Đề 45-HÌNH HỌC_ĐẾN PT MẶT PHẲNG

ĐỀ SỐ 45 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: Khối đa diện – Khối nón, trụ, cầu – Phương pháp tọa độ Không gian (đến PT đường thẳng) Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : chỉ phương của d ? A. u2 = ( 3; 4; −1) . x−2 y+5 z −2 = = . Vectơ nào dưới đây là một vectơ 3 4 −1 B. u1 = ( 2; −5; 2 ) . C. u3 = ( 2;5; −2 ) . D. u3 = ( 3; 4;1) . Câu 2. Hình bát diện đều có số cạnh là A. 6 . B. 8 . C. 12 . D. 10 . Câu 3. Trong không gian Oxyz với hệ tọa độ O; i ; j ; k cho OA = −2i + 5k . Tìm tọa độ điểm A . ( B. ( 5; −2;0 ) . A. ( −2;5 ) . Câu 4. Đường thẳng (  ) : A. A ( −1; 2;0 ) . ) C. ( −2;0;5 ) . D. ( −2;5;0 ) . x −1 y + 2 z = = không đi qua điểm nào dưới đây? 2 1 −1 B. ( −1; −3;1) . C. ( 3; −1; −1) . D. (1; −2;0 ) . Câu 5. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , ACB = 60 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một góc 45 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 3 a3 3 a3 3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 18 9 6 2 3 ( ) Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ O; i ; j ; k , cho hai vectơ a = ( 2; −1; 4 ) và b = i − 3k . Tính a.b . A. a.b = −11 . B. a.b = −13 . C. a.b = 5 . D. a.b = −10 . Câu 7. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 , SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 6 . Thể tích của khối chóp S. ABCD là. a3 6 a3 6 3 3 A. . B. a 6 . C. a 3 . D. . 3 2 Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm M (1; 2;3) ; N ( 3; 4;7 ) . Tọa độ của véctơ MN là A. ( 4;6;10 ) . B. ( 2;3;5 ) . C. ( 2; 2; 4 ) . D. ( −2; −2; −4 ) . Câu 9. Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là 60 cm, diện tích đáy 900 cm2. Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp). A. Chiều dài 60 cm, chiều rộng 60 cm. B. Chiều dài 900 cm, chiều rộng 60 cm. C. Chiều dài 180 cm, chiều rộng 60 cm. D. Chiều dài 30 cm, chiều rộng 60 cm. Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 4 z − 25 = 0 . Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) ? A. I (1; − 2; 2 ) ; R = 6 . B. I ( −1; 2; − 2 ) ; R = 5 . HOÀNG XUÂN NHÀN 468 C. I ( −2; 4; − 4 ) ; R = 29 . D. I (1; − 2; 2 ) ; R = 34 . Câu 11. Cho mặt phẳng ( ) : 2 x − 3 y − 4 z + 1 = 0 . Khi đó, một véctơ pháp tuyến của ( ) là A. n = ( −2;3;1) . B. n = ( 2;3; −4 ) . C. n = ( 2; −3; 4 ) . D. n = ( −2;3; 4 ) . Câu 12. Cho khối lăng trụ ABC. ABC có thể tích bằng 9a3 và M là điểm nằm trên cạnh CC  sao cho MC = 2MC . Tính thể tích khối tứ diện ABCM theo a . A. 2a3 . B. 4a3 . C. 3a3 . D. a 3 . Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Ox và cách đều hai điểm A ( 4; 2; −1) và B ( 2;1; 0 ) là A. M ( −4; 0; 0 ) . B. M ( 5;0;0 ) . C. M ( 4;0;0 ) . D. M ( −5; 0; 0 ) . Câu 14. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và AB = 2 AC = 2a , BC = a 3 . Tam giác V SAD vuông cân tại S , hai mặt phẳng ( SAD ) và ( ABCD ) vuông góc nhau. Tính tỉ số 3 biết V là a thể tích khối chóp S. ABCD . 3 1 1 A. . B. . C. 2 . D. . 2 4 2 Câu 15. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A ( 3; −1; 2 ) và vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x + y − 3z − 5 = 0 có phương trình là x −1 y −1 z + 3 x + 3 y −1 z + 2 = = = = . B. d : . 3 −1 2 1 1 −3 x − 3 y +1 z − 2 x +1 y +1 z − 3 = = = = C. d : . D. d : . 