 km/h để đến B đúng dự định. Tính vận tốc ban đầu của ô tô?
Bài 5. Một người đi từ A đến B với vận tốc 9km/h. Khi đi từ B trở về A người đó chọn
đường khác dài hơn đường cũ 6km, và đi với vận tốc lớn hơn lúc đi là 3km/h nên thời
gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.
Bài 6. Lúc 8h30’ một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h, đến 10h cùng ngày
một người khác đi xe máy từ B đến A với vận tốc 60km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc
mấy giờ, biết rằng họ gặp nhau tại chính giữa quãng đường.
Bài 7. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc chạy từ A đến B. Ca nô thứ nhất chạy với vận
tốc 20km/h, ca nô thứ hai chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, ca nô thứ hai dừng lại
40 phút để sửa xong vẫn đến B cùng một lúc với ca nô thứ nhất. Tính chiều dài quãng
song AB.
Bài 8. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B hết 1 giờ 10 phút và đi ngược dòng từ B
về A hết 1 giờ 30 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc của dòng nước
là 2km/h.
c)
4/
43
Bài 9. Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Tổ đã may mỗi ngày 40 áo
nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn may them được 20 chiếc áo nữa.
Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.
Bài 10. Một đội đánh cá dự định mỗi tuần đánh bắt 20 tấn cá, nhưng mỗi tuần đã vượt
mức 6 tấn nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm một tuần mà còn vượt mức đánh
bắt 10 tấn. Tính mức cá đánh bắt theo kế hoạch?
Bài 11. Hai tổ sản xuất phải dệt 140 áo len. Trong thực tế tổ 1 đã vượt mức 10% kế hoạc
của mình, tổ 2 vượt mức 5 % kế hoạch của mình nên cả hai tổ đã dệt được 150 áo len. Hỏi
theo kế hoạch mỗi tổ phải dệt được bao nhiêu áo len?
Bài 12. Hai công nhân cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ sẽ hoàn thành
xong công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc
khác, người thứ hai phải làm nốt công việc trong 10 giờ. Hỏi nếu người thứ hai làm một
mình thì bao lâu sẽ hoàn thành xong công việc.
Bài 13. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì đầy trong 3 giờ 20 phút. Người ta cho vòi
4
thứ nhất chảy 3 giờ và vòi thứ hai chảy 2 giờ thì được
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một
5
mình thì trong bao lâu mới đầy bể?
Bài 14. Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì
5
số sách ở giá thứ nhất bằng
số sách ở giá thứ hai. Tính số sách ban đầu của mỗi giá.
4
Dạng 4: Bài tập hình học.
Bài 1. Cho góc xAy. Trên tia Ax lấy 2 điểm B và C sao cho AB = 8cm, AC = 15cm. Trên tia
Ay lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 10cm, AE = 12cm.
a) CMR: ABE và ADC đồng dạng;
b) CMR: AB.DC = AD.BE;
c) Tính DC, biết BE = 10cm;
d) Gọi I là giao điểm của BE và CD. CMR: IB.IE =ID.IC.
Bài 2. Cho ABC nhọn có hai đường cao BF, CE cắt nhau tại H. Tia AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh: AEC và AFB đồng dạng;
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC rồi từ đó suy ra AEF đồng dạng với ACB.
c) Chứng minh: BDH đồng dạng BFC và BH.BF + CH.CE = BC.
d) Vẽ DM ⊥ AB tại M, DN ⊥ AC tại N. Chứng minh MN //EF.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH. Cho AB = 15cm, BC = 20cm.
a) Chứng minh: CHB CBA
b) Chứng minh: AB2 = AH . AC
c) Tính độ dài AC, BH.
d) Kẻ HK ⊥ AB tại K, HI ⊥ BC tại I. Chứng minh BKI BCA
e) Kẻ trung tuyến BM của ABC cắt KI tại N. Tính diện tích BKN .
5/
43
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD, AC là đường chéo lớn. kẻ CE vuông góc với AB taị E,
CF vuông góc với AD tại F, BI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh tam giác AIB đồng dạng với tam giác AEC.
b) Chứng minh tam giác AIE đồng dạng với tam giác ABC.
c) Chứng minh AB.AE + AF.CB = AC 2 .
d) Tia BI cắt đường thẳng CD tại Q và cắt cạnh AD tại K. Chứng minh
BI 2 = IK .IQ
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 4cm, BC = 3cm. Qua B vẽ đường thẳng
vuông góc với BD cắt DC tại E.
a) Chứng minh tam giác BDC đồng dạng với tam giác EDB, từ đó suy ra DB 2 = DC.DE;
b) Tính DB, CE;
c) Vẽ CF vuông góc với BE tại F. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Nối OE cắt CF tại I và
cắt BC tại K. Chứng minh I là trung điểm của đoạn CF.
d) Chứng minh rằng: ba điểm D,K,F thẳng hàng.
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông
góc AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của
BC. Chứng minh:
a) Chứng minh ADB
AEC và AED ACB ;
b) Chứng minh: HE.HC = HD.HB;
c) Chứng minh H, M, K thẳng hàng và góc AED bằng góc ACB.
d) AH cắt BC tại O. Chứng minh: BE.BA + CD.CA = BC 2 .
HO HD HE
e) Chứng minh
+
+
= 1;
AO BD CE
f) Chứng minh H là giao điểm các đường phân giác của tam giác ODE.
g) Cho góc ACB = 450 , gọi P là trung điểm của DC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với
BP tại I và cắt CK tại N. Tìm tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN.
h) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi? Hình chữ nhật?
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH và trung tuyến AM. Kẻ
MF vuông góc với AC tại F, FD vuông góc MC tại D. Phân giác góc C cắt FD, MF lần lượt
tại I và K. Kẻ ME vuông góc với AB tại E.
CD CI DI
=
=
a) Chứng minh
và IF = KF ;
CF CK FI
b) Tứ giác AEMF là hình gì?
c) Chứng minh AHC
MFC và AH.EB = HB.ME;
d) Chứng minh MF.AB = MF.AC;
e) Chứng minh BH.BC = 4 AE 2 .
6/
43
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại C (CA < CB). Lấy điểm I bất kì trên cạnh AB. Trên nửa
mặt phẳng AB chứa C, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Đường vuông góc với IC
cắt Ax, By lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) Chứng minh AB.NC = IN.CB.
c) Chứng minh góc MIN là góc vuông.
d) Tìm vị trí của điểm I để diện tích tam giác IMN gấp hai lần diện tích tam giác ABC.
Bài 9. Cho hình thang cân MNPQ (MN//PQ, MN < PQ), NP = 15cm, đường cao NI = 12cm,
QI =16cm.
a) Tính IP;
b) Chứng minh QN ⊥ NP ;
c) Tính diện tích hình thang MNPQ;
d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc EN tại N cắt đường thẳng PQ
tại K. Chứng minh rằng: KN 2 = KP.KQ
Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm, G là trọng tâm, O là giao điểm các đường
trung trực của tam giác. Chứng minh rằng: H, G, O thẳng hàng và HG = 2GO.
Bài 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với AB = 12cm, BC = 9cm, AE = 10cm.
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH.
b) Gọi I và O lần lượt là tâm đối xứng của hình chữ nhật EFGH và ABCD. Đường thẳng
OI song song với những mặt phẳng nào?
c) Chứng tỏ rằng hình chóp I.ABCD có các cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình
chóp
d) Tính diện tích xung quanh của hình chóp I.ABCD.
Dạng 5: Một số bài tập nâng cao.
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) a 2 + b2 + c 2 ab + bc + ca
(
)
2) 3 a 2 + b2 + c 2 ( a + b + c ) 3 ( ab + bc + ca ) \\
2
3) ( a + b + c ) 4a ( b − c )
2
x2 y 2 ( x + y )
4) a) +
a
b
a+b
2
( a 0; b 0 )
x2 y 2 z 2 ( x + y + z )
+ +
b)
a b
c
a+b+c
(
c) ( ax+by ) a 2 + b2
2
)( x
2
2
( a 0; b 0; c 0 )
+ y2 )
5) Với a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng
a 2 + b2 + c 2 3.
7/
43
Bài 2. Cho A =
2a − b 5b − a
+
. Tính giá trị của biểu thức A, biết b > a >0 và
3a − b 3a + b
10a 2 − 3b2 + ab = 0.
Bài 3. Cho x, y thỏa mãn ( x + y ) = ( x − 2 )( y + 2 ) . Tính giá trị biểu thức A = x 2 + y 2 .
2
Bài 4. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
6
2
4x + 4x + 3
1
4) D = x + ( x 4 )
x
1) A =
−4
6 + 4 x + x2
12 x + 34
5) Q = 2
x +2
2) B =
3) C =
x 2 − 3x + 3
(cho x 1 )
x2 − 2x + 1
6) E = x − 1 + 2 x − 2 + x − 3 + 4
Bài 5. 1) Cho a > 0; b > 0; c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của Q =
a 3 + b3 b3 + c 3 c 3 + a 3
+
+
ab
bc
ca
2) Tìm GTNN của A = x 2 + y 2 − xy − x + 4 y + 600
Bài 6. Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương:
mx + 5 x − 1
+
2 (1) ;
x 2 + 1) ( x + 22 ) 0 (2)
(
12
2
8/
43
Hướng dẫn giải:
Dạng 1:
x+2
5
1
− 2
+
x+3 x + x−6 2− x
2
Ta có: x + x − 6 = x 2 + 3x − 2 x − 6 = x( x + 3) − 2( x + 3) = ( x − 2)( x + 3)
Bài 1. A =
Điều kiện xác định: x 2; x −3
a) Rút gọn biểu thức A
x+2
5
1
−
−
Có A =
x + 3 ( x − 2)( x + 3) x − 2
( x + 2 )( x − 2 ) − 5 − ( x + 3) = x 2 − 4 − 5 − x − 3 = x 2 − x − 12
( x + 3)( x − 2)
( x + 3)( x − 2 ) ( x + 3)( x − 2 )
x 2 − 4 x + 3 x − 12 ( x + 3)( x − 4 ) x − 4
=
=
=
( x + 3)( x − 2 ) ( x + 3)( x − 2 ) x − 2
=
Vậy với x 2; x −3 thì A =
x−4
.
x−2
b) Tìm x để A 0
x−4
0 ..
x−2
x 4
Kết hợp điều kiện x 2; x −3 x 2
x −3
x 4
Vậy với x 2 thì A 0 .
x −3
Với x 2; x −3 để A 0 =>
c) Tìm x để A + .
