Đề 46-GT(ĐẾN ỨNG DỤNG TP)-HH (ĐẾN PT MẶT PHẲNG).

ĐỀ SỐ 46 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: Giải tích: Đến Ứng dụng tích phân Hình học: Hết chương trình 12 Câu 1. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên? −x A. y = . x +1 − 2x + 1 B. y = . 2x + 1 −x+2 C. y = . x +1 − x +1 D. y = . x +1 Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Giá trị cực đại của hàm số y = f (x) bằng 2. C. Hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x = −1. B.Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x = 1 . D. Giá trị cực tiểu của hàm số y = f (x) bằng 1. Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm dương của phương trình 3 f ( x ) + 4 = 0 là B. 1 . D. 2 . A. 4 . C. 3 . x3 Câu 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = + 2 x 2 + 3x − 4 trên đoạn  −4;0 lần lượt là 3 M và m . Giá trị của tổng M + m bằng bao nhiêu? 4 4 28 A. M + m = − . B. M + m = . C. M + m = − . D. M + m = −4 . 3 3 3 x3 + 2 Câu 5. Đạo hàm của hàm số y = 3 là: A. y = x 2 .3x +3.ln 3 . 3 C. y = 3 x 2 .3x 3 +2 . B. y = 3x + 2.ln 3 . 3 D. y = 3x2 . ( x3 + 2 ) 3x +1 . 3 HOÀNG XUÂN NHÀN 480 Câu 6. Tập xác định D của hàm số y = ( x 2 − x ) 3 là A. D = ( − ; 0 )  (1; +  ) . B. D = D. D = C. D = (−;0]  [1; +) . . \{0;1} . 1 = 2log 7 a − 6log 49 b . Khi đó giá trị của x là x b3 a2 A. x = 2a − 3b . B. x = 2 . C. x = 3 . D. x = a 2b3 . a b y Câu 8. Cho hai hàm số y = a x và y = logb x có đồ thị như hình vẽ sau. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a, b  1. B. 0  a, b  1. C. 0  a  1  b . D. 0  b  1  a . O Câu 9. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a  b) . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: Câu 7. Cho x, a, b là các số thực dương thỏa mãn log 7 A. V =  C. V =  b 2 f b 2 B. V =   f 2 ( x)dx . ( x)dx . a b 2 x a b  f ( x)dx . D. V = 2  f 2 ( x)dx . a a Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x + 8sin x . 2  f ( x ) dx = 6 x − 8cos x + C . C.  f ( x ) dx = x − 8cos x + C .  f ( x ) dx = 6 x + 8cos x + C . D.  f ( x ) dx = x + 8cos x + C . A. B. 3 Câu 11. Nếu 2 5 1 2 3  f ( x ) dx = 3,  f ( x ) dx = −1 A. 2 . Câu 12. Cho hàm số 5 thì B. −2 . f ( x ) có đạo  f ( x ) dx bằng 1 hàm C. 3 . f  ( x ) và có một nguyên D. 4 . hàm là I =   2 f ( x ) + f  ( x ) + 1 dx ? A. I = 2 F ( x ) + xf ( x ) + C . B. I = 2 xF ( x ) + x + 1 C. I = 2 xF ( x ) + + f ( x ) + x + C . D. I = 2 F ( x ) + f ( x ) + x + C . Câu 13. Cho F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 A. I = . e B. I = 1 . 2 Câu 14. Tìm họ nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 1 A. F ( x ) = ln x + + C . x F ( x) . Tìm ln x . Tính I = F ( e ) − F (1) . x D. I = 1. C. I = e . x −1 , x  0? x2 1 B. F ( x ) = ln x − + C . x HOÀNG XUÂN NHÀN 481 1 1 C. F ( x ) = − ln x + + C . D. F ( x ) = ln x + + C . x x Câu 15. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AB = AC = a , cạnh bên SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Thể tích khối chóp S.ABC bằng a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 4 8 Câu 16. Mặt cầu có độ dài đường kính bằng 4. Tính diện tích mặt cầu đó? 64 . A. 128 . B. 64 . C. D. 16 . 3 Câu 17. Trong không gian Oxyz , gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng A. a.b a .b . a.b B. a.b . C. a.b a+b . D. a.b . a.b Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + 5 z − 9 = 0 . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ? A. n ( 2; − 3;5 ) . B. n ( 2; − 3; − 5) . C. n ( 2;3;5) . D. n ( 2; − 3;9 ) . Câu 19. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) có phương trình x2 + y 2 + z 2 + 4x − 4 y + 8z = 0 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R . A. I ( 2; −2; 4 ) ; R = 24 . B. I ( −2; 2; −4 ) ; R = 2 6 . C. I ( 2; −2;4 ) ; R = 2 6 . D. I ( −2; 2; −4 ) ; R = 24 . Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(4; −3;2) , B(6;1; −7) , C (2;8; −1) . Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm G của tam giác ABC . x y z x y z x y z = A. = . B. = = . C. = = . 2 −1 −1 2 1 −1 2 3 −1 Câu 21. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 3 . B. 0 . 4 − x2 là x 2 − 3x − 4 C. 2 . D. x y z = = . 4 1 −3 D. 1 . mx − 3 , m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng 3x − m biến trên từng khoảng xác định? A. 5. B. 7. C 3. D. vô số. Câu 22. Cho hàm số y = Câu 23. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = hai điểm cực trị có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) = 1 ? 2 3 2 x − mx 2 − 2 ( 3m2 − 1) x + có 3 3 A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . 2 2 Câu 24. Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn a + b = 8ab , mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. log ( a + b ) = ( log a + log b ) . B. log ( a + b ) = (1 + log a + log b ) . 2 2 1 C. log ( a + b ) = 1 + log a + log b . D. + log a + log b . 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 482 Câu 25. Bất phương trình log 0,5 ( 2 x − 3)  0 có tập nghiệm là 3  C.  ; +  . 2  x Câu 26. Phương trình log 2 ( 3.2 − 1) = 2 x + 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? A. ( −; 2 ) . B. ( 2; + ) . 3  D.  ; 2  . 2  A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1 . Câu 27. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = sin x , trục Ox , x = 0 , x =  . Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là A. 2 . B.  . 2 C.  . D.  2 . 2 Câu 28. Diện tích hình phẳng của phần tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 1 ( ) A. S =  −4 x 2 + 4 x dx . 0 1 ( ) B. S =  2 x 2 − 4 x + 1 dx . 0 1 ( ) C. S =  4 x 2 − 4 x dx . 0 1 D. S =  ( −4x −1 2 ) + 4 x dx . Câu 29. Cho hàm số f ( x ) có f  ( x ) = đó giá trị của f ( 5 ) bằng 1 1 với mọi x  và 2 2x −1 f (1) = 1 . Khi A. ln 2 . B. ln 3 . C. ln 2 + 1. D. ln 3 + 1 . 