Đề 47-GT (ĐẾN ỨNG DỤNG TP)-HH (FULL 12)

ĐỀ SỐ 47 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: Giải tích: Đến Ứng dụng tích phân Hình học: Hết chương trình 12 Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −2; + ) . B. ( −1;1) . C. (1; + ) . D. ( −; −1) . Câu 2. Cho hàm số f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 . B. Hàm số không có điểm cực trị. C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 . D. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1. 2 Câu 3. Cho  f ( x )dx = 2021 và 1 bằng A. 1 . 4  f ( x )dx = 2022 . Giá trị của 2  f ( x )dx 1 B. −4043 . Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình log 2 x  1 là A. (0;1] . 4 B. (−;2] . C. 4043 . D. −1. C.  0; 2  . D. (0;2]. Câu 5. Thể tích khối hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao lần lượt là 1, 2,3 bằng A. 2 . B. 12 . C. 6 . D. 3 . Câu 6. Cho khối cầu có bán kính bằng 2 . Thể tích khối cầu đã cho bằng 32 8 32 3 A. . B. . C. . 3 3 3 Câu 7. Tập nghiệm của phương trình 2 x+1 = 4 là A. S = −3 . B. S = 3 . C. S = −1 . Câu 8. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = dưới đây đúng? e ln x A. S =   2 dx . x 1 e ln x dx . x2 1 B. S =  D. 8 3 . 3 D. S = 1 . ln x , y = 0 , x = 1 , x = e . Mệnh đề nào x2 2 2  ln x  C. S =   2  dx . x  1  ln x  D. S =    2  dx . x  1 C. ( −; 0 ) . D. ( −; + ) e e Câu 9. Tập xác định của hàm số y = log 1 x là A.  0; + ) . 3 B. ( 0; + ) . HOÀNG XUÂN NHÀN 491 Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : −2 x + y + 3z − 1 = 0. Vectơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của ( ) ? A. n = ( −2; −1;3) . B. n = ( 2;1;3) . C. n = ( 2; −1; −3) . D. n = ( −2;1; −3) . Câu 11. Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây? 3 A.  ( f ( x) − g ( x) ) dx . −2 3 B.  ( g ( x) − f ( x) ) dx . C. −2 0 3 −2 0 0 3 −2 0  ( f ( x) − g ( x) ) dx +  ( g( x) − f ( x) ) dx . D.  ( g ( x) − f ( x) ) dx +  ( f ( x) − g ( x) ) dx . Câu 12. Cho khối chóp có chiều cao h = 2 và diện tích mặt đáy B = 6 . Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 4 . B. 12 . C. 6 . D. 2 . Câu 13. Giả sử tích phân I =  5 1 8 A. a + b + c = . 3 1 dx = a + b ln 3 + c ln 5 ( a, b, c  ) . Khi đó: 1 + 3x + 1 4 5 7 B. a + b + c = . C. a + b + c = . D. a + b + c = . 3 3 3 Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + y + 4 z − 2022 = 0. Tâm của mặt cầu ( S ) có tọa độ là 1  1    A.  −1; ; 2  . B. ( −2;1; 4 ) . C. ( 2; −1; −4 ) . D. 1; − ; −2  . 2  2    Câu 15. Cho a  0, a  1, b  0 và loga b = 2 . Giá trị của log ab ( a 2 ) bằng A. 2 . 3 1 . 6 B. 1. C. D. B. I = −e2 . C. I = e . 1 . 2 2 Câu 16. Tính I =  xe x dx . 1 A. I = e . 2 Câu 17. Cho hình nón có độ dài đường sinh l = D. I = 3e2 − 2e . a và đáy là đường tròn có đường kinh bằng a, diện tích xung 2 quanh của hình nón đó bằng A.  a 2 . B.  a 2 2 . C.  a 2 2 . 2 D.  a 2 2 . 4 Câu 18. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x3 + 3x 2 − 9 x − 7 trên đoạn  −4;3 . Giá trị M − m bằng A. 8 . B. 33 . C. 25 . D. 32 . HOÀNG XUÂN NHÀN 492 2 3 x dx . Nếu đặt t = x + 1 thì I =  f ( t ) dt , trong đó 1 + x + 1 1 0 Câu 19. Cho I =  A. f ( t ) = 2t 2 + 2t . B. f ( t ) = t 2 − t . C. f ( t ) = 2t 2 − 2t . D. f ( t ) = t 2 + t . ( P ) : 2 x + my − z + 1 = 0 Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( Q ) : x + 3 y + ( 2m + 3) z − 2 = 0 . Giá trị của A. m = −1 . B. m = 1. Câu 21. Cho f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên m để ( P ) ⊥ ( Q ) là C. m = 0 . 