Với x 2; x −3 .
x−4 x−2−2
2
Ta có A =
.
=
= 1−
x−2
x−2
x−2
2
( x − 2) U (2) ( x − 2 ) 1; 2
x − 2
2
+
+
Để A
=> 1 −
=
x 2
x 2
x−2
2 1
x 4
x 4
x − 2
Ta có bảng:
x−2
−2
−1
x
0(chọn)
1(chọn)
Vậy với x 0;1 Thì A
+
.
1
3(loại)
2
4(loại)
9/
43
Bài 2. A =
2 x2 + 2x
1 − x2
B=
1− 2x
x +1
+
x − 3x + 2 x − 2
2
1 − x 2 = (1 − x )(1 + x )
Ta có: 2
nên điều kiện xác định của A; B là x 1; x 2 .
x − 3 x + 2 = ( x − 1)( x − 2 )
a) Rút gọn biểu thức A; B .
Với x 1; x 2 , ta có:
A=
2 x ( x + 1)
2 x2 + 2 x
2x
=
=
(1 − x )(1 + x ) (1 − x )(1 + x ) 1 − x
x ( x − 2)
1− 2x
x + 1 1 − 2 x + x2 −1
x
B=
+
=
=
=
( x − 1)( x − 2 ) x − 2 ( x − 1)( x − 2 ) ( x − 1)( x − 2 ) x − 1
b) Tính giá trị A khi x − 2 = 3 .
x − 2 = 3
x = 5(tm)
Với x 1; x 2 , ta có: x − 2 = 3
x − 2 = −3 x = −1(loai )
2.5 −5
Thay x = 5 vào biểu thức A ta được A =
.
=
1− 5 2
c) Tính C = A − B .
2x
x
2x + x
3x
Với x 1; x 2 , ta có C = A − B =
−
=
=
1 − x x −1 1 − x 1 − x
d) Tìm x để C .
Với x 1; x 2
3.0
= 0 Vậy x = 0(tm) .
1− 0
3x
−3 x −3 ( x − 1) − 3
3
=
=
= −3 −
Nếu x 0 C =
1− x x −1
x −1
x −1
3
3
=
= ( x − 1) U (3) = ( x − 1) 1; 3
Để C = −3 −
x −1
x −1
Ta có bảng:
x −1
−3
3
−1
1
2 (loại)
4 (chọn)
−2 (chọn)
0 (chọn)
x
Nếu x = 0 C =
Vậy x −2;0; 4 thì C
Bài 3.
a) Với 0 x 9
A=
=
2x
x + 1 3 − 11x
2x
x + 1 3 − 11x 2 x ( x − 3) + ( x + 1)( x + 3) − ( 3 − 11x )
+
+
=
+
−
=
2
x +3 x −3 9− x
x + 3 x − 3 x2 − 9
( x + 3)( x − 3)
3 x ( x + 3)
2 x 2 − 6 x + x 2 + 3x + x − 3 + 11x
3x 2 + 9 x
3x
.
=
=
=
( x + 3)( x − 3)
( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) x − 3
10/
43
b) Với 0 x 9 , ta có: P = A.B =
3x x − 3 3x
.
.
=
x − 3 x +1 x +1
9
3x
9
= 6 x = 9. ( x + 1) 3x + 9 = 0 x = −3 (thỏa mãn)
2
x +1 2
x −3
c) Với 0 x 9 thì B 1
1 x − 3 x + 1 −3 1 (vô số nghiệm)
x +1
3 ( x + 1) − 3
3x
3
=
= 3−
d) P =
.
x +1
x +1
x +1
Để P nguyên thì ( x + 1) Ư ( 3) ( x + 1) 1; 3 x 0; −2; 2; −4
Ta có P =
Bài 4.
a) Với x 1
x 2 + x + 1 − ( x 2 − x + 3)
1
1
x2 − x + 3
x2 − x + 3
A=
−
=
−
=
x −1
x3 − 1
x − 1 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
( x − 1) ( x 2 + x + 1)
=
2 ( x − 1)
2x − 2
2
.
=
= 2
2
2
( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + 1
b) Với x 1 thì P = A : (1 − B ) =
x2 + x + 1 − ( x2 + 2)
2
x2 + 2
2
−
=
:
1
:
x2 + x + 1
x2 + x + 1 x2 + x + 1
x2 + x + 1
2
2
x2 + x + 1
2
x −1
: 2
.
= 2
=
.
= 2
x + x +1 x + x +1 x + x +1 x −1
x −1
2
1 x − 1 2 x 3 (thỏa mãn).
Để P 1
x −1
x
3x + 1 2x + 1
x −1
Bài 5. P =
: 2
−
−
2
x + 1 x −1 1 − x x −1
−1
a) Điều kiện xác định: x 1, x
.
2
x
3x + 1 2 x + 1
x −1
P=
−
−
: 2
2
x +1 x −1 1− x x −1
( x − 1)2
x ( x + 1)
3 x + 1 ( x + 1)( x − 1)
=
−
+
.
2x +1
( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1)
x 2 − 2 x + 1 − x 2 − x + 3x + 1 ( x + 1)( x − 1)
=
.
2x +1
( x + 1)( x − 1)
=
2
( x + 1)( x − 1)
b) P =
.
( x + 1)( x − 1) =
2x +1
2
2x +1
−5
3
2
3
2 ( x − 1) = 3 ( 2x + 1) 2x − 2 = 6x + 3 x =
=
( TM )
4
x −1
2x + 1 x − 1
11/
43
2
1
1 2 2 x + 1 −2 x 1 − 2 −2 x −1 x <
2x +1
2
1
−1
Kết hợp với điều kiện x < và x −1, x
.
2
2
x 2 + 2 x x − 5 50 − 5 x
Bài 6. P =
+
+
2 x + 10
2 x ( x + 5)
x
c) P 1
a) ĐKXĐ: x 0, x −5 .
x ( x 2 + 2 x ) 2 ( x + 5 )( x − 5 )
x 2 + 2 x x − 5 50 − 5 x
50 − 5 x
b) P =
+
+
=
+
+
x
2 x + 10
2 x ( x + 5) 2 x ( x + 5)
2 x ( x + 5)
2 x ( x + 5)
x3 + 2 x 2 + 2 x 2 − 50 + 50 − 5 x x3 + 4 x 2 − 5 x x ( x − 1)( x + 5) x − 1
=
=
=
=
2 x ( x + 5)
2 x ( x + 5)
2 x ( x + 5)
2
x −1
= 0 x − 1 = 0 x = 1(TM )
2
1
x −1 1
3
P=
= 4 ( x − 1) = 2 4 x − 4 = 2 4 x = 6 x = (TM )
4
2
4
2
x −1
d) P 0
0 x − 1 0 x 1 , kết hợp với ĐK x 1 .
2
x −1
P0
0 x − 1 0 x 1 , kết hợp với ĐK x 1 và x 0, x −5 .
2
Bài 7.
a) Rút gon P
3
2x
5
2
Với x 1; x , ta có: P = 2
:3+
−
2
2 x − 5x + 3 2 x − 3 1 − x
c) P = 0
2x
5( x − 1) 3(1 − x)
2
=
−
+
:
1− x
(2 x − 3).( x − 1) (2 x − 3)(x − 1) 1 − x
2 x − (5 x − 5) 3 − 3x + 2
=
:
(2 x − 3)( x − 1)
1− x
x −1
−3x + 5
−1
=
=
(2 x − 3)( x − 1) 3 x − 5 2 x − 3
b) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn 2 x − 1 = 3
2 x − 1 = 3 2 x −1 = 3 hoặc 2 x − 1 = −3
2 x = 4 hoặc 2 x = −2
x = 2 hoặc x = −1
−1
= −1
Với x = 2 thì P =
2.2 − 3
−1
−1 1
=
=
Với x = −1 thì P =
2.( −1) − 3 −5 5
12/
43
c) Tìm x để P 1 .
−1
−1
2 − 2x
P 1
1
−1 0
0
2x − 3
2x − 3
2x − 3
2 − 2 x 0 x 1
TH1:
3 x
2 x − 3 0 x 2
2 − 2 x 0 x 1
3
TH2:
3 1 x
2
2 x − 3 0 x 2
3
Vậy để P >1 thì 1 x
2
d) Tìm x nguyên để P nguyên
−1
Để
thì: 2 x − 3 = 1 hoặc 2 x − 3 = −1 2 x = 4 hoặc 2 x = 2
2x − 3
x = 2 (TMĐK) hoặc x = 1 (KTMĐK)
Vậy để P nguyên thì x = 2
Bài 8.
a) Rút gọn A
x2 1
2x
A = 1 + 2 :
− 3
2
x +1 x −1 x + x − x −1
2 x2 + 1 1
2x
= 2
:
− 2
x + 1 x − 1 ( x + 1)( x − 1)
=
2x2 + 1
x2 + 1
2x
:
− 2
2
2
x + 1 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1)
=
2x2 + 1
( x − 1) 2
:
x 2 + 1 ( x 2 + 1)( x − 1)
2 x 2 + 1 ( x 2 + 1)( x − 1) 2 x 2 + 1
=
x2 + 1
( x − 1) 2
x −1
−1
b) Tìm giá trị của A tại x =
2
2
−1
2 +1
−1
2
= −1
Khi x =
thì A =
2
−1
−1
2
c) Tìm x để A 1 .
