Đề 51-SỐ PHỨC
Gửi bởi: Nguyễn Trần Thành Đạt 28 tháng 7 2021 lúc 13:30:58 | Được cập nhật: 13 giờ trước (16:26:51) | IP: 113.176.48.255 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 245 | Lượt Download: 3 | File size: 0.654497 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Các đề luyện thi TNTHPT môn Toán
- Chuyên đề sự đồng biến và nghịch biến
- Chuyên đề cực trị của hàm số
- Test công thức
- 300 câu trắc nghiệm chương Đạo hàm theo chủ đề
- 520 bài tập trắc nghiệm đạo hàm
- Đề luyện tập Chuyên đề 1 - Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
- Đề luyện tập Chuyên đề 2 - Khối đa diện
- Đề luyện tập Chuyên đề 3 - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm lôgarit
- ĐỀ 44-TỔNG HỢP (ĐẾN NGUYÊN HÀM-MẶT CẦU)
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
ĐỀ SỐ 51
ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12
HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA
Trắc nghiệm: 50 câu
Thời gian: 90 phút
Nội dung:
Giải tích: SỐ PHỨC
Câu 1. Tính môđun của số phức z = 3 + 4i .
A. 3 .
B. 5 .
C. 7 .
D.
7.
Câu 2. Số phức liên hợp của số phức z = i (1 − 2i ) có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?
A. E ( 2; −1) .
B. B ( −1; 2 ) .
C. A (1; 2 ) .
D. F ( −2;1) .
Câu 3. Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phần thực là 3 , phần ảo là 2 .
B. Phần thực là 3 , phần ảo là 2i .
C. Phần thực là −3 , phần ảo là 2i .
D. Phần thực là −3 , phần ảo là 2 .
Câu 4. Cho số phức z = 1 + 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = z + iz trên mặt phẳng
toạ độ?
A. M ( 3;3) .
B. Q ( 3; 2 ) .
C. N ( 2;3 ) .
D. P ( −3;3) .
Câu 5. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i , z2 = 1 + i . Giá trị của biểu thức z1 + 3 z2 là
A.
B. 5 .
55 .
C. 6 .
D.
61 .
Câu 6. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính iz0 .
A. iz0 = 3 − i .
B. iz0 = −3i + 1 .
C. iz0 = −3 − i .
D. iz0 = 3i −1 .
Câu 7. Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là:
A. Phần thực là 1 , phần ảo là −1.
B. Phần thực là 1 , phần ảo là − i .
C. Phần thực là 1 , phần ảo là i .
D. Phần thực là 1 , phần ảo là 1 .
Câu 8. Xác định phần ảo của số phức z = 18 − 12i .
A. −12 .
B. 18 .
C. 12 .
D. −12i .
Câu 9. Điểm biểu diễn của số phức z là M (1; 2 ) . Tọa độ của điểm biểu diễn cho số phức w = z − 2 z là
B. ( 2;1) .
A. ( 2; −3 ) .
C. ( −1; 6 ) .
D. ( 2;3 ) .
Câu 10. Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình z 2 − 4 z + 5 = 0 . Giá trị của biểu thức
P = ( z1 − 2 z2 ) .z2 − 4 z1 bằng:
A. −10 .
B. 10 .
C. −5 .
Câu 11. Cho số phức z = (1 + i ) (1 + 2i ) . Số phức z có phần ảo là:
A. 2 .
B. 4 .
C. −2 .
D. −15 .
2
D. 2i .
HOÀNG XUÂN NHÀN 534
Câu 12. Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn cho số phức
A. z = 2 − 2i + ( −5 + i ) .
B. z = (1 + 2i ) − ( 4 + i ) .
C. z = −3i + 1 .
D. z = −1 − 3i .
Câu 13. Cho số phức z = 1 + 2i . Số phức liên hợp của z là
A. z = −1 + 2i .
B. z = −1 − 2i .
C. z = 2 + i .
D. z = 1 − 2i .
Câu 14. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z =
A. ( −1; −4 ) .
( 2 − 3i )( 4 − i ) .
3 + 2i
C. (1; −4 ) .
B. (1; 4 ) .
Câu 15. Cho số phức z = a + bi ( a, b
A. z = a 2 + b2 .
D. ( −1; 4 ) .
) . Khẳng định nào sau đây sai?
