Đề 50-TÍCH PHÂN-HÌNH HỌC OXYZ

ĐỀ SỐ 50 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: Giải tích: Tích phân Hình học: Phương pháp tọa độ trong không gian Câu 1. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( 3x + 1) A. F ( x ) ( 3x + 1) = 2026 C. F ( x ) ( 3x + 1) = 2026 6 075 3 . . 2025 ? B. F ( x ) ( 3x + 1) = D. F ( x ) ( 3x + 1) = 2026 2026 6 078  x = −2 + t  Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d :  y = 1 + 2t , ( t   z = 5 − 3t  A. a = ( −1; − 2;3) . B. a = ( 2; 4;6 ) . . 2026 . ) có vectơ chỉ phương là C. a = (1; 2;3) . D. a = ( −2;1;5 ) . Câu 3. Cho các hàm số y = f ( x ) liên tục trên  a; b  , ( a, b  , a  b ) . Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , trục hoành Ox , x = a , x = b . Phát biểu nào sau đây là đúng? b A. S =  f ( x ) dx . b B. S =  a f ( x ) dx . C. S = a a  b f ( x ) dx . D. b  f ( x ) dx . a x −1 y + 2 z = = không đi qua điểm nào dưới đây? 2 1 −1 A. A ( −1; 2;0 ) . B. ( −1; −3;1) . C. ( 3; −1; −1) . D. (1; −2;0 ) . Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x − sin 6 x x 2 cos 6 x x 2 sin 6 x A.  f ( x ) dx = − B.  f ( x ) dx = − +C . +C . 2 6 2 6 x 2 cos 6 x x 2 sin 6 x C.  f ( x ) dx = + D.  f ( x ) dx = + +C . +C . 2 6 2 6 Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; − 2;1) , C ( −2; 0;1) . Phương Câu 4. Đường thẳng (  ) : trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là A. 2 x − y − 1 = 0 . B. − y + 2 z − 3 = 0 . C. 2 x − y + 1 = 0 . Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e (1 + e x  f ( x ) dx = e + 1 + C . C.  f ( x ) dx = −e + x + C . A. x x −x D. y + 2 z − 5 = 0 . ).  f ( x ) dx = e D.  f ( x ) dx = e B. x + x+C. x +C . Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 3; 2; − 1) . Hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục Oz là điểm: A. M 3 ( 3;0;0 ) . B. M 4 ( 0; 2;0 ) . C. M 1 ( 0;0; − 1) . D. M 2 ( 3; 2;0 ) . HOÀNG XUÂN NHÀN 523 1 và các đường thẳng y = 0 , x = 1 , x = 4 . Thể x tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng ( H ) quay quanh trục Ox . Câu 9. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3 3 . C. −1. D. 2ln 2 . 4 4 Câu 10. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của của hàm số f ( x ) = sin x và đồ thị hàm số y = F ( x ) đi qua điểm A. 2 ln 2 . B.  M ( 0;1) . Tính F   . 2         A. F   = 2 . B. F   = −1 . C. F   = 0 . D. F   = 1 . 2 2 2 2 Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M ( 2;0;0 ) , N ( 0;1;0 ) và P ( 0;0; 2 ) . Mặt phẳng ( MNP ) có phương trình là x y z x y z x y z x y z A. + + = 0 . B. + + = −1 . C. + + = 1 . D. + + = 1 . 2 −1 2 2 −1 2 2 1 2 2 −1 2 4 Câu 12. Cho  f ( x ) dx = 10 và 2 4 4 2 2  g ( x ) dx = 5 . Tính I =  3 f ( x ) − 5g ( x ) dx A. I = 5 . B. I = 15 . C. I = −5 . D. I = 10 . Câu 13. Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là v ( t ) = 3t 2 + 5 (m/s) . Tính quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 . A. 246 m . B. 252 m . C. 1134 m . Câu 14. Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −3; 2 ) và đi qua A ( 5; −1; 4 ) có phương trình: D. 966 m . A. ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2 ) = 24 . B. ( x + 1) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 24 . C. ( x + 1) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 24 . D. ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2 ) = 24 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln x b b dx = + a ln 2 (với a là số thực, b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản). 2 x c c 1 Tính giá trị của 2a + 3b + c . A. 4 . B. −6 . C. 6 . D. 5 . 2 2 2 Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 y − 4 z − 25 = 0 . Tìm tâm Câu 15. Biết  I và bán kính R của mặt cầu ( S ) ? A. I (1; − 2; 2 ) ; R = 6 . B. I ( −1; 2; − 2 ) ; R = 5 . C. I ( −2; 4; − 4 ) ; R = 29 . D. I (1; − 2; 2 ) ; R = 34 . Câu 17. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( H ) : y = trị của S bằng A. S = ln 2 − 1 (đvdt). C. S = 2ln 2 + 1 (đvdt). 3 x a Câu 18. Cho  dx = + b ln 2 + c ln 3 với a , b , 3 0 4 + 2 x +1 A. 1 . B. 2 . Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x cos 2 x là x −1 và các trục tọa độ. Khi đó giá x +1 B. S = 2ln 2 − 1 (đvdt). D. S = ln 2 + 1 (đvdt). c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng C. 7 . D. 9 . HOÀNG XUÂN NHÀN 524 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x − +C . +C . B. x sin 2 x − 2 4 2 cos 2 x x sin 2 x cos 2 x +C . + +C . C. x sin 2 x + D. 2 2 4 Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A ( 3; 4;1) và A. B (1; 2;1) là A. M ( 0; 4;0 ) . B. M ( 5;0;0 ) . C. M ( 0;5;0 ) . Câu 21. Với cách đổi biến u = 1 + 3ln x thì tích phân e x 1 2 A. 2 2 u 2 − 1) du . (  31 B. 2 u 2 − 1) du . (  91 Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = D. M ( 0; −5;0 ) . ln x dx trở thành 1 + 3ln x 2 2 u2 −1 du . 9 1 u 2 C. 2 ( u 2 − 1) du . D. 1 1 . 2 2x +1 A.  f ( x )dx = 2 1 2x +1 + C . B.  f ( x )dx = C.  f ( x )dx = 2 2x +1 + C . D.  f ( x )dx = ( 2 x + 1) 2x +1 + C . 1 2x +1 +C . Câu 23. Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm A (1; − 2;3) đến ( P ) : x + 3 y − 4 z + 9 = 0 là A. 26 . 13 B. 8. C. 17 . 26 D. 4 26 . 13 2 . 3 cos 3 x −1. B. F ( x ) = 3x 2 − 3 cos 3 x + 1. D. F ( x ) = 3x 2 − 3 Câu 24. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 6 x + sin 3 x , biết F ( 0 ) = cos 3x 2 + . 3 3 cos 3 x + 1. C. F ( x ) = 3x 2 + 3 A. F ( x ) = 3x 2 − 1 Câu 25. Khi đổi biến x = 3 tan t , tích phân I =  0 dx trở thành tích phân nào? x +3 2   3 6 A. I =  3dt . B. I =  0 0 3 dt 3  6 C. I =  3tdt . 0 Câu 26. Tìm họ của nguyên hàm f ( x ) = tan 2 x . ( ) 1 C.  tan 2 x dx = (1 + tan 2 x ) + C . 2 A.  tan 2 x dx = 2 1 + tan 2 2 x + C . Câu 27. Cho  f (x 1 A. 2 . 6 1 D. I =  dt . t 0 B.  tan 2 x dx = − ln cos 2 x + C . 1 D.  tan 2 x dx = − ln cos 2 x + C . 2 2 2  5 2 + 1) xdx = 2 . Khi đó I =  f ( x )dx bằng: 2 B. 1 . C. −1. D. 4 . HOÀNG XUÂN NHÀN 525 Câu 28. Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 ( m s ) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với v ( t ) = −5t + 10 ( m s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét. A. 8m . B. 10m . C. 5m . D. 20 m . Câu 29. Cho điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; 2 ) , D ( 2; 2; 2 ) . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là A. 3 . 2 B. ( 3. C. ) 2 . 3 D. 3 Câu 30. Xét I =  x3 4 x 4 − 3 dx . Bằng cách đặt: u = 4 x4 − 3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. I = 5 1 u 5du .  