1 1 −3 3 −1 2 Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho a = 2i + 3 j − k , b = ( 2;3; − 7 ) . Tìm tọa độ của x = 2a − 3b . A. d : A. x = ( 2; − 1; 19 ) . B. x = ( −2; 3; 19 ) . C. x = ( −2; − 3; 19 ) . D. x = ( −2; − 1; 19 ) . Câu 17. Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , bán kính, R = 3cm , góc ở đỉnh hình nón là  = 120 . Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB , trong đó A , B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng A. 3 3 cm2 . B. 6 3 cm2 . C. 6 cm2 . D. 3 cm2 . Câu 18. Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −3; 2 ) và đi qua A ( 5; −1; 4 ) có phương trình: A. ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2 ) = 24 . B. ( x + 1) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 24 . C. ( x + 1) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 24 . D. ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2 ) = 24 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 19. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 45o . Tính Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD A. V = 4 3 πa . 3 1 B. V = πa3 . 3 C. V = 2 3 πa . 3 D. V = πa3 . HOÀNG XUÂN NHÀN 469 Câu 20. Trong không gian Oxyz , mặt cầu x2 + y 2 + z 2 + 2x − 4 y − 2z − 3 = 0 có bán kính bằng C. 3 .  x = −2 + t  Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d :  y = 1 + 2t , ( t   z = 5 − 3t  A. 3 3 . A. a = ( −1; − 2;3) . B. 9 . B. a = ( 2; 4;6 ) . D. 3. ) có vectơ chỉ phương là C. a = (1; 2;3) . D. a = ( −2;1;5 ) . Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABCD có A ( 0; 0; 0 ) , B ( 3; 0; 0 ) , D ( 0; 3; 0 ) , D ( 0; 3; − 3) . Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là A. (1; 1; − 2 ) . B. ( 2; 1; − 2 ) . C. (1; 2; − 1) . D. ( 2; 1; − 1) . Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD cạnh 3a . Khoảng cách giữa hai cạnh AB, CD là 3a 3 3a 2 3a . B. . C. a . D. . 2 2 2 Câu 24. Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm A (1; − 2;3) đến ( P ) : x + 3 y − 4 z + 9 = 0 là A. 4 26 17 . D. . 13 26 Câu 25. Khối lăng trụ ABC. ABC có thể tích bằng 6 . Mặt phẳng ( ABC  ) chia khối lăng trụ thành một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác có thể tích lần lượt là: A. 2 và 4 . B. 3 và 3 . C. 4 và 2 . D. 1 và 5 . x −1 y − 2 z −1 = = Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : , A ( 2;1; 4 ) . Gọi 1 1 2 H ( a; b; c ) là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. Tính T = a3 + b3 + c3 . A. 26 . 13 B. 8. C. A. T = 8 . B. T = 62 . C. T = 13 . D. T = 5 . Câu 27. Khối cầu bán kính R = 2a có thể tích là: 32 a 3 8 a 3 A. . B. 6 a3 . C. . D. 16 a2 . 3 3 Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng ( P ) : x + y + z −1 = 0 . A. K ( 0;0;1) . B. J ( 0;1;0 ) . C. I (1;0;0 ) . D. O ( 0;0;0 ) . Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxy , có tất cả bao nhiêu số tự nhiên của tham số m để phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( m − 2 ) y − 2 ( m + 3) z + 3m 2 + 7 = 0 là phương trình của một mặt cầu. A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M (1; – 2; 1) , N ( 0;1; 3) . Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N là x +1 y − 2 z +1 x +1 y − 3 z − 2 = = = = A. . B. . −1 3 2 1 −2 1 x y −1 z − 3 x y −1 z − 3 = = = C. . D. = . −1 3 2 1 −2 1 Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng chứa hai điểm A (1; 0; 1) , B ( −1; 2; 2 ) và song song với trục Ox có phương trình là A. y − 2 z + 2 = 0 . B. x + 2 z − 3 = 0 . C. 2 y − z + 1 = 0 . D. x + y − z = 0 . HOÀNG XUÂN NHÀN 470 Câu 32. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có đường kính AB , với A ( 6; 2; −5 ) , B ( −4;0;7 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại A . A. ( P ) : 5 x + y – 6 z + 62 = 0 . B. ( P ) : 5 x + y – 6 z − 62 = 0 . C. ( P ) : 5 x − y – 6 z − 62 = 0 . D. ( P ) : 5 x + y + 6 z + 62 = 0 . Câu 33. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3 . Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ lần lượt có giá trị là A. 2 3 + 1  R 2 và 2 3 R2 . B. 2 3 R2 và 2 3 + 1  R 2 . ( ) ( ) C. 2 3 R2 và 2 R2 . D. 2 3 R2 và 2 3 R2 + R2 . Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; − 2;1) , C ( −2; 0;1) . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là A. 2 x − y − 1 = 0 . B. − y + 2 z − 3 = 0 . C. 2 x − y + 1 = 0 . D. y + 2 z − 5 = 0 . Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M ( 2;0;0 ) , N ( 0;1;0 ) và P ( 0;0; 2 ) . Mặt phẳng ( MNP ) có phương trình là x y z x y z x y z x y z A. + + = 0 . B. + + = −1 . C. + + = 1 . D. + + = 1 . 2 −1 2 2 −1 2 2 1 2 2 −1 2 Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 2 = 0 và điểm I ( −1; 2; − 1) . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5 . A. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 25. B. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 16. C. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 34. D. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 34. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 37. Một hình nón tròn xoay có độ dài đường cao là h và bán kính đường tròn đáy là r . Thể tích khối nón tròn xoay được giới hạn bởi hình nón đó là 1 3 B. V =  r 2 h . A. V =  r 2 h . 1 3 2 3 C. V =  rh . D. V =  rh . Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 3; 2; − 1) . Hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục Oz là điểm: A. M 3 ( 3;0;0 ) . B. M 4 ( 0; 2;0 ) . C. M 1 ( 0;0; − 1) . D. M 2 ( 3; 2;0 ) . Câu 39. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho A (1;0; −3) , B ( 3; 2;1) . Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là A. x + y + 2z −1 = 0 . B. 2 x + y − z + 1 = 0 . C. x + y + 2z + 1 = 0 . D. 2 x + y − z −1 = 0 . Câu 40. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD theo a . 8 a 3 2 4 A. . B. 4 a3 . C.  a 3 . D. 8 a3 . 3 3 Câu 41. Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b . Tính thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. 3 3 1  4a 2 + 3b 2 ) . 4a 2 + 3b 2 ) . A. B. ( ( 18 3 18 3 C.  18 3 ( 4a 2 + b2 ) . 3 D.  18 2 ( 4a 2 + 3b 2 ) . 3 HOÀNG XUÂN NHÀN 471 Câu 42. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh bằng 2 3 ( cm ) với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O . Gọi M là điểm thuộc cung AB của đường tròn đáy sao cho ABM = 60 . Thể tích của khối tứ diện ACDM là: A. V = 3 ( cm3 ) . B. V = 4 ( cm3 ) . C. V = 6 ( cm3 ) . D. V = 7 ( cm3 ) . Câu 43. Cho mặt phẳng ( P ) đi qua các điểm A ( −2; 0; 0 ) , B ( 0; 3; 0 ) , C ( 0; 0; − 3 ) . Mặt phẳng ( P ) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau? A. x + y + z + 1 = 0 . C. 2 x + 2 y − z − 1 = 0 . B. x − 2 y − z − 3 = 0 . D. 3x − 2 y + 2 z + 6 = 0 . x + 1 y −1 z − 2 và mặt phẳng = = 2 1 3 ( P ) : x − y − z − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A (1;1; − 2 ) , biết  // ( P ) và  cắt d . x −1 y −1 z + 2 x −1 y −1 z + 2 = = = = A. . B. . 