B. z = a − bi .
C. z 2 là số thực.
D. z.z là số thực.
Câu 16. Cho hai số phức z1 = 3 − i và z2 = 4 − i . Tính môđun của số phức z12 + z2 .
A. 12 .
B. 10 .
C. 13 .
D. 15 .
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn (1 + z )(1 + i ) − 5 + i = 0 . Số phức w = 1 + z bằng
A. −1 + 3i .
B. 1 − 3i .
C. −2 + 3i .
D. 2 − 3i .
Câu 18. Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = 1 − 3i (1 + 2i ) + 3 − 4i ( 2 + 3i ) .
Giá trị của a − b là
A. 7 .
B. −7 .
D. −31 .
C. 31 .
Câu 19. Cho số phức z1 = 3 + 2i , z2 = 6 + 5i . Tìm số phức liên hợp của số phức z = 6 z1 + 5z2
A. z = 51 + 40i .
B. z = 51 − 40i .
C. z = 48 + 37i .
D. z = 48 − 37i .
Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = (1 + 2i ) − ( −2 + i ) . Mô đun của z bằng
A. 2 .
B. 1 .
C.
2.
D. 10 .
Câu 21. Số phức z nào sau đây thỏa z = 5 và z là số thuần ảo?
C. z = 5i .
B. z = 2 + 3i .
A. z = 5 .
D. z = − 5i .
Câu 22. Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi ( a, b , ab 0 ), M là
điểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M đối xứng với M qua Oy .
B. M đối xứng với M qua Ox .
C. M đối xứng với M qua đường thẳng y = x . D. M đối xứng với M qua O .
Câu 23. Cho hai số phức z1 = −1 + 2i , z2 = −1 − 2i . Giá trị của biểu thức z1 + z2 bằng
2
C. −6 .
B. 10 .
A. 10 .
2
D. 4 .
Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn: ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
2
Câu 25. Biết z = a + bi ( a, b
A. a + b = 5 .
)
là số phức thỏa mãn ( 3 − 2i ) z − 2iz = 15 − 8i . Tổng a + b là
B. a + b = −1.
C. a + b = 9 .
D. a + b = 1 .
HOÀNG XUÂN NHÀN 535
1
3
i . Tìm số phức w = 1 + z + z 2 .
Câu 26. Cho số phức z = − +
2 2
A. 2 − 3i .
B. 1 .
1
3
i.
D. − +
2 2
C. 0 .
Câu 27. Tính môđun của số phức z thỏa mãn: 3 z.z + 2024 ( z − z ) = 48 − 2023i.
A. z = 4 .
B. z = 2 506 .
Câu 28. Cho số phức z = a + bi ( a, b
)
1 + 3i
. Giá trị nào dưới đây là môđun của z ?
1 − 2i
C. 10 .
D. 5 .
thỏa a + ( b − 1) i =
B. 1 .
A. 5 .
D. z = 3 .
C. z = 17 7 .
Câu 29. Trong các số phức: (1 + i ) , (1 + i ) , (1 + i ) , (1 + i ) số phức nào là số phức thuần ảo?
3
A. (1 + i ) .
3
4
B. (1 + i ) .
4
Câu 30. Cho số phức z = a + bi ( a, b
P = a+b.
A. 10 .
5
)
6
C. (1 + i ) .
D. (1 + i ) .
5
6
thỏa mãn z + 2 + 5i = 5 và z.z = 82 . Tính giá trị của biểu thức
B. −8 .
C. −35 .
D. −7 .
1
?
z
1
C. − i .
m
Câu 31. Cho số phức z = mi , (m ) . Tìm phần ảo của số phức
A. −
1
.
m
B.
1
.
m
D.
1
i.
m
Câu 32. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z − 3 + 4i = 5 là
A. Một đường tròn.
B. Một đường thẳng.
C. Một đường parabol.
D. Một đường Elip.
Câu 33. Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 = −1 + i , z2 = 1 + 2i
, z3 = 2 − i , z4 = −3i . Gọi S là diện tích tứ giác ABCD . Tính S .
17
19
23
21
A. S = .
B. S = .
C. S =
.