=
2x2 + 1
2x2 + 1
2 x2 − x + 2
1
−1 0
0 x − 1 0 x 1.
x −1
x −1
x −1
13/
43
Dạng 2: Phương trình và bất phương trình
Bài 1.
a) 5 − ( x − 6) = 4(3 − 2 x)
5 − x + 6 = 12 − 8x
− x + 8 x = 12 − 5 − 6
1
7x = 1 x =
7
1
Vậy phương trình có tập nghiệm S =
7
2
b) 3 − 4 x(25 − 2 x) = 8 x + x − 300
3 − 100 x + 8 x2 = 8 x 2 + x − 300
−101x = −303 x = 3
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3}
5x + 2 8x −1 4 x + 2
c)
−
=
−5
6
3
5
5(5x + 2) − 10(8x − 1) = 6(4 x + 2) − 50
25x + 10 − 80 x + 10 = 24 x + 12 − 50
−58
−79 x = 58 x =
79
−58
Vậy phương trình có tập nghiệm S =
79
3x + 2 3x + 1
5
d)
−
= 2x +
2
6
3
9 x + 6 − 3x − 1 = 12 x + 10
−6 x = 5 x =
−5
6
−5
Vậy phương trình có tập nghiệm S =
6
2x − 5 x + 8
x −1
e) x −
+
=7+
5
6
3
30 x − 6(2 x − 5) + 5( x + 8) = 210 + 10( x −1)
30 x −12 x + 30 + 5x + 40 = 210 + 10 x −10
13x = 130 x = 10
Vậy phương trình có tập nghiệm S= {10}
2( x − 3)
13 x + 4
5
−x+2=
f)
6 x −18 − 21x + 42 = 13x + 4 −28x = −20 x =
7
21
7
5
Vậy phương trình có tập nghiệm S =
7
14/
43
Bài 2.
x = 3
x − 3 = 0
a) 2 x( x − 3) + 5( x − 3) = 0 ( x − 3)(2 x + 5) = 0
x = −5
+
=
2
x
5
0
2
−5
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 3;
2
2
b) ( x − 4) − ( x − 2)(3 − 2 x) = 0
( x − 2)( x + 2) − ( x − 2)(3 − 2 x) = 0
x = 2
( x − 2)(3x − 1) = 0
x = 1
3
1
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2;
3
2
2
c) (2 x + 5) = ( x + 2)
(2 x + 5) 2 − ( x + 2) 2 = 0
( x + 3)(3 x + 7) = 0
x = −3
x + 3 = 0
x = −7
3 x + 7 = 0
3
−7
Vậy phương trình có tập nghiệm S = −3;
3
2
d) x − 5x + 6 = 0
x 2 − 2 x − 3x + 6 = 0
x( x − 2) − 3( x − 2) = 0
x = 2
( x − 2)( x − 3) = 0
x = 3
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2;3.
e) 2 x3 + 6 x 2 = x 2 + 3x
2 x 2 ( x + 3) − x( x + 3) = 0
x( x + 3)(2 x − 1) = 0
x = 0
x = −3
1
x =
2
1
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 0; −3;
2
15/
43
2
1
1
f) x + + 2 x + − 8 = 0( x 0)
x
x
1
Đặt x + = a
x
Khi đó phương trình trở thành: a 2 + 2a − 8 = 0
a 2 + 4a − 2a − 8 = 0
a (a + 4) − 2(a + 4) = 0
(a + 4)(a − 2) = 0
a = −4
a = 2
1
= −4
x
x2 + 4 x + 1 = 0
( x + 2)2 = 3
+Với a = -4 x +
x = 3 + 2(tm)
x = − 3 + 2(tm)
1
+Với a =2 x + = 2 x 2 − 2 x + 1 = 0 ( x − 1) 2 = 0 x = 1(tm)
x
Vậy phương trình có tập nghiệm S = { − 3 + 1; 3 + 1;1}
Bài 3. Giải PT
1
5
15
−
=
a)
ĐK; x -1; x 2
x + 1 x − 2 ( x + 1)(2 − x)
=> x − 2 − 5( x + 1) = −15
<=> x - 2 - 5x - 5 = -15
<=> -4x = -15 + 5 + 2
<=> -4x = -8
<=> x = 2 (không thoả mãn ĐK)
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
x −1
x
5x − 2
−
=
b)
ĐK: x 2 ; x −2.
x + 2 x − 2 4 − x2
=> (x - 1). (x - 2) - x(x + 2) = 2 - 5x
<=> x2 - 3x + 2 - x2 - 2x = 2 - 5x
<=> 0.x = 0
Vậy PT đã cho vô số nghiệm khác 2; -2
x+5
x −5
x + 25
− 2
= 2
c) 2
ĐK: x 0; x -5; x 5
x − 5 x 2 x + 10 x 2 x − 50
16/
43
=>
x +5
x −5
x + 25
−
=
x( x −5) 2 x( x +5) 2( x −5)( x +5)
<=> 2(x + 5)2 -(x - 5)2 = x.(x + 25)
<=> 2x2 + 20x + 50 - x2 + 10x - 25 = x2 + 25x
<=> 5x = -25
<=> x = - 5 (không thoả mãn ĐK)
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
1
3x2
2x
ĐK: x 1
−
=
3
2
x −1 x −1 x + x +1
=> x2 +x + 1 - 3x2 = 2x(x - 1)
<=> -2x2 + x + 1 - 2x2 + 2x = 0
<=> 4x2 - 3x - 1 = 0
<=> (4x + 1)(x - 1) = 0
d)
𝑥=
−1
(𝑇𝑀Đ𝐾)
4
<=>[
𝑥 = 1(𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑇𝑀Đ𝐾)
−1
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = { 4 }
e)
7
5− x
x −1
1
+
=
+
ĐK: x 0; x 2
2
8 x 4 x −8 x 2 x( x − 2) 8 x − 16
=>7(x - 2) + 2(5 - x) = 4(x - 1) + x
<=> 7x - 14+ 10 - 2x = 4x - 4 + x
<=> 0.x = 0
Vậy PT đã cho vô số nghiệm khác 0; 2
7
1
1
f) 2
+ 2
= 2
x + 3x + 2 x + 5 x + 6 x + 4 x + 3
7
1
1
+
=
<=>
ĐK: x -1; x -2; x -3
( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 1)( x + 3)
=> 7(x +3) + x + 1 = x + 2
<=> 7x + 21 + x + 1 - x = 2
<=> 7x = 20
20
<=> x =
(TMĐK)
7
20
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = { 7 }
Bài 4.
𝑥=6
𝑥−5=1
<=> [
𝑥=4
𝑥 − 5 = −1
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = {4; 6}
a)|𝑥 − 5| = 3 <=> [
17/
43
16
b) |−5𝑥| = 3𝑥 − 16 ĐK: x ≥ 3
−8𝑥 = −16
𝑥=2
−5𝑥 = 3𝑥 − 16
<=> [
<=> [
<=> [
(𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑇𝑀Đ𝐾)
2𝑥 = −16
𝑥 = −8
5𝑥 = 3𝑥 − 16
Vậy PT đã cho vô nghiệm
c) |2𝑥 + 1| = |𝑥 − 1|
2𝑥 + 1 = 𝑥 − 1
𝑥 = −2
<=>[
<=> [
2𝑥 + 1 = 1 − 𝑥
𝑥=0
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = {-2;0}
d) |2𝑥 + 1| − |5𝑥 − 2| = 3
Khi x ≤
−1
2
ta có: -2x - 1+ 5x - 2 = 3
<=> 3x = 6 <=> x = 2 (𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑇𝑀Đ𝐾)
Khi
−1
7x = 4
4
<=> x = 7 (𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑇𝑀Đ𝐾)
Khi x ≥
2
5
ta có: 2x + 1 - 5x + 2 = 3
<=> -3x = 0
<=> x = 0 (𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑇𝑀Đ𝐾)
Vậy PT đã cho vô nghiệm
Bài 5.