1 −1 −1 2 1 3 x −1 y −1 z + 2 x −1 y −1 z + 2 = = = = C. . D. . 8 3 5 2 1 1 Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2;1; 2 ) và mặt cầu Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 y − 2 z − 7 = 0 . Mặt phẳng ( P ) đi qua ( C ) có diện tích nhỏ nhất. Bán kính đường tròn ( C ) là A và cắt ( S ) theo thiết diện là đường tròn A. 1 . B. 5 . C. 3 . D. 2 . Câu 46. Ban đầu ta có một tam giác đều cạnh bằng 3 (hình 1 ). Tiếp đó ta chia mỗi cạnh của tam giác thành 3 đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía bên ngoài, ta được hình 2 . Khi quay hình 2 xung quanh trục d ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó. 5 3 9 3 5 3 5 3 . B. . . D. . C. 3 8 6 2 Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;1;1) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt chiều A. dương của các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C thỏa mãn OA = 2OB . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC . HOÀNG XUÂN NHÀN 472 64 10 9 81 . B. . C. . D. . 27 3 2 16 Câu 48. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA = 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên A. hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng ( SMC ) vuông góc với mặt phẳng ( SNC ) . Biết rằng khi thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức P = 2022 AM − 2021AN = a b − a với a, b  . Tính log 2 ( a 2b ) . A. 3 + log3 2 . B. 2 + log2 3 . C. 3 + log 2 3 . D. 2 . Câu 49. Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a , thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất. 8a 3 10a3 32a3 A. V = . B. V = . C. V = 2a3 . D. V = . 3 3 3  11 22 16  Câu 50. Trong không gian tọa độ Oxyz cho A (1; 2; 0 ) , B ( 5; 4; 4 ) , C  ; ; −  . Gọi ( S1 ) , ( S 2 ) , ( S3 ) là 3 3 3 13 . Xác định số tiếp diện chung của ba 3 mặt cầu tâm lần lượt là A , B , C và có cùng bán kính là 5 mặt cầu trên. A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . ________________HẾT________________ HOÀNG XUÂN NHÀN 473 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 45 1 A 11 D 21 A 31 A 41 B 2 C 12 A 22 B 32 B 42 A 3 C 13 C 23 D 33 B 43 C 4 A 14 D 24 D 34 C 44 C 5 A 15 C 25 A 35 C 45 D 6 D 16 C 26 B 36 D 46 A 7 B 17 A 27 A 37 A 47 D 8 C 18 D 28 D 38 C 48 B 9 A 19 A 29 C 39 A 49 D 10 D 20 C 30 C 40 C 50 A Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 45 Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 y − 2 z − 7 = 0 . Mặt phẳng ( P ) đi qua ( C ) có diện tích nhỏ nhất. Bán kính đường tròn ( C ) là A. 1 . cho điểm C. 3 . Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;1;1) và bán kính R = 3 . ( 2 − 0 ) + (1 − 1) + ( 2 − 1) trong mặt cầu ( S ) . Ta có IA = 2 2 2 và mặt cầu A và cắt ( S ) theo thiết diện là đường tròn 5. B. A ( 2;1; 2 ) D. 2 . = 5  3 = R nên A nằm Đặt h là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) , r là bán kính đường tròn ( C ) . Khi đó: r 2 = R2 − h2 . Diện tích đường tròn thiết diện là nhỏ nhất khi r nhỏ nhất, suy ra h lớn nhất, mà h  IA = 5 . Do vậy hmax = 5 ; khi đó IA ⊥ ( P ) . Choïn →D Suy ra rmin = 32 − 5 = 2 . ⎯⎯⎯ Câu 46. Ban đầu ta có một tam giác đều cạnh bằng 3 (hình 1 ). Tiếp đó ta chia mỗi cạnh của tam giác thành 3 đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía bên ngoài, ta được hình 2 . Khi quay hình 2 xung quanh trục d ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó. 