16 B. I = 1 u 5du .  12 C. I =  u 5du . D. I = 1 5 u du . 4 3 . 2 C. I = π 9 + . 3 20 D. I = 9 . 4 π 3 sin x dx . cos3 x 0 Câu 31. Tính tích phân I =  A. I = 5 . 2 B. I = 1 Câu 32. Tích phân I =  0 ( x − 1) 2 x2 + 1 dx = a ln b + c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a+b+c ? A. 3 . B. 0 . C. 1 . D. 2 . 1 + ln x Câu 33. Nguyên hàm của f ( x ) = là x.ln x 1 + ln x 1 + ln x dx = ln ln x + C . dx = ln x 2 .ln x + C . A.  B.  x.ln x x.ln x 1 + ln x 1 + ln x dx = ln x + ln x + C . dx = ln x.ln x + C . C.  D.  x.ln x x.ln x Câu 34. Cho tam giác ABC với A ( 2; −3; 2 ) , B (1; −2; 2 ) , C (1; −3;3) . Gọi A , B , C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A , B , C lên mặt phẳng ( ) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0. Khi đó, diện tích tam giác ABC bằng 3 1 3 A. 1 . B. . C. . D. . 2 2 2  2 Câu 35. Cho tích phân A. 2a + b = 0. sin x dx = a ln 5 + b ln 2 với a, b   cos x + 2 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? B. a − 2b = 0. C. 2a − b = 0. D. a + 2b = 0. 2 u = x Câu 36. Tính tích phân I =  x 2 cos 2 xdx bằng cách đặt  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? dv = cos 2 xdx 0 π π 1 1 A. I = x 2 sin 2 x π0 −  x sin 2 xdx . B. I = x 2 sin 2 x π0 − 2 x sin 2 xdx . 2 2 0 0 π π C. I = 1 2 x sin 2 x π0 + 2 x sin 2 xdx . 2 0 π D. I = 1 2 x sin 2 x π0 +  x sin 2 xdx . 2 0 HOÀNG XUÂN NHÀN 526 Câu 37. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và thỏa mãn 1 2 −5 0  f ( x ) dx = 9 . Tính tích phân   f (1 − 3x ) + 9 dx . A. 27 . B. 21 . C. 15 . D. 75 . Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x và tiếp tuyến với đồ thị tại M ( 4, 2 ) và trục hoành là 8 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 8 3 3 Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 4;0 ) , C ( 0;0; −2 ) và D ( 2;1;3 ) . Tìm độ dài đường cao của tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh D ? 1 5 5 A. . B. . C. 2 . D. . 3 9 3 6x + 2 dx . Câu 40. Tìm  3x − 1 4 A. F ( x ) = 2 x + ln 3x − 1 + C . B. F ( x ) = 2 x + 4 ln 3 x − 1 + C . 3 4 C. F ( x ) = ln 3x − 1 + C . D. F ( x ) = 2 x + 4 ln ( 3 x − 1) + C . 3 7 m x3 m Câu 41. Cho biết  với là một phân số tối giản. Tính m − 7n . dx = 3 2 n n 1+ x 0 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 91 . x + 1 y −1 z − 2 = = Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : và mặt phẳng 2 1 3 ( P ) : x − y − z − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A (1;1; − 2 ) , biết  // ( P ) và  cắt d . x −1 y −1 z + 2 x −1 y −1 z + 2 = = = = A. . B. . 1 −1 −1 2 1 3 x −1 y −1 z + 2 x −1 y −1 z + 2 = = = = C. . D. . 8 3 5 2 1 1 4 Câu 43. Biết  x ln ( x 2 + 9 ) dx = a ln 5 + b ln 3 + c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 0 T = a + b + c là A. T = 10 . B. T = 9 . C. T = 8 . D. T = 11 . Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , trong đó a  0 , b  0 , c  0 . Mặt phẳng ( ABC ) đi qua điểm I (1; 2;3) sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó các số a , b , c thỏa mãn đẳng thức nào sau đây? A. a + b + c = 12 . B. a2 + b = c − 6 . C. a + b + c = 18 . D. a + b − c = 0 .  Câu 45. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 2  1 tích phân  1 8 f ( 4x) dx . x ( ) 16 và thỏa mãn  cot x. f sin 2 x dx =  1 f ( x ) dx = 2022 x 2023 . Tính 4 HOÀNG XUÂN NHÀN 527 A. I = 1011 2023 . B. I = 4044 2023 . C. I = 2022 2023 . D. I = 5055 2023 . x = t  Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 3; 2; −1) và đường thẳng d :  y = t . Viết phương z = 1+ t  trình mặt phẳng ( P ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( P ) là lớn nhất. A. 2 x + y − 3z + 3 = 0 . B. x + 2 y − z −1 = 0 . C. 3x + 2 y − z + 1 = 0 . D. 2 x − y − 3z + 3 = 0 . Câu 47. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5 cm, OH = 4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. 160 2 A. cm . 3 140 2 cm . B. 3 14 2 cm . C. 3 D. 50 cm2 . Câu 48. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng: ( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 , ( Q ) : x − 2 y + z + 8 = 0 , ( R ) : x − 2 y + z − 4 = 0 . Một đường thẳng (Q ) , ( R ) d thay đổi cắt ba mặt phẳng ( P ) , lần lượt tại A , B , C . Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB 2 + 144 . AC A. 72 3 3 . B. 96 . C. 108 . D. 72 3 4 . Câu 49. Cho hai mặt cầu ( S1 ) , ( S 2 ) có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của ( S1 ) thuộc ( S 2 ) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1 ) và ( S2 ) . A. V = 11 R3 . 12 B. V = 11 R3 . 24 C. V = 5 R 3 . 12 D. V = 13 R3 . 24  f  ( x ) 22 7 Câu 50. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f  ( x )  0 , x  1; 2 và   4  dx = . Biết f (1) = 1 , f ( 2 ) = 15 x 375 1 3 2 2 , tính I =  f ( x ) dx . 1 71 A. P = . 60 6 B. P = . 5 C. P = 73 . 60 D. P = 37 . 30 ________________HẾT________________ HOÀNG XUÂN NHÀN 528 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 50 1 D 11 C 21 B 31 B 41 B 2 A 12 A 22 A 32 D 42 C 3 D 13 D 23 D 33 D 43 C 4 A 14 D 24 D 34 C 44 C 5 C 15 A 25 B 35 A 45 D 6 C 16 D 26 D 36 A 46 A 7 B 17 B 27 D 37 B 47 B 8 C 18 A 28 B 38 A 48 C 9 B 19 D 29 B 39 D 49 C 10 A 20 C 30 A 40 A 50 A Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 50 Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , trong đó a  0 , b  0 , c  0 . Mặt phẳng ( ABC ) đi qua điểm I (1; 2;3) sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó các số a , b , c thỏa mãn đẳng thức nào sau đây? A. a + b + c = 12 . B. a2 + b = c − 6 . C. a + b + c = 18 . D. a + b − c = 0 . Hướng dẫn giải: 1 1 Ta có: VOABC = OA.OB.OC = abc do a  0 , b  0 , c  0 . 6 6 x y z 1 2 3 Phương trình mặt phẳng ( ABC ) : + + = 1 . Do I  ( ABC )  + + = 1 . a b c a b c Theo AM − GM , ta có: 1 = 1 2 3 6 33 6 + +  33 =3  3 abc  3 3 6  abc  162 . a b c abc abc 1 Suy ra: VOABC = abc  27 nên (VOABC )Max = 27 . 6 1 2 3  a = b = c Choïn →C  a = 3, b = 6, c = 9 . ⎯⎯⎯ Dấu bằng xảy ra   1 2 3  + + =1  a b c  Câu 45. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 2  1 tích phân  1 8 f ( 4x) dx . x A. I = 1011 2023 . ( ) 16 và thỏa mãn  cot x. f sin x dx =  2 f 1 ( x ) dx = 2022 x 2023 . Tính 4 B. I = 4044 2023 . C. I = 2022 2023 . Hướng dẫn giải: D. I = 5055 2023 . HOÀNG XUÂN NHÀN 529  ( 2 ) Xét I1 =  cot x. f sin 2 x dx = 2022 2023 .  4 Đặt t = sin 2 x  dt = 2sin x.cos xdx = 2sin 2 x.cot xdx = 2t.cot xdx  cot xdx = dt . 