D. S = .
2
2
2
2
Câu 34. Cho số phức z thoả mãn z + 3 − 4i = 5 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn các
số phức z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó.
A. I ( 3; −4 ) , R = 5 .
B. I ( −3; 4 ) , R = 5 .
C. I ( 3; −4 ) , R = 5 .
D. I ( −3; 4 ) , R = 5 .
Câu 35. Cho các số phức z thỏa mãn z − i = 5 . Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + 1 − i là đường
tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
A. r = 22 .
B. r = 20 .
C. r = 4 .
D. r = 5 .
Câu 36. Cho số phức thỏa z = 3 . Biết rằng tập hợp số phức w = z + i là một đường tròn. Tìm tâm của đường
tròn đó.
A. I ( 0;1) .
B. I ( 0; −1) .
C. I ( −1; 0 ) .
Câu 37. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = z + z = 1 ?
A. 0 .
B. 1 .
C. 4 .
D. I (1;0 ) .
D. 3 .
Câu 38. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z − 1 = z + z + 2 trên mặt phẳng tọa độ là một
HOÀNG XUÂN NHÀN 536
A. đường thẳng.
B. đường tròn.
Câu 39. Cho số phức z = a + bi ( a, b
)
D. hypebol.
thỏa mãn z + 2 + i − z (1 + i ) = 0 và z 1 . Tính P = a + b .
B. P = −5 .
A. P = −1.
C. parabol.
C. P = 3 .
D. P = 7 .
Câu 40. Tổng các nghiệm phức của phương trình z 3 + z 2 − 2 = 0 là
A. 1 .
B. −1.
C. 1 − i .
D. 1 + i .
Câu 41. Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4 z 2 − 16 z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ
3
điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = (1 + 2i ) z1 − i ?
2
A. M ( −2;1) .
B. M ( 3; −2 ) .
C. M ( 3; 2 ) .
D. M ( 2;1) .
Câu 42. Trên mặt phẳng phức tập hợp các số phức z = x + yi thỏa mãn z + 2 + i = z − 3i là đường thẳng có
phương trình
A. y = x + 1.
B. y = − x + 1.
Câu 43. Có bao nhiêu số phức z = a + bi ( a, b
A. 0 .
B. 1 .
C. y = − x − 1 .
D. y = x − 1 .
z − 1 z − 3i
=
= 1?
z −i
z +i
C. 2 .
D. 4 .
) thỏa mãn
Câu 44. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 1 − 3i = 3 2 và ( z + 2i ) là số thuần ảo?
2
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 45. Số phức z = a + bi ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn (1 − 3i ) z là số thực và z − 2 + 5i = 1 . Khi đó
a + b là
A. 9 .
B. 8 .
C. 6 .
Câu 46. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z + 1 =
D. 7 .
z+z
+ 3 , gọi số phức z = x + yi là số phức có
2
mô-đun nhỏ nhất. Tính S = 2022x + 2023 y + 2024 .
A. 2024 .
B. −2020 .
C. 2023 .
D. −2022
Câu 47. Cho số phức z thõa mãn z − 1 + i = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + 2 − i + z − 2 − 3i .
2
B. 38 + 8 10 .
A. 18 .
C. 18 + 2 10 .
2
B. 16 + 2 10 .
Câu 48. Cho hai số phức z , w thỏa mãn z + 2w = 3 , 2 z + 3w = 6 và z + 4w = 7 . Tính giá trị của biểu thức
P = z.w + z.w .
A. P = −14i .
B. P = −28i .
C. P = −14 .
D. P = −28 .
Câu 49. Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn z1 = 2, z2 = 3 . Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz2 .
Biết MON = 30 . Tính S = z12 + 4 z22 .
A. 5 2 .
B. 3 3 .
Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn
A. 8 .
C. 4 7 .
D.