2 . Biết rằng  f ( x )dx = 8 và −1 và D. m = 2 . 3  f ( 2 x )dx = 3 . Tính tích phân 1 6  f ( x )dx . −1 A. 14 . B. 11. C. 5 . D. 2 . Câu 22. Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình vẽ bên A. y = − x4 − 3x2 − 2 . B. y = x3 + 3x2 − 2 . C. y = − x3 + 3x2 − 2 . 2x −1 D. y = . x +1 Câu 23. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x + 2 y − z + 3 = 0 và đường x − 3 y +1 z − 4 = = . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 4 −1 2 A. d song song với ( ) . B. d vuông góc với ( ) . thẳng d : C. d nằm trên ( ) . D. d cắt ( ) Câu 24. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0 cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C ( khác O ) . Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là A. x y z − − = 1. 2 4 6 B. x y z + + =1 . 2 4 6 C. x y z + + = 0. 2 4 6 D. x y z + − = 1. 2 4 6 Câu 25. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (1;3; −1) và B ( 3; −1;3) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. x − 2 y + 2 z − 5 = 0 . B. x − 2 y + 2z + 6 = 0 . C. x − 2 y + 2 z + 14 = 0 . D. x − 2 y + 2z + 7 = 0 . Câu 26. Một hình hộp hình chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a , b , c . Tính bán kính của mặt cầu. A. a 2 + b2 + c2 . e Câu 27. Cho I =  1 2 ( a 2 + b2 + c 2 ) . C. a 2 + b2 + c2 . 3 D. 1 2 a + b2 + c2 . 2 ln x c dx = a ln 3 + b ln 2 + , với a, b, c  . Khẳng định nào sau đâu đúng. 3 x ( ln x + 2 ) A. a + b2 + c2 = 1 . 2 B. 2 B. a2 + b2 + c2 = 11 . C. a2 + b2 + c2 = 9 . D. a2 + b2 + c2 = 3 . HOÀNG XUÂN NHÀN 493 Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y = − x 3 − mx 2 + ( 4m + 9 ) x + 5 nghịch biến trên khoảng ( −; + ) ? A. 5. B. 7. C. 4. D. 6. Câu 29. Trong không gian Oxyz , điểm đối xứng với điểm B ( 3; −1; 4 ) qua mặt phẳng ( xOz ) có tọa độ là. A. ( 3;1; 4 ) . B. ( −3; −1; 4 ) . C. ( −3; −1; −4 ) . Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình 4x − 3.2x+1 + 5  0 là A.  0;log 2 5 . B.  −1;log 2 5 . C.  log 2 5; +   . D. ( 3; −1; −4 ) . D.  − ;log 2 5 . Câu 31. Cho hai điểm A (1; − 1;5 ) , B ( 0;0;1) . Mặt phẳng ( P ) chứa A, B và song song với trục Oy có phương trình là A. 4 x − z + 1 = 0 . B. 4 x + y − z + 1 = 0 . C. 2 x + z − 5 = 0 . D. x + 4 z − 1 = 0 . 4 Câu 32. Cho  0 2 f ( x)dx = 2 2022 . Tính tích phân I =   f (2 x) + f (4 − 2 x) dx A. I = 0 . 0 B. I = 2 2022 . C. I = 2022 . D. I = 4 2022 . Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 0; 0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , C ( 0; 0; 4 ) . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ABC ) . A. 4 21 . 21 B. 2 21 . 21 C. 21 . 21 D. 3 21 . 21 Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 + 1, y = 0, x = −1, x = 2 bằng 10 14 A. . B. 6 . C. 4 . D. 3 3 Câu 35. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số g ( x ) = A. 2 . B. 4 . 1 là 2 f ( x) − 3 C. 1 . D. 3 . Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : 5 x + 5 y − 5 z − 1 = 0 và ( Q ) : x + y − z + 1 = 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) bằng A. 2 3 . 15 B. 2 . 5 C. 2 . 15 D. 2 3 . 5 HOÀNG XUÂN NHÀN 494 3 Câu 37. Biết rằng tồn tại duy nhất các bộ số nguyên a, b, c sao cho của a + b + c bằng A. 19 .  ( 4 x + 2 ) ln xdx = a + b ln 2 + c ln 3 . Giá trị 2 B. −19 . D. −5 . C. 5 . Câu 38. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa SD và mặt phẳng ( ABCD ) bằng A. B. C. D. 30 . 