Đề cương ôn tập giữa học kì II Toán 11 (Chuyên), trường THPT Bảo Lộc, năm học 2020-2021

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẢO LỘC
TỔ TOÁN
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ 2 NĂM HỌC 2020-2021
LỚP 11 CHUYÊN TOÁN
I/Nội dung
Hs cần nắm vững:
-Cách tìm khoảng đơn điệu, tìm m để hàm số tăng giảm trên khoảng cho trƣớc.
-Định nghĩa cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
-Cách tìm cực trị, tìm GTLN,GTNN bằng các phƣơng pháp đã học.
-Nắm định nghĩa, tính chất của các loại góc, các loại khoảng cách trong không gian.
II/Bài tập rèn luyện
1.Giải tích

1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
1 4
x  2x2  1 ;
4

1
a) y  x 3  2 x 2  3x  1;
3

b) y 

x
e) y  2
;
x  3x  2

x2  x  1
f) y  2
;
x  x 1

i) y  x 2  x 2 ;

j) y 

c) y  x  12  x 2 ;

3x
;
1  2x

g) y 

3x  1
;
1 x

k) y 

x
.
x 4

d) y  x 3  x  2
h) y  x 2  3x  2

2

1

2. Cho hàm số y  x 3  (m  1) x 2  4 x  m  1. Định m để hàm số
3

a) Tăng trên miền xác định;

b) Tăng trên (1; ) ;

c) Tăng trên khoảng

(0;1) .

3. Tìm m để hàm số
a) y  x 3  (m  1) x 2  (2m2  3m  2)x  2m(2m  1) đồng biến trên R;
b) y 

1 m 3
x  2(2  m) x 2  2(2  m) x  5 nghịch biến trên R;
3

c) y 

xm
tăng trên từng khoảng xác định;
xm

(; 0) .

d) y  x 3  mx 2  mx  1 tăng trên

4. Định m để f ( x)  (m  3)x  (2m  1)cos x luôn luôn nghịch biến trên  .
5. Cho f(x) =

1 3 1
x   m  1 x 2   2m  1 x  m  3 . Tìm tham số m để f(x)
3
2

b) Tăng trên(1;  );

a) Tăng trên R;

c) Giảm trên (–1;0)

6. Cho f(x) = x3–(m+1)x2 –(2m2 –3m + 2)x + 2m(2m–1). Tìm tham số m để f(x)
b) Nghịch biến  x < 0?

a) Đồng biến khi x  2 ;
7. Cho f(x)=x3+mx2 +x +1. Tìm tham số m để f(x)
a) Tăng trên (– ;–1);

b) Giảm trên (–2;–1);

c) Tăng trên (  ;–1) và (2;  )

Vấn đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dấu hiệu 1. Giả sử f liên tục trên D. Xác định x0  D sao cho f / ( x0 )  0 hay
f / ( x0 ) không xác định  Xét dấu f / ( x ) khi x đi qua x0 và ta có kết quả như sau:

 Nếu f / ( x ) đổi dấu từ – sang + : f đạt cực tiểu tại điểm x  x0 ;
 Nếu f / ( x ) đổi dấu từ + sang – : f đạt cực đại tại điểm x  x0 .
Dấu hiệu 2. Giả sử f liên tục trên D . Xác định x0  D sao cho f / ( x0 )  0 hay
f / ( x0 ) không xác định  Tính f // ( x ) và ta có kết quả như sau:

 Nếu f // ( x0 )  0 : f đạt cực tiểu tại điểm x  x0 ;


Nếu f // ( x0 )  0 : f đạt cực đại tại điểm x  x0 .
TA THƢỜNG SỬ DỤNG NHỮNG KIẾN THỨC SAU

- Cách chia đa thức (thƣờng dùng với hàm số bậc 3).
- Định lí Vi-ét cho phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0)
S = x1 + x2 =

b
a

; P = x1 . x2 =

c
a

 CÓ 4,5 DẠNG

- Tìm m sao cho phƣơng trình bậc hai có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghiệm cùng dấu, 2 nghiệm
cùng dƣơng, 2 nghiệm cùng âm…
+ Phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu

 x1 < 0 < x2  P < 0

+ Phƣơng trình có 2 nghiệm phn biệt cùng dấu

 ( > 0 & P > 0)

+ Phƣơng trình có 2 nghiệm âm phân biệt
< 0)

 x1 0 & P > 0 & S

+ Phƣơng trình có 2 nghiệm dƣơng phân biệt
S>0)

 0 0 & P > 0 &

- Khoảng cách:
* Giữa 2 điểm AB  ( xB  xA )2  ( yB  yA)2
* Từ điểm M0(x0;y0) đến đƣờng thẳng (): Ax + By + C = 0 
d ( M 0 ; ) 

Ax0  By0  C
A2  B2

- Tọa độ trung điểm, điều kiện để hai vec tơ vuông góc, điều kiện để hai đƣờng thẳng vuông
góc.