5.
z −1
1
=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + i + 2 z − 4 + 7i .
z + 3i
2
B. 20 .
C. 2 5 .
________________HẾT________________
D. 4 5 .
HOÀNG XUÂN NHÀN 537
ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 51
1
B
11
A
21
D
31
A
41
C
2
A
12
B
22
B
32
A
42
D
3
A
13
D
23
B
33
A
43
B
4
A
14
A
24
D
34
D
44
C
5
D
15
C
25
C
35
D
45
B
6
C
16
C
26
C
36
A
46
B
7
A
17
D
27
A
37
C
47
B
8
A
18
B
28
D
38
C
48
D
9
C
19
D
29
D
39
D
49
C
10
D
20
C
30
B
40
B
50
B
Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 51
z − 1 z − 3i
=
= 1?
z −i
z +i
C. 2 .
Hướng dẫn giải:
Câu 43. Có bao nhiêu số phức z = a + bi ( a, b
A. 0 .
B. 1 .
) thỏa mãn
D. 4 .
2
2
2
2
−2a + 1 = −2b + 1
a = 1
z − 1 = z − i
( a − 1) + b = a + ( b − 1)
Ta có:
.
2
2
2
2
−
6
b
+
9
=
2
b
+
1
b
=
1
z − 3i = z + i
a
+
b
−
3
=
a
+
b
+
1
( )
( )
Choïn
→B
Suy ra z = 1 + i . Vậy có một số phức thỏa mãn. ⎯⎯⎯
Câu 44. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 1 − 3i = 3 2 và ( z + 2i ) là số thuần ảo?
2
C. 3 .
Hướng dẫn giải:
B. 2 .
A. 1 .
Giả sử z = x + yi
( x, y ) . Ta có:
D. 4 .
z + 1 − 3i = 3 2 ( x + 1) + ( y − 3) = 18
2
2
(1) .
Xét w = ( z + 2i ) = x + ( y + 2 ) i = x 2 − ( y + 2 ) + 2 x ( y + 2 ) i .
2
2
2
a
b
x = y + 2
2
Theo giả thiết: w thuần ảo x 2 − ( y + 2 ) = 0
.
x
=
−
y
+
2
(
)
Trường hợp 1: x = y + 2 , thay vào (1) ta được: 2 y 2 = 0 y = 0 x = 2 z1 = 2 .
y = 1+ 5
Trường hợp 2: x = − ( y + 2 ) , thay vào (1) ta được: 2 y 2 − 4 y − 8 = 0
y = 1 − 5
(
)
(
)
z2 = −3 − 5 + 1 + 5 i, z3 = −3 + 5 + 1 − 5 i .
Choïn
→C
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. ⎯⎯⎯
HOÀNG XUÂN NHÀN 538
Câu 45. Số phức z = a + bi ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn (1 − 3i ) z là số thực và z − 2 + 5i = 1 . Khi đó
a + b là
A. 9 .
B. 8 .
C. 6 .
Hướng dẫn giải:
D. 7 .
Xét số phức w = (1 − 3i ) z = (1 − 3i )( a + bi ) = a + 3b + ( b − 3a ) i .
(1) .
Theo giả thiết w là số thực nên b − 3a = 0 b = 3a
Ta lại có: z − 2 + 5i = 1 a − 2 + ( 5 − b ) i = 1 ( a − 2 ) + ( 5 − b ) = 1
2
Thế (1) vào ( 2 ) ta có: ( a − 2 ) + ( 5 − 3a )
2
2
2
( 2) .
a = 2 b = 6
= 1 10a − 34a + 28 = 0
.
a = 7 (loaïi)
5
2
Choïn
→B
Vậy a + b = 2 + 6 = 8 . ⎯⎯⎯
Câu 46. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z + 1 =
z+z
+ 3 , gọi số phức z = x + yi là số phức có
2
mô-đun nhỏ nhất. Tính S = 2022x + 2023 y + 2024 .
A. 2024 .
B. −2020 .
C. 2023 .
Hướng dẫn giải:
Gọi z = x + yi ( x, y
) . Theo giả thiết:
x + yi + 1 =
D. −2022
x + yi + x − yi
2
2
+ 3 ( x + 1) + y 2 = ( x + 3)
2
2 x + 1 + y 2 = 6 x + 9 y 2 = 4 x + 8 (1).
(1)
Mô-đun của z là: z = x 2 + y 2 = x 2 + 4 x + 8 =
( x + 2)
2
+4 4 =2.
Choïn
→B
Do vậy z min = 2 ; khi đó: x = −2, y = 0 . Do vậy S = 2022x + 2023 y + 2024 = −2020 . ⎯⎯⎯
Câu 47. Cho số phức z thõa mãn z − 1 + i = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + 2 − i + z − 2 − 3i .