2t  1   1 1 2  x = 4  t = 2 1 1 f (t ) 2 dt Đổi cận:  . Khi đó: I1 =  cot x. f ( sin x ) dx =  f ( t ) . dt =  2t 21 t  1 x =   t = 1 2 2 4  2 = 16 Xét I 2 =  f ( x ) dx = 2022 x 1 16 Khi đó: I 2 =  1 4 Suy ra  1 f ( x ) dx = x 4  1 1 1 f ( x) dt = 2022 2023 . Suy ra 2 1 x 2 1  1 2 f ( x) dt = 4044 2023 . x x = 1  t = 1 . 2023 . Đặt t = x  t 2 = x  2tdt = dx . Đổi cận:   x = 16  t = 4 4 4 f (t ) f ( x) f (t ) = 2 d t = 2 dx = 2022 2023 . 2 t d t 2   t x t 1 1 f ( x) dx = 1011 2023 . x 1 Tính I =  1 8 f ( 4x) t 1 dx . Đặt t = 4 x  x =  dx = dt . Đổi cận: 4 4 x 1 1  x =  t = 8 2.   x = 1  t = 4 4 4 1 4 f (t ) 1 f (t ) f ( x) f ( x) f ( x) Khi đó: I =  . dt =  dt =  dx =  dx +  dx t 4 t x x x 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 Choïn →D = 4044 2023 + 1011 2023 = 5055 2023 . ⎯⎯⎯ x = t  Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 3; 2; −1) và đường thẳng d :  y = t . Viết phương z = 1+ t  4 trình mặt phẳng ( P ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( P ) là lớn nhất. A. 2 x + y − 3z + 3 = 0 . B. x + 2 y − z −1 = 0 . C. 3x + 2 y − z + 1 = 0 . D. 2 x − y − 3z + 3 = 0 . Hướng dẫn giải: d qua M 0 ( 0;0;1) có vectơ chỉ phương u = (1;1;1) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P ) và d (khi đó AK cố định). Ta có: d ( A, ( P ) ) = AH  AK . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H  K . HOÀNG XUÂN NHÀN 530 Do đó d ( A, ( P ) )max = AK . Khi đó ( P ) đi M 0 ( 0;0;1) nhận AK làm vectơ pháp tuyến. Gọi K ( t , t ,1 + t )  d  AK = ( t − 3; t − 2; t + 2 ) . Ta có: AK ⊥ u  AK .u = 0  1. ( t − 3) + 1. ( t − 2 ) + 1. ( t + 2 ) = 0  t = 1 . Suy ra: AK = ( −2; −1;3) . Choïn → A Vậy phương trình ( P ) : −2 ( x − 0 ) − 1. ( y − 0 ) + 3. ( z − 1) = 0  2 x + y − 3z + 3 = 0 . ⎯⎯⎯ Câu 47. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5 cm, OH = 4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. A. 160 2 cm . 3 B. 140 2 14 2 cm . cm . C. 3 3 Hướng dẫn giải: D. 50 cm2 . Xét parabol (P) với hệ trục tọa độ như hình vẽ, (P) có dạng y = ax 2 + bx + c ( a  0 ) .  5  5  Vì (P) qua các điểm O ( 0;0 ) , A  − ; 4  , B  ; 4  suy ra  2  2    c = 0 c = 0   5 16 2  25 x .  a − b = 4  b = 0 . Suy ra ( P ) : y = 2 25 4  16 5  25 a = 25   4 a + 4 b = 4 Ta cần tính phần diện tích S được giởi hạn bởi (P) và đường thẳng y = 4 . Ý tưởng chính là lấy diện tích hình chữ nhật ABCD trừ đi phần diện tích được tô đậm, ta có diện tích cần tìm. Vậy S = 4.5 − 5 2 16  25 x dx = 20 − − 2 5 2 20 40 = . 3 3 40 140 2 Choïn →B = cm . ⎯⎯⎯ 3 3 Câu 48. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng: Do đó diện tích bề mặt hoa văn là: S HV = 102 − 4. ( Q ) : x − 2 y + z + 8 = 0 , ( R ) : x − 2 y + z − 4 = 0 . Một đường thẳng (Q ) , ( R ) d lần lượt tại A , B , C . Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB 2 + ( P ) : x − 2 y + z −1 = 0 , thay đổi cắt ba mặt phẳng ( P ) , 144 . AC HOÀNG XUÂN NHÀN 531 A. 72 3 3 . B. 96 . D. 72 3 4 . C. 108 . Hướng dẫn giải: Dựa vào phương trình ba mặt phẳng ( P ) , ( Q ) , ( R ) đã cho, ta thấy chúng song song nhau; so sánh hệ số tự do trong phương trình ba mặt phẳng thì: −4  −1  8 , do vậy mặt phẳng ( P ) nằm giữa hai mặt phẳng ( Q ) , ( R ) . Ta tính khoảng cách giữa ( P ) với hai mặt phẳng còn lại: d (( P ) , (Q )) = d (( P ) , ( R )) = 8 − ( −1) 12 + ( −2 ) + 12 2 −4 − ( −1) 12 + ( −2 ) + 12 2 = 9 ; 6 = 3 . 