 

* u v u v 0
* Hai đƣờng thẳng vuông góc  Tích hai hệ số góc bằng – 1
 Hai vec tơ pháp tuyến vuông góc với nhau  Hai vec tơ chỉ phƣơng vuông góc với nhau

BÀI TOÁN 1. HÀM SỐ TRÙNG PHƢƠNG y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
Tìm m sao cho đồ thị hs có 3 điểm cực trị A, B, C và ABC vuông(vuông cân) hoặc ABC
đều.
Trƣớc hết cần lập luận chặt chẽ: A  Oy, B đối xứng C qua Oy  AB = AC  ABC cân
tại A
Do đó +ABCvuông(vuông cân)ABCvuông(vuông cân) tại A 

 

AB AC  0

+ABC đều  AB = BC

a) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m2 có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của 1
tam giác vuông cân.
b) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2m2x2 + 1 có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một 
đều.
c) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho ABC
có bán kính đƣờng tròn nội tiếp r = 1.
HD: A  Oy, B đối xứng C qua OyAB=ACABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của
BC thì AH  BC. Tìm tọa độ H. Tính độ dài AB=AC, BC, AH.
Ta có S = pr 

1
2 AB  BC
AH .BC 
.1 ,
2
2

thế vào, giải tìm m. ĐS: m=1

1. Tìm cực trị của hàm số : a) y  x 4  2 x 2  1; b) y  x 2  2 x  3  2 x ; c)
y  x3  2 x 2  x  4 .

2. Cho (Cm) : y = x3–3x2 + 3(m+1)x –m –2 .
a) Tìm m để (Cm) có CĐ, CT với xCT < 2;
b) Tìm m để (Cm) có 2 điểm cực trị và hoành độ cực trị thuộc khoảng (-3,3);
c) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (Cm).
1
2
3. Cho (Cm): y  x 3  mx 2  x  m 
3
3

a) CMR: (Cm) luôn có 2 điểm cực trị M, N. Tìm m để MN nhỏ nhất.
b) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
4. Cho (Cm): y = x3–3mx2+3(m2–1)x –m3
a) Tìm m để (Cm) đạt cực trị tại x0=1, khi đó tại x0=1 hàm số đạt CĐ hay CT?
b) CMR: (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị có phƣơng
không đổi. CMR: khoảng cách giữa 2 điểm cực trị không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để (Cm) có xCĐ và xCT trái dấu;
d) Tìm m để (Cm) có điểm cực trị và hoành độ cực trị thuộc khoảng (–1,1)
e) Tìm m để yCT và yCĐ trái dấu (2 điểm cực trị nằm 2 phía đối với trục Ox).
5. Tìm m để đồ thị hàm số
a) y =

1 3
x
3

+ mx2 + (m + 6)x – 1 đạt cực trị tại x1; x2 thỏa

x12  x22  10 .

Viết phƣơng trình

đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
b) y = x4 – 2m2 x2 + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
) y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 –1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều O.
6. Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều?
a) (Cm ) : y  x 4  (m  3) x 2  m  3 ;

b) (Cm ) : y  x 4  2(m  1) x 2  2m  1 .

7. Cho (Cm ) : y  x 4  (m  3) x 2  2(m  1) x . Tìm m để (Cm) có CĐ và CMR: xCĐ  0.
1
1
1
8. Cho (Cm): y   x 4   2m  1 x 3   m 2  2m  2  x 2  m 2 x .
4
3
2

Tìm m để (Cm) có cực tiểu. CMR lúc này xCĐ  0.

Vấn đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Tìm tập xác định D  [a , b] của hàm số y  f ( x )  Tính đạo hàm f / ( x ) trên khoảng
(a , b)