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 474 A. 5 3 . 3 B. 9 3 . 8 C. 5 3 . 6 D. 5 3 . 2 Hướng dẫn giải: Ta có thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng 2 lần thể tích nửa trên khi cho hình SIABK quay quanh trục SK . Tam giác SIH quay quanh trục SK tạo 3 1 thành khối nón có r1 = IH = , h1 = SH = . 2 2 Thể tích khối nón này bằng 1 1 1 3 3 V1 =  r12 h1 =  . . = . 3 3 4 2 24 Hình thang vuông HABK quay quanh trục HK 3 3 tạo thành hình nón cụt có R = AH = , r = BK = 2IH = 1 , h = HK = SH = . 2 2 Thể tích khối nón cụt này bằng V2 = h 3 . ( R 2 + r 2 + R.r ) =  39 3  19 3 .  +1+  = 3 2 4 2 24 . 5 3 Choïn → A . ⎯⎯⎯ 3 Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;1;1) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt chiều Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho: V = 2 (V1 + V2 ) = dương của các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C thỏa mãn OA = 2OB . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC . 64 10 9 81 A. . B. . C. . D. . 27 3 2 16 Hướng dẫn giải: Giả sử A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c  0 . Suy ra OA = a, OB = b, OC = c . Khi đó mặt phẳng ( P ) có dạng x y z 1 1 1 + + = 1 . Vì ( P ) đi qua M (1;1;1) nên + + = 1 (1). a b c a b c Mặt khác OA = 2OB nên a = 2b (2). 1 1 1 3 1 + + =1 + =1 . 2b b c 2b c 1 1 1 Thể tích khối tứ diện OABC là: VOABC = OA.OB.OC = abc = b 2c . 6 6 3 Thay (2) vào (1): HOÀNG XUÂN NHÀN 475 Ta có: 1 = b 2 c 81 3 1 3 3 1 9 9 1 16b 2c 3     27 . + = + +  33   3 16 9 2b c 4b 4b c 16b 2c 16b2c 3 1 81 3 1 1 81 = = Do đó: VOABC = b 2 c  hay (VOABC )Min = ; dấu đẳng thức xảy ra khi: 3 16 4b c 3 16 9 9 Choïn →D  a = , b = , c = 3 . ⎯⎯⎯ 2 4 Câu 48. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA = 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng ( SMC ) vuông góc với mặt phẳng ( SNC ) . Biết rằng khi thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức P = 2022 AM − 2021AN = a b − a với a, b  . Tính log 2 ( a 2b ) . A. 3 + log3 2 . B. 2 + log2 3 . C. 3 + log 2 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải: Đặt AM = x , AN = y . Trong (ABCD), gọi O = AC  BD , E = BD  CM , F = BD  CN . HO CO = Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên SC , khi đó: CHO đồng dạng CAS  AS CS CO. AS  HO = = CS 2 2 .2 2 ( 22 + 2 2 ) 2 = 2 . 3  BD ⊥ AC  BD ⊥ ( SAC )  BD ⊥ SC . Ta có:   BD ⊥ SA SC ⊥ OH Khi đó:   SC ⊥ ( HBD )  SC ⊥ BD Do đó: Ta có: S AMCN = S ABCD − SBCM − SCDN SC ⊥ HE .  SC ⊥ HF (( SCM ) , ( SCN )) = ( HE, HF ) = 90 . 0 hay HE ⊥ HF . 1 1 = 4 − .2. ( 2 − x ) − .2. ( 2 − y ) = 4 − 2 + x − 2 + y = x + y . 2 2 1 2 Suy ra: VS . AMCN = SA.S AMCN = ( x + y ) . 3 3 Xét tam giác HEF vuông tại H, có đường cao OH 2 = OE.OF (1). Ta cần tính OE , OF . HOÀNG XUÂN NHÀN 476 Xét tam giác OAB với EM  OA = C ; theo định lí Menelaus, ta có: 2y AM BE OC x BE 1 2x . Tương tự: OF = . . . =1 . . = 1  OE = 4− y MB EO AC 2 − x OE 2 4− x Thay OE, OF vừa tìm được vào (1): 2 2 xy =  3xy = 16 − 4 ( x + y ) + xy 3 ( 4 − x )( 4 − y )  xy + 2 x + 2 y = 8  ( x + 2 )( y + 2 ) = 12 .  