2
B. 38 + 8 10 .
C. 18 + 2 10 .
Hướng dẫn giải:
A. 18 .
2
B. 16 + 2 10 .
Lưu ý: Giả sử z có điểm biểu diễn là M, khi đó:
1) z − ( a + bi ) = MN với N ( a; b ) .
2)
z − ( a + bi ) = c (với c 0 ) là phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính r = c .
3) Xét tam giác MAB với I là trung điểm AB, ta có:
(
) (
2
MA2 + MB 2 = MI + IA + MI + IB
)
2
= 2MI 2 + 2MI IA + IB + IA2 + IB 2
=0
2
2
AB 2
AB AB
2
= 2MI +
.
+
= 2MI +
2
2 2
4) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
2
HOÀNG XUÂN NHÀN 539
Với hai cặp số ( a; x ) , ( b; y ) , ta có: ax + by
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
(a
2
+ b 2 )( x 2 + y 2 ) .
a b
a x
= = (điều kiện mẫu khác 0).
x y
b y
☺ Cách giải 1: Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn cho số phức z . Gọi I (1; −1) , A ( −2;1) , B ( 2;3 ) lần
lượt là điểm biểu diễn cho các số phức 1 − i ; −2 + i ; 2 + 3i . Khi đó, ta có:
z − 1 + i = 2 z − (1 − i ) = 2 MI = 2 ; nghĩa là M thuộc đường tròn ( C ) có tâm I (1; −1) , R = 2 .
M
I
2
2
Ta có P = z + 2 − i + z − 2 − 3i = z − ( −2 + i ) + z − ( 2 + 3i ) = MA2 + MB 2 .
2
2
M
M
A
(Xem mục Lưu ý).
B
AB 2
. (Xem mục Lưu ý).
2
Ta thấy AB không đổi, do đó P có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ME có giá trị lớn nhất.
Nhận thấy : IE = 1 + 9 = 10 2 = R nên nên điểm E nằm ngoài đường tròn ( C ) .
Gọi E ( 0; 2 ) là trung điểm của AB , ta có: P = 2ME 2 +
Ta có: ( ME )max = IE + R = 2 + 10 .
(
)
2
AB 2
Choïn
→B
= 2 2 + 10 + 10 = 38 + 8 10 . ⎯⎯⎯
Vậy Pmax = 2 ( ( ME )max ) +
2
☺ Cách giải 2: Giả sử z = x + yi ( x, y ). M ( x; y ) là điểm biểu diễn của z .
2
Từ giả thiết: z − 1 + i = 2 , suy ra M ( C1 ) có tâm I1 (1; − 1) và bán kính R1 = 2 .
Khi đó: z − 1 + i = 2 ( x − 1) + ( y + 1) = 4 x 2 + y 2 = 2 x − 2 y + 2
2
2
(1) .
Ta có: P = z + 2 − i + z − 2 − 3i = ( x + 2 ) + ( y − 1) + ( x − 2 ) + ( y − 3) .
2
2
2
2
2
2
(1)
Suy ra P = 2 x 2 + 2 y 2 − 8 y + 18 = 2 ( 2 x − 2 y + 2 ) − 8 y + 18 = 4 x − 12 y + 22 = 4 ( x − 1) − 12 ( y + 1) + 38 .
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
2
2
2
4 ( x − 1) − 12 ( y + 1) 42 + ( −12 ) ( x − 1) + ( y + 1) = 8 10 .
=4
−8 10 4 ( x − 1) − 12 ( y + 1) 8 10 −8 10 + 38 P 8 10 + 38. Do đó Pmax = 38 + 8 10 .
x − 1 −4
=
Choïn
→B
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y + 1 12
. ⎯⎯⎯
4 x − 12 y + 22 = 38 + 8 10
(Học sinh có thể giải tìm x, y bằng phương pháp thế hoặc dùng máy tính bỏ túi).
Câu 48. Cho hai số phức z , w thỏa mãn z + 2w = 3 , 2 z + 3w = 6 và z + 4w = 7 . Tính giá trị của biểu thức
P = z.w + z.w .