 Xét dấu f /  x   Lập bảng biến thiên  So sánh các cực trị và f (a), f (b)  KL.
Ghi chú: Xét riêng tại hai đầu mút x  a, x  b khi tính f /  x  trên đoạn [a , b] .
1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau
a) y= x3–3x2– 9x trên  4, 4 ;

b) y = x4 – 2x2 – 1 trên [

3
;2) ;
2

c) y  x  2  4  x ;
d) y 

x  2
; y  4  x2 ;
x  4x  5
2

e) y  3x3  3x2  9 x  1 trên [-4, 4];

g) y  x4  6mx2  m2 , trên  2,1 ; i) y 
k) y = –2cos2x + 2sinx + 1 ;

x 1
trên đoạn [-2 ;1];
x x2
2

l) y = sin4x + cos2x + 2 ;

f) y 

x2
x  4x  4
2

j) y  x  x2 1 ;
m) y 

1
1  sin 2 x

2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau
b) y  x  3  6  x 

a) y  4 x 2  2 x  1  4 x 2  2 x  1 ;
2

1  x 
1  x 
b) y  
  3
 1 ;
 x 
 x 

d) y = – cos22x – 8sinxcosx + 5 trên [

c) y 
 
; ];
4 6

 x  3 6  x 

2cos2 x
 sin 2 2 x  cos2 x  sin 2 x  2

e) y = 10cos2x – 24sinxcosx – 8 .

2. Tìm m để
a) m4x   m  1 22 x 2  m  1  0, x  R ;
c)

1 2
x  2mx  2 x  m  2  0, x  R ;
2

b)

 x  4 6  x   x 2  2 x  m, x  4, 6

d) 4x

2

2 x

 m2 x

2

2 x

 m  3  0, x  R .

3. Định m để các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau có nghiệm?
a) mx  x  3  m  1;
c)

x 1  4  x  m ;

b) 4x  m 2x  m  3  0
d)

4x 2  2x  1  4x 2  2x  1  m

e)

x 3  6 x 

 x  3 6  x   m ;

f) m 92 x

x

2

  2m  1 62 x

2

x

 m4 2 x

2

x

 0.

4. ĐHSPHN-01. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phƣơng trình:
a) m9x  (m  1)3x 2  m  1  0 nghiệm đúng x   ;

b)

x 4  4mx  4m  0, x  

5. a) Định m để bpt: x  2 x 2  1  m , x  
b) Định m để pt: x  2 x 2  1  m có nghiệm? Kiểm tra lại kết quả bằng phép giải đại số?
6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y 

sin x  1
.
sin x  sin x  1
2

2.Hình học
QUAN HỆ VUÔNG GÓC

§ 1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa: d  (P)  d  a, a  (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

a, b  (P), a  b  O
 d  (P)

d  a, d  b
3. Tính chất
 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung
điểm của nó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng đó.

a b
 (P )  b
(P)  a

 TC4 

(P)  (Q)
 a  (Q)
a  ( P )

 TC5 

 TC1 

 TC2 

a  (P )
ba
b  ( P )

 TC3 

a  b
 a b
a  (P), b  (P)
(P)  (Q)
 (P) Q)
(P)  a,(Q)  a

a  ( P )
 a  P)
a  b,(P )  b

 TC6 

4. Định lí ba đường vuông góc
Cho a  (P), b  (P) , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b  a

5. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình
chiếu a’ của nó trên mp(P).

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc
giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.
Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
o Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P)
o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/
Chú ý: 00  d
,(P )  900.



a

a'

P



ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong
mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P).

ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng
a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b
nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b
vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu
a’ của a trên (P).

d

d  a ,d  b

a ,b  mp(P)  d  mp(P)
a,b caét nhau


b
P

a

a  mp(P),b  mp(P)

a

b  a  b  a'
P

a'

b

ĐL3: Nếu d   P   d vuông góc với mọi đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
ĐL4:

d // d ' 

  d '   P  ĐL5:
d   P 


 P    Q    
  d   Q  ĐL6:
d   P  , d   

 P    Q   

 P   R      R
 Q    R  
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

1. Chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
i) Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).
ii) Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P) hoặc chứng minh d // a và a  (P).
2. Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc
i) Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
ii) Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
Bài 1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA  (ABCD). Gọi H, I, K lần lƣợt là hình
chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a/ CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC).

b/ CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đƣờng thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong
một mặt phẳng.
c/ CMR: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI.
Bài 2. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC).
a/ Chứng minh: BC  (SAB);

b/ Gọi AH là đƣờng cao của SAB. CMR: AH  SC.

Bài 3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD.
a/Chứng minh: SO  (ABCD);
b/Gọi I, J lần lƣợt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD).
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC.
a/ Chứng minh: BC  (AID);

b/ Vẽ đƣờng cao AH của AID. Chứng minh: AH  (BCD).

Bài 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:
a/ BC  (OAH);

1
OH

2



1
OA

2



b/ H là trực tâm của tam giác ABC;

1
OB

2



c/

1
OC 2

Bài 6. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam
giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lƣợt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB). HD: a) a,

a a 3
,
2 2

b/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH  AC.
c/ Gọi M là một điểm thuộc đƣờng thẳng CD sao cho: BM  SA. Tính AM theo a. HD:

a 5
2

Bài 7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC  a 2 .
Gọi H và K lần lƣợt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a/ CMR: SH  (ABCD);

b/ Chứng minh: AC  SK và CK  SD.