3 2 Câu 30. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x + 11x − 6 và y = 6 x là 1 1 A. 52 . B. 14 . C. . D. . 4 2 Câu 31. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos ( AB, DM ) bằng: 1 2 3 3 . B. . C. . D. . 2 6 2 2 Câu 32. Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a và AC = a 3 . Tính độ dài đường sinh l của hình nón có được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB . A. l = 3a . B. l = 2a . C. l = 2a . D. l = a . Câu 33. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M ( 5; − 6; 2 ) lên mặt phẳng ( Oxz ) có tọa độ A. là A. ( 0; − 6;0 ) . B. ( 5;0;2 ) . C. ( 5; − 6;0) . D. ( 0; − 6;2) . Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : 5 x + 5 y − 5 z − 1 = 0 và ( Q ) : x + y − z + 1 = 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) bằng A. 2 3 . 15 B. 2 . 5 C. 2 . 15 D. 2 3 . 5 HOÀNG XUÂN NHÀN 483 Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 4; −3;5 ) và B ( 2; −5;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng x +1 y − 5 z + 9 . = = 3 −2 13 A. 3x − 2 y + 13z − 56 = 0 . B. 3x + 2 y + 13z − 56 = 0 . C. 3x + 2 y + 13z + 56 = 0 . D. 3x − 2 y −13z + 56 = 0 . Câu 36. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hàm số f ( x) như hình vẽ . Hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1 . 2x − 4 Câu 37. Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) và điểm A ( −5; 5 ) . Tìm m để đường x +1 thẳng y = − x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho (d ) : tứ giác OAMN là hình bình hành ( O là gốc tọa độ). m = 0 A. m = 0 . B.  . C. m = 2 . m = 2 Câu 38. Số điểm cực trị của hàm số y = ln ( x 2 − 4 x ) là D. m = −2 . A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1 . x x Câu 39. Cho phương trình 9 − ( 2m + 3) 3 + 81 = 0 ( m là tham số thực ). Giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 = 10 thuộc khoảng nào sau đây A. ( 5;10 ) . B. ( 0;5 ) . C. (10;15 ) . D. (15; + ) . Câu 40. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f  ( x ) = ( x + 1) e x và f ( 0 ) = 1 . Tính f ( 2 ) . A. f ( 2 ) = 4e 2 + 1. e Câu 41. Cho I =  1 B. f ( 2 ) = 2e 2 + 1. C. f ( 2 ) = 3e 2 + 1. D. f ( 2 ) = e 2 + 1. ln x c dx = a ln 3 + b ln 2 + , với a, b, c  . Khẳng định nào sau đâu đúng. 3 x ( ln x + 2 ) 2 A. a + b2 + c2 = 1 . B. a2 + b2 + c2 = 11 . C. a2 + b2 + c2 = 9 . D. a2 + b2 + c2 = 3 . Câu 42. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = AD = 2a, DC = a . Điểm I là trung điểm đoạn AD , mặt phẳng ( SIB ) và ( SIC ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) 2 . Mặt phẳng ( SBC ) tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 60 . Tính khoảng cách từ D đến ( SBC ) theo a . a 15 9a 15 2a 15 9a 15 A. . B. . C. . D. . 