a) ( x − 3) x 2 − 5 x + 4
2
x2 − 6 x + 9 x2 − 5x + 4
−6 x + 5 x 4 − 9
− x −5
x5
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 5
b) ( x − 3)( x + 3) ( x + 2 ) + 3
2
x2 − 9 x2 + 4 x + 4 + 3
4x 7 + 9 x 4
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x 4
4x − 5 7 − x
c)
3
5
5. ( 4 x − 5 ) 3. ( 7 − x )
20 x − 25 21 − 3 x
23x 46
x2
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x 2
18/
43
2x +1
3 − 5x 4x + 1
+3
−
2
3
4
6. ( 2 x + 1) + 3.12 4. ( 3 − 5 x ) − 3. ( 4 x + 1)
d)
12 x + 6 + 36 12 − 20 x − 12 x − 3
12 x + 20 x + 12 x 12 − 3 − 6 − 36
44 x −33
x
−3
4
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x
5 x − 3 2 x + 1 2 − 3x
+
−5
5
4
2
4. ( 5 x − 3) + 5. ( 2 x + 1) 10. ( 2 − 3 x ) − 100
−3
4
e)
20 x − 12 + 10 x + 5 20 − 30 x − 100
20 x + 10 x + 30 x 20 − 100 + 12 − 5
60 x −73
x
−73
60
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x
−73
60
f) x 2 − 4 x + 3 0
x 2 − x − 3x + 3 0
x. ( x − 1) − 3. ( x − 1) 0
( x − 1)( x − 3) 0
x − 1 0
x 1
x 3
x − 3 0
x 3
x − 1 0
x 1
x 1
x − 3 0
x 3
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 3 hoặc x 1
g) x3 − 2 x2 + 3x − 6 0
( x3 − 2 x 2 ) + ( 3x − 6 ) 0
x 2 . ( x − 2 ) + 3. ( x − 2 ) 0
( x − 2 ) ( x 2 + 3) 0
( x − 2 ) và ( x 2 + 3) phải cùng dấu, mà ( x 2 + 3) 0x x − 2 0 x 2
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 2
19/
43
x+2
0 x + 2 0 x −2
5
KL: Vây nghiệm của bất phương trình là x −2
x+2
i)
0
x−3
x + 2 0
x −2
−2 x 3
x
−
3
0
x
3
x + 2 0
x −2
(KTM)
x − 3 0
x 3
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là −2 x 3
x −1
k)
1
x −3
x −1
x −1 x − 3
x −1− x + 3
2
−1 0
−
0
0
0
x −3
x −3 x −3
x −3
x −3
2 và x − 3 phải cùng dấu
Mà 2>0 nên x − 3 0 x 3
KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 3
Dạng 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 1.
Gọi thời gian người đó đi xe máy từ A đến B là x (giờ) ( x 0) .
2
2
+) Thời gian về ít hơn thời gian đi 40 phút ( 40 phút = giờ) nên thời gian về là: x − (giờ)
3
3
+) Lúc đi từ A đến B xe đi với vận tốc trung bình 40km / h nên quãng đường AB dài là:
40x (km)
+) Lúc đi từ B về A , xe tăng vận tốc thêm 5km / h nên quãng đường AB dài là:
h)
2
45 x − (km)
3
2
Ta có phương trình: 40 x = 45 x − x = 6 (TMĐK)
3
Vậy quãng đường AB dài là 40.6 = 240(km)
1
Bài 2. Đổi 30 phút = giờ.
2
Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x (giờ) ( x 0) .
+) Thời gian ô tô đi từ A đến B rồi trở về A (không kể thời gian giao hàng) là:
1
7
7
10 giờ − 6 giờ − giờ = giờ. => Thời gian ô tô đi từ B về A là: − x (giờ)
2
2
2
+) Ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40km / h nên quãng đường AB dài là: 40 x(km)
20/
43
7
+) Ô tô đi từ B về A với vận tốc 30km / h nên quãng đường AB dài là: 30( − x)(km)
2
7
3
Ta có phương trình: 40x = 30( − x) 70x = 105 x = (TMĐK)
2
2
3
Vậy quãng đường AB dài là: 40. = 60(km) .
2
Bài 3.
Gọi vận tốc của xe đạp là x (km/h), x > 0
Vận tốc của xe máy gấp 3 lần vận tốc của xe đạp
Vận tốc của xe máy là 3x (km/h)
Quãng đường AB dài 24 km
24 8
= (km/h)
Thời gian xe máy đi từ A đến B là
3x x
24
Thời gian xe đạp đi từ A đến B là
(km/h)
x
1
Xe máy đi sau xe đạp 1 giờ và đến B trước xe đạp 20 phút = giờ, ta có phương trình
3
24 8
1
16 4
− = 1+
= x = 12(tm)
x x
3
x 3
Vận tốc của xe máy là 12.3 = 36 (km/h)
Vậy vận tôc của xe đạp là 12 km/h, vận tốc của xe máy là 36 km/h
Bài 4.
Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), x > 0
Quãng đường AB dài 90km
90
Thời gian dự định ô tô đi từ A đến B là
(km/h)
x
Sau 1 giờ, ô tô đi được 1x = x (km/h)
Quãng đường còn lại của ô tô sau khi đi được 1 giờ là 90 – x (km)
Vận tốc của ô tô tăng thêm 10 km/h
Vận tốc của ô tô đi trên quãng đường còn lại là x + 10 (km/h)
90 − x
Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là
(giờ)
x + 10
1
Ô tô nghỉ 15 phút =
giờ và đến B đúng dự định
4
Ta có phương trình:
x = −90(ktm)
90
1 90 − x
90 5 90 − x
90
x + 410
= 1+ +
= +
=
x 2 + 50 x − 3600 = 0
x
4 x + 10
x 4 x + 10
x 4( x + 10)
x = 40(tm)
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h
21/
43
Bài 5.
Gọi chiều dài quãng đường AB là: x ( x 0, km) . Thời gian đi từ A đến B là:
x
(giờ).
9
Quãng đường người đó đi từ B về A dài là: x + 6 (km).
Vận tốc người đó đi từ B về A là: 9 + 3 = 12 (km/h). Thời gian đi từ B về A là:
x+6
(giờ).
12
1
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút = h nên ta có phương trình:
3
x x+6 1
−
= 4x − 3x − 18 = 12 x = 30(tmdk )
9 12
3
Vậy quãng đường AB dài 30km.
Bài 6.
3
Từ 8h30’ đến 10h là 1h30’ = h.
2
3
Quãng đường người đi từ A – B đã đi được trong 1h30’ là: 40. = 60 (km)
2
Gọi thời gian xe đi từ B về A đến chỗ gặp là: x ( x 0) (giờ)
Quãng đường xe đi từ B về A đến chỗ gặp là: 60x (km)
Quãng đưỡng xe đi từ A đến B đến chỗ gặp là: 60 + 40x (km)
Vì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường AB nên ta có phương trình:
60x = 40x + 60 20x = 60 x = 3(tmdk )
Vậy hai xe gặp nhau lúc: 10h + 3h = 13h .
Bài 7.
Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km, x 0 ).
x
Thời gian ca nô thứ nhất đi từ A đến B là:
(giờ).
20
x
Thời gian ca nô thứ hai đi từ A đến B là:
(giờ).
24
2
x 2 x
Do ca nô thứ hai nghỉ 40 phút = giờ nên ta có phương trình: + =
x = 40 (thỏa)
3
24 3 20
Vậy quãng đường AB dài 40 km.
Bài 8.
Gọi vận tốc riêng của ca nô là: x (km/giờ, x 0 ).
Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng là: x + 2 (km/giờ).
Vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng là: x − 2 (km/giờ).
7
1h10 ' = 6 h
Ta có:
1h30 ' = 3 h
2
22/
43
7
3
Theo đề bài ta có phương trình: (x + 2). = ( x − 2). x = 16 (thỏa mãn ĐK)
6
2
7
7
Do đó quãng đường AB bằng: ( x + 2). = (16 + 2). = 21 (km)
6
6
Vậy quãng đường AB dài 21 km.
Bài 9.
Gọi số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạc là x (áo) (x N * )
Số áo mà tổ đó đã may trên thực tế là: x + 20 (áo)
x
Thời gian tổ đó phải may theo kế hoạch là:
(ngày)
30
x+2
Thời gian thực tế tổ đó đã may là:
(ngày)
40
Theo bài ra, ta có phương trình:
x x + 20
−
=3
30
40
4 x 3( x + 20) 360
−
=
120
120
120
4 x − 3( x + 20) = 360
4x − 3x − 60 = 360
x = 420 (thỏa mãn)
Vậy số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch là 420 áo.
Bài 10.
Gọi số cá đội đánh cá phải đánh bắt theo kế hoạch là x (tấn) ( x 0)
Số cá đội đánh cá đã đánh bắt trên thực tế là x + 10 (tấn)
x
(tuần)
20
x + 10 x + 10
Thời gian thực tế đội đánh cá đã đánh bắt là:
(tuần)
=
20 + 6
26
Theo bài ra, ta có phương trình:
x x + 10
−
=1
20
26
13 x 10( x + 10) 260
−
=
260
260
260
13x − 10( x + 10) = 260
Thời gian đội đánh cá phải đánh bắt theo kế hoạch là:
13x −10 x −100 = 260
3x = 360
x = 120 (thỏa mãn)
Vậy số cá đội đánh cá phải đánh bắt theo kế hoạch là 120 (tấn)
23/
43
Bài 11.
Gọi số áo len tổ 1 phải dệt theo kế hoạch là x (áo) (x N * )
Số áo len tổ 2 phải dệt theo kế hoạch là 140 − x (áo)
10
110
Thực tế, tổ 1 đã dệt được x + 10% x = x +
x=
x (áo)
100
100
5
105
Thực tế, tổ 2 đã dệt được (140 − x) +
(140 − x) =
(140 − x) (áo)
100
100
Theo bài ra, ta có phương trình:
110
105
x+
(140 − x) = 150
100
100
110 x + 105(140 − x) = 15000
110x + 14700 −105x = 15000
5x = 300
x = 60 (thỏa mãn)
Vậy theo kế hoạch số áo len tổ 1 phải dệt là 60 (áo)
Theo kế hoạch số áo len tổ 2 phải dệt là 140 − 60 = 80 (áo)
Bài 12.
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình hoàn thành xong công việc là x (giờ) (x>12)
1
1giờ, người thứ hai làm được (công việc)
x
Vì hai công nhân cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong
1
công việc nên 1giờ hai người làm chung được
(công việc)
12
1 1
4 giờ đầu hai người làm chung được 4 = (công việc)
12 3
1 10
10 giờ sau người thứ hai làm được 10 = (công việc)
x x
1 10
10 2
10.3
Theo bài ra, ta có phương trình: + = 1
= x=
= 15 (thỏa mãn)
3 x
x 3
2
Vậy nếu người thứ hai làm một mình thì 15 giờ sẽ hoàn thành xong công việc.