Bài 8. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt bên SBC vuông tại B,
mặt bên SCD vuông tại D có SD = a 5 .
a/ Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA.
b/ Đƣờng thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đƣờng thẳng CB, CD lần lƣợt tại I, J. Gọi H là
hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK 
(SBC), AL  (SCD).

c/ Tính diện tích tứ giác AKHL. HD:

a) a 2 . c)

8a2
.
15

Bài 9. Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đƣờng tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên đƣờng thẳng
vuông góc với mặt phẳng chứa đƣờng tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của
D trên đƣờng tròn (O). Chứng minh rằng:
a/ Tam giác SDE vuông tại S;

b/ SD  CE;

c/Tam giác SCD vuông.

VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

Phƣơng pháp: Tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, khi đó mặt
phẳng cắt sẽ song song (hoặc chứa) với 2 đường thẳng ấy.
Bài 1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA 
(ABCD) và SA = 2a. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB. Đặt
AM = x (0 < x < a).
a/ Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện là hình gì?
b/ Tính diện tích thiết diện theo a và x. HD:

a) Hình thang vuông; b) S = 2a(a – x).

Bài 2. Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA  (ABC) và SA=2a. Mặt phẳng (P) qua B và
vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này.
Bài 3. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a. SA  (ABC) và SA = a 3 .
M là 1 điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a). Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với
AB.
a/Tìm thiết diện của tứ diện với (P).
b/Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất.
Bài 4. Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC) và SA= a. Tìm thiết diện
của tứ diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện trong các trƣờng hợp sau:
a/ (P) qua S và vuông góc với BC.
b/ (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC.
c/ (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB.
Bài 5. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA  a 2 . Vẽ đƣờng cao
AH của tam giác SAB. CMR:

SH 2
 . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình
SB 3

5a2 6
chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện. HD:
18

VẤN ĐỀ 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phƣơng pháp: Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
B1: Tìm giao điểm O của a với (P).
B2: Chon điểm A  a và dựng AH  (P). Khi đó 
AOH  (a
,(P))
Bài 1. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO  (ABCD). Gọi M, N lần


lƣợt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết ( MN
,( ABCD))  600 .
a/ Tính MN và SO;

b/ Tính góc giữa MN và (SBD).

Bài 2. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA = a 6 . Tính
góc giữa: a) SC và (ABCD); b) SC và (SAB); c) SB và (SAC);
d) AC và (SBC)

   . Biết SA, SB, SC đều
Bài 3. Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC
hợp với mặt phẳng (ABC) góc .
a/ CMR: hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đƣờng tròn ngoại tiếp ABC.
b/ Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC).
Bài 4. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA  (ABC). Đƣờng chéo BC của mặt
bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300.
a/ Tính AA. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BAC).
c/ Gọi N là trung điểm của cạnh BB. Tính góc giữa MN và (BAC).

§2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mp đó (hoặc là góc
giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm).

a

b

a

Q

P



Q

P



b





  

a  (P ), a  c  (P )  (Q)
a  ( P )
P),(Q)  a
,b
 (
 (
P),(Q)   a
, b  . Hoặc

b

(
Q
),
b

c
b  (Q)





P),(Q)  900
Chú ý: 00  (

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác. Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của





hình chiếu (H) của (H) trên (Q),  = (
P),(Q) . Khi đó: S = S.cos





3. Hai mặt phẳng vuông góc: (P)  (Q)  (
P),(Q)  900

(P)  a
 (P)  (Q)
a  (Q)

 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: 
4. Tính chất

(P)  (Q),(P)  (Q)  c
a) 
 a  (Q)
a  (P), a  c

(P )  (Q)

b)  A  (P )
 a  (P )
a  A, a  (Q)

(P )  (Q)  a

c) (P )  ( R)
 a  ( R)

(
Q
)

(
R
)


ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường
thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác
thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Q
a

a  mp(P)
 mp(Q)  mp(P)

a  mp(Q)
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông
góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào
nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến
của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt
phẳng (Q).

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông
góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì
đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc
với (Q) sẽ nằm trong (P)

P

P

(P)  (Q)

(P)  (Q)  d  a  (Q)
a  (P),a  d


a

Q

d

P

(P)  (Q)

A  (P)
 a  (P)

A  a
a  (Q)

a
A

Q

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba.