45 . 60 . 90 . Câu 39. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = sin x , Ox , x = 0 , x =  . Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là. A. 2 2 . B.  . 2 C.  . D.  2 . Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x4 − 2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 . A. m  1 . B. 0  m  1 . C. 0  m  3 4 . D. m  0 . Câu 41. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d đi qua điểm A (1; 2;3) và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 4 x + 3 y − 7 z + 1 = 0  x = −1 + 4t  A.  y = −2 + 3t .  z = −3 − 7t  có phương trình tham số là  x = 1 + 4t  B.  y = 2 + 3t .  z = 3 − 7t   x = 1 + 3t  C.  y = 2 − 4t  z = 3 − 7t   x = −1 + 8t  D.  y = −2 + 6t  z = −3 − 14t  Câu 42. Trong hệ toạ độ Oxyz cho I (1;1;1) và mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + 2 z + 4 = 0 . Mặt cầu ( S ) tâm I cắt ( P ) theo một đường tròn bán kính r = 4 . Phương trình của ( S ) là 2 2 2 2 2 2 A. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 16 . B. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 5 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 9 . D. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 25 . Câu 43. Hình hộp ABCD. ABCD có AB = AA = AD = a và AAB = AAD = BAD = 600 . Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện AABD bằng: a 2 a 3 A. . B. . C. a 2 . D. 2a . 2 2 Câu 44. Số giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 2 x +1 log 4 x − m.2 x − log 2 x + m  0 nghiệm đúng với mọi x   4; +  ) là A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. Vô số. Câu 45. Một công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, chứa được thể tích thực là 180ml. Chiều cao của hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất (bỏ qua độ dày của vỏ hộp)? HOÀNG XUÂN NHÀN 495 A. 3 1802 ( cm ) . B. 3 360 ( cm ) . C. 3 720 ( cm ) . D. 3 180 ( cm ) . Câu 46. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 2 x 2 + ( m − 3) x + m có hai điểm cực trị A, B; đồng thời ba điểm A, B, M ( 9; − 5 ) thẳng hàng. A. m = −5. B. m = 3. C. m = 2. Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên D. m = −1. và đồ thị của hàm số y = f  ( x ) như hình vẽ. 1 2 ( x − m − 1) + 2022 − 2021 m với 2 m là tham số thực. Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 4; 6 ) . Tổng giá Hàm số g ( x ) = f ( x − m ) − trị các phần tử của S bằng A. 17 . B. 19 . C. 18 . D. 20 . x + 1 y −1 z = = . 2 −1 2 Gọi M ( a; b; c )   sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng T = a + b + c . A. T = 2 . B. T = 3 . C. T = 4 . D. T = 5 . Câu 48. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A (1;5;0 ) , B ( 3;3; 6 ) và đường thẳng  : Câu 49. Cho hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi Ak +1 , Bk +1 , Ck +1 , Dk +1 theo thứ tự là trung điểm các cạnh Ak Bk , Bk Ck , Ck Dk , Dk Ak (với k = 1, 2, ...). Gọi P là chu vi của hình vuông A2024 B2024C2024 D2024 . Hãy tính log2 P . A. 2 2 2023 . B. − 2019 . 2 C. 1 . 2024 D. −1012 . Câu 50. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn  f  ( x )  = 4  2 x 2 + 1 − f ( x )  với mọi 2 1 x thuộc đoạn  0;1 và f (1) = 2 . Giá trị I =  xf ( x )dx bằng 0 A. 3 . 4 B. 5 . 3 C. 11 . 4 D. 4 . 