8  2 2 2    x + y = x + 2 + y + 2 − 4  2 x + 2 y + 2 − 4 3 −1 . ( ) ( ) ( ) ( )( ) = 3 3 3  3  AM −GM =12     8 3 − 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Do đó: (VS . AMCN )Min = 3 x + 2 = y + 2 = 12  x = y = 2 3 − 2 = AM = BN . ( Ta có: VS . AMCN = ( ) ) Vì vậy P = 2022 AM − 2021AN = 2 3 − 2 = a b + a  a = 2, b = 3 . Ta có: log 2 ( a 2b ) = 2 + log 2 3 . Choïn ⎯⎯⎯ →B Câu 49. Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a , thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất. 8a 3 10a3 32a3 A. V = . B. V = . C. V = 2a3 . D. V = . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Xét hình chóp S.ABCD ngoại tiếp mặt cầu như hình vẽ. Gọi SO = x  2a , ta có: SI = x − a ; SE = SI 2 − IE 2 = Xét SEI ∽ SON , ta có: IE.SO SE IE  NO = = = SE SO NO ( x − a) 2 − a 2 = x 2 − 2ax . ax x 2 − 2ax  AD = 2ax x 2 − 2ax . 2 1  2ax  4a 2 x 2 = Thể tích khối chóp là : V = x.  .  3  x 2 − 2ax  3 ( x − 2a ) Xét hàm số f ( x ) = x2 x − 2a ( 0  2a  x ) ; f ( x) = x 2 − 4ax ( x − 2a ) 2 = 0  x = 4a . Bảng biến thiên : HOÀNG XUÂN NHÀN 477 4a 2 32a3 Choïn →D .8a = . ⎯⎯⎯ 3 3  11 22 16  Câu 50. Trong không gian tọa độ Oxyz cho A (1; 2; 0 ) , B ( 5; 4; 4 ) , C  ; ; −  . Gọi ( S1 ) , ( S 2 ) , ( S3 ) là 3 3 3 13 . Xác định số tiếp diện chung của ba 3 mặt cầu tâm lần lượt là A , B , C và có cùng bán kính là 5 mặt cầu trên. A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . Hướng dẫn giải: Nhận xét: Trong không gian, cho trước điểm A , đường thẳng  và số thực dương h. Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích là VMin = ▪ Nếu h  d ( A,  ) thì tồn tại hai mặt phẳng chứa  và cách ) ( A một khoảng bằng h hay d ( A, ( P ) ) = h . (Xem hình). ▪ Nếu h = d ( A,  ) thì tồn tại một mặt phẳng duy nhất chứa  và cách A một khoảng bằng h. (Mặt phẳng này chứa  và vuông góc AI với I là hình chiếu của A trên  ). ▪ Nếu h  d ( A,  ) thì không tồn tại mặt phẳng nào chứa  và cách A một khoảng bằng h. Xét mặt phẳng ( ) đi qua các điểm A , B , C . Ta tính được: AB = 6 , AC = 8 , BC = 10 . Do đó tam giác ABC vuông tại A. Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , AC . Trương hợp 1: Xét mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng DE và tiếp xúc cả ba mặt cầu đã cho; tức là ( P ) chứa DE và d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) ) = d ( C , ( P ) ) = 13 mà 5 13  3 = BD = d ( B, DE ) ; theo phần nhận xét ở 5 trên, ta biết tồn tại hai mặt phẳng thỏa mãn. Trương hợp 2: Xét mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng EF và tiếp xúc cả ba mặt cầu đã cho; tức là ( P ) chứa EF và d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) ) = d ( C , ( P ) ) = 13 13  4 = AF = d ( A, EF ) ; theo phần nhận xét ở trên, ta mà 5 5 biết tồn tại hai mặt phẳng thỏa mãn. Trương hợp 3: HOÀNG XUÂN NHÀN 478 Xét mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng DF và tiếp xúc cả ba mặt cầu đã cho; tức là ( P ) chứa DF và d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) ) = d ( C , ( P ) ) = 13 . Xét tam giác ADF vuông tại A với đường cao 5 13 12 AD. AF 3.4 12  = AH = d ( A, DF ) ; theo phần nhận xét ở trên, AH = = = . Ta có: 2 2 2 2 5 5 5 AD + AF 3 +4 ta biết không tồn tại mặt phẳng nào thỏa mãn. Hơn nữa ( S1 ) , ( S 2 ) , ( S3 ) có cùng bán kính nên có 2 mặt phẳng tiếp xúc với chúng và song song với mặt phẳng ( ABC ) . Choïn →A Vậy có tất cả 6 tiếp diện chung của ba mặt cầu đã cho. ⎯⎯⎯ HOÀNG XUÂN NHÀN 479