P

(P)  (Q)  a

 a  (R)
(P)  (R)
(Q)  (R)


Q
a

R

VẤN ĐỀ 1. Góc giữa hai mặt phẳng

Phƣơng pháp:





i) Tìm hai đường thẳng a, b: a  (P), b  (Q). Khi đó: (
P),(Q)   a
, b .






ii) Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng a  (P ), a  c  (
P),(Q)   a
, b
b  (Q), b  c
Bài 1. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) và SA =
a. Gọi E, F lần lƣợt là trung điểm của các cạnh AB và AC.

a/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). HD: 600

3
b/ Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC). HD: cos ((
.
SEF ),(SBC )) 
10
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA  (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc
giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600. HD: SA = a.
Bài 3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính AB =
2a; SA  (ABCD) và SA = a 3 .

a/Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC). HD: a) tan ((
SAD),(SBC ))  7

10
b/Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD). HD: b) cos ((
.
SBC ),(SCD)) 
5
Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a 3 . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng
sau:

a/ (SBC) và (ABC);

b/ (SBD) và (ABD);

Bài 5. Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =

c/ (SAB) và (SCD).

a 6
a 3
; SA  (ABCD) và SO =
.
3
3

 vuông;
a/ Chứng minh ASC
b/Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
c/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). HD: c) 600.
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) và SA = a 2 , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:

a/ (SBC) và (ABC);

b/ (SAB) và (SBC);

c/ (SBC) và (SCD).

VẤN ĐỀ 2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

1. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
i) Chứng minh trong (P) có một đường thẳng d mà d  (Q).
ii) Chứng minh (
P),(Q)  900





2. Chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
i) Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
ii) Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P).
Bài 1. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đƣờng thẳng vuông
góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD  a 6 . Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)
vuông góc với nhau.
Bài 2. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đƣờng
cao BE, DF của BCD, đƣờng cao DK của ACD.

a/ Chứng minh: AB  (BCD).
b/ Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
c/ Gọi O và H lần lƣợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH  (ADC).

Bài 3. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD).

a/ Chứng minh (SAC)  (SBD);
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
c/ Gọi BE, DF là hai đƣờng cao của SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC).
Bài 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm
lần lƣợt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM =

a
3a
, DN =
. Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN)
4
2

vuông góc với nhau.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC).

a/ Chứng minh (ABB)  (ACC).
b/ Gọi AH, AK là các đƣờng cao của ABC và ABC. Chứng minh 2 mặt phẳng
(BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK).
Bài 6. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông
góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AB.

a/CMR: SI  (ABCD), AD  (SAB);
c/Tính góc giữa SD và mp(SCI).

b/Tính góc giữa BD và mp(SAD).

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với
mp(ABC); S là 1 điểm di động trên (P) sao cho SABC là hình chóp có 2 mặt bên SAB, SAC hợp với đáy
ABC hai góc có số đo lần lƣợt là  và


2

  . Gọi H, I, J lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của S trên BC,

AB, AC..

a/Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ;
.

b/Tìm GTLN của SH và khi đó hãy tìm giá trị của

VẤN ĐỀ 3. Tính diện tích hình chiếu của đa giác

Phƣơng pháp: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H)
P),(Q) . Khi đó: S = S.cos
của (H) trên (Q),  = (





Bài 1. Cho hình thoi ABCD có đỉnh A ở trong mặt phẳng (P), các đỉnh khác không ở trong (P), BD = a,
AC = a 2 . Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta đƣợc hình vuông ABCD.

a) Tính diện tích của ABCD và ABCD. Suy ra góc giữa (ABCD) và (P).
b) Gọi E và F lần lƣợt là giao điểm của CB, CD với (P). Tính diện tích của tứ giác EFDB và
EFDB. HD:

3a2 2
3a2
a) 450 ; b) SEFDB =
; SEFDB =
4
4

Bài 2. Cho tam giác cân ABC có đƣờng cao AH = a 3 , đáy BC = 3a; BC  (P). Gọi A là hình chiếu
của A trên (P). Khi ABC vuông tại A, tính góc giữa (P) và (ABC).
Bài 3. Cho tam giác đều ABC cạnh a, nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đƣờng thẳng vuông góc với (P)
vẽ từ B và C lấy các đoạn BD 

a 2
, CE  a 2 nằm cùng một bên đối với (P).
2

a) Chứng minh tam giác ADE vuông. Tính diện tích của tam giác ADE.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (P). HD:

3
3a2
a)
b) arccos
3
4

Bài 4. Cho hình chóp SABC có các mặt bên hợp với đáy một góc .

a) Chứng minh hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đƣờng tròn nội tiếp ABC.
S
b) Chứng minh: SSAB + SSBC + SSCA =  ABC
cos 