Đề 54-ÔN TẬP FULL LỚP 12.

ĐỀ SỐ 54 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: FULL KIẾN THỨC TOÁN 12+ Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số y = e2x − e− x là 1 A. e2 x − e − x + C . B. 2e2 x + e− x + C . 2 Câu 2. Tập nghiệm của phương trình : log5 x 2 = 2 là : A. 5 . B. 5 . 1 2x −x e +e +C . 2 C. 2e2 x − e− x + C . D. C. −5 . D. . Câu 3. Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm M ( 5;1) biểu diễn số phức z . Phần ảo của số phức z là A. 5 . B. i . C. 1 . D. 5i . Câu 4. Cho ( un ) là một cấp số cộng có u1 = 3 và công sai d = 2 . Tìm u20 . A. 39 . B. 43 . C. 41 . D. 45 . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng ( Oyz ) ? A. y + z = 0 . B. x = 0 . D. z = 0 . C. y = 0 . Câu 6. Cho khối nón có diện tích đáy bằng  a 2 và đường sinh l = 5a. Tính thể tích khối nón đó. 2 8 4 A. V =  a 3 . B. V =  a 3 . C. V = 2 a3 . D. V =  a 3 . 3 3 3 Câu 7. Cho hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) . Biết F (1) = −3, F ( −2 ) = 12 . Tính I = A. I = 15 . B. I = −36 . Câu 8. Tập xác định của hàm số y = x−5 là A. ( −;0 ) . B. \ 0 . C. ( −; 0 . C. I = −15 . D. I = 9 . 1  f ( x )dx ? −2 D.  0; +  ) . Câu 9. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm thực của phương trình f ( x ) = f ( 0 ) là A. 3 . B. 0 . C. 4 . D. 2 . Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm M (1; 2;3 ) lên trục Oy là điểm A. R (1;0;0 ) . B. P (1;0;3) . C. Q ( 0; 2;0 ) . D. S ( 0; 0;3 ) . Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z − 1) = 49 . Tìm tọa độ tâm I và tính 2 2 2 bán kính R của ( S ) . A. I ( 2; −3;1) , R = 49 . B. I ( 2; −3;1) , R = 7 . C. I ( −2;3; −1) , R = 7 . D. I ( 2; −3;1) , R = 7 . m 3 x − 2mx 2 + ( m − 9 ) x + 2021 2022 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 3 m để hàm số đã cho nghịch biến trên ? Câu 12. Cho hàm số f ( x ) = HOÀNG XUÂN NHÀN 565 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. Vô số. Câu 13. Cho tứ diện đều ABCD . Gọi M là trung điểm của BC , cosin góc giữa AB và DM bằng 2 3 3 A. . B. . C. . D. 3 . 2 3 6 x − 3 y −1 z + 7 = = Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) và đường thẳng d : . Đường thẳng  2 1 −2 đi qua A và song song với d có phương trình là  x = 1 + 3t  x = 3+t  x = 1 + 2t  x = 2+t     A.  y = 2 + t . B.  y = 1 + 2t . C.  y = 2 + t . D.  y = 1 + 2t .  z = 3 − 7t  z = −7 + 3t  z = 3 − 2t  z = −2 + 3t     Câu 15. Cho log5 2 = a và log5 3 = b . Biểu diễn log5 360 dưới dạng log5 360 = ma + nb + p , với m, n, p là các số nguyên. Tính A = m + n + 2 p . A. A = 9 . B. A = 7 . C. A = 8 . D. A = 10 . Câu 16. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 2a và AC = a . Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng A. 5 a2 . B. 5 a 2 . C. 20 a2 . D. 2 5 a 2 . Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình 4x − 6.2x + 8  0 là A. ( 2; 4 ) . B. ( 0; 2 ) . C. ( −;1)  ( 2; + ) . D. (1; 2 ) . 1 bằng: x + x2 − 2 A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 1 . 2 2 2 Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + ( y −1) + ( z + 1) = 4 và mặt phẳng ( P) : 2 x + y − 2 z + 1 = 0 . Khoảng cách từ tâm I của ( S ) đến ( P) bằng 2 4 A. . B. 2. C. 1. D. . 3 3 Câu 20. Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 − x − 6 và trục hoành quay quanh trục hoành được tính theo công thức Câu 18. Tổng số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y = A.  (x 1 0 C.   3 −2 2 − x − 6 )dx . (x 2 − x − 6 )dx . 4 ( x − 2 x −11x + 12 x + 36)dx . D.   ( x − 2 x − 11x + 12 x + 36 )dx . B.   3 −2 1 4 4 3 3 2 2 0 Câu 21. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 + 2 x 2 + 3x − 4 trên đoạn  −4;0 lần lượt là 3 M và m . Giá trị của tổng M + m bằng bao nhiêu? 4 4 28 A. M + m = − . B. M + m = . C. M + m = − . D. M + m = −4 . 3 3 3 Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SBA = 30 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng: a3 a3 A. . B. . 2 4 e e ln x ln x d x dx bằng Câu 23. Xét  , nếu đặt u = ln x thì  2 x 2 x 1 1 C. a3 . 6 D. a3 . 12 HOÀNG XUÂN NHÀN 566 1 e 1 1 B.  udu . 20 A. 2  udu . 0 e 1 D.  udu . 21 C.  udu . 1 Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( 2 x + 3) + log 2 ( 3x + 1)  0 là 2 1 2 A. −  x  2 . B. −  x  2 . C. x  2 . D. x  2 . 3 3 Câu 25. Cho khối lăng trụ đều ABC. ABC có AB = 2a , M là trung điểm BC và AM = 3a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 18a 3 2 . B. 3a 3 2 . C. a3 2 . D. 9a 3 2 .  2 Câu 26. Xét I =  f ( x ) cos xdx . Nếu đặt u = f ( x ) và dv = cos xdx thì 0  A. I = ( f ( x ) sin x )  2 0   2 2 B. I = ( f ( x ) sin x ) −  f  ( x ) sin xdx . +  f  ( x ) sin xdx . 2 0 0 0     2 C. I = − ( f ( x ) sin x ) 2 −  f  ( x ) sin xdx . 2 D. I = − ( f ( x ) sin x ) 2 +  f  ( x ) sin xdx . 0 0 0 0 x +1 y + 2 z = = và mặt phẳng 2 1 1 ( P ) :( 2m + 1) x − ( 5m − 1) y − ( m + 1) z − 5 = 0 . Tìm m để  song song với ( P ) . A. m = −1 . B. m = −3 . C. m = 1. D. Không tồn tại m . 4 2 Câu 28. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x − 2mx + m + 1 có giá trị cực tiểu bằng −1. Tổng các phần tử thuộc S là A. −2 . B. 0 . C. 1 . D. −1. Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; −3;0 ) , C ( 0;0;6 ) . Tọa độ một vectơ pháp tuyến Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  : của mặt phẳng ( ABC ) là A. n = ( 2; −3;6 ) . B. n = (1; −2;3) . C. n = ( 3; −2;1) . D. n = ( 3; 2;1) . Câu 30. Ký hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z − 4z + 13 = 0. Trên mặt phẳng toạ độ, 2 điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức iz0 ? A. M1 (3;2). C. M 3 (2; −3). B. M 2 (2;3). D. M 4 (−3;2). Câu 31. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB = a, AA = a 2 . Góc giữa đường thẳng AC với mặt phẳng ( AABB ) bằng: A. 60 . C. 45 . B. 30 . Câu 32. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên D. 90 . 1 . Biết  x. f  ( x )dx = 10 và f (1) = 3 , tính 0 A. 30 . B. 7 . Câu 33. Số phức nào sau đây không phải số thuần ảo? A. z = i 3 . B. z = ( i + 1) i . 1  f ( x )dx . 0 C. 13 . D. −7 . C. z = 0 . D. z = 1 − 2 i . ( ) HOÀNG XUÂN NHÀN 567 Câu 34. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (1; 2;3) và B ( 3;3; 4 ) và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − z = 0. Gọi A, B lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên mặt phẳng ( P ) . Tính độ dài đoạn thẳng AB . 6 3 A. . B. 3 . C. 6 . D. . 2 2 Câu 35. Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 1 A.  (− x 3 + 3 x 2 + x − 3)dx. −1 1 B.  (x 3 − 3 x 2 − x + 3)dx. −1 1 C.  (x 3 − 3 x 2 + x + 3)dx. 3 − 3 x 2 − x + 3)dx. −1 3 D.  (x −1 Câu 36. Cường độ trận động đất M (Richter) được cho bởi công thức M = log A − log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter. Cũng trong cùng năm đó, một trận động đất khác ở Nam Mỹ có cường độ 9,3 độ Richter. Hỏi trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ rung chấn tối đa gấp mấy lần biên độ trận động đất ở San Francisco? A. 20 . B. 10 . C. 2 . D. 100 . Câu 37. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx − m + 1 cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + x + 2 tại ba điểm A , B và C (1;1) phân biệt sao cho ( y A − yB ) = 4 . A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . Câu 38. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = 2 AD = 2a . Tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) bằng 2 a 3 a . D. . 2 2 x y z −1 x −3 y z = , d2 : = = Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : = . Gọi M ( a, b, c ) 2 −1 1 1 1 −2 là giao điểm của d1 và d 2 . Tính a + 2b + 3c . A. 2 . B. 5 . C. 6 . D. 3 . 1 dx 8 2 Câu 40. Cho  =a b− a + ( a, b  * ) . Tính a + 2b . 3 3 x + 2 + x +1 0 A. a + 2b = −1 . B. a + 2b = 8 . C. a + 2b = 7 . D. a + 2b = 5 . x −1 y − 2 z = = Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho đương thẳng  : và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0. 1 1 −1 Phương trình đường thẳng d nằm trong ( P ) sao cho d cắt, đồng thời vuông góc với  là A. a . B. a 3 . 4 C. HOÀNG XUÂN NHÀN 568  x = 2 + 4t  A.  y = 3 + 3t . z = 1+ t   x = 2 + 4t  B.  y = 3 − 3t . z = 1+ t   x = 2 + 4t  C.  y = 3 + 3t .  z = −1 + t   x = 2 + 4t  D.  y = 3 − 3t .  z = −1 + t  Câu 42. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3a 2 . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a , thiết diện thu được là một hình vuông. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng 108 3 a . A. B. 54 a3 . C. 216 a3 . D. 108 a3 . 3 Câu 43. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau. x4 −1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng f 2 ( x) − 4 f ( x) A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Câu 44. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng góc giữa ( SBC ) và ( ABC ) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 3 a3 3 a3 3 3a 3 3 A. . B. . C. . D. . 4 16 8 16 10 − 2 + i . Khẳng định nào sau đây là đúng? Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = z 1 3 1 3 A. z  . B.  z  2 . C. z  2 . D. z   ;  . 2 2 2 2 Câu 46. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của bất phương trình Đồ thị hàm số g ( x ) = 1 + f ( x3 − 3x 2 + 1)  2 f 2 ( x3 − 3x 2 + 1) + 2 là A. B. C. D. 3. 5. 4. 2. Câu 47. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S . Xác suất để số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7 (làm tròn đến chữ số phần nghìn) có dạng 0, abc . Tính a 2 + b2 + c 2 . A. 15 . B. 10 . C. 17 . D. 16 . HOÀNG XUÂN NHÀN 569 c c = log a 3 . Gọi b ab M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = loga ab − logb bc . Tìm giá trị của Câu 48. Cho các số thực dương a; b; c khác 1 và thỏa mãn điều kiện log 2a b + logb2 c + 2 logb biểu thức S = 2m2 + 9M 2 . A. S = 28 . B. S = 25 . C. S = 26 . D. S = 27 . 2 2 2 Câu 49. Cho mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x − 2 y − 2z = 0 . Điểm A ( 2; 2;0 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) biết điểm B là một điểm thuộc mặt cầu ( S ) , có hoành độ dương và tam giác OAB đều. A. x − y + 2z = 0 . B. x − y − 2z = 0 . C. x − y − z = 0 . D. 2 − y + z = 0 . Câu 50. Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x + m . Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng ( −20; 20 ) để với mọi bộ ba số thực a, b, c   −2;1 thì f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) là độ dài ba cạnh của tam giác ? A. 24 . B. 26 . C. 28 . D. 30 . ________________HẾT________________ HOÀNG XUÂN NHÀN 570 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 54 1 D 11 D 21 C 31 B 41 D 2 B 12 A 22 D 32 D 42 D 3 C 13 C 23 B 33 B 43 C 4 C 14 C 24 D 34 D 44 B 5 B 15 B 25 B 35 B 45 D 6 A 16 B 26 B 36 B 46 C 7 C 17 D 27 C 37 B 47 C 8 B 18 B 28 B 38 D 48 D 9 A 19 D 29 C 39 C 49 C 10 C 20 B 30 A 40 B 50 B Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 54 Câu 43. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau. x4 −1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng f 2 ( x) − 4 f ( x) A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải:  f ( x) = 0 Xét f 2 ( x ) − 4 f ( x ) = 0   .  f ( x ) = 4 x = 1 f ( x) = 0   (trong đó x = 1 là nghiệm kép, x = x1 là là nghiệm đơn). Không làm mất tính  x = x1 Đồ thị hàm số g ( x ) = tổng quát, ta biểu diễn f ( x ) = a1 ( x − 1) ( x − x1 ) , a1  0 . 2  x = −1 f ( x) = 4   (trong đó x = −1 là nghiệm kép, x = x2 là là nghiệm đơn). Không làm mất tính  x = x2 tổng quát, ta biểu diễn f ( x ) − 4 = a2 ( x + 1) ( x − x2 ) , a2  0 . 2 ( x − 1)( x + 1) Ta viết lại hàm số ban đầu: g ( x ) = f x  f x − 4 2 2 ( ) ( )  HOÀNG XUÂN NHÀN 571 ( x − 1)( x + 1) ( x2 + 1) x2 + 1 . = = 2 2 a1 ( x − 1) ( x − x1 ) a2 ( x + 1) ( x − x2 ) a1a2 ( x − 1)( x + 1)( x − x1 )( x − x2 ) Choïn →C Ta thấy đồ thị hàm số y = g ( x ) có bốn đường tiệm cận đứng: x = 1, x = x1 , x = x2 . ⎯⎯⎯ Câu 44. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng góc giữa ( SBC ) và ( ABC ) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 3 A. . 4 a3 3 B. . 16 a3 3 3a 3 3 C. . D. . 8 16 Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của AB  SH ⊥ AB . Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABC ) suy ra SH ⊥ ( ABC ) . Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của BM . Khi đó: AM ⊥ BC mà HI //AM (tính chất đường trung bình), suy ra HI ⊥ BC .  BC ⊥ HI  BC ⊥ ( SHI )  BC ⊥ SI . Vì   BC ⊥ SH  ( SBC )  ( ABC ) = BC Ta có:    HI ⊥ BC , SI ⊥ BC ) ( ( )  ( SBC ) , ( ABC ) = HI , SI = SIH = 60 . a 3 1 a 3  HI = AM = . 2 2 4 3a Xét SHI vuông tại H  SH = HI  tan SIH = . 4 1 1 3a a 2 3 a 3 3 Choïn = →B Thể tích khối chóp: VS . ABC = SH  S ABC =   . ⎯⎯⎯ 3 3 4 4 16 10 − 2 + i . Khẳng định nào sau đây là đúng? Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = z 1 3 1 3 A. z  . B.  z  2 . C. z  2 . D. z   ;  . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải:   10 10 − 2 + i  (1 + 2i ) z + 2 − i =   z + 2 + ( 2 z − 1) i  .z = 10 (*) . Ta có (1 + 2i ) z = z z  a  b   Xét ABC đều cạnh a  AM = Lấy mô đun 2 vế ta được: ( z + 2) + ( 2 z − 1) 2 2 . z = 10  5 z + 5. z = 10 2 a 2 +b2  z 2 = 1 ( n) 1 3 Choïn  z = 1 . Vậy z   ;  . ⎯⎯⎯ →D  5 z + 5 z − 10 = 0   2 2 2    z = −2 (l )  4 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 572 Câu 46. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của bất phương trình 1 + f ( x3 − 3x 2 + 1)  2 f 2 ( x3 − 3x 2 + 1) + 2 là A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải: Đặt t = f ( x − 3x + 1) . Bất phương trình trở thành: 1 + t  2t 2 + 2 3 2  t  −1 t  −1   2  t = 1. 