A. P = −14i .
B. P = −28i .
C. P = −14 .
Hướng dẫn giải:
D. P = −28 .
HOÀNG XUÂN NHÀN 540
(
)
(
)
Ta có: z + 2w = 3 z + 2w = 9 ( z + 2w) . z + 2w = 9 ( z + 2w) . z + 2w = 9
2
2
2
z.z + 2 z.w + z.w + 4w.w = 9 z + 2 P + 4 w = 9
=P
(
(1) ;
)
2 z + 3w = 6 2 z + 3w = 36 ( 2 z + 3w ) . 2 z + 3w = 36 4 z + 6 P + 9 w = 36
2
(
)
2
z + 4 w = 7 ( z + 4w ) . z + 4w = 49 z + 4 P + 16 w = 49
2
2
2
( 2) ;
( 3) .
z 2 = 33
Choïn
→D
Giải hệ phương trình gồm (1) , ( 2 ) , ( 3) ta có: P = −28 . Vậy P = −28 . ⎯⎯⎯
2
w = 8
Câu 49. Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn z1 = 2, z2 = 3 . Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz2 .
Biết MON = 30 . Tính S = z12 + 4 z22 .
A. 5 2 .
B. 3 3 .
C. 4 7 .
Hướng dẫn giải:
D.
5.
Nhận xét: Từ giả thiết, ta có: OM = z1 = 2, ON = iz2 = i . z2 = 3 .
Ta có S = z12 + 4 z22 = z12 − ( 2iz2 ) = z1 − 2iz2 . z1 + 2iz2
2
Gọi P là điểm biểu diễn của số phức 2iz2 , suy ra
OP = 2iz2 = 2 iz2 = 2ON = 2 3 hay N là trung
điểm OP.
Ta có: z1 − 2iz2 . z1 + 2iz2 = OM − OP . OM + OP
= PM . 2OI = 2 PM .OI với I là trung điểm MP.
Xét tam giác OMP với MOP = MON = 30 , áp
dụng định lí Cô-sin, ta có MP = OM 2 + OP 2 − 2OM .OP.cos 300
= 4 + 12 − 2.2.2 3.
3
MP = 2 .
2
Tam giác OMP có trung tuyến OI nên OI 2 =
OM 2 + OP 2 MP 2
−
= 7 OI = 7 .
2
4
Choïn
→C
Vậy S = 2PM .OI = 2.2. 7 = 4 7 . ⎯⎯⎯
Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn
A. 8 .
Gọi z = x + yi với x, y
z −1
1
=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + i + 2 z − 4 + 7i .
z + 3i
2
B. 20 .
C. 2 5 .
Hướng dẫn giải:
D. 4 5 .
; M ( x; y ) , M ( x; − y ) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z .
HOÀNG XUÂN NHÀN 541
Ta có:
2
z −1
1
=
2 z − 1 = z + 3i 2 ( x − 1) + yi = x + ( y + 3) i
z + 3i
2
( x − 1)
2
+ y 2 = x 2 + ( y + 3) 2 x 2 − 4 x + 2 + 2 y 2 = x 2 + y 2 + 6 y + 9
2
x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 7 = 0 ( x − 2 ) + ( y − 3) = 20 .
2
2
Như vậy, tập hợp điểm M là đường tròn ( C ) tâm I ( 2;3) và
bán kính R = 2 5 .
P = z + i + 2 z − 4 + 7i = OM − OA + 2 OM − OB với
A ( 0; −1) , B ( 4; −7 ) . Suy ra P = AM + 2 BM .
Vì M đối xứng với M qua Ox nên ta cần gọi điểm B ( 4; 7 )
đối xứng với B qua Ox , khi đó M B = MB . Do đó:
P = AM + 2MB .
Ta lại có A ( 0; −1) , B ( 4;7 ) thuộc đường tròn ( C ) và
AB = 4 5 = 2R , vì vậy AB là đường kính của đường tròn
( C ) MA2 + MB2 = AB2 = 80 .
Do đó: P = MA + 2MB
(1
2
+ 22 ) MA2 + MB2 = 20 .
=80
Cauchy − Shwart
MB = 2MA
MA = 4
Choïn
→B
Dấu " = " xảy ra khi 2
. Vậy max P = 20 . ⎯⎯⎯
2
MB
=
8
MA
+
MB
=
80
HOÀNG XUÂN NHÀN 542