5 10 5 20 Câu 43. Cho mặt cầu ( S ) tâm O và các điểm A , B , C nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho AB = 3 , AC = 4 , BC = 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ABC ) bằng 1 . Thể tích của khối cầu ( S ) bằng A. 7 21 . 2 B. 4 17 . 3 C. 29 29 . 6 D. 20 5 . 3 HOÀNG XUÂN NHÀN 484 x −3 y −3 z + 2 x − 5 y +1 z − 2 ; d2 : và = = = = −1 −2 1 −3 2 1 mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3 z − 5 = 0 . Đường thẳng vuông góc với ( P ) , cắt d1 và d 2 lần lượt tại A, B . Độ dài đoạn AB là A. 2 3 . B. 14 . C. 5 . D. 15 . Câu 45. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  −1; 2  và thỏa mãn điều kiện f ( x) = x + 2 + xf ( 3 − x 2 ) . Tính tích Câu 44. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : 2 phân I =  f ( x)dx . −1 14 28 4 . B. I = . C. I = . D. I = 2 . 3 3 3 Câu 46. Cho hàm số y = x3 −11x có đồ thị là ( C ) . Gọi M 1 là điểm trên ( C ) có hoành độ x1 = −2 . Tiếp tuyến A. I = của ( C ) tại M 1 cắt ( C ) tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của ( C ) tại M 2 cắt ( C ) tại điểm M 3 khác M 2 ,..., tiếp tuyến của ( C ) tại M n−1 cắt ( C ) tại điểm M n khác M n −1 ( n  , n  4 ) . Gọi ( xn ; yn ) là tọa độ của điểm M n . Tìm n sao cho 11xn + yn + 22025 = 0 . A. n = 675 . B. 677 . C. 676 . D. 678 . Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2; − 2; 4 ) , B ( −3;3; − 1) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z − 8 = 0 . Xét M là điểm thay đổi thuộc ( P ) , giá trị nhỏ nhất của 2MA2 + 3MB2 bằng: A. 135 . Câu 48. Cho hàm số y B. 105 . C. 108 . D. 145 . f x có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f ( 0 ) = 0 . Biết 1 9  f ( x ) dx = 2 2 0 3 . Tích phân  f ( x ) dx bằng 2 4 0 0 1 4 6 2 A. . B. . C. . D. .     Câu 49. Cho khối chóp lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có S ABC  = 8 3 , mặt phẳng ABC  tạo với mặt phẳng 1 và  f  ( x ) cos x 1 dx =   đáy góc   0     . Tính cos khi thể tích khối lăng trụ ABC. ABC lớn nhất. 2  3 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Câu 50. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m   −1,1 sao cho phương trình log m2 +1 ( x 2 + y 2 ) = log 2 ( 2 x + 2 y − 2 ) có nghiệm nguyên ( x , y ) duy nhất. A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . ________________HẾT________________ HOÀNG XUÂN NHÀN 485 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 46 1 D 11 A 21 D 31 B 41 D 2 B 12 D 22 A 32 C 42 A 3 B 13 B 23 A 33 B 43 C 4 C 14 D 24 B 34 D 44 B 5 A 15 A 25 D 35 A 45 B 6 A 16 D 26 B 36 D 46 A 7 B 17 A 27 A 37 C 47 A 8 D 18 A 28 A 38 C 48 C 9 B 19 B 29 D 39 C 49 C 10 C 20 B 30 D 40 B 50 B Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 46 Câu 45. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  −1; 2  và thỏa mãn điều kiện f ( x) = x + 2 + xf ( 3 − x 2 ) . Tính tích 2 phân I =  f ( x)dx . −1 14 A. I = . 3 B. I = 28 . 3 C. I = 4 . 