6 Do vậy d ( ( P ) , ( Q ) ) = 3d ( ( P ) , ( R ) ) . Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của C trên các mặt 3 AC CA 1 3 9 1 phẳng ( P ) , ( Q )  CA = . Vì AA//BB nên = = 6 = hay AC = AB . , AB = 9 AB AB 3 3 6 6 6 144 144 432 216 216 AM −GM 3 216 216 . = AB 2 + = AB 2 + = AB 2 + +  3 AB 2 . . 1 AC AB AB AB AB AB AB 3 216  AB3 = 216  AB = 6 , suy ra AC = 2 . Suy ra T  108 . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi AB 2 = AB Choïn →C Vậy Tmin = 108 . ⎯⎯⎯ Ta có: T = AB 2 + Câu 49. Cho hai mặt cầu ( S1 ) , ( S 2 ) có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của ( S1 ) thuộc ( S 2 ) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1 ) và ( S2 ) . A. V = 11 R3 . 12 B. V = 11 R3 . 24 5 R 3 . 12 Hướng dẫn giải: C. V = D. V = 13 R3 . 24 Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ Khối cầu S ( O, R ) chứa một đường tròn lớn có phương trình ( C ) : x2 + y 2 = R2 . Xét một nhánh của ( C ) có tung độ không âm, khi đó: y 2 = R2 − x2  y = R 2 − x 2 ( y  0) . Ta thấy phần thể tích cần tìm có dạng hai chõm cầu úp vào nhau, và nó được tính bởi công thức: R V = 2  R 2 ( R  x3  5 R3 Choïn →C R − x dx = 2  R 2 x −  = . ⎯⎯⎯ 3 R 12  2 2 ) 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 532  f  ( x ) 22 7 Câu 50. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f  ( x )  0 , x  1; 2 và   4  dx = . Biết f (1) = 1 , f ( 2 ) = 15 x 375 1 3 2 2 , tính I =  f ( x ) dx . 1 71 A. P = . 60 6 B. P = . 5 C. P = 73 . 60 D. P = 37 . 30 Hướng dẫn giải:  Định hướng: Ta thấy biểu thức dưới dấu tích phân có chứa  f  ( x )  mà giả thiết đề bài không cho thêm một hệ thức liên quan để có thể biến đổi, vì vậy ta nghĩ đến việc sử 3 dụng bất đẳng thức AM − GM để làm giảm bậc của  f  ( x )  . Muốn chuyển đánh giá từ 3 biểu thức bậc ba về bậc một, ta cần thêm vào hai số hạng nữa, và hai số hạng phải có dạng kx 2 (k là hằng số dương) để làm mất x 4 dưới mẫu. 3 2 2 AM −GM  f  ( x ) 3 2 3 2 3 2 2 2   3 k . f x d x = 3 k . f x Ta có: . Xét + kx + kx  3 k . f x (*) ( ) ( ) ( ) 1 1 x4 7 = 3 3 k 2  f ( 2 ) − f (1)  = 3 k 2 . 5 Để dấu bằng trong (*) xảy ra, ta cần có: 3 2 2  f  ( x )  73 2 7 14k 7 3 2 1 2 1 x4 dx + 21 kx dx = 5 k  375 + 3 = 5 k  k = 125 . Từ đây ta biết hai số 1 2 1 2 x , x . hạng cần thêm vào (vế trái (*)) là 125 125 Phương pháp tìm hệ số k như trên được gọi là phương pháp cân bằng hệ số.  f  ( x )  f  ( x ) x2 x2 3 f ( x) x2 x2 +  33  4  . . = (1) Theo AM − GM , ta có:  4  + x 125 125 x 125 125 25 3 3 2 2  f  ( x )  3 f ( x) x2 Lấy tích phân hai vế của (1), ta có:  d x + 2 d x  1 125 1 25 dx x4 1 3 2  f  ( x ) 7 3    4  dx + 2.   f ( 2 ) − f (1)  x 375 25 1 3 2  f  ( x ) 7 1 x4 dx  375 2 3 (2).  f  ( x )  f  ( x ) x2 7 Từ giả thiết:   4  dx = , tức là dấu " = " của (1) và (2) xảy ra, khi đó:  4  = x 125 x 375 1 2   f  ( x )  = 3 3 3 1 x6 x2 x3  f ( x) =  f ( x ) = + C . Hơn nữa: f (1) = 1  1 = + C 15 125 5 15 x3 + 14 71 14 x3 + 14 Choïn dx = → A  C =  f ( x) = . Ta có I =  . ⎯⎯⎯ 15 60 15 15 1 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 533