2 2 − t + 2 t − 1  0 1 + t  2 t + 2 ( )    3 2  x − 3x + 1 = a  ( −2; −1) Ta có: f ( x3 − 3x 2 + 1) = 1   3 . 2  x − 3x + 1 = b  (1; 2 ) x = 0 Xét hàm số g ( x ) = x3 − 3x 2 + 1, g  ( x ) = 3x 2 − 6 x, g  ( x ) = 0   . Bảng biến thiên g ( x ) : x = 2 Ta có: Phương trình x3 − 3 x 2 + 1 = a  ( −2; −1) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 . Phương trình x3 − 3x 2 + 1 = b  (1; 2 ) có một nghiệm x4 khác x1 , x2 , x3 . Choïn →C Vậy bất phương trình đã cho có bốn nghiệm thực. ⎯⎯⎯ Câu 47. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S . Xác suất để số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7 (làm tròn đến chữ số phần nghìn) có dạng 0, abc . Tính a 2 + b2 + c 2 . A. 15 . B. 10 . C. 17 . D. 16 . Hướng dẫn giải: ☺ Cách giải 1: Số phần tử của không gian mẫu là: n (  ) = 9.106 . HOÀNG XUÂN NHÀN 573 Gọi A là biến cố: “Số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7”. Gọi số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số tận cùng bằng 3 là: a1a2 a3a4 a5 a6 3 . ( )  ( 3.a a a a a a Ta có: a1a2 a3a4 a5 a6 3 = 10.a1a2 a3a4 a5 a6 + 3 = 3.a1a2 a3a4 a5 a6 + 7.a1a2 a3a4 a5a6 + 3 7 1 2 3 4 5 6 k là số nguyên nên k = 3m ( m  3 100 001 1 000 000 Khi đó : a1a2 a3a4 a5 a6 = 7m − 1 . Do đó: 100 000  7m − 1  999 999  . m 7 7 Đặt: 3.a1a2 a3a4 a5 a6 + 3 = 7k ( k  )  a1a2 a3a4 a5a6 = 2k − 1 + 14 285,8 Do m  ) +3 7. ). 142 857,1  m  14 286;14 287;...;142 857 . Vì vậy có 142 857 −14 286 + 1 = 128 572 giá trị của m thỏa mãn. Suy ra n ( A ) = 128 572 . Xác suất của biến cố A là: P ( A) = n ( A) 128572 =  0,014 . Suy ra: a = 0, b = 1, c = 4 . n (  ) 9.106 Choïn →C Vây a2 + b2 + c2 = 17 . ⎯⎯⎯ ☺ Cách giải 2: Số phần tử của không gian mẫu là: n (  ) = 9.106 . Gọi A là biến cố: “Số tự nhiên lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7”. Gọi số tự nhiên thỏa mãn biến cố A là X, ta có: 1 000 013  X  9 999 983 . Ta thấy số nhỏ nhất mà X có thể nhận được là 1 000 013 , số lớn nhất mà X có thể nhận là 9 999 983 . Chênh lệch giữa hai số liên tiếp thỏa mãn đề bài là 70 đơn vị. Vì vậy ta có thể thấy tập hợp các số tự nhiên X sẽ lập nên một cấp số cộng có số hạng đầu là u1 = 1 000 013 , công sai d = 70 , số hạng cuối là 9 999 983 . 9 999 983 − 1 000 013 + 1 = 128 572 (số). Do vậy số các số tự nhiên mà X có thể nhận là: 70 n ( A) 128572 Suy ra n ( A ) = 128 572 . Xác suất của biến cố A là: P ( A) = =  0,014 . n (  ) 9.106 Choïn →C Suy ra: a = 0, b = 1, c = 4 . Vây a2 + b2 + c2 = 17 . ⎯⎯⎯ c c = log a 3 . Gọi b ab M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = loga ab − logb bc . Tìm giá trị của Câu 48. Cho các số thực dương a; b; c khác 1 và thỏa mãn điều kiện log 2a b + logb2 c + 2 logb biểu thức S = 2m2 + 9M 2 . A. S = 28 . B. S = 25 . C. S = 26 . Hướng dẫn giải: D. S = 27 . logb c = x − P Ta có: P = loga ab − logb bc = loga b − logb c . Đặt log a b = x   . log a c = log a b.logb c = x ( x − P ) c c Ta có: log 2a b + logb2 c + 2 logb = log a 3 b ab 2     log a b − logb c  + 2log a b .log b c + 2 log b c − 2 = log a c − 3 − log a b   =x x−P x−P x x( x − P )  =P  HOÀNG XUÂN NHÀN 574  P 2 + 2 x ( x − P ) + 2 ( x − P ) − 2 = x ( x − P ) − 3 − x  P2 + 2x2 − 2Px + 2x − 2P − 2 = x2 − Px − 3 − x  x 2 + ( 3 − P ) x + P 2 − 2P + 1 = 0 (*). ( ) Do phương trình (*) luôn có nghiệm x nên  = ( 3 − P ) − 4 P2 − 2P + 1  0  −3P2 + 2P + 5  0 2 5 5  m = −1, M = . 