10
Bài 13. Ta có: 3 giờ 20 phút =
giờ
3
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x ( giờ) ( x 0 ).
1
Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được (bể).
x
10 3
Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1: =
(bể), vậy trong một giờ vòi hai chảy một
3 10
3 1
− (bể).
mình được:
10 x
24/
43
Khi vòi thứ nhất chảy 3 giờ và vòi thứ hai chảy 2 giờ thì được
4
bể, ta có phương trình
5
1
1 3 4
3 1 4
sau: 3. + 2. − = + = x = 5 (TMĐK)
x
x 5 5
10 x 5
Vậy vòi một chảy một mình trong 5(giờ) thì đầy bể.
3 1 1
Trong một giờ vòi hai chảy một mình được:
− = (bể).
10 5 10
Vậy vòi hai chảy một mình trong 10 giờ thì đầy bể.
Bài 14.
Gọi số cuốn sách ban đầu ở giá thứ nhất là x (cuốn) ( x N * ) thì số cuốn sách ở giá thứ
hai ban đầu là 450 − x (cuốn).
Số cuốn sách lúc sau ở giá thứ nhất là x − 50 (cuốn).
Số cuốn sách lúc sau ở giá thứ hai là 450 − x + 50 = 500 − x (cuốn).
5
Vì nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất bằng
4
5
5
số sách ở giá thứ hai nên ta có phương trình: x − 50 = ( 500 − x ) x − 50 = 625 − x
4
4
9
x = 675 x = 300 (TMĐK).
4
Vậy số sách ở giá thứ nhất ban đầu là 300 cuốn. Số sách ở giá thứ hai ban đầu là 150 cuốn.
Dạng 4: Các bài tập hình học.
x
Bài 1.
C
a) CMR ABE ADC
15
Xét ABE và ADC ADC có:
B
A chung
AB 8 2
AE = 12 = 3
AD = 10 = 2
AC 15 3
AB AD 2
=
=
AE AC 3
Vậy ABE ADC (c-g-c)
b) CMR AB.DC = AD.BE
Vì ABE ADC (theo câu a)
8
A
I
10
D
12
E
y
AB BE
=
AB.DC = AD.BE (đpcm).
AD DC
c) Tính DC biết BE = 10cm.
AB BE
8
10
=
=
DC = 12,5 ( cm )
Ta có
AD DC
10 DC
25/
43
d) CMR IB.IE = ID.IC
Xét IBC và IDE
Ta có BIC = DIE (đối đỉnh)
BCI = IED (vì ABE ADC )
Suy ra IBC IDE (g-g)
IB IC
=
IB.IE = ID.IC
ID IE
Vậy IB.IE = ID.IC (đpcm).
Bài 2.
a) Chứng minh: AEC AFB
- Xét AEC và AFB :
A
+ A chung
F
CE ⊥ AB( gt ) CEA = 90
CEA = BFA = 90
BF ⊥ AC ( gt ) BFA = 90
E
N
AEC AFB (gg)
M
H
b) Chứng minh: AE.AB = AF .AC rồi từ đó suy ra
D
B
AEF ACB
AE AC
- Ta có AEC AFB
(cạnh tương ứng tỉ lệ) AE. AB = AF. AC
=
AF AB
- Xét AEF và ACB :
+
+ A chung
+ AE.AB = AF .AC (cmt)
AE AF
=
AC AB
AEF ACB (c.g.c)
c) Chứng minh: BDH BFC và BH .BF + CH .CE = BC 2
- Xét ABC
+ BF và CE là đường cao (gt)
+ BF và CE cắt nhau tại H
H là trực tâm của ABC (đ/l 3 đường cao trong tam giác)
AH là đương cao AD là đường cao AD ⊥ BC
- Xét BDH và BFC
+ BDH = 90 = BFC ( BF ⊥ AC; AD ⊥ BC )
+ B chung
BDH
BFC (gg)
BH .BF = BD.BC
BH BD
=
(cạnh tương ứng tỉ lệ)
BC BF
(1)
C
26/
43
- Xét CHD và CBE
+ CEB = DHC = 90 ( CE ⊥ AB; AD ⊥ BC )
+ B chung
CHD CBE (gg)
CH CD
(cạnh tương ứng)
=
CB CE
(2)
CH .CE = CD.CB
- Từ (1) và (2) ta có: BH .BF + CH .CE = BD.BC + CD.BC = BC ( BD + CD ) = BC.BC = BC 2
Vậy BH .BF + CH .CE = BC 2 .
d) Vẽ DM ⊥ AB tại M , DN ⊥ AC tại N . Chứng minh MN / / EF
- Ta có:
+) CE ⊥ AB ( gt )
CE / / MD HE / / MD (định lí từ vuông góc đến song song)
MD ⊥ AB ( gt )
+) BF ⊥ AC ( gt )
BF / / DN HF / / DN
ND ⊥ AC ( gt )
AMD (định lí Talet)
- Xét AEH và AMD : HE / / MD (cmt) AEH
AE AH
(cạnh tương ứng tỉ lệ)
=
AM AD
- Xét AFH và AND : HF / / DN (cmt) AFH AND (định lí Talet)
AF AH
(cạnh tương ứng tỉ lệ)
=
AN AD
AF AH AE AH
AF
AE
- Vậy
thì
=
;
=
=
EF / / MN ( định lí Talet đảo)
AN AD AM AD
AN AM
Bài 3.
a) Chứng minh CHB CBA .
A
+ Ta có BH ⊥ AC (gt) nên BHC vuông tại H .
+ Xét CHB và CBA ta có:
CHB = CBA = 900
Chung C
CHB CBA(g − g) .
b) Chứng minh AB2 = AH.AC .
Xét BHA và CBA ta có:
AHB = ABC = 90
0
H
K
M
O
N
B
I
A chung
BHA
CBA(g − g)
AB AH
=
(cặp cạnh tương ứng) AB2 = AH.AC (đpcm).
AC AB
C
27/
43
c) Tính độ dài AC, BH .
- Áp dụng định lý Py-ta-go vào ABC vuông tại B ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = 152 + 202 = 625
AC = 25cm
- Ta có: AB2 = AH.AC (chứng minh trên)
AB2 152
AH =
=
= 9cm
AC
25
- Theo ý a) và ý b), ta có: CHB CBA và BHA
CHB BHA
BH BC
BC.AH 20.9
=
BH =
=
= 12cm .
AH AB
AB
15
d) Chứng minh BKI BCA .
- Ta có: CHB
CBA nên:
BHA (chứng minh trên) BCH = ABH
(1)
- Tứ giác BKHI có: B = K = I = 900 nên là hình chữ nhật.
KI = BH (tính chất hình chữ nhật)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo BH và IK
OB = OK BOK cân tại O BKI = KBH
(2)
Từ (1), (2) BKI = BCH
- Xét BKI và BCA có:
BKI = BCH
Chung B
BKI BCA(g.g) .
e) Tính diện tích BKN .
– Ta có: BM là trung tuyến của ABC vuông tại B nên: BM = AM
AMB cân tại M
BAC = ABM
Mà: BKI = BCH (cmt) và: BAC + BCH = 900
BKI + ABM = 900 (cmt)
Suy ra: BKN vuông tại N .
- Ta có: + KI = BH = 12cm
BK KI
=
+ BKI BCA
BC CA
BC.KI 20.12
BK =
=
= 9, 6cm
CA
25
28/
43
- Xét BKN và BCA có: BNK = ABC = 900
BKN
BKN = BCA (cmt)
ACB (g.g)
2
2
S
BK 9, 6 92,16
BKN =
=
=
SACB AC 25
625
1
1
Mà: SACB = BA.BC = .15.20 = 150cm 2
2
2
92,16
92,16
SBKN =
.SACB =
.150 = 22,1184cm 2 .
625
625
Bài 4.
a) Chứng minh AIB ∽ AEC
K
F
Xét AIB và AEC có:
A là góc chung.
AIB = AEC = 900
Do đó: AIB
AEC (g.g)
b) Chứng minh AIE
D
Q
C
I
ABC
Do AIB ∽ AEC
AI AB
AI AE
=
=
AE AC
AB AC
Xét AIE và ABC có:
A
A là góc chung.
AI AE
=
AB AC
Do đó: AIE ∽ ABC (c.g.c)
c) Chứng minh: AB.AE + AF.CB = AC2
AI AE
Ta có:
=
AB.AE = AC.AI (1)
AB AC
Xét AFC và CIB có:
FAC = ICB (so le trong).
AFC = CIB = 900
Do đó: AFC ∽ CIB (g.g)
AF AC
AF CI
=
=
AF.CB = AC.CI (2)
CI CB
AC CB
Từ (1) và (2) AB. AE + AF.CB = AC. AI + AC.CI = AC.( AI + CI ) = AC 2
B
E
29/
43
d) Chứng minh: BI 2 = IK .IQ
IQ IC
=
(3) (Theo hệ quả định lí Ta-let)
IB IA
IC IB
Xét tam giác BIC có: BC / / AK
=
(4) (Theo hệ quả định lí Ta-let)
IA IK
IQ IB
Từ (3) và (4)
=
IB.IB = IK.IQ
IB IK
Xét tam giác ABI có: AB / / QC
Vậy BI2 = IK.IQ (đpcm)
Bài 5.
a) Chứng minh rằng: BDC đồng dạng với
B
A
EDB từ đó suy ra BD = DC.DE .