3 D. I = 2 . Hướng dẫn giải: Xét f ( x) = x + 2 + xf ( 3 − x 2 ) với x   −1; 2 . Lấy tích phân hai vế, ta được: 2 2 −1 −1  f ( x ) dx =  2 x + 2dx +  xf ( 3 − x 2 ) dx 2 Xét (1). −1 1 2 2 −1 xf ( 3 − x ) dx . Đặt t = 3 − x  dt = −2 xdx  xdx = − 2 dt . Đổi cận: −1 2 2  x = −1  t = 2 .   x = 2  t = −1 2 1 1 1 Ta có:  xf ( 3 − x ) dx = −  f ( t ) dt =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx . 22 2 −1 2 −1 −1 2 2 Thay vào (1):  −1 2 Ta có:  −1 2 f ( x ) dx =  x + 2dx + −1 2 2 1 f ( x ) dx  2 −1 2  −1 2 f ( x ) dx = 2  x + 2dx . 2 2 14 x + 2dx = ( x + 2 ) x + 2 = ( 8 − 1) = . Suy ra 3 3 3 −1 −1 2 14  f ( x ) dx = 2. 3 −1 = 28 . 3 Choïn ⎯⎯⎯ →B HOÀNG XUÂN NHÀN 486 Câu 46. Cho hàm số y = x3 −11x có đồ thị là ( C ) . Gọi M 1 là điểm trên ( C ) có hoành độ x1 = −2 . Tiếp tuyến của ( C ) tại M 1 cắt ( C ) tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của ( C ) tại M 2 cắt ( C ) tại điểm M 3 khác M 2 ,..., tiếp tuyến của ( C ) tại M n−1 cắt ( C ) tại điểm M n khác M n −1 ( n  , n  4 ) . Gọi ( xn ; yn ) là tọa độ của điểm M n . Tìm n sao cho 11xn + yn + 22025 = 0 . A. n = 675 . B. 677 . C. 676 . D. 678 . Hướng dẫn giải: Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M k ( xk ; yk ) với k  * là: y = ( 3xk2 − 11) ( x − xk ) + xk3 − 11xk . Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( C ) và tiếp tuyến nói trên: x3 − 11x = ( 3xk2 − 11) ( x − xk ) + xk3 − 11xk  ( x − xk ) ( x + 2xk ) = 0 2  x = xk  (loại x = xk )  xk +1 = −2xk .  x = −2 xk Ta có: x1 = −2; x2 = −2x1; x3 = −2x2 ;...; xn = −2 xn−1 . Đây là cấp số nhân có x1 = −2, q = −2 . Suy ra xn = ( −2 ) n −1 Ta có: 11xn + yn + 22025 = 0  xn3 = −22025  ( −2 ) = ( −2 ) 3n .x1 = ( −2 ) . n 2025 Choïn  n = 675 . ⎯⎯⎯ → A Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2; − 2; 4 ) , B ( −3;3; − 1) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z − 8 = 0 . Xét M là điểm thay đổi thuộc ( P ) , giá trị nhỏ nhất của 2MA2 + 3MB2 bằng: A. 135 . B. 105 . C. 108 . D. 145 . Hướng dẫn giải: Gọi I là điểm thoả 2 IA + 3IB = 0 . Ta tìm được I ( −1;1;1) . ( ) 2 ( Ta có 2MA2 + 3MB 2 = 2 MI + IA + 3 MI + IB ) 2 ( = 5MI 2 + 2 IA2 + 3IB 2 + 2MI . 2 IA + 3IB ) = 5MI 2 + 2IA2 + 3IB2 (do 2 IA + 3IB = 0 ) , ta tính được IA2 = 27, IB2 = 12 .   MI ⊥ ( P ) Suy ra 2MA2 + 3MB2 nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất    MI = d ( I , ( P ) ) = 3 . M  P ( )   Choïn Do đó giá trị nhỏ nhất của 2MA2 + 3MB2 = 5MI 2 + 2IA2 + 3IB2 = 135 . ⎯⎯⎯→ A HOÀNG XUÂN NHÀN 487 f x có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f ( 0 ) = 0 . Biết Câu 48. Cho hàm số y 1 9  f ( x ) dx = 2 2 0 1 và  f  ( x ) cos x 0 A. 1 2 dx = .  3 . Tích phân 4 4 B. .  1  f ( x ) dx bằng 0 C. 6  . D. 2  . Hướng dẫn giải: 1 Xét  0 x 3 . Đặt f  ( x ) cos dx = 2 4 1 Ta có:  f  ( x ) cos x 0 1 Suy ra  sin 0 x 2 2 dx = cos .f ( x ) dx = x  x   dx u = cos du = − sin 2 2 2 .   