3 ________________HẾT________________ HOÀNG XUÂN NHÀN 496 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 47 1 C 11 C 21 A 31 A 41 B 2 A 12 A 22 B 32 B 42 D 3 C 13 B 23 C 33 A 43 A 4 D 14 D 24 B 34 B 44 C 5 C 15 A 25 D 35 B 45 D 6 A 16 A 26 D 36 D 46 B 7 D 17 D 27 D 37 C 47 B 8 B 18 D 28 B 38 C 48 B 9 B 19 C 29 A 39 A 49 B 10 C 20 B 30 A 40 B 50 A Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 47 Câu 43. Hình hộp ABCD. ABCD có AB = AA = AD = a và AAB = AAD = BAD = 600 . Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện AABD bằng: a 2 a 3 A. . B. . C. a 2 . D. 2a . 2 2 Hướng dẫn giải: Xét các tam giác AAB, AAD, BAD . Chúng đều có hai cạnh bằng nhau (bằng a) và một góc 600 . Vì vậy cả ba tam giác AAB, AAD, BAD là tam giác đều có cạnh a. Suy ra tứ diện AABD là tứ diện đều cạnh a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, AB .  AD ⊥ BE  AD ⊥ ( ABE )  AD ⊥ EF (1). Ta có:   AD ⊥ AE Tương tự, ta chứng minh được: AB ⊥ EF (2). Từ (1) và (2) suy ra EF là khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, AB ; và cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh đối diện nhau của tứ diện đều AABD . 2  a 3  a2 a 2 Choïn ⎯⎯⎯ →A Ta có: EF = EB − BF =   2  − 4 = 2 .   Câu 44. Số giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 2 x +1 log 4 x − m.2 x − log 2 x + m  0 nghiệm 2 2 đúng với mọi x   4; +  ) là A. 3 . B. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải: x +1 x Ta có : 2 log 4 x − m.2 − log 2 x + m  0  2 x log 2 x − log 2 x − m.2 x + m  0 D. Vô số.  log 2 x ( 2 x − 1) − m ( 2 x − 1)  0  ( 2 x − 1) ( log 2 x − m )  0 . Ta thấy : 2 x − 1  0, x   4; +  ) . Vì vậy yêu cầu bài toán  log 2 x − m  0, x   4; +  ) HOÀNG XUÂN NHÀN 497  m  log 2 x, x   4; +  )  m  log 2 4 = 2 . Vì m nguyên dương nên m  1; 2 . Choïn →C Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn. ⎯⎯⎯ Câu 45. Một công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, chứa được thể tích thực là 180ml. Chiều cao của hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất (bỏ qua độ dày của vỏ hộp)? A. 3 1802 ( cm ) . B. 3 C. 3 720 ( cm ) . D. 3 180 ( cm ) . 360 ( cm ) . Hướng dẫn giải: Gọi x là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao của hình hộp. 180 Theo bài ra ta có: x 2 h = 180  h = 2 . x Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất khi diện tích toàn phần S tp nhỏ nhất. Stp = 2 x 2 + 4 xh = 2 x 2 + 4 x. x Stp = 2 x 2 + 180 720 = 2x2 + ; 2 x x 360 360  360  360  3 2  3 3 2 x2  +   = 3 2.360 . x x  x  x  AM −GM 360 Choïn →D  x3 = 180  x = 3 180 . Khi đó: h = 3 180 . ⎯⎯⎯ x Câu 46. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 2 x 2 + ( m − 3) x + m có hai điểm cực trị Dấu bằng xảy  2 x 2 = A, B; đồng thời ba điểm A, B, M ( 9; − 5 ) thẳng hàng. A. m = −5. B. m = 3. C. m = 2. D. m = −1. Hướng dẫn giải: Ta có: y = 3x2 + 4 x + m − 3 . Hàm số có hai điểm cực trị  y = 0 có hai nghiệm phân biệt    0  4 − 3 ( m − 3)  0  m  13 ( *) . 3 2   2m 26  7m 2 1 − x+ + nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị Ta có y = y.  x +  +  9  3 9  9 3 3 7m 2  2m 26  − x+ + . của đồ thị hàm số là d : y =  9  9 3  3 7m 2  2m 26  Choïn −  .9 + +  m = 3 (thỏa (*) ). ⎯⎯⎯ →B Ta có M ( 9; − 5 )  d  −5 =  9  9 3  3 Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số y = f  ( x ) như hình vẽ. 1 2 ( x − m − 1) + 2022 − 2021 m với m là tham số thực. Gọi S là tập các 2 giá trị nguyên dương của m để hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 4; 6 ) . Tổng giá trị các phần Hàm số g ( x ) = f ( x − m ) − tử của S bằng HOÀNG XUÂN NHÀN 498 A. 17 . B. 19 . C. 18 . Hướng dẫn giải: D. 20 . Ta có: g  ( x ) = f  ( x − m ) − ( x − m − 1) = 0 (*) . Đặt t = x − m , khi đó (*) trở thành f  ( t ) = t − 1 . Vẽ đồ thị y = x − 1 trên cùng hệ trục với đồ thị y = f  ( x ) . t = −3 Từ đó, ta có: f  ( t ) = t − 1  t = 1 ; t = 3 Bảng xét dấu g  ( x ) :  x − m = −3  x = m − 3 suy ra  x − m = 1   x = m + 1 .  