Xét BDC và EDB có:
2
BDC chung
O
BCD = DBE = 90
=> BDC đồng dạng với EDB (g.g)
BD DC
=
=>
=> BD2 = DC.DE
DE BD
b) Tính DB,CE .
Ta có: DCB vuông tại C
I
D
=> BD2 = BC 2 + DC 2 => BD = 5 ( cm )
BD 2 25
=
( cm )
DC
4
25
9
− 4 = ( cm )
Mà DE = DC + CE => CE = DE − DC =
4
4
c) Chứng minh được CE BD
Ta có BD2 = DC.DE => DE =
Xét EBO có: IF
Xét EDO có: IC
IF
EI
=
(hệ quả định lý Talet)
BO EO
IC
EI
=
DO =>
(hệ quả định lý Talet)
DO EO
BO =>
IF
IC
=
BO DO
Mà BO = DO ( ABCD là hình chữ nhật) => IF = IC
=> I là trung điểm của đoạn CF .
d) Chứng minh rằng ba điểm D,K ,F thẳng hàng.
=>
Xét BOK có CI
BO =>
F
K
IK
CI
=
(hệ quả đl Talet)
OK OB
C
E
30/
43
Mà IC = IF ;OD = OB =>
OK OD
=
IK
IF
Xét KOD và KIF có: DOK = FIK ( BD
CF ) ;
OK OD
=
IK
IF
=> KOD đồng dạng KIF (c.g.c)
=> OKD = IKF => OKD + DKE = IKF + DKE => DKF = 180 => D,K ,F thẳng hàng.
Bài 6.
a) Chứng minh ADB AEC và AED ACB
- Xét ADB và AEC , có:
BAD chung
BDA = CEA = 900
ADB AEC (g-g)
-Vì ADB AEC (chứng minh trên)
AD AB
AD AE
=
=
AE AC
AB AC
- Xét AED và ACB , có
BAD chung
AD AE
(chứng minh trên)
=
AB AC
AED ACB (c-g-c)
b) Chứng minh: HE.HC = HD.HB
- Xét BHE và CHD , có
BHE = CHD (đối đỉnh)
BEH = CDH = 900
BHE CHD ( g − g )
HB HE
(tính chất)
=
HC HD
HE.HC = HD.HB
c) Chứng minh: H , M , K thẳng hàng và AED = ACB
- Ta có
BD ⊥ AC ( gt )
BD / / CK hay BH / /CK (1) (từ ⊥ đến //)
CK ⊥ AC ( gt )
- Ta có
CE ⊥ AB ( gt )
CE / / B K hay CH / / B K ( 2 ) (từ
BK ⊥ AB ( gt )
đến //)
31/
43
- Từ (1) và ( 2 ) BHCK là hình bình hanh
BC và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà M là trung điểm của BC
M cũng là trung điểm của HK
Hay H, M, K thẳng hàng
d) AH cắt BC tại O. Chứng minh BE.BA + CD.CA = BC 2
- Xét BAO và BCE , có
ABC chung
BEC = AOB = 900
BA BO
=
( t / c ) BA.BE = BO.BC ( 3)
BC BE
CD CB
Chứng minh tương tự ta có: CDB COA ( g − g )
=
CD.CA = BC.CO ( 4 )
CO CA
Từ ( 3) và ( 4 ) BE.BA + CD.CA = BC.BO + BC.CO = BC. ( BO + CO ) = BC.BC
BAO BCE ( g .g )
BE.BA + CD.CA = BC 2 (đpcm).
HO HD HE
e) Chứng minh:
+
+
=1
AO BD CE
1
1
S BHC = HO.BC
HO.BC
S
HO
2
BHC
2
- Ta có:
=
=
1
S ABC 1 AO.BC AO
S ABC = AO.BC
2
2
1
HD.AC
S AHC 2
HD
=
=
- CMTT:
1
S ABC
BD.AC BD
2
1
HE.AB
S AHB 2
HE
=
=
Suy ra
S ABC 1 CE.AB CE
2
HO HD HE S BHC S AHC S AHB S BHC + S
+
+
=
+
+
=
AO BD CE S ABC S ABC S ABC
S
AHC
+S
AHB
ABC
=
S
S
ABC
ABC
HO HD HE
+
+
= 1( dpcm )
AO BD CE
f) Chứng minh H là giao điểm của đường phân giác của tam giác ODE
- Ta có AED ACB ( cmt ) AED = ACB (2 góc tương ứng)..
- Do BA.BE = BO.BC ( cmt )
BE BO
=
BC BA
32/
43
-Xét BEO và BCA , có:
ABC chung
BE BO
=
( cmt )
BC BA
BEO
BCA ( g .g ) BEO = ACB ( 6 )
Từ ( 5 ) và ( 6 ) AED = BEO
Ta có:
AED + DEC = 900
DEC = OEC EH là phân giác của DOE
BEO + OEC = 900
CMTT: OH là phân giác của EOD
Vậy H là giao điểm của đường phân giác của tam giác ODE
g) Cho góc ACB = 450 , Gọi P là trung điểm của DC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với
BP tại I và cắt CK tại N. Tìm tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN
- Xét vDIP và vDCN , có:
Có PDI chung
vDIP vDCN ( g − g )
2
2
S
DP 1 1
DIP =
= = .
S DCN DC 2
4
S
S
− SDIP
S
1 3
Ta có: CPIN = DCN
= 1 − DIP = 1 − = .
SDCN
SDCN
SDCN
4 4
3
.
4
h) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi? Hình chữ nhật?
- Giả sử BHCK là hình thoi
Vậy tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN bằng
HBC = HCB mà ADB AEC ABD = ACE
HBC + ABD = HCB + ACE
ABC = ACB ABC cân tại A
Vậy ABC cân tại A thì BHCK là hình thoi
- Giả sử BHCK là hình chữ nhật
BHC = 900 EHD = 900
Xét tứ giác: AEHD , có EHD = 900 , AEH = 900 , ADH = 900
AEHD là hình chữ nhật
BAC = 900
ABC vuông tại A
Vậy ABC vuông tại A thì BHCK là hình thoi.
33/
43
Bài 7.
a) Xét ∆𝐶𝐷𝐼 và ∆𝐶𝐹𝐾 có:
̂ = 𝐶𝐹𝐾
̂ = 900
𝐶𝐷𝐼
̂ = 𝐾𝐶𝐹
̂ (vì CK là tia phân giác góc
𝐶𝐷𝐼
FCM)
Do đó ∆𝐶𝐷𝐼 ~ ∆𝐶𝐹𝐾 (g.g)
𝐶𝐷
𝐶𝐼
⇒ 𝐶𝐹 = 𝐶𝐾 (1)
Xét ∆𝐶𝐷𝐹 có CI là đường phân giác của góc
ACB nên theo tính chất đường phân giác
trong tam giác ta có:
𝐶𝐷
𝐶𝐹
=
𝐷𝐼
𝐹𝐼
(2)
𝐶𝐷
𝐶𝐼
𝐷𝐼
Từ (1) và (2) suy ra 𝐶𝐹 = 𝐶𝐾 = 𝐹𝐼
̂ = 𝐶𝐾𝐹
̂ , mà 𝐶𝐼𝐷
̂ = 𝐾𝐼𝐹
̂ = 𝐾𝐼𝐹
̂ . Do đó 𝐶𝐾𝐹
̂
Vì ∆𝐶𝐷𝐼 ~ ∆𝐶𝐹𝐾 nên 𝐶𝐼𝐷
⇒∆𝐹𝐾𝐼 cân tại F ⇒ FI = FK.
̂ = 900 (Vì 𝑀𝐸˔𝐴𝐵)
b) Tứ giác AEMF có 𝐴𝐸𝑀
̂ = 900 (Vì ∆𝐴𝐵𝐶 vuông tại A); 𝐴𝐹𝑀
̂ = 900 (Vì 𝑀𝐹˔𝐴𝐶)
𝐸𝐴𝐹
Do đó tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
c) Xét ∆𝐴𝐻𝐶 và ∆𝑀𝐹𝐶 có:
̂ chung; 𝐴𝐻𝐶
̂ = 𝑀𝐹𝐶
̂ = 900
𝑀𝐹𝐶
Do đó ∆𝐴𝐻𝐶 ~ ∆𝑀𝐹𝐶 (g.g)
̂ = 𝑀𝐸𝐵
̂ = 900
Xét ∆𝐴𝐵𝐻 và ∆𝑀𝐵𝐸 có: 𝐵̂ chung; 𝐴𝐻𝐵
Do đó ∆𝐴𝐵𝐻 ~ ∆𝑀𝐵𝐸 (g.g)
𝐴𝐻
⇒ 𝑀𝐸 =
𝐵𝐻
𝐵𝐸
⇒ 𝐴𝐻. 𝐵𝐸 = 𝐵𝐻. 𝑀𝐸
d) Vì ∆𝐴𝐻𝐶 ~ ∆𝑀𝐹𝐶 nên
𝐴𝐵
𝐴𝐻
𝑀𝐹
𝐴𝐶
= 𝑀𝐶 ⇒ 𝑀𝐹. 𝐴𝐶 = 𝐴𝐻. 𝑀𝐶 (3)
𝐴𝐻
Vì ∆𝐴𝐵𝐻 ~ ∆𝑀𝐵𝐸 nên 𝑀𝐵 = 𝑀𝐸 ⇒ 𝑀𝐸. 𝐴𝐵 = 𝐴𝐻. 𝑀𝐵 (4)
Vì AM là đường trung tuyến của ∆𝐴𝐵𝐶 nên M là trung điểm của BC
⇒ 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶 (5)
Từ (3), (4), (5) ⇒ 𝑀𝐸. 𝐴𝐵 = 𝐴𝐻. 𝑀𝐵
e) Xét ∆𝐴𝐵𝐶 có M là trung điểm của BC; 𝑀𝐸 ∕∕ 𝐴𝐶 (Vì cùng vuông góc với AB).