3 3 Choïn 2 2 →D Thay vào ta có S = 2m + 9M = 27 . ⎯⎯⎯  −1  P  Câu 49. Cho mặt cầu (S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2 y − 2z = 0 . Điểm A ( 2; 2;0 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) biết điểm B là một điểm thuộc mặt cầu ( S ) , có hoành độ dương và tam giác OAB đều. A. x − y + 2z = 0 . B. x − y − 2z = 0 . C. x − y − z = 0 . D. 2 − y + z = 0 . Hướng dẫn giải: Gọi B ( x; y; z ) với x  0 và H trung điểm OA  H (1;1;0 ) . Gọi ( P ) là mặt phẳng trung trực đoạn OA , do đó ( P ) đi qua trung điểm H (1;1;0 ) của đoạn OA và nhận OA = ( 2; 2;0 ) làm vectơ pháp tuyến. Suy ra ( P ) : 2. ( x − 1) + 2. ( y − 1) = 0  x+ y−2=0 . B  ( P ) OB = AB x + y − 2 = 0  2   2 Theo giả thiết: OB = OA  OB = OA   x 2 + y 2 + z 2 = 8 B  S   x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2 y − 2z = 0 ( )   B  ( S ) x + y = 2 x + y = 2 x + y = 2 x + y = 2  2   2    x + y 2 + z 2 = 8   x 2 + y 2 = 4  ( x + y ) − 2 xy = 4   xy = 0 z = 2 z = 2 2 x + 2 y + 2 z = 8 z = 2     x = 2  Suy ra:  y = 0  B(2;0; 2) , (do x  0 ). z = 2  Ta có : OA = ( 2; 2;0 ) , OB = ( 2;0; 2 )  OA, OB  = ( 4; −4; −4 ) = 4 (1; −1; −1) . Mặt phẳng ( OAB ) đi qua O , nhận n = (1; −1; −1) là một vectơ pháp tuyến. Choïn →C Vậy phương trình ( OAB ) là: x − y − z = 0 . ⎯⎯⎯ Câu 50. Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x + m . Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng ( −20; 20 ) để với mọi bộ ba số thực a, b, c   −2;1 thì f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) là độ dài ba cạnh của tam giác ? B. 26 . C. 28 . Hướng dẫn giải: 3 2  Xét g ( x ) = x − 3 x + m , g ( x ) = 3 x − 3 = 0  x = 1 . A. 24 . D. 30 . Ta có: g ( −2 ) = m − 2 ; g ( −1) = m + 2 ; g (1) = m − 2 . Suy ra: m − 2  f ( x )  m + 2 , x   −2;1 . Ta có: Min f ( x )  f ( a ) , f ( b ) , f ( c )  Max f ( x ) . −2;1 −2;1 Không mất tính tổng quát, giả sử f ( a )  f ( b )  f ( c ) . Điều kiện cần và đủ để f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) là độ dài ba cạnh của tam giác là: HOÀNG XUÂN NHÀN 575 f ( a ) + f (b )  f ( c )  f ( a ) + f (b ) − f ( c )  0 . Yêu cầu bài toán cho ta điều kiện: f ( a ) + f ( b ) − f ( c )  2 Min f ( x ) − Max f ( x )  0 (1). −2;1 −2;1 Trường hợp 1: m + 2  m − 2  0  m  2 . Khi đó Max f ( x ) = Max  m − 2 ; m + 2  = m + 2 = m + 2 ; Min f ( x ) = Min  m − 2 ; m + 2  = m − 2 = m − 2 . −2;1 −2;1 + + Thay vào (1): 2 ( m − 2 ) − ( m + 2 )  0  m − 6  0  m  6 . Vì m nguyên thuộc khoảng ( −20; 20 ) nên m  7;8;...;19 , ta tìm được 13 giá trị m thỏa mãn. Trường hợp 2: m − 2  m + 2  0  m  −2 . Khi đó: Max f ( x ) = Max  m − 2 ; m + 2  = m − 2 = −m + 2 ;  −2;1 − Min f ( x ) = Min  m − 2 ; m + 2  = m + 2 = −m − 2 . −2;1 + Thay vào (1): 2 ( −m − 2 ) − ( −m + 2 )  0  m  −6 . Vì m nguyên thuộc khoảng ( −20; 20 ) nên m  −19; −18;... − 7 , ta tìm được 13 giá trị m thỏa mãn. Trường hợp 3: m − 2  0  m + 2  −2  m  2 . Khi đó: Max f ( x ) = Max  m − 2 ; m + 2  = ( m − 2) + ( m + 2) + ( m − 2) − ( m + 2) −2;1 2 Min f ( x ) = 0 . Do vậy (1) trở thành: 2.0 − ( m + 2 )  0  − m − 2  0 (vô lí). = m +2; −2;1 Choïn →B Vậy số giá trị m thỏa mãn đề bài là: 13 + 13 = 26 . ⎯⎯⎯ HOÀNG XUÂN NHÀN 576