x − m = 3  x = m + 3  m − 3  4  6  m + 1 5  m  7  . Yêu cầu bài toán tương đương:  m + 3  4 m  1 Choïn →B Vì m là số nguyên dương nên m  1;5;6;7 , tổng các phần tử là 19. ⎯⎯⎯ x + 1 y −1 z = = . 2 −1 2 Gọi M ( a; b; c )   sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng T = a + b + c . A. T = 2 . B. T = 3 . C. T = 4 . D. T = 5 . Hướng dẫn giải:  x = −1 + 2t  Phương trình tham số của  là:  y = 1 − t . Gọi M ( −1 + 2t ;1 − t ; 2t )   , suy ra:  z = 2t  MA = ( 2 − 2t;4 + t; −2t ) , MB = ( 4 − 2t; 2 + t;6 − 2t ) . Câu 48. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A (1;5;0 ) , B ( 3;3; 6 ) và đường thẳng  : Vì đoạn AB cố định nên chu vi tam giác MAB nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất. Xét hàm số f ( t ) = MA + MB = 9t 2 + 20 + 9t 2 − 36t + 56 HOÀNG XUÂN NHÀN 499 = ( 3t ) 2 ( + 2 5 ) 2 ( 6 − 3t ) + 2 ( + 2 5 ) 2 (  62 + 4 5 ) 2 = 2 29 . a + b  a +b Dấu bằng xảy ra  3t 2 5 =  3t = 6 − 3t  t = 1 . Suy ra M (1;0; 2 )  a = 1, b = 0, c = 2 . 6 − 3t 2 5 Choïn →B Ta có: a + b + c = 3. ⎯⎯⎯ Câu 49. Cho hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi Ak +1 , Bk +1 , Ck +1 , Dk +1 theo thứ tự là trung điểm các cạnh Ak Bk , Bk Ck , Ck Dk , Dk Ak (với k = 1, 2, ...). Gọi P là chu vi của hình vuông A2024 B2024C2024 D2024 . Hãy tính log2 P . A. 2 2 2023 2019 1 . C. . D. −1012 . 2 2024 Hướng dẫn giải: Xét hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng 1, khi đó đường chéo B. − . 1 2 A1C1 = (tính chất đường trung bình), 2 2 2 tức là cạnh hình vuông A2 B2C2 D2 là . 2 2 . 2 = 1 nên Tương tự: hình vuông A2 B2C2 D2 có có đường chéo 2 1 hình vuông A3 B3C3 D3 có cạnh là . 2 Theo quy luật đó, ta thấy độ dài cạnh hình vuông An BnCn Dn ( n  ) tuân theo quy luật của cấp số A1C1 = 2 ; suy ra A2 B2 = nhân với số hạng đầu là u1 = 1 (cạnh hình vuông lớn nhất), công bội là q = Từ đó ta có: un = u1q n −1  2 =    2  2 . 2 n −1 (độ dài cạnh hình vuông An BnCn Dn ). Suy ra độ dài cạnh hình vuông A2024 B2024C2024 D2024 là u2024 ( 2) −2023  2 =    2  − 2019 2 2023 = ( 2) −2023 . 2019 Choïn →B . ⎯⎯⎯ 2 2 Câu 50. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn  f  ( x )  = 4  2 x 2 + 1 − f ( x )  với mọi Chu vi hình vuông A2024 B2024C2024 D2024 là P = 4 =2  log 2 P = − 1 x thuộc đoạn  0;1 và f (1) = 2 . Giá trị I =  xf ( x )dx bằng 0 A. 3 . 4 B. 5 . 3 C. 11 . 4 D. 4 . 3 Hướng dẫn giải: Ta có:  f  ( x )  = 4  2 x + 1 − f ( x )    f  ( x )  − 4 xf  ( x ) + 4 x 2 = 12 x 2 + 4 − 4  xf  ( x ) + f ( x ) 2 2 2   f  ( x ) − 2 x  = 12 x 2 + 4 − 4  xf ( x ) (*) 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 500 1 Lấy tích phân hai vế của (*), ta được: 1 1 2    f  ( x ) − 2 x  dx =  (12 x + 4) dx − 4  xf ( x ) dx 2 0 0 0 =8 1    f  ( x ) − 2 x  dx = 8 − 4 xf ( x ) 0 = 8 − 4 f (1) = 8 − 4.2 = 0 . 2 1 0 Ta có:  f  ( x ) − 2 x  = 0  f  ( x ) = 2 x  f ( x ) = x 2 + C . Do f (1) = 2 nên 12 + C = 2  C = 1 . 2 1 1 0 0 Vậy f ( x ) = x 2 + 1 . Suy ra I =  xf ( x )dx =  ( x3 + x )dx = 3 Choïn → A . ⎯⎯⎯ 4 HOÀNG XUÂN NHÀN 501