⇒M là trung điểm của AB.
⇒ 𝐴𝐵 = 2𝐴𝐸 (6).
̂ = 𝐵𝐴𝐶
̂ = 900
Xét ∆𝐴𝐵𝐻 𝑣à ∆𝐶𝐵𝐴 có: 𝐵̂ chung; 𝐴𝐻𝐵
Do đó ∆𝐴𝐵𝐻 ~ ∆𝐶𝐵𝐴 (𝑔. 𝑔)
𝐴𝐵
⇒ 𝐵𝐶 =
𝐵𝐻
𝐴𝐵
⇒ 𝐴𝐵 2 = 𝐵𝐻. 𝐵𝐶 (7)
Từ (6), (7) ⇒ 𝐵𝐻. 𝐵𝐶 = (2𝐴𝐸)2 hay 𝐵𝐻. 𝐵𝐶 = 4𝐴𝐸 2
34/
43
Bài 8.
a) Chứng minh CAI CBN
A
Ta có ACI + ICB = 900 (do ABC vuông tại C )
I
ICB + BCN = 900 (do CI ⊥ MN)
M
Nên ACI = BCN (1)
Ta lại có CAB + CBA = 900 (do ABC vuông tại C )
x
B
C
CBA + CBN = 900 (do By ⊥ AB)
Nên CAB = CBN (2)
Từ (1) và (2) suy ra CAI CBN (g.g)
b) Chứng minh AB.NC = NI .CB .
Xét CAB và CIN , ta có:
N
y
ACB = ICN = 900
CA CI
=
(do CAI CBN)
CB CN
Suy ra CAB CIN (c.g.c)
AB CB
=
IN CN
Vậy AB.NC = NI .CB
c) Chứng minh góc MIN là góc vuông.
Ta có CAB CIN (cmt)
CAB CIN
CIM MAC
Mà CAB + MAC =900
CIN + CIM =900
Hay góc MIN là góc vuông
d) Tìm vị trí của điểm I để diện tích IMN gấp hai lần diện tích tam giác ABC .
1
SABC = CA.CB
2
1
1
SIMN = IM .IN = IC.MN
2
2
S
IM .IN IC.MN
IMN =
=
SABC CA.CB CA.CB
SIMN = 2.SABC
IM .IN = 2CACB
.
Suy ra I là trung điểm AB.
35/
43
Bài 9.
a) Tính IP .
M
N
Xét NIP có NIP = 900 (NI là đường cao):
2
2
1
NP = NI + IP (Định lý Py – ta – go)
2
2
152 = 122 + IP 2
IP 2 = 225 − 144 = 81
Q
H
E
I
P
K
IP = 9(cm)
b) Chứng minh QN ⊥ NP
Có QP = QI + IP = 16 + 9 = 25(cm)
Xét QNI có QIN = 900 (NI là đường cao):
NQ 2 = NI 2 + IQ 2 (Định lý Py – ta – go)
QN 2 = 122 + 162
QN 2 = 144 + 256 = 400
QN = 20(cm)
Xét QNP có: QP 2 = QN 2 + NP 2 (252 = 202 + 152 )
QNP vuông tại N QN ⊥ NP
c) Tính diện tích hình thang MNPQ
Kẻ MH ⊥ QP
Có IH = QP − QH − IP = 25 − 9 − 9 = 7(cm)
Xét QMH và PNI có:
MQ = NP ( MNPQ là hình thang cân)
MHQ = NIP(= 900 )
MQH = NPI ( MNPQ là hình thang cân)
QMH = PNI (ch − gn)
QH = IP = 9cm (2 cạnh tương ứng)
Xét tứ giác MNIH có MN / / IH ; MH / / NI (⊥ QP) tứ giác MNIH là hình bình hành
MN = IH = 7(cm)
S MNPQ =
( MN + QP).NI (7 + 25).12
=
= 192(cm 2 )
2
2
d) Gọi E là trung điểm của PQ . Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt PQ tại K .
Chứng minh rằng KN 2 = KP.KQ .
Xét QNP vuông tại N (cmt) có E là trung điểm của QP
36/
43
NE = QE = PE =
1
QP (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
2
QNE cân tại E
EQN = N1 (tính chất tam giác cân) (1)
N1 + ENP = 900
Mặt khác,
N1 = N 2 ( 2 )
N 2 + ENP = 900
Từ (1) và ( 2 ) EQN = N2
Xét KNQ và KPN có:
K chung
EQN = N 2
KNQ
KPN ( g.g )
KN KQ
KN 2 = KP.KQ (đpcm).
=
KP KN
A
Bài 10:
* Ta có AH // OM (cùng vuông góc với BC)
MN // AB (chứng minh được MN là đường
trung bình của ABC )
B'
N
H
BAH = OMN (góc có cạnh tương ứng song song)
G'
O
* Chứng minh tương tự ta được ABH = ONM
* Xét ABH và MNO có BAH = OMN ; ABH = ONM
A'
nên ABH đồng dạng với MNO
AH
AB
AB
AH
, mà
=
= 2 ( tc đường trung bình MN)
=2
OM MN
MN
OM
* Gọi giao điểm của HO với AM là G’, ta sẽ chứng minh G’ trùng với G.
C
B
M
- Thật vậy ta có HAG ' = G ' MO (AH //OM); AG 'H = MG ' O ( đối đỉnh) nên AHG ' đồng
AG '
AH HG '
dạng với MOG ' =>
=
=
=2
G ' M OM G ' O
=> G’ là trọng tâm ABC , hay G ' G G’. Khi đó có H, G, O thẳng hàng và HG = 2 GO
Bài 11.
AB = 12cm
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ
BC = 9cm
AE = 10cm
nhật.
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:
Stp = S xq + 2.Sd = (12 + 9 ) .2.10 + 2.12.9 = 636 ( cm 2 ) .
Thể tích hình hộp chữ nhật là:
V = AB. AD. AE = 12.9.10 = 1080 ( cm3 ) .
37/
43
b) Gọi I và O lần lượt là tâm đối xứng của hình chữ nhật EFGH và ABCD. Đường thẳng
OI song song với những mặt phẳng nào?
Ta có:
- ABFE là hình chữ nhật suy ra AE / / BF và AE = BF (1)
- BCFG là hình chữ nhật suy ra BF / /CG và BF = CG (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AE / /CG và AE = CG.
Do đó ABGC là hình bình hành.
Ta có: OA = OC và EI = IG
OI là đường trung bình của hình bình hành AEGC .
Nên OI / / AE / /CG.
Mà AE mp ( AEHD )
Do đó IO / / mp ( AEHD )
Tương tự: IO / / mp ( BCGF ) , IO / / mp ( AEFB ) , IO / / mp ( DCGH )
c) Chứng tỏ hình chóp I.ABCD có các cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình chóp
đều.
Ta có: IO / / AE; AE ⊥ AC IO ⊥ AC.
Tương tự ta có: IO ⊥ OB.
Xét IOC và IOB có:
IO chung
IOC = IOB = 90o
OC = OB (Do ABCD là hình chữ nhật)
Suy ra IOC = IOB IC = IB.
Tương tự: IA = IB = IC = ID
Suy ra hình chóp I . ABCD có các mặt bên là tam giác cân.
Mà ABCD là hình chữ nhật có AB BC
Nên hình chóp I . ABCD không là hình chóp đều.
d) Tính diện tích xung quanh của hình chóp I.ABCD.
Xét ABC vuông tại B : AC 2 = AB2 + BC 2
Suy ra AC = AB 2 + BC 2 = 122 + 92 = 15 ( cm )
AC
= 7,5 ( cm ) .
2
Xét OIC vuông tại O : IC 2 = OC 2 + OI 2
OC = OA =
Suy ra IC = OC 2 + OI 2 = 7,52 + 102 = 12,5 ( cm ) .
Kẻ IK ⊥ CB .
Xét ICB cân tại I có IK là đường cao suy ra IK là đường trung tuyến.
38/
43
Nên CH = HB =
CB 9
= = 4,5 ( cm ) .
2
2
Xét ICK vuông tại I : IK 2 = CI 2 − CH 2 IK = 12,52 − 4,52
Diện tích xung quanh của hình chóp I . ABCD là:
1
S xq = 4.SIBC = 4. IH .BC = 2.11, 66.9 = 209,88 ( cm 2 ) .
2
Dạng 5. Một số bài tập nâng cao.
Bài 1.
1) a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca
2a 2 + 2b 2 + 2c 2 2ab + 2bc + 2ca
( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( b 2 − 2bc + c 2 ) + ( c 2 − 2ca + a 2 ) 0
( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 0 (luôn đúng)
2
2
2
Dấu “=” xảy ra a = b = c
2) 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) ( a + b + c ) 3 ( ab + bc + ca )
2
(
)
Ta chứng minh: 3 a 2 + b2 + c 2 ( a + b + c )
2
3a 2 + 3b2 + 3c2 a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
2a 2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2bc + 2ca
( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 0 (luôn đúng)
2
2
2
Ta chứng minh: ( a + b + c ) 3 ( ab + bc + ca )
2
Theo trên ta có a 2 + b2 + c 2 ab + bc + ca
a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 3ab + 3bc + 3ca
( a + b + c ) 3 ( ab + bc + ca )
2
Dấu “=” xảy ra a = b = c
3) ( a + b − c ) 4a ( b − c )
2
a 2 + 2a ( b − c ) + ( b − c ) 4a ( b − c )
2
a 2 − 2a ( b − c ) + ( b − c ) 0
2
( a − b + c ) 0 (luôn đúng)
2
x2 y 2 ( x + y )
+
4a)
( a, b 0 )
a
b
a+b
Dùng phép biến đổi tương đương và a, b 0 ta có:
2
11,66 ( cm ) .