dv = f  ( x ) dx v = f ( x )   x 2 1 1 . f ( x) +  0  0 2 sin x 2 .f ( x ) dx =  1 sin 2 0 x 2 .f ( x ) dx = 3 . 4 3 . 2  x x x  f ( x ) dx + m2  sin 2 dx. Xét tích phân:   f ( x ) + m sin  dx =  f 2 ( x ) dx + 2m  sin 2  2 2 0 0 0 0 2 1 1 1 1 =9/2 x =3/2 1 1 1 1 1  Trong đó:  sin dx =  (1 − cos  x ) dx =  x − sin  x  = . 2 20 2 2 0 2 0 1 2 1  x 9 3  2 1 0  f ( x ) + m sin 2  dx = 2 + 2m. 2 + m . 2 (*) . 2 1 Vậy Ta cần chọn hệ số m sao cho 9 3 1 + 2m. + m2 . = 0  m = −3 . 2 2 2  x  x   Thay m = −3 vào (*) , ta được:   f ( x ) − 3sin  dx = 0 mà  f ( x ) − 3sin   0, x  0;1 2  2   0 2 1 Suy ra f ( x ) − 3sin 1 Vậy  0 1 x 2 f ( x ) dx =  3sin 0 = 0, x  0;1  f ( x ) = 3sin x 2 dx = − 6  cos x 2 1 = 0 6  2 x 2 , x  0;1 . Choïn . ⎯⎯⎯→ C HOÀNG XUÂN NHÀN 488 Câu 49. Cho khối chóp lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có S ABC  = 8 3 , mặt phẳng ABC  tạo với mặt phẳng   đáy góc   0     . Tính cos khi thể tích khối lăng trụ ABC. ABC lớn nhất. 2  3 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: Đặt CC = h, AB = x . Ta có: cos  = SABC S ABC  x2 3 x2 3 = 4  = 8 3 cos   x = 4 2 cos  . 4 8 3 Bên cạnh đó, ta có : S ABC = 8 3 cos  . Xét tam giác vuông CCH có: x 3 4 2 cos  . 3 h = CH .tan  = tan  = tan  2 2 1 1 = 2 6cos  . −1 = 2 6 − cos  . 2 cos  cos  Do đó: VABC . ABC = h.SABC = 2 6 1 − cos  .8 3 cos  = 48 2. cos  − cos3  . cos  Ta thấy thể tích lăng trụ ABC. ABC lớn nhất khi và chỉ khi cos  − cos3  đạt giá trị lớn nhất. Xét hàm f ( t ) = t − t 3 với t = cos   ( 0;1) do 0     2 Ta có: f  ( t ) = 1 − 3t 2 ; f  ( t ) = 0  1 − 3t 2 = 0  t = . 1 . ( t   0;1) . 3 2  1  2 . Do đó giá trị lớn nhất của f ( t ) trên khoảng ( 0;1) là f ( 0 ) = 0, f (1) = 0, f  , = 3 3  3 3 3 1 Choïn khi đó t = cos  = . ⎯⎯⎯→ C 3 Câu 50. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m   −1,1 sao cho phương trình log m2 +1 ( x 2 + y 2 ) = log 2 ( 2 x + 2 y − 2 ) có nghiệm nguyên ( x , y ) duy nhất. A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Hướng dẫn giải:  x2 + y 2  0 x  y  0  Điều kiện  . x + y  1 2 x + 2 y − 2  0   HOÀNG XUÂN NHÀN 489 t 2 2 2   x + y = ( m + 1) Ta có log m2 +1 ( x + y ) = log 2 ( 2 x + 2 y − 2 ) = t   . t   2x + 2 y − 2 = 2 2 2 Suy ra x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 2 = ( m2 + 1) − 2t t  ( x − 1) + ( y − 1) = ( m2 + 1) − 2t  0  ( m2 + 1)  2t 2 t 2 Theo đề bài: m   −1,1  m 2 + 1 1, 2  m 2 + 1  2 t ( 2 ) . Từ (1) và ( 2 ) suy ra Trường hợp 1: t  0 , ta có: 2 x + 2 y − 2 = 2t  20  x + y  1 x + y  (1) .  t0 m2 + 1 = 2 .  3 . Kết hợp với điều kiện, ta suy ra 2 3 mà x , y nguyên nên không có cặp giá trị x , y nào thỏa mãn. 2 Trường hợp 2: m2 + 1 = 2  m = 1 . t x =1 2 2 Khi đó ( x − 1) + ( y − 1) = ( m 2 + 1) − 2t = 2t − 2t = 0   . y =1 Choïn Vậy với m = 1 thỏa mãn đề bài. ⎯⎯⎯→ B HOÀNG XUÂN NHÀN 490