39/
43
x2 y 2 ( x + y )
2
+
x 2b ( a + b ) + y 2 a ( a + b ) ( x + y ) ab
a
b
a+b
2
2 2
x ab + x b + y 2 a 2 + y 2 ab x 2 ab + 2 xyab + y 2 ab
2
x 2b 2 − 2 xyab + y 2 a 2 0
( bx − ay ) 0 (luôn đúng)
2
Dấu “=” xảy ra bx = ay
x y
=
a b
x2 y 2 z 2 ( x + y + z )
4b)
+ +
a
b
c
a+b+c
( a, b, c 0 )
2
x2 y 2 z 2 ( x + y )
z2 ( x + y + z )
+
Ta có + +
a+b
c
a+b+c
a b c
2
Dấu “=” xảy ra
(
( a , b, c 0 )
x y z
= =
a b c
4c) ( ax + by ) a 2 + b2
2
2
)( x
2
+ y2 )
a 2 x 2 + 2abxy + b 2 y 2 a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2
2abxy a 2 y 2 + b 2 x 2
a 2 y 2 + b 2 x 2 − 2abxy 0
( ay − bx ) 0 (luôn đúng)
2
5) Với a,b,c là các số thực thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh a 2 + b2 + c 2 3
Từ ( a + b + c ) 3 ( ab + bc + ca )
2
ab + bc + ca = 6 − ( a + b + c )
(a + b + c)
ab + bc + ca
2
3
(a + b + c)
2
3
( a + b + c ) + 3 ( a + b + c ) − 18 0
2
( a + b + c + 6 )( a + b + c − 3) 0
a + b + c 3
a + b + c −6
(a + b + c)
2
32
=3
3
3
Dấu “=” xảy ra a = b = c = 1
Bài 2.
a 2 + b2 + c2
Ta có: 10a 2 − 3b2 + ab = 0 10a 2 + 6ab − 5ab − 3b2 = 0 2a ( 5a + 3b ) − b ( 5a + 3b ) = 0
( 2a − b )( 5a + 3b ) = 0 2a − b = 0 hoặc 5a + 3b = 0
40/
43
2a = b hoặc 5a = −3b (không thỏa mãn do b > a > 0)
Thay b = 2a vào biểu thức A, ta được:
2a − 2a 5.2a − a 0 9a
9 9
A=
+
= +
= 0+ =
3a − 2a 3a + 2a a 5a
5 5
9
Vậy A =
5
Bài 3.
Từ đề bài: (x + y)2 = (x - 2).(y + 2)
x2 + 2xy + y2 = xy + 2x – 2y – 4
x2 + xy + y2 – 2x + 2y + 4 = 0
2x2 + 2xy + 2y2 – 4x + 4y + 8 = 0
(x2 + 2xy + y2) + (x2 – 4x + 4) + (y2 + 4y + 4) = 0
(x + y)2 + (x - 2)2 + (y + 2)2 = 0 (*)
( x + y )2 0xy
x + y = 0
x = 2
2
Vì ( x − 2) 0x nên (*) x − 2 = 0
y = −2
y + 2 = 0
( y + 2) 2 0y
Do dó: A = 22 + (-2)2 = 8
Bài 4. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức
6
6
3
3
=
=
=
1) A = 2
2
3
1
1 1
4x + 4x + 3
4 x 2 + x + 2 x 2 + 2. x + + 2 x + 1 + 1
4
2
4 2
2
2
2
1
1
3
Ta có: 2 x + 0, x 2 x + + 1 1, x
3, x A 3
2
2
2
1
2 x + +1
2
1
1
Dấu “=” xảy ra x + = 0 x = −
2
2
1
Vậy GTNN của A là 3 tại x = −
2
−4
−4
−4
2) B =
= 2
=
2
x + 4 x + 4 + 2 ( x + 2 )2 + 2
6 + 4x + x
Ta có: ( x + 2 ) 0, x
2
( x + 2 ) + 2 2 ,x ( x + 2 ) + 2 2, x
2
2
Dấu “=” xảy ra x + 2 = 0 x = −2
Vậy GTNN của B là -2 tại x = −2
−4
( x + 2)
2
+2
−2, x B −2
41/
43
3) C =
x 2 − 3x + 3
( x 1)
x2 − 2x + 1
(x
=
2
− 2 x + 1) − x + 1 + 1
( x − 1)
2
( x − 1) − ( x − 1) + 1 = 1 − 1 + 1
=
2
x − 1 ( x + 1)2
( x − 1)
2
2
1
1
1 3
1 3
Đặt
= y C = 1 − y + y 2 = y 2 − 2. y + + = y − +
x −1
2
4 4
2 4
2
2
1
1 3 3
Ta có: y − 0 y y − + y
2
2 4 4
1
1
1
1
Dấu “=” xảy ra y − = 0 y =
= x − 1 = 2 x = 3 (TM )
2
2
x −1 2
3
Vậy GTNN của C là
tại x = 3
4
1 x 1 15 x
4) D = x + = + +
x 16 x 16
x
1
Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương
và ta có:
16
x
1 x 1 15 x
x 1 15 x
1 15 x 1 15 x
= + +
2
. +
=2
+
= +
x 16 x 16
16 x 16
16 16 2 16
15 x 15.4 15
1 15 17
Do x 4 nên
Suy ra D + =
=
16
16
4
2 4
4
x = 4 (TM )
x 1
= x 2 = 16
Dấu “=” xảy ra
16 x
x = −4 ( KTM )
17
Vậy GTNN của D là
tại x = 4
4
D = x+
12 x + 34 x 2 + 12 x + 36 − x 2 − 2 ( x + 6 )
x2 + 2 ( x + 6)
=
=
−
= 2
−1
5) Q = 2
x +2
x2 + 2
x2 + 2 x2 + 2
x +2
2
( x + 6)
2
( x + 6)
0 x
2
− 1 −1 x
x2 + 2
x2 + 2
Dấu “=” xảy ra x + 6 = 0 x = −6
Ta có:
Vậy GTNN của Q là −1 tại x = −6
6) E = x − 1 + 2 x − 2 + x − 3 + 4
E x −1 + 3 − x + 2 x − 2 + 4 = 2 x − 2 + 6 6
1 x 3
( x − 1)( 3 − x ) 0
Dấu “=” xảy ra
x=2
x = 2
x − 2 = 0
Vậy GTNN của E là 6 tại x = 2
2
42/
43
Bài 5.
a 3 + b3 b3 + c 3 c 3 + a 3
+
+
1) Cho a > 0; b > 0; c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của Q =
ab
bc
ca
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
a +b b +c c +a
a b b c c
a
Q=
+
+
=
+ + + + +
ab
bc
ca
b
a c b a
c
a2
b2
b2
c2
c2
a2
= + b + + a + + c + + b + + a + + c − 2(a + b + c)
b
a
c
b
a
c
Vì a 0, b 0, c 0
a2
b2
b2
c2
c2
a2
0, 0, 0, 0, 0, 0.
b
a
c
b
a
c
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương
a2
a2
a2
+b 2
.b = 2 a 2 = 2a.
và b có:
b
b
b
b2
b2
c2
c2
a2
+ a 2b; + c 2b; + b 2c; + a 2c; + c 2a.
Hoàn toàn tương tự ta có:
a
c
b
a
c
Suy ra Q 4 ( a + b + c ) − 2 ( a + b + c ) = 2 ( a + b + c ) = 2.6 = 12.
a2
b =ba=b
...
a = b = c = 2. Khi đó Q đạt GTNN bằng 12.
Dấu " = " xảy ra 2
a
=ca=c
c
a + b + c = 6
2) A = x 2 + y 2 − xy − x + 4 y + 600
4 A = 4 x 2 + 4 y 2 − 4 xy − 4 x + 16 y + 2400
4 A = ( 4 x 2 − 4 xy + y 2 ) − ( 4 x − 2 y ) + ( 3 y 2 + 14 y ) + 2400
7
49
49
2
4 A = ( 2 x − y ) − 2 ( 2 x − y ) + 1 + 3 y 2 + 2. y + + 2400 − 1 −
3
9
3
2
7 7148 7148
4 A = ( 2 x − y − 1) + 3 y + +
3
3
3
7148
1787
:4 A
Khi đó A
3
3
−2
x=
2 x − y − 1 = 0
3
Dấu bằng xảy ra
7
y + 3 = 0
y = −7
3
1787
−2
−7
;y=
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
khi và chỉ khi x =
3
3
3
2
43/
43
mx + 5 x − 1
+
2 (1) và (x 2 + 1)(x + 22) 0 (2)
12
2
Ta có: x 2 + 1 1, x x 2 + 1 0, x
(2) x + 22 0 x −22
mx + 5 6(x − 1) 24
(1)
+
12
12
12
mx + 5 + 6 x − 6 24
mx + 6 x 24 − 5 + 6
(m+ 6) x 25
25
- Trường hợp 1: m + 6 0 m −6 x
m+6
25
- Trường hợp 2: m + 6 0 m −6 x
m+6
m −6
m −6
m −6
−157
(1) (2) 25
−157 m =
22
= −22
m=
−22(m+ 6) = 25
22
m + 6
−157
Vậy với m =
thì hai bất phương